Méthode de Monte Carlo pour le calcul d'options

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Méthode de Monte Carlo pour le calcul d'options"

Transcription

1 Méthode de Monte Carlo pour le calcul d'options LADIAS Elie, WANG Shuai 7 juin

2 Table des matières 1 Méthode de Monte-Carlo et Calcul d'intégrales Description de la méthode Construction de l'intervalle de conance Exemple : Calcul du volume de la sphère unité dans R Méthodes de réduction de variance Méthode de l'échantillonnage préférentiel Variables de contrôle Variables antithétiques Application Application : Calcul du prix d'une option en nance Les options Pricing d'une option Option panier Annexe Code R : volume de la sphère Code R : volume de la sphère avec échantillonnage préférentiel Code R : calcul des diérents calls dans la premiere partie Code R : Calcul du call européens dans la troisième partie Code R : Calcul du call sur les options paniers

3 La naissance de la méthode Monte-Carlo remonte à l'expérience de l'aiguille de Buon en Le comte Georges-Louis Leclerc de Buon réussit à estimer π en lançant de nombreuses fois une aiguille sur son parquet. Un travail long et fastidieux, c'est pourquoi les méthodes Monte-Carlo se sont réellement développées avec l'apparition des premiers ordinateurs qui donnaient la possibilité de simuler un grand nombre d'expériences aléatoires à moindre coût. Ainsi, c'est sous l'impulsion de John Von Neumann et Stanislas Ulam, lors de la seconde guerre mondiale, que les méthodes de Monte-Carlo ont été vulgarisées. Ces deux mathématiciens ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Nous nous intéressons à ces méthodes car en nance, elles permettent de calculer avec une certaine précision le prix de produit dérivée que l'on ne peut pas calculer analytiquement. Ces méthodes ont de plus l'avantage d'avoir une vitesse de convergence de K/ n, insensible à la dimension. Dans un premier temps, on expliquera le fonctionnement des méthodes Monte- Carlo(MC) pour le calcul d'intégrale, puis on verra comment optimiser nos calculs avec diérentes méthodes de réduction de variance et enn on verra les applications de ces méthodes en nance. 3

4 1 Méthode de Monte-Carlo et Calcul d'intégrales 1.1 Description de la méthode La méthode Monte-Carlo repose sur un théorème fondamental de probabilités, la loi forte des grands nombres. Théorème 1. Soit (X i ) i 1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi qu'une variable aléatoire X. On suppose que E( X ) < +. Alors pour tout ω : P { X 1 (ω) + + X n (ω) lim = E(X) } = 1 n n L'idée de la méthode Monte-Carlo est de mettre la quantité recherchée sous la forme d'une espérance de variable aléatoire puis d'approximer cette quantité en utilisant la loi forte des grands nombres. Nous pouvons résumer cette méthode en trois étapes, premièrement nous mettons notre intégrale sous la forme d'une espérance de variable aléatoire. Ensuite, nous devons calculer une quantité de la forme E(X) où X est une variables aléatoires. Nous supposons que l'on sait simuler une suite de variable aléatoire (X i ) i 1 indépendante et identiquement distribuée de loi X. Nous simulons donc cette suite, puis nous approximons E(X) par : 1 N (X X N ) E(X) Par la loi forte des grands nombres nous pouvons dire que notre approximation nira par être égale à notre espérance. Cependant pour un nombre de simulations N ni nous avons aucune idée de la qualité de notre approximation. C'est pourquoi nous allons voir comment construire un intervalle de conance de niveau α que nous donnerons en plus de notre estimation. C'està-dire que nous donnerons en plus de notre valeur un intervalle où la valeur réel a α% de chance de se trouver. Nous allons voir comment construire cette intervalle. 1.2 Construction de l'intervalle de conance. La construction de l'intervalle de conance repose sur un deuxième théorème fondamental de probabilités, le théorème central limite. Théorème 2. Soit (X i ) i 1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telles que E(X1 2) < +. Notons σ2 la variance de X 1 Alors n ( σ ɛ n) N(0, 1) n 4

5 où ɛ n est l'erreur commise, c'est-à-dire Nous avons Nous voulons ɛ n = E(X) 1 n (X X n ) n σ (ɛ n) n N(0, 1) P [ɛ n < a] = 1 α Nous déduisons que a = u 1 α/2 est le fractile d'ordre 1 α/2 de la loi normale centrée réduite. Ainsi, nous pouvons écrire que u 1 α/2 n σ ɛ n u 1 α/2 X n u 1 α/2 E(X) X n + u 1 α/2 Finalement nous obtenons un intervalle de conance de la forme [ Xn u 1 α/2 σ n ; X n + u 1 α/2 σ n ] σ étant dans la plupart des cas inconnu nous utiliserons l'éstimateur sans biais de la variance V = 1 n (X i X N 1 n ) 2 i=1 Avec V, on peut maintenant obtenir un intervalle de conance de bonne qualité qui sera de la forme [ Xn u 1 α/2 V n ; X n + u 1 α/2 V n ] 1.3 Exemple : Calcul du volume de la sphère unité dans R 6 Nous cherchons à calculer le volume de la sphère de rayon 1 et de centre O R 6 dans R 6 par la méthode Mone-Carlo. Nous pouvons bien entendu calculer ce volume analytiquement, il est égal à V = π 3 /6. Nous allons noter S la sphère, alors : S = {x R 6 ; x 2 < 1} La quantité que nous cherchons à calculer est donc V ol(s) = dx = S R 6 1l { x 2 <1}dx 5

