PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES

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1 Université de Caen Basse-Normandie U.F.R. de Sciences Economiques et de Gestion Année universitaire LICENCE ECONOMIE ET GESTION Semestre 3 L2 PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES (18 heures) Hélène Ferrer

2 Exercices sur le Chapitre 1 : PROBABILITES ELEMENTAIRES Exercice 1 : Soit un ensemble. A et B désignent deux sous-ensembles de. Donner une interprétation algébrique des événements suivants, dont on fera les diagrammes de Venn : a) A est réalisé mais pas B. b) A ou B se réalisent mais pas en même temps. c) A ou non B se réalisent. d) ni A ni B ne se réalisent. Exercice 2 : Soit A, B et C désignent trois sous-ensembles de. Montrer les égalités suivantes : a) b) c) d) e) Exercice 3 : Soient A et B deux événements de l'ensemble fondamental, tels que : P(A)=1/4, P(B) =1/3 et P(A B)=23/60. a) Calculer les probabilités suivantes : a) b) c) d) e) b) Les événements A et B sont-ils incompatibles? indépendants? Exercice 4 : A la sortie d une chaine de fabrication, les produits sont susceptibles de présenter deux défauts. Un très grand nombre d observations a permis d établir que : - La proportion de produits fabriqués ayant le défaut A est de 5% ; - La proportion de produits fabriqués ayant le défaut B est de 3% ; - La proportion de produits fabriqués ayant les deux défauts est de 1% Déterminer la probabilité qu un produit présente : a) Le défaut A ou le défaut B ; b) Le défaut A seulement ; c) Aucun défaut. 2

3 Exercice 5 : On suppose que dans un restaurant universitaire on propose deux desserts à chaque repas. La probabilité que l un des deux soit un yaourt est de 40%, un fruit 80%. La probabilité que les deux soient un yaourt et un fruit est de 30%. Calculer la probabilité que l on propose : a) Un yaourt et pas de fruit ; b) Un fruit et pas de yaourt ; c) Ni fruit ni yaourt. Exercice 6 : Un sondage a montré qu une personne, prise au hasard, a une probabilité 1/8 de posséder un ordinateur personnel et une probabilité 1/25 de porter des lunettes. Si ces deux éventualités sont indépendantes, combien environ doit-on s attendre à trouver de porteurs de lunettes possesseurs d un ordinateur personnel dans un échantillon de 800 personnes prises au hasard? Exercice 7 : Un libraire reçoit un carton de 50 exemplaires d un livre dont 3 sont dédicacés par l auteur. On tire au hasard 10 livres du carton. Déterminer la probabilité des événements : a) A : «On obtient les 3 livres dédicacés» ; b) B : «On obtient un seul livre dédicacé» ; c) C : «On obtient au moins un livre dédicacé». Exercice 8 : Dans une entreprise, on compte dans une population 45% d hommes et 55% de femmes. Un homme sur trois est syndiqué et une femme sur cinq est syndiquée. Quelle est la probabilité qu une personne syndiquée soit une femme? Exercice 9 : La production d un bien est assurée par trois usines U 1, U 2 et U 3 qui fabriquent respectivement 30%, 30% et 40% du total. Les proportions de biens produits défectueux sont respectivement 4%, 3% et 2%. Quelles sont les probabilités qu un bien choisi au hasard et dont on constate qu il est défectueux provienne des usines U 1? U 2? et U 3? Exercice 10 : Dans un lot de pièces fabriquées, il y a 2% de pièces défectueuses. On contrôle les pièces mais le mécanisme est aléatoire : - si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96. - si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98. Déterminer les probabilités des événements suivants : a) il y a une erreur dans le contrôle ; b) la pièce est mauvaise sachant qu elle est acceptée ; c) la pièce est bonne sachant qu elle est refusée. 3

