Feuille 5 Algèbre Relationnelle et Calcul Relationnel

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1 Université de Bordeaux M2 d Informatique, Cours de Bases de Données Avancées Feuille 5 Algèbre Relationnelle et Calcul Relationnel On va définir les deux principaux langages de requêtes (équivalents) des bases de données relationnelles : l algèbre relationnelle et le calcul relationnel. L algèbre représente le point de vue computationnel et généralise SPC. Le calcul constitue le point de vue descriptif et généralise les requêtes conjonctives en utilisant tout le pouvoir de la logique du premier ordre. Pour toute la feuille (hors mention spécifique dans les exercices) on considère fixé le schéma de bases données R et le domaine dom. De plus, si I est une instance de R, on notera Adom(I) dom l ensemble des données contenues dans I. De la même façon, si q est une requête, on notera Adom(q) dom l ensemble des données utilisées explicitement dans q. 1 Algèbre Relationnelle 1.1 Définition Pour définir l algèbre relationnelle, on étend SPC on lui ajoutant deux opérateurs. Le premier est l union (que nous avons déjà vu dans USPC). Si q 1, q 2 sont deux requêtes de l algèbre relationnelle qui ont la même arité alors on peut utiliser l union entre q 1 et q 2 pour définir une nouvelle requête q qui a la même arité que q 1 et q 2, q := q 1 q 2 est une requête également. La sémantique de l opérateur union est naturelle, si I est une instance, alors, q(i) = q 1 (I) q 2 (I) Le second opérateur est la différence, si r 1, r 2 sont deux requêtes de l algèbre relationnelle qui ont la même arité alors on peut utiliser la différence entre r 1 et r 2 pour définir une nouvelle requête r qui a la même arité que r 1 et r 2, r := r 1 r 2 La sémantique est à nouveau naturelle. Si I est une instance, on a, r(i) = r 1 (I) \ r 2 (I) = { c r 1 (I) c r 2 (I)} 1

2 1.2 Exercices Exercice 1 On considère à nouveau le schéma de base de données CINEMA contenant les relations {F ilms, Lieux, Guide} tels que : sort(f ilms) = {Titre, Réalisateur, Acteur} sort(lieux) = {Salle,Adresse,Téléphone} sort(guide) = {Salle,Titre,Heure} Exprimez les requêtes suivantes en algèbre relationnelle. 1. Lister les films de Hitchcock dans lesquels il n a pas joué. 2. Lister les films qu on peut voir à Bordeaux, mais pas à Talence. 3. Lister les Adresses et Téléphones des salles passant un film avec Harrison Ford mais pas réalisés par Spielberg. 4. Lister les salles qui ne passent que des films avec Harrison Ford. 5. Lister les salles qui passent plus de trois films. 6. Lister les salles qui ne passent aucun film. 7. Lister les films qui ne sont passés nul part. 8. Lister les salles qui passent un film qui a plus de 2 réalisateurs, dont Spielberg, et dans lequel Harrison Ford et Sean Connery ne jouent pas en même temps. 9. Lister les heures auxquelles on ne peut pas voir de film de Spielberg. 10. Lister les films pour lesquels tous les acteurs ont joué soit sous la direction de Spielberg soit sous la direction de Coppola. Exercice 2 Donner une requête q de l algèbre relationnelle sans attributs telle que pour toute instance I, q(i) = Adom(I). Exercice 3 Montrer que si on ajoute un opérateur Adom à l algèbre relationnelle (avec la sémantique évidente), on peut exprimer l union à partir des autres opérateurs. Exercice 4 Donnez deux requêtes de l algèbre : 1. la première non monotone. 2. la seconde non satisfiable. Exercice 5 On considère l algèbre avec attributs et on rajoute l opérateur de division noté et ayant la syntaxe suivante. Étant donné deux formules r et p d arités n r et n p telles que n r > n p, on peut définir une nouvelle formule q d arité n = n r n p qu on appelle la division de r par p : q = r p Si I est une instance, on définit q(i) de la façon suivante. q(i) = {(c 1,..., c n ) (d 1,..., d np ) p(i), (c 1,..., c n, d 1,..., d np ) r(i)} 2