6 Figure 1 Volume de la sphère par Monte-Carlo Volume Volume de la boule Estimation par Monte Carlo Nombre de simulations Mettons cette intégrale sous la forme d'une espérance, pour cela on remarque que S est inclus dans l'hypercube de dimension 6 que nous noterons Q, on a donc : V ol(s) = 1l { x 2 <1}dx Q Notons dp Q (x) la probabilité uniforme sur Q, on a dp Q (x) = dx/64. On peut donc maintenant écrire V ol(s) = 64 1l { x 2 <1}dP Q (x) = 64E Q [1l { X 2 <1}] Q Notre intégrale est maintenant sous la forme d'une espérance. Nous allons maintenant simuler une suite (X i ) i=1...n de N variables uniformes sur Q puis notre volume sera donné en multipliant par 64 la moyenne des X i. Pour calculer notre volume nous avons écrit l'algorithme suivant sur R. (i) Simulation N variables aléatoire de loi uniforme sur Q: N=1000; X=rep(1,N); Y=matrix(runif(6*N), ncol=n); (ii) Simulation de l'indicatrice: Z=colSums(Y)); X[Z>1]=0; (iii) Le Volume de la sphère est donné par (64*somme)/N: Xb=cumsum(X)/(1:N); Ec=64*Xb; On obtient la gure 1. Nous voyons que l'approximation n'est pas très précise, on se rend compte de l'importance de rajouter l'intervalle de conance. Nous allons le rajouter sur notre gure, on choisira 0.95 comme niveau de conance. Nous ajoutons quelques lignes de code à notre algorithme. 6

7 (iv) Calcul de la variance: Nmoinsun=(1:N)-1; Nmoisun=[1]=1; V=rep(NA,N); V=64^2*cumsum((X-Xb)^2)/Nmoinsun; (v) Calcul de l'intervalle de confiance: Iinf=(Ec-qnorm(0.975, mean=0, sd=1)*sqrt(v/(1:n))); Isup=(Ec+qnorm(0.975, mean=0, sd=1)*sqrt(v/(1:n))); Figure 2 Volume de la sphère par Monte-Carlo et intervalle de conance Volume Volume de la boule Estimation par Monte Carlo Intervalle de confiance Nombre de simulations En plus de nous apporter des informations précieuses sur la précision de nos calculs, l'intervalle de conance nous donne la vitesse de convergence de la méthode. Ici, elle est de l'ordre de σ/ n. Dans la deuxième partie nous verrons comment diminuer cette vitesse de convergence à l'aide de diérentes méthodes de réduction de variance. 7

8 2 Méthodes de réduction de variance Nous avons vu que la vitesse de convergence de notre méthode dépend directement de σ 2, la variance de la quantité que nous voulons calculer. An d'améliorer cette vitesse de convergence, nous allons appliquer des méthodes dites de réduction de variance qui permettent de réduire la valeur de σ 2. On cherche toujours à calculer E(X), l'idée générale est de trouver une autre représentation sous la forme d'espérance de la quantité à calculer telle que la variance de cette nouvelle quantité soit inférieure. C'est-à-dire chercher Y tel que : { E[Y ] = E[X] V ar[y ] < V ar[x] Nous allons voir trois méthodes de réduction de variance, la méthode de l'échantillonnage préférentiel, la méthode de la variable de contrôle et la méthode des variables antithétiques. 2.1 Méthode de l'échantillonnage préférentiel Supposons que l'on cherche à calculer E[g(X)] et que la loi de X soit f(x)dx. La quantité que l'on cherche à évaluer vaut donc : E[g(X)] = g(x)f(x)dx R Soit maintenant, f la densité d'une autre loi telle que f > 0 et R f(x)dx = 1, il est clair que E[g(X)] peut aussi s'écrire : E[g(X)] = R g(x)f(x) f(x) f(x)dx g(y )f(y ) Cela signie que E[g(X)] = E[ ], si Y suit la loi de f(y f(x)dx sous P. ) On a donc une autre méthode de calcul de E[g(X)] en utilisant n tirages de Y, Y 1...Y n et en approchant E[g(X)] par : ( 1 g(y1 )f(y 1 ) + + g(y ) n)f(y n ) n f(y 1 ) f(y n ) A ce stade-là, nous ne sommes pas sûrs d'avoir amélioré l'algorithme. On g(y )f(y ) l'aura amélioré si V ar(z) < V ar(g(x)) où Z =. f(y ) 8

9 2.2 Variables de contrôle Dans sa version la plus simple, il s'agit d'écrire E(f(X)) sous la forme : E(f(X)) = E(f(X) h(x)) + E(h(X)) avec E(h(X)) qui peut se calculer explicitement et V ar((f(x) h(x)) sensiblement plus petit que V ar(f(x)). On utilise alors une méthode de Monte- Carlo pour évaluer E(f(X) h(x)) et le calcul direct pour E(h(X)). 2.3 Variables antithétiques Supposons que l'on cherche à calculer : I = 1 0 f(x)dx comme x 1 x laisse invariante la mesure dx, on a aussi : I = (f(x) + f(1 x))dx On peut donc calculer I de la façon suivante. On tire n variables aléatoires U 1,...U n suivant une loi uniforme sur [0, 1] et indépendantes, et on approxime I par : I 2n = 1 2n (f(u 1) + f(1 U 1 ) + + f(u n ) + f(1 U n ) Lorsqu'on compare cette méthode à une méthode de Monte-Carlo directe à l'issue de 2n tirages, on peut montrer que si la fonction f est continue monotone la qualité de l'approximation s'améliore. 2.4 Application En nance nous sommes amenés à calculer des quantités du type : C = E[(e βg K) + ] Où G est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Nous expliquerons dans la troisième partie à quoi correspond cette quantité. Nous allons calculer cette quantité C pour β = 1 et k = 1 avec la méthode de Monte-Carlo expliquée au paragraphe 1 puis avec les trois méthodes de réduction de variance. Méthode Monte-Carlo sans réduction de variance : De la même manière que dans la première partie on estime la quantité C en 9