4 Exercice 11 : (décembre 2007) Le responsable des ressources humaines d une P.M.I. a sur microfiche les dossiers de 160 employés. Le dénombrement de ces dossiers en fonction de l âge et du sexe est le suivant : AGE Masculin (M) Féminin (F) Total Moins de 30 ans (A) ans (B) Plus de 40 ans (C) Total a) Si un dossier est sélectionné au hasard, quelle est la probabilité : - que ce soit celui d un employé de moins de 30 ans (A)? - que ce soit celui d un employé de moins de 30 ans (A), sachant que l employé est de sexe féminin (F)? - que ce soit un employé masculin (M) de plus de 40 ans (C )? - que ce soit un employé féminin (F) ayant 40 ans ou moins? - que le dossier représente un employé féminin (F) de plus de 40 ans (C), sachant que le dossier est celui d un employé au-dessus de 40 ans (C)? b) Les 2 événements employé de sexe masculin (M) et Agé de moins de 30 ans (A) sont-ils indépendants? Exercice 12 : Combien de séquences différentes composées de 8 lettres peut-on former avec les lettres du mot : SCIENCES? Exercice 13 : Combien peut-on former d octets (un octet est un mot de 8 éléments binaires appelés bits)? Exercice 14 : Combien de signaux différents, chaque signal étant constitué de 8 pavillons alignés verticalement, peut-on former à partir d'un ensemble de 4 pavillons rouges indiscernables, 3 pavillons blancs indiscernables et un pavillon bleu? Exercice 15 : Un sac contient neuf jetons numérotés de 1 à 9. On tire sans remise trois jetons du sac. Calculer la probabilité : a) D avoir dans l ordre le nombre 235 ; b) D avoir des nombres qui se suivent en ordre décroissant. Exercice 16 : On tire au hasard, simultanément, 4 cartes d'un jeu de 32 cartes. On nomme "main" le résultat du tirage. a) Combien y-a-t-il de mains distinctes possibles? b) Combien y-a-t-il de mains qui contiennent : 1 coeur exactement ; 2 coeurs exactement? c) Combien y-a-t-il de mains qui comportent au moins 1 coeur? d) Quelle est la probabilité qu une main contienne au moins 3 rois? e) Quelle est la probabilité qu une main contienne au plus 2 piques? 4

5 Exercice 17 : Combien y-a-t-il de pièces dans un jeu de dominos, sachant que sur chaque pièce figure deux chiffres entre 0 et 6 (le 0 est représenté par un blanc)? Exercice 18 : Le responsable du service des personnels d'une usine doit constituer, pour assurer une permanence, une équipe composée de 3 surveillants et de 2 ouvriers d'entretien. Il dispose de 4 surveillants et de 5 ouvriers d'entretien. a) De combien de façons différentes peut-il constituer cette équipe? b) Sachant qu'il doit éviter de placer dans la même équipe le surveillant S 1 et l'ouvrier O 1. Entre combien d'équipes différemment constituées peut-il choisir? 5

6 Exercices sur le Chapitre 2 : VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET LOIS DE PROBABILITES DISCRETES Exercice 1 : Un garagiste loue des voitures à la journée. Soit X la variable aléatoire associée au ''nombre de voiture demandées dans une journée'' dont la probabilité est donnée par x i p i p 0 0,15 0,27 0,23 0,16 p 5 0,04 a) Compléter le tableau ci-dessus sachant que p 5 =2p 0. Construire le diagramme en bâtons. b) Définir la fonction de répartition de X. Donner une représentation graphique (courbe cumulative). c) Déterminer la probabilité que le garage ait moins de trois demandes dans la journée. d) Calculer E(X), le nombre moyen de voitures demandées par jour, et l'écarttype σ(x). e) En supposant que le garagiste dispose le matin de trois voitures, déterminer les probabilités des événements suivants : - toutes les voitures ont été louées dans la journée, - le garagiste n'a pu satisfaire toutes les demandes. Exercice 2 (décembre 2005) : Considérons l expérience aléatoire dans laquelle une pièce de monnaie est lancée trois fois. On obtient donc à chaque fois soit «pile», noté P soit «face», noté F. 1) Quel est l ensemble fondamental Ω des résultats possibles? 2) A partir de cet ensemble, on définit la variable aléatoire X associée au nombre total de «pile» obtenu. a) Dresser puis représenter graphiquement la distribution de probabilité de X : tableau dans lequel figurent les différentes valeurs possibles de la variable X ainsi que les probabilités qui y sont associées. b) Définir la fonction de répartition de la variable X et la représenter graphiquement. c) En déduire la probabilité d obtenir moins de deux «pile»? Au plus deux «pile»? Plus de deux «pile»? d) Calculer l espérance mathématique de X, notée E(X) ainsi que son écart-type, noté σ(x). Exercice 3 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes dont les lois de probabilité sont données par : 6