10 Figure 3 Estimation de C par Monte-Carlo Estimation MC Intervalle de confiance Valeur exacte Prix e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Simulations fonction du nombre de simulation, on calcule aussi l'intervalle de con ance de niveau 0.95 ainsi que la vraie valeur de C qui se calcule facilement. Nous avons tracé les résultats obtenus sur la gure 3. Méthode Monte-Carlo avec échantillonnage préférentiel : Nous allons maintenant recalculer C mais cette fois avec la méthode de l'échantillonnage préférentiel. Nous écrivons C sous la forme d'une intégrale et on multiplie et divise par β x : Z (eβx K)+ dx 2 C= β x e x /2 β x 2π R Nous faisons le changement de variable x = y sur R+ et x = y sur R, on peut alors écrire C sous la forme : Z (eβ y K)+ + (e β y K)+ y/2 dy e C= 2 2πy R+ Nous remarquons alors que f (x) = e y/2 /2 est la densité d'une variable aléatoire Y exponentielle de paramètre 1/2. Nous pouvons alors écrire : C=E (eβ Y K)+ + (e β 2πY Y K)+ La gure 4 nous donne les résultats obtenu, a n de bien visualiser l'intérêt des méthodes de réduction de variance nous avons également tracé sur le graphique l'intervalle de con ance obtenu avec une méthode de Monte-Carlo sans réduction de variance. Nous voyons tout l'intérêt de la méthode de réduction de variance, la convergence est beaucoup plus rapide et l'intervalle de con ance obtenus est signi cativement réduit. Méthode Monte-Carlo avec variable de contrôle On peut noter C P = E[eβG K] = eβ 10 2 /2 K

11 Figure 4 Estimation de C par MC avec échantillonnage préférentiel 0.90 Estimation MC échantillonage pref IC MC classique IC MC avec échantillonage pref Valeur exacte Prix e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Simulations Où P = E[K (eβg )+ ] Nous écrivons alors C = eβ 2 /2 K +P Puis nous calculons C à l'aide de la méthode Monte-carlo ( gure 5 ) comparée Figure 5 Prix du call, Monte-Carlo avec variables de contrôle Estimation MC variable de controle IC MC variable de controle IC MC classique Valeur exacte Prix e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Simulations à la méthode classique, nous voyons bien que notre vitesse de convergence est nettement améliorée. Méthode Monte-Carlo avec variables antithétiques On se sert du fait que G suit la même loi que -G on peut donc écrire 1 C = (E[ eβg K)+ ] + E[(eβ( G) K + ] 2 En simulant de cette manière, on obtient la gure 6 La vitesse de convergence est légèrement améliorée, mais ici cette méthode est moins e cace que les deux précédentes. A n de comparer les trois méthodes de réduction de variance nous avons calculé 1000 fois C avec les trois 11

12 Figure 6 Prix du call, Monte-Carlo et variables antithétiques Prix Estimation MC variables antithétiques IC MC classique IC MC variables antithétiques Valeur exacte 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Simulations méthodes de réduction de variance ainsi qu'avec la méthode de Monte-Carlo sans réduction de variance. Avec les résultats obtenu nous avons tracé la gure 7. Nous voyons sur ce boxplot l'intérêt d'utiliser une méthode de réduction de 0.96 Figure 7 Boxplot comparatif des di érentes méthodes Sans réduction de variance Variable de contrôle Variables antithétiques Echantillonage préférentiel variance, en e et en utilisant l'une de ces méthodes nos calculs de C sont beaucoup plus précis. 12

13 3 Application : Calcul du prix d'une option en - nance 3.1 Les options Une option est un titre nancier donnant à son détenteur le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre (selon qu'il s'agit d'une option de vente ou d'achat) une certaine quantité d'un actif nancier à une date convenue et à un prix xé d'avance. La description de l'option se fait à partir de cinq éléments qui sont : La nature de l'option : on parlera souvent de call pour les options d'achat et de put pour les options de vente. L'actif sous-jacent sur lequel porte l'option : il peut s'agir d'une action, d'une obligation, d'une devise... Le montant, c'est à dire la quantité d'actif sous-jacent à acheter ou vendre. L'échéance ou date d'expiration, qui limite la durée de vie de l'option : si l'option peut être exercée à n'importe quel instant on parle d'option américaine, si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance on parle d'option européenne. Le prix d'exercice qui est le prix, xé à l'avance auquel se fait la transactions. L'option à un prix, appelé prime. Notre problème est de déterminer le prix de cette option. C'est le problème du pricing. Examinons, pour xer les idées, le cas d'un call européen, d'échéance T, sur une action dont le cours à la date t est donné par S t. Soit K le prix d'exercice. Il est clair que si, à l'échéance T, le prix K est supérieur au cours S T, le détenteur de l'option n'a pas intérêt à exercer. En revanche si S T > K, l'exercice de l'option permet à son détenteur de faire un prot égal à S T K en achetant l'action au prix K et en la revendant sur le marché au cours S T. Nous voyons qu'à l'échéance, la valeur du call est donnée par la quantité : (S T K) + Ici nous nous intéressons à trouver le montant de la prime que l'acheteur du call doit payer, autrement dit il s'agit de déterminer à l'instant t = 0 une richesse (S T K) + disponible à l'instant T. C'est le problème du pricing. 3.2 Pricing d'une option. On veut déterminer le prix d'un call dont le cours de l'actif sous-jacent est déterminé par S T = S0e (r 1 2 σ2 )T +σ T G 13

14 où S0 = 100 est la valeur de l'actif à la date t = 0, σ est la volatilité de l'actif. la volatilité est une mesure de l'ampleur des variations du cours d'un actif nancier. r est le taux d'intérêt non risqué, T la date d'échéance de l'option et G une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. On veut donc calculer : C = e rt E[(S0e (r 1 2 σ2 )T +σ T G K)+ ] Avec S0, K, r, σ et T xé. Nous avons écrit une fonction qui prend S0, K, r, σ et T en paramètres et retourne le prix du call. An d'améliorer la vitesse de convergence nous avons utiliser la méthode de l'échantillonnage préférentiel vue dans la première partie. Nous avons pris S0 = 100, K = 120, r = 0.02, σ = 0.2 et T = 10. Nous avons tracé sur la gure 8 le prix du call en fonction du nombre de simulations. Ici nous pouvons comparer avec la valeur exacte Figure 8 Prix Call avec S0 = 100, K = 120, r = 0.02, T = 10 Prix Estimation MC échantillonage pref IC MC avec échantillonage pref Valeur exacte 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Simulations qui s'obtient facilement. 3.3 Option panier Une option panier est une option ou l'actif sous-jacent est composé de plusieurs actifs risqué( action, option, devise) chacun uctuant en fonction d'une volatilité propre. Le cours de notre actif sous-jacent s'écrit dans ce cas S t = n i=1 et le prix de l'option panier s'écrit C = e rt E[ S0 i e rt 1 2 σ2 i T +σ i T Gi n S0 i e rt 1 2 σ2 i T +σ i T Gi K] i=1 14

15 En modi ant légèrement la fonction PrixCallEchPref on obtient une fonction qui nous donnera le prix de notre option panier. Supposons qu'on à un panier de 5 actifs. Acitf 1 : S01 = 100, σ1 = 0.5. Acitf 1 : S02 = 200, σ2 = 0.2. Acitf 1 : S03 = 150, σ3 = 0.1. Acitf 1 : S04 = 300, σ4 = 1. Acitf 1 : S05 = 500, σ5 = 0.8. Supposons que K = 1500, nous avons tracé le prix de l'option panier en fonction du nombre de simulation sur la gure 9. Dans le cas d'une option 240 Figure 9 Prix option panier Prix 230 Estimation MC IC Simulations panier la méthode Monte-Carlo prend tout son sens, en e et il n'existe pas de formule numérique pour le calcul exact du prix de l'option et une méthode numérique sont impossible à mettre en uvre. Dans cet exemple, la méthode de Monte-Carlo montre toute sa puissance et sa souplesse d'utilisation. Elle est quasiment aussi facile à programmer que la méthode dans le cas d'une seule action, et demande seulement un peu plus de temps de calcul et d'espace mémoire. 15

16 4 Annexe 4.1 Code R : volume de la sphère #TER #15/04/2013 # Exemple : Calcul du volume de la boule dans R6 N=10000; X=rep(1,N); Y=matrix(runif(6*N), ncol=n ); Y=Y*Y; Z=sqrt(colSums(Y)); X[Z>1]=0; Xb=cumsum(X)/(1:N); Ec=64*Xb; pdf("v1.pdf"); plot(ec, ylim=c( , ), col='red', xlab='nombre de simulations',ylab='v abline(h= ); legend('topright', c('volume de la boule', 'Estimation par Monte-Carlo'), col=c('blac dev.off(); #0.1.5: Calcul de l'intervalle de confiance. Nmoinsun=(1:N)-1; Nmoinsun[1]=1; V=rep(NA,N) V=64^2*cumsum((X-Xb)^2)/Nmoinsun; Iinf=(Ec-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V/(1:N))); Isup=(Ec+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V/(1:N))); pdf("v2.pdf"); plot(ec, ylim=c( , ), col='red', xlab='nombre de simulations',ylab='v abline(h= ); points(iinf, col='grey', pch='.'); points(isup, col='grey', pch='.'); legend('topright', c('volume de la boule', 'Estimation par Monte-Carlo', 'Intervalle dev.off(); 16

17 4.2 Code R : volume de la sphère avec échantillonnage préférentiel n_simul=10000; sigma=0.5; #Simulation d'un loi normale centré de variance sigma sur R6 : Y=matrix(rnorm(6*n_simul,0,sigma), ncol=n_simul); #Simulation de g(x)=1{ Y <1} G=rep(1,n_simul); Y2=Y*Y temp=colsums(y2)^2; G[temp>1]=0; #Simulation de f(y) : loi uniforme (-1,1) sur R6 X=matrix(1,nrow=6, ncol=n_simul); X[Y>1]=0; X[Y<(-1)]=0; F=rep(1,n_simul); temp=colsums(x); F[temp<6]=0; #Calculer Ft de Y: U2=colSums(Y2); Ft=exp(-U/2*sigma^2)/((2*pi*sigma^2)^3) #Caclul de la variable aléatoire cherché: Z=(G*F)/Ft #Monte-Carlo MC=cumsum(Z)/(1:n_simul); x11(); plot(mc, col='red', xlab='nombre de simulations',ylab='volume',,type='l') abline(h= ); 17

18 4.3 Code R : calcul des diérents calls dans la premiere partie #EXEMPLE CALL REDUCTION DE VARIANCE: #Simulation d'un call sans réduction de variance : N=100000; G=rnorm(N,0,1); #Simulation de N call: X0=exp(G)-1; C0=X0; C0[X0<0]=0; #Estimation du prix du call: Pc0=cumsum(C0)/(1:N) #Calcul de la variance: V0=rep(0,N) V0=cumsum((C0-Pc0)^2)/((1:N)-1); #Intervalle de Confiance de niveau 0.95: Iinf0=Pc0-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V0/(1:N)); Isup0=Pc0+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V0/(1:N)); #Résultat graphique: pdf("callbrut.pdf", height=8); plot(pc0, ylim=c( , ), type='l', col='red', xlab='simulations', ylab='p points(iinf0, col='grey', type='l'); points(isup0, col='grey', type='l'); legend('topright', c( 'Estimation MC', 'Intervalle de confiance', 'Valeur exacte'), c abline(h= , col='black'); dev.off() # Simulation d'un call par Monte-Carlo avec méthode Variable de controle. # On utilise: C=exp(beta/2)+P-K 18