7 x i y j p i 0,1 0,2 0,3 0,4 p j 1/4 1/2 1/4 a) Déterminer l espérance mathématique et la variance de ces deux variables. b) Soient S=X+Y et T=XY. Déterminer les lois de probabilité de ces deux variables et calculer leur espérance et leur variance. Exercice 4 : Soit la loi de probabilité du couple (X, Y) résumée dans le tableau suivant : X / Y Total 0 a b 1/4 5/8 1 1/8 0 c 3/8 Total 3/8 1/8 d 1 a) Déterminer a, b, c et d. b) Déterminer les lois de probabilité des deux variables suivantes : S=X+Y et T=XY. c) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 5 : Cinq fusées sont lancées en même temps, sachant qu une fusée atteint la cible avec une probabilité p=0,1 calculer : a) la probabilité que la cible ne soit pas atteinte ; b) la probabilité que la cible soit atteinte 2 fois ; c) la probabilité que la cible soit atteinte au moins une fois ; d) le nombre de fusées qu il faudrait lancer pour avoir la probabilité 0,99 d'atteindre la cible au moins une fois ; e) la probabilité que la cible soit atteinte 3 fois dans le cas où p=0,9 Exercice 6 : Une assemblée est composée de 4 hommes et 2 femmes. On effectue un tirage exhaustif de 3 personnes pour constituer un comité de 3 représentants. a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire nombre d hommes? Calculer son espérance et sa variance. b) Quelle est la probabilité d avoir un comité avec 2 hommes et une femme? c) Comparer avec les résultats d une variable aléatoire binomiale B(3 ; 2/3). Exercice 7 : Une entreprise contrôle la qualité d adhésion des étiquettes sur des contenants métalliques. La machine effectuant le collage des étiquettes en produit environ 2000 dans la journée. Pour chaque lot de contenants étiquetés, une inspection visuelle est faite en prélevant au hasard un échantillon de 20 contenants et en notant le nombre de contenants mal étiquetés (colle insuffisante, mauvaise couleur, apparence inacceptable, etc.). 7

8 a) La fabrication d une journée comporte habituellement 5% de défectueux. Quelle est la loi de probabilité du nombre de contenants mal étiquetés dans l échantillon? b) A combien de contenants mal étiquetés dans l échantillon, cette entreprise peut-elle s'attendre? c) Quelle est la variance du nombre de contenants mal étiquetés dans l échantillon? En déduire puis interpréter son coefficient de variation. d) Quelle est la probabilité qu'au plus le quart des contenants soit défectueux? e) Quelle est la probabilité qu il y ait moins de quatre contenants mal étiquetés dans l échantillon? f) Quelle est la probabilité pour que le nombre de contenants défectueux soit compris entre sa moyenne plus ou moins un écart type? g) Quelle quantité de contenants défectueux a la plus forte probabilité d être observée dans l échantillon? h) Un lot est refusé s il contient plus de 3 contenants défectueux dans un échantillon de 20 contenants. Quelle est la probabilité de refuser le lot avec ce plan de contrôle? i) Quelle est la loi de probabilité du nombre de contenants non défectueux dans l échantillon? j) Vérifiez que P[X=5]=P[Y=15] où X représente le nombre de contenants défectueux et Y celui du nombre de contenants non défectueux dans l échantillon. k) Quelle doit être la taille minimale de l échantillon à prélever pour que la probabilité qu'aucun contenant défectueux soit supérieure à 50%? Exercice 8 : Une machine a fabriqué 500 articles dont 5 sont défectueux. On tire au hasard 20 articles. On supposera le tirage successivement avec puis sans remise. a) Déterminer la moyenne et la variance du nombre de pièces défectueuses. b) Quelle est la probabilité qu'aucun de ces 20 articles ne soit défectueux? Les résultats vous surprennent-ils? Exercice 9 : A la sortie d'une chaîne de montage, 90% des véhicules testés ne présentent aucun défaut. Quelle est la probabilité pour que dans un lot de 50 véhicules pris au hasard, 5 exactement soient défectueux, en appliquant : a) la distribution binomiale, b) l'approximation de Poisson à la distribution binomiale. Exercice 10 : Dans une entreprise, un contrôle visuel est effectué sur des plaques de laiton. La surface d une plaque est vérifiée pour détecter des taches de cuivre, d oxydation ou autres non-conformités apparentes. Selon les résultats du contrôle effectué par un agent technique du Département Assurance Qualité, il y a, en moyenne, 1,7 non-conformité par plaque. On suppose que le nombre de non-conformités par plaque est distribué selon une loi de Poisson. a) Quelle est la variabilité du nombre de non-conformités? 8

9 b) Quelle est la probabilité d observer : - moins de 2 non-conformités par plaque? - plus d une non-conformité par plaque? - entre 2 et 3 non-conformités par plaque? c) Une plaque est commercialisée si elle ne présente aucune non-conformité. Sur 150 plaques contrôlées, quel serait vraisemblablement le nombre de plaques commercialisables? Exercice 11 : Une compagnie d'assurances a organisé la gestion d'un certain type de risque sur la base d'une distinction géographique. Pour la zone A, on peut considérer que le nombre de sinistres enregistrés au cours d'une semaine suit une loi de Poisson de paramètre égal à 3. Pour la zone B, totalement distincte de la zone A, le nombre hebdomadaire de sinistres obéit à une loi de Poisson de paramètre égal à 2. a) Calculer la probabilité que, pour une semaine donnée, la compagnie ait à indemniser 4 sinistres. b) Le coût moyen de l'indemnisation d'un sinistre étant de l'ordre de 25 M.F., calculer la probabilité que, pour une semaine donnée, la compagnie doit débourser plus de 150 M.F. c) Pour une semaine donnée, calculer la probabilité d'avoir à indemniser le même nombre de sinistres dans chaque zone, ce nombre commun étant inférieur à 3. Exercice 12 : Une société de location de voitures a calculé que la probabilité qu'une de ses voitures louées ait un accident dans une journée est 0,04% (la probabilité qu'une voiture louée ait plus d'un accident par jour est supposée nulle). Les accidents sont supposés indépendants les uns des autres. Chaque jour, 10 4 voitures de la société sont en circulation. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de voitures de location de la société ayant un accident dans une journée. a) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X). b) Montrer que la loi de X peut être approchée par une loi de probabilité discrète. c) A l'aide de cette approximation, calculer la probabilité des événements suivants : - le nombre d'accidents en une journée est égal à 4, - le nombre d'accidents en une journée est au plus égal à 5 sachant qu'il est au moins égal à 2. - A l'aide de cette approximation, déterminer le plus petit entier n tel que P(X > n) 1%. Exercice 13 (janvier 2008) : Un fabricant de petites pièces de précision effectue un contrôle final sur ses pièces avant de les expédier par lots à différents dépositaires. Chaque lot est constitué d environ 1000 pièces et comporte environ 2% de pièces défectueuses. Il prélève au hasard un échantillon de 50 pièces et si au plus 1 pièce est défectueuse alors le lot est accepté. 9

10 a) Quelle est la loi de probabilité exacte du nombre de pièces défectueuses dans chaque échantillon prélevé? Préciser ses paramètres. b) Par quelle loi de probabilité peut-on approcher la loi du nombre de pièces défectueuses dans chaque échantillon prélevé? Justifier votre réponse et préciser ses paramètres. c) En utilisant cette approximation, calculer la probabilité qu un lot soit accepté avec ce plan de contrôle. d) En moyenne, à combien de pièces défectueuses dans l échantillon, ce fabricant peut-il s'attendre? e) Par quelle autre loi de probabilité peut-on encore approcher la loi du nombre de pièces défectueuses dans chaque échantillon prélevé? Justifier votre réponse puis calculer à nouveau la probabilité qu un lot soit accepté avec ce plan de contrôle. 10

11 Exercices sur le Chapitre 3 VARIABLES ALEATOIRES CONTINES ET LOIS DE PROBABILITES CONTINUES Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire continue ayant pour densité de probabilité : a) Calculer le paramètre k pour que f soit une fonction de densité de probabilité. b) Déterminer puis représenter graphiquement la fonction de répartition de X. c) En déduire P(1<X 2). Exercice 2 : Soit f la fonction de densité définie par : Si E(X)=3/5, trouver a et b. Exercice 3 : Vérifier que les fonctions suivantes sont bien des fonctions densités de probabilité. et Déterminer l espérance mathématique de chacune des variables aléatoires. Exercice 4 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle négative de paramètre λ (λ>0), c'est-à-dire de densité : a) Déterminer la fonction de répartition F de X. b) En déduire la probabilité : P(X > 1). c) Calculer E(X) et V(X). d) Déterminer x 0 tel que P[ X x 0 ] = 0,5. 11