19 # Simulation de N Put : X1=1-exp(G); P1=X1; P1[X1<0]=0; #Simulation de N Call a l'aide de la formule : C1=exp(1/2)+P1-1; #Estimation du prix du Call : Pc1=cumsum(C1)/(1:N); #Calcul de la variance : V1=rep(0,N) V1=cumsum((C1-Pc1)^2)/((1:N)-1); #Intervalle de Confiance de niveau 0.95: Iinf1=Pc1-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V1/(1:N)); Isup1=Pc1+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V1/(1:N)); pdf("callvarcont.pdf", height=8); plot(pc1, ylim=c( , ), type='l', col='red', xlab='simulations', ylab='p points(iinf0, col='grey', type='s'); points(isup0, col='grey', type='s'); points(iinf1, col='blue', type='s'); points(isup1, col='blue', type='s'); legend('topright', c( 'Estimation MC variable de controle', 'IC MC variable de contro abline(h= , col='black'); dev.off(); # Simulation d'un putt par Monte-Carlo avec méthode variables antithétiques. #Simulation du call: Xa=(exp(G)-1); Xb=(exp(-G)-1); Ca=Xa; Ca[Xa<0]=0; Cb=Xb; Cb[Xb<0]=0; C2=(Ca+Cb)/2 #Prix du call par Monte-Carlo: 19

20 Pc2=cumsum(C2)/(1:N); #Calcul de la variance : V2=rep(0,N) V2=cumsum((C2-Pc2)^2)/((1:N)-1); #Intervalle de Confiance de niveau 0.95: Iinf2=Pc2-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V2/(1:N)); Isup2=Pc2+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V2/(1:N)); pdf("callvaranti.pdf", height=8); plot(pc2, ylim=c( , ), type='l', col='red', xlab='simulations', ylab='p points(iinf0, col='grey', type='s'); points(isup0, col='grey', type='s'); points(iinf2, col='blue', type='s'); points(isup2, col='blue', type='s'); legend('topright', c( 'Estimation MC variables antithétiques', 'IC MC classique', 'IC abline(h= , col='black'); dev.off(); #Simulation d'un call avec echantillonage pref: Y=rexp(N,1/2); Xc=exp(sqrt(Y))-1; Xd=exp(-sqrt(Y))-1; Cc=Xc; Cc[Xc<0]=0; Cd=Xd; Cd[Xd<0]=0; C3=(Cc+Cd)/(sqrt(2*pi*Y)); #Prix du call par Monte-Carlo: Pc3=cumsum(C3)/(1:N); #Calcul de la variance : V3=rep(0,N) V3=cumsum((C3-Pc3)^2)/((1:N)-1); #Intervalle de Confiance de niveau 0.95: Iinf3=Pc3-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V3/(1:N)); Isup3=Pc3+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V3/(1:N)); 20

21 pdf("callechpref.pdf", height=5); plot(pc3, ylim=c( , ), type='l', col='red', xlab='simulations', ylab='p points(iinf0, col='grey', type='s'); points(isup0, col='grey', type='s'); points(iinf3, col='blue', type='s'); points(isup3, col='blue', type='s'); legend('topright', c( 'Estimation MC échantillonage pref', 'IC MC classique', 'IC MC abline(h= , col='black'); dev.off(); # #Construction des boxplot pour comparer les méthodes. N=10000; nb_simul=1000; Pc0=rep(NA, nb_simul); #Sans réduction de variance for( i in 1:nb_simul){ G=rnorm(N,0,1); #Simulation de N call: X0=exp(G)-1; C0=X0; C0[X0<0]=0; #Estimation du prix du call: Pc0[i]=sum(C0)/N; } Pc1=rep(NA, nb_simul); #Avec variable de controle for(i in 1:nb_simul){ G=rnorm(N,0,1); X1=1-exp(G); P1=X1; P1[X1<0]=0; C1=exp(1/2)+P1-1; Pc1[i]=sum(C1)/N; } Pc2=rep(NA, nb_simul); #Variables antithétiques for(i in 1:nb_simul){ G=rnorm(N,0,1); 21

22 Xa=(exp(G)-1); Xb=(exp(-G)-1); Ca=Xa; Ca[Xa<0]=0; Cb=Xb; Cb[Xb<0]=0; C2=(Ca+Cb)/2 Pc2[i]=sum(C2)/N; } Pc3=rep(NA, nb_simul); # échantillonage préferentiel for(i in 1:nb_simul){ G=rnorm(N,0,1); Y=rexp(N,1/2); Xc=exp(sqrt(Y))-1; Xd=exp(-sqrt(Y))-1; Cc=Xc; Cc[Xc<0]=0; Cd=Xd; Cd[Xd<0]=0; C3=(Cc+Cd)/(sqrt(2*pi*Y)); Pc3[i]=sum(C3)/N; } pdf("boxplot.pdf", height=8); boxplot(pc0, Pc2,Pc3, Pc1,col=c('red','blue','green','yellow')); legend('topright', c('sans réduction de variance', 'Variable de contrôle', 'Variables abline(h= , col='black'); dev.off() 4.4 Code R : Calcul du call européens dans la troisième partie PrixCallEchPref=function(S0, r, sigma, T, K){ #Fonction qui calcule le prix d'un call européen #Elle retourne le graphe du prix trouvé en fonction du nombre de simulation N_simul=10000; Y=rexp(N_simul, 1/2); X=rep(0, N_simul); X1=rep(0, N_simul); X=S0*exp(r*T-(1/2)*sigma^2*T+sigma*sqrt(Y)*sqrt(T))-K; X1=X; X1[X<0]=0; 22