12 Exercice 5 : Un composant électronique a une durée de vie qui est distribuée selon une loi exponentielle négative dont la durée de vie moyenne est de 500 heures. a) Quelle est la probabilité pour que le composant ait une durée de vie inférieure à 250 heures? b) Sur 1000 composants, combien auront vraisemblablement une durée de vie supérieure à 345 heures? Exercice 6 : Une machine à remplir des bouteilles est testée. Le contenu des bouteilles qu'elle remplit suit une loi Normale de moyenne 150 centilitres et d'écart-type 2 centilitres. On cherche quelle est la probabilité qu'une bouteille prise au hasard contienne : a) plus de 155 centilitres? b) moins de 148 centilitres? c) entre 148 et 155 centilitres? Exercice 7 : La distribution des notes à un examen suit une loi Normale. 13,7% des étudiants ont eu une note comprise entre 12 et 14. Vous savez d'autre part que 84% des effectifs ont eu une note strictement inférieure à 12. Déterminer les paramètres m et σ de cette loi de distribution. Exercice 8 : L entreprise Caenmétal fabrique de petites tiges métalliques dont la longueur doit se situer dans l intervalle [8cm 12cm]. On admet que la longueur est normalement distribuée N( 10 ; 1²) c est-à-dire que le procédé de fabrication produit des tiges de longueur moyenne m = 10 cm et d écart-type σ = 1 cm. a) Déterminer puis interpréter le coefficient de variation de la longueur des tiges. b) Quelle est la probabilité qu'une tige ait une longueur inférieure à 8cm? Supérieure à 12 cm? Comprise entre 8 et 12 cm? c) Quelle est la probabilité qu'une tige ait une longueur qui diffère de la moyenne par moins de 1 cm? d) Dans 90% des cas, les tiges auront une longueur de moins de combien de centimètres? e) 10% des tiges ont moins de combien de centimètres? f) 15% des tiges ont plus de combien de centimètres? Si une tige est trop longue, elle peut être coupée pour correspondre aux normes mais à un coût supplémentaire de 0,25 la tige. Si la tige est trop petite, elle doit être jetée. g) Sur une fabrication de tiges, combien devront être jetées? h) S il en coûte 500 pour fabriquer 1000 tiges et que le prix de vente unitaire est de 0,90, quel profit l entreprise peut s attendre de faire pour une fabrication de tiges? i) Considérant qu une tige jetée occasionne une perte plus grande qu une tige coupée, on décide d ajuster la machine afin de centrer le procédé à 10,5 cm. Est-ce que cette opération est rentable? Comparer le profit résultant entre l ajustement à 10 cm et à 10,5 cm pour une fabrication de tiges. 12

13 Exercice 9 (janvier 2009) : A la sortie d'une chaîne de montage, on effectue un contrôle final des véhicules avant de les expédier à différents concessionnaires. Le plan de contrôle suivant est employé par le fabricant (chaque lot à expédier est constitué d'environ 1000 véhicules). Le responsable prélève au hasard dans un lot un échantillon de 50 véhicules et si aucun véhicule n'est défectueux dans l'échantillon, il expédie le lot. Sinon le lot entier est vérifié. En admettant qu'il y a 10% de véhicules défectueux dans le lot, a) Donner une valeur approchée de la probabilité qu'un lot de véhicules soit accepté avec ce plan de contrôle? b) Quelle doit être la taille de l'échantillon de véhicules à contrôler pour que la probabilité d'acceptation d'un lot soit supérieure ou égale à 50%? c) Montrer que la v.a.r. associée au nombre de véhicules défectueux dans l'échantillon prélevé peut être approchée par une loi de probabilité continue dont on explicitera les paramètres. d) Donner une valeur approchée de la probabilité qu'il y ait plus de 8 véhicules défectueux parmi les 50 prélevés. e) Dans plus de 99% des cas, le nombre de véhicules défectueux sera inférieur ou égal à combien de véhicules? 13