23 Z=rep(0, N_simul); Z1=rep(0, N_simul); Z=S0*exp(r*T-(1/2)*sigma^2*T-sigma*sqrt(Y)*sqrt(T))-K; Z1[Z<0]=0; C=(X1+Z1)/(sqrt(2*pi*Y)); P=cumsum(C)/(1:N_simul); PrixCallEchPref=exp(-r*T)*P; V=rep(0,N_simul ); V=exp(-r*T)^2*cumsum((C-P)^2)/((1:N_simul)-1); Iinf=PrixCallEchPref-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V/(1:N_simul)); Isup=PrixCallEchPref+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V/(1:N_simul)); x11(); plot(prixcallechpref, ylim=c(20,30), type='l', col='yellow', xlab='simulations', ylab points(iinf, col='grey', type='l'); points(isup, col='grey', type='l'); } 4.5 Code R : Calcul du call sur les options paniers #Pricing put sur portefeuille d'option. PrixCalla=function(S0, r, sigma, T, K){ # Fonction qui retourne le prix d'une option lorsque l'actif sous jacent est un porte # S0 un vecteur de la valeurs initiale des sous jacents # r le taux d'intérêt sans risque # sigma un vecteur de volatilité des sous jacents # K le strike N_simul=3*10^5; X=rep(0,N_simul); for(i in 1:N_simul){ G=rnorm(1, 0, 1); X[i]=sum(S0*exp(r*T-(1/2)*sigma^2*T+sigma*sqrt(T)*G))-K; } X1=X; X1[X<0]=0; P=cumsum(X1)/(1:N_simul); PrixCalla=exp(-r*T)*P; 23

24 V=rep(0,N_simul ); V=exp(-r*T)^2*cumsum((X1-P)^2)/((1:N_simul)-1); Iinf=PrixCalla-qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V/(1:N_simul)); Isup=PrixCalla+qnorm(0.975, mean = 0, sd = 1)*sqrt(V/(1:N_simul)); pdf("portefeuille.pdf", height=8); plot(prixcalla, type='l',ylim=c(200,240), col='red', xlab='simulations', ylab='prix') points(iinf, col='grey', type='l'); points(isup, col='grey', type='l'); legend('topright', c('estimation MC', 'IC'), col=c('red', 'grey'), pch=15); return(prixcalla) } S0=c(100,200,100,200,500); r=0.02; sigma=c(0.3,0.2,0.1,0.4,0.1); T=10; K=1500; A=PrixCalla(S0,r,sigma,T,K); 24

25 Références [1] Hasard nombres aléatoires et méthode Monte Carlo. [2] Introduction au calcul stochastique appliqué à la nance. [3] Méthodes de Monte-Carlo pour les équations de transport et de diusion. 25

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale.

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Aix Marseille Université. Algorithmes Stochastiques. M MIS. Fabienne Castell... Chapitre : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Le but de ce chapitre

Plus en détail

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009 Projets scilab L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 2 Avril 29 REMARQUE: quelques résultats importants concernant le théorème central limite et les intervalles de confiance sont rappelés dans la

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

Elma m l a ki i Haj a a j r a Alla a Tao a uf u i f q B ur u kkad a i i Sal a ma m n a e n e Be B n e a n b a d b en e b n i b i Il I ham

Elma m l a ki i Haj a a j r a Alla a Tao a uf u i f q B ur u kkad a i i Sal a ma m n a e n e Be B n e a n b a d b en e b n i b i Il I ham Exposé: la technique de simulation MONTE-CARLO Présenté par : Elmalki Hajar Bourkkadi Salmane Alla Taoufiq Benabdenbi Ilham Encadré par : Prof. Mohamed El Merouani Le plan Introduction Définition Approche

Plus en détail

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année)

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Marches aléatoires et marchés financiers Groupe 4 tuteur : J. Bouttier 8 février 2010 Résumé Depuis la thèse de Bachelier, les marchés nanciers ont constitué un

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Méthode de Monte-Carlo. Céline Baranger - Julien Mathiaud

Méthode de Monte-Carlo. Céline Baranger - Julien Mathiaud Méthode de Monte-Carlo Céline Baranger - Julien Mathiaud 2012/2013 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Rappel sur les notions utiles de probabilités 7 2.1 Variables aléatoires et probabilité......................

Plus en détail

OPTION NÉGOCIABLE. Définition. Facteurs influençant la valeur des options. Claire Peltier EDC 2008

OPTION NÉGOCIABLE. Définition. Facteurs influençant la valeur des options. Claire Peltier EDC 2008 OPTION NÉGOCIABLE Définition Une option d'achat - ou call - est un titre financier conditionnel qui donne le droit, mais non l'obligation, d'acheter un actif détermineé. appelé l'actif support (ou sous-jacent),

Plus en détail

Dérivés Financiers Evaluation des options sur action

Dérivés Financiers Evaluation des options sur action Dérivés Financiers Evaluation des options sur action Owen Williams Grenoble Ecole de Management > 2 Définitions : options sur actions Option : un contrat négociable donnant le droit d acheter ou vendre

Plus en détail

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies 0.1. LES GRECQUES 1 Simulations des Grecques : iavin vs Différences finies Christophe Chorro Ce petit document vise à illustrer de manière numérique les techniques présentées lors du mini cours sur le

Plus en détail

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2 Sommaire Sommaire... 1 Introduction... 2 1 Trois différentes techniques de pricing... 3 1.1 Le modèle de Cox Ross Rubinstein... 3 1.2 Le modèle de Black & Scholes... 8 1.3 Méthode de Monte Carlo.... 1

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 13. Théorie des options II Daniel Andrei Semestre de printemps 2011 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2011 1 / 34 Plan I Stratégie de réplication dynamique

Plus en détail

Prix d options européennes

Prix d options européennes Page n 1. Prix d options européennes Une société française tient sa comptabilité en euros et signe un contrat avec une entreprise américaine qu elle devra payer en dollars à la livraison. Entre aujourd

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Formation ESSEC Gestion de patrimoine

Formation ESSEC Gestion de patrimoine Formation ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire «Savoir vendre les nouvelles classes d actifs financiers» Les options Plan Les options standards (options de 1 ère génération) Les produits de base: calls

Plus en détail

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Evaluation et couverture de produits dérivés» Etudiants : Colonna Andrea Pricing d'un Call Lookback par Monte Carlo et Ponts Browniens Rapport de Projet

Plus en détail

Valorisation d es des options Novembre 2007

Valorisation d es des options Novembre 2007 Valorisation des options Novembre 2007 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère

Plus en détail

Cantaluppi & Hug Software and Consulting

Cantaluppi & Hug Software and Consulting Options - Comptabilisation Nous allons examiner dans ce document la comptabilisation "state-of-the-art" des options, c'est-à-dire des calls et puts. Nous donnons tout d'abord pour rappel la définition

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs

Plus en détail

Problème: si les tableaux que l'on trie sont déjà à peu près triés, l'algorithme n'est pas efficace.

Problème: si les tableaux que l'on trie sont déjà à peu près triés, l'algorithme n'est pas efficace. Traonmilin Yann traonmil@enst.fr MOD Algorithmique Probabiliste 1. Deux exemples 1.1. Quicksort randomisé. Dans l'algorithme de tri classique Quicksort, le pivot est choisi au début du tableau puis on

Plus en détail

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Pricing d options Monte Carlo dans le modèle Black-Scholes» Etudiant : / Partie A : Prix de Call et Put Européens Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Stratégies sur options et Pricer d'options

Stratégies sur options et Pricer d'options Stratégies sur options et Pricer d'options Définition Une option (ou Warrant) est un contrat qui confère à son porteur le droit d acheter ou de vendre un sous-jacent (action, obligation, indice synthétique,

Plus en détail

Est-il possible de mesurer le risque des marchés nanciers?

Est-il possible de mesurer le risque des marchés nanciers? Est-il possible de mesurer le risque des marchés nanciers? Pierre Vallois Institut de Mathématiques Élie Cartan Nancy Université Henri Poincaré Colloque : Les mathématiques dans la société 20 novembre

Plus en détail

Hedging delta et gamma neutre d un option digitale

Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Daniel Herlemont 1 Introduction L objectif de ce projet est d examiner la couverture delta-gamma neutre d un portefeuille d options digitales Asset-Or-Nothing

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Analyse des données - Méthodes explicatives (STA102) Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Giorgio Russolillo giorgio.russolillo@cnam.fr Infos et support du cours Slide

Plus en détail

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 Contents Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 1 Systèmes d'équations non linéaires On considère un intervalle I R (borné ou non)

Plus en détail

Méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options

Méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options Méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 14 février 2013 Nous allons tester les différentes méthodes probabilistes vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Mathématiques Financières

Mathématiques Financières Mathématiques Financières 3 ème partie Marchés financiers en temps discret & instruments financiers dérivés Université de Picardie Jules Verne Amiens Par Jean-Paul FELIX Cours du vendredi 19 février 2010-1

Plus en détail

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins

Plus en détail

Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Arnaud Triay Table des matières 1 Introduction Position du problème.1 Pricing des options........................................... Formalisme..............................................

Plus en détail

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Mathématiques Générales Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Exercice 1. Vente de voiture Mathieu décide de s acheter une voiture neuve qui coûte

Plus en détail

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire Auriault Plan de la présentation Introduction. Le problème des options 2. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 3. Les

Plus en détail

3- Valorisation d'options

3- Valorisation d'options 3- Valorisation d'options Valorisation des options classiques : options d'achat (call) options de vente (put) Une pierre angulaire de la finance moderne : décisions d'investissement (options réelles) conditions

Plus en détail

5 Méthodes algorithmiques

5 Méthodes algorithmiques Cours 5 5 Méthodes algorithmiques Le calcul effectif des lois a posteriori peut s avérer extrêmement difficile. En particulier, la prédictive nécessite des calculs d intégrales parfois multiples qui peuvent

Plus en détail

SPREAD (CYLINDRE) CONSTRUCTION DE DEUX OPTIONS

SPREAD (CYLINDRE) CONSTRUCTION DE DEUX OPTIONS Dans un contrat d'option, le détenteur acquiert un droit, l'émetteur contracte une obligation. Un prix doit être payé par le détenteur à l'émetteur : c'est la prime (premium). LE CALCUL DU MONTANT DE LA

Plus en détail

Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options

Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options 1 Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options Semaine «éléments finis», ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME) 2 Plan Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes

Plus en détail

Calcul Stochastique et Applications Financières

Calcul Stochastique et Applications Financières 0 Calcul Stochastique et Applications Financières Aurélia Istratii Luis Macavilca Taylan Kunal M I.E.F. SOMMAIRE I. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN II. III. INTRODUCTION AUX METHODES DE MONTE CARLO EQUATION

Plus en détail

NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION

NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION 1/ RESUME DE L ANALYSE Cette étude a pour objectif de modéliser l écart entre deux indices d inflation afin d appréhender le risque à très long terme qui

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. Risque de crédit. Vente de protection d'une rme sur elle-même. Sébastien LEROUX Antony Mc BRIDE Rémi PARIS

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. Risque de crédit. Vente de protection d'une rme sur elle-même. Sébastien LEROUX Antony Mc BRIDE Rémi PARIS ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES Risque de crédit Vente de protection d'une rme sur elle-même Sébastien LEROUX Antony Mc BRIDE Rémi PARIS March 7, 2007 Introduction Généralement, la vente ou l'achat

Plus en détail

C3 : Manipulations statistiques

C3 : Manipulations statistiques C3 : Manipulations statistiques Dorat Rémi 1- Génération de valeurs aléatoires p 2 2- Statistiques descriptives p 3 3- Tests statistiques p 8 4- Régression linéaire p 8 Manipulations statistiques 1 1-

Plus en détail

Fiche Didactique : Les Options

Fiche Didactique : Les Options Fiche Didactique : Les Options Introduction Le processus de négociation des options semble souvent mystérieux et complexe. Dans cette section, nous tenterons de démystifier le sujet afin que vous compreniez

Plus en détail

Delta couverture de produits dérivés en Finance. ESILV Ingénierie Financière S8 Cours du 24 avril 2012 Partie 2 Marie Bernhart

Delta couverture de produits dérivés en Finance. ESILV Ingénierie Financière S8 Cours du 24 avril 2012 Partie 2 Marie Bernhart Delta couverture de produits dérivés en Finance ESILV Ingénierie Financière S8 Cours du 24 avril 2012 Partie 2 Marie Bernhart Plan de la présentation Couverture de produits dérivés en Finance Principe

Plus en détail

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Prise en Compte de l Incertitude dans l Évaluation des Technologies de

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

1 Générateurs à Congruences Linéaires (GCL)

1 Générateurs à Congruences Linéaires (GCL) TP 4 : Générateurs pseudo-aléatoires et applications Un générateur de nombres pseudo-aléatoires, pseudorandom number generator (PRNG) en anglais, est un algorithme qui génère une séquence de nombres présentant

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option

Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option Emma Alfonsi, Xavier Milhaud - M2R SAF Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option Sous la direction de M. Pierre Alain Patard ISFA - Mars 2008 . 1 Table des matières 1 Introduction 4 2 Un

Plus en détail

La méthode Monte-Carlo. DeriveXperts. 19 mai 2011

La méthode Monte-Carlo. DeriveXperts. 19 mai 2011 19 mai 2011 Outline 1 Introduction Définition Générale Génération de nombre aléatoires Domaines d application 2 Cadre d application Méthodologie générale Remarques Utilisation pratique Introduction Outline

Plus en détail

Andriot Alexandre Cong Rihai Da Rocha Fernandes Jean-Daniel Nirascou Pierre. Projet : Pricer C++

Andriot Alexandre Cong Rihai Da Rocha Fernandes Jean-Daniel Nirascou Pierre. Projet : Pricer C++ Andriot Alexandre Cong Rihai Da Rocha Fernandes Jean-Daniel Nirascou Pierre Projet : Pricer C++ Andriot Alexandre - Cong Rihai - Da Rocha Fernandes Jean-Daniel - Nirascou Pierre Année 2012/2013 I / Déroulement

Plus en détail

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM Applications des mathématiques Equations Résolution de l'équation f(x) = 0 par diverses méthodes Version pour Mathematica Edition 2014/2015 Marcel

Plus en détail

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page /5 Terminale STI2D - Bac 203 - Polynésie - Corrigé. TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page 2/5 Exercice QCM. Le carré de

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes On peut calculer les rentabilités de différentes façons, sous différentes hypothèses. Cette note n a d autre prétention que

Plus en détail

SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES

SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES Sommaire 1. Suites géométriques... 2 2. Exercice... 6 3. Application des suites géométriques aux mathématiques financières... 7 4. Vocabulaire... 7 5. Exercices :... 8 6.

Plus en détail

9. Équations différentielles

9. Équations différentielles 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond

Plus en détail

NOTIONS DE PROBABILITÉS

NOTIONS DE PROBABILITÉS NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Suites numériques 2. n=0

Suites numériques 2. n=0 Suites numériques 1 Somme des termes d une suite Dans les applications, il est souvent nécessaire de calculer la somme de quelques premiers termes d une suite (ou même de tous les termes, mais on étudiera

Plus en détail

TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes

TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Master Informatique 1ere année (M1) Année 2010-2011 TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Résolution du problème d'aectation généralisé par relaxation lagrangienne 1 Introduction Le

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

Retournement Temporel

Retournement Temporel Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 12. Théorie des options I Daniel Andrei Semestre de printemps 211 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 211 1 / 43 Plan I Introduction II Comprendre les options

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Les options : Lien entre les paramètres de pricing et les grecs

Les options : Lien entre les paramètres de pricing et les grecs Cette page est soutenue par ALGOFI Cabinet de conseil, d ingénierie financière et dépositaire de systèmes d information financiers. Par Ingefi, le Pôle Métier Ingénierie Financière d Algofi. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Examen d accès - 28 Septembre 2012

Examen d accès - 28 Septembre 2012 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses

Plus en détail

Rappel mathématique Germain Belzile

Rappel mathématique Germain Belzile Rappel mathématique Germain Belzile Note : à chaque fois qu il est question de taux dans ce texte, il sera exprimé en décimales et non pas en pourcentage. Par exemple, 2 % sera exprimé comme 0,02. 1) Les

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS LOGIQUE COMBINATOIRE. SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES Leçon 07

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS LOGIQUE COMBINATOIRE. SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES Leçon 07 DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS 43 SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES Leçon 7 Le rôle de la logique combinatoire est de faciliter la simplification des circuits électriques. La simplification

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

La gestion du risque de change

La gestion du risque de change Chapitre 16 La gestion du risque de change 1 Exercice 16.03 Risque de change Option de change de l importateurl Un importateur français doit régler dans 6 mois un achat libellé en dollars d'un montant

Plus en détail

Extrait du Bulletin Officiel des Finances Publiques-Impôts DIRECTION GÉNÉRALE DES FINANCES PUBLIQUES

Extrait du Bulletin Officiel des Finances Publiques-Impôts DIRECTION GÉNÉRALE DES FINANCES PUBLIQUES Extrait du Bulletin Officiel des Finances Publiques-Impôts DIRECTION GÉNÉRALE DES FINANCES PUBLIQUES Identifiant juridique : BOI-BIC-PDSTK-10-20-70-50-20120912 DGFIP BIC - Produits et stocks - Opérations

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan

Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan Chapitre 15 Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d option Modèle

Plus en détail

Les options classiques

Les options classiques Les options classiques Les options classiques Options sur futures court terme et long terme Mécanismes et Utilisations Valorisation Sensibilités Options sur marché OTC CAP/FLOOR Swaptions Options sur obligations

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Méthodes numériques pour le pricing d options

Méthodes numériques pour le pricing d options Méthodes numériques pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 6 février 013 Nous allons tester les différentes méthodes de différence finies vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Plan de la présentation. La simulation de Monte Carlo des processus de diffusion. La simulation de Monte Carlo. La simulation de Monte Carlo

Plan de la présentation. La simulation de Monte Carlo des processus de diffusion. La simulation de Monte Carlo. La simulation de Monte Carlo La simulation de Monte Carlo des processus de diffusion Les méthodes stochastiques dans les sciences de la gestion 6-640-93 Geneviève Gauthier Plan de la présentation La simulation de Monte Carlo La simulation

Plus en détail