3 1. Calculer R Q pour les instances suivantes de Q et R : R a a a a b c d e a c f d 2. Utilisez la division pour exprimer la requête : Lister les cinémas qui passent tous les films de Spielberg. 3. Montrez que la division peut s exprimer au moyen des opérateurs classiques de l algèbre. 4. La division est-elle une opération monotone? Q b a f c b a g d 2 Calcul Relationnel 2.1 Définition Le calcul relationnel est la logique du premier ordre (FO) dont on rappelle la syntaxe et la sémantique ici. On rappelle que le schéma R est fixé ainsi que son ensemble de relations rel. On fixe un ensemble infini de variables. Syntaxe. Une formule ϕ du premier ordre est donnée par la grammaire : ϕ := ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ x ϕ x ϕ R(x 1,..., x n ) x = y x = c avec y, x, x 1,..., x n var, c dom et R rel d arité n L ensemble des variables libres d une formule ϕ est l ensemble des variables de ϕ qui ne sont pas gardées par un quantificateur ( ou ). On notera également Adom(ϕ) dom l ensemble des c dom qui apparaissent dans ϕ. Exemple 1 Prenons ϕ = x y (R(x, y, z) x Q(u, y, x)). Les variables libres de ϕ sont z et u. On notera souvent les variables libres d un formule explicitement : ϕ(x 1,..., x n ) désigne une formule ayant pour variables libres (x 1,..., x n ). Sémantique. Étant donné une affectation, f : var dom dom, une variable x var et une donnée c dom, on note f[x c] l affectation obtenue à partir de f en redéfinissant l image de x comme c. Soit ϕ(x 1,..., x n ) une formule FO et soit I une instance. Si f est une affectation, on dit que f et I satisfont ϕ(x 1,..., x n ) et on note f, I = ϕ(x 1,..., x n ) quand : ϕ := x 1 = x 2 et f(x 1 ) = f(x 2 ) ϕ := x 1 = c et ϕ := R( x) et f(x 1 ) = c R(f( x)) I 3

4 ϕ := Ψ 1 ( x 1 ) Ψ 2 ( x 2 ) et f, I = Ψ 1 ( x 1 ) ou f, I = Ψ 2 ( x 2 ) ϕ := Ψ 1 ( x 1 ) Ψ 2 ( x 2 ) et f, I = Ψ 1 ( x 1 ) et f, I = Ψ 2 ( x 2 ) ϕ := Ψ( x) et ϕ := x Ψ(ȳ) et f, I = Ψ( x) ϕ := x Ψ(ȳ) et Il existe c Adom(I) Adom(ϕ) tel que f[x c], I = Ψ(ȳ) Pour tout c Adom(I) Adom(ϕ) on a f[x c], I = Ψ(ȳ) Enfin, étant donné une formule FO, ϕ(x 1,..., x n ) à n variables libres et une instance I, l ensemble de tuples ϕ(i) est définit comme suit : ϕ(i) = {(c 1,..., c n ) (Adom(I) Adom(ϕ)) n c 1,..., c n, I = ϕ(x 1,..., x n )} 2.2 Exercices Exercice 6 On remarquera que toutes les quantifications dans la sémantique sont relativisées au domaine Adom(I) Adom(ϕ). Expliquez pourquoi. Exercice 7 Reprendre l Exercice 2 en calcul relationnel. Pour les deux exercices suivants, on s autorise à utiliser des tests d inégalités entre données avec les symboles < et. Par exemple pour récupérer les couples x, y dans la relation binaire Rel tels que x < y on peut utiliser la requête {(x, y) Rel(x, y) x < y} en calcul et la requête σ 1<2 (Rel) en algèbre 1. Exercice 8 On considère l instance de base de donnée suivante sur les agences de location de voiture : 1. Les ordres < et ne fonctionnent que si les données comparées sont des nombres. Dans le cas contraire x < y s évalue simplement à faux 4

5 Agences Nom Chaîne Bordeaux Sud Avis Bordeaux Est Hertz Paris Vème Hertz Lyon IIème Avis Talence Hertz Véhicules Voiture Nom Places Prix 1 Bordeaux Sud 4 50e 2 Bordeaux Sud 6 75e 3 Bordeaux Sud 2 40e 1 Bordeaux Est 4 65e 2 Bordeaux Est 4 65e 1 Paris Vème 2 45e 2 Paris Vème 6 90e 1 Talence 4 55e 2 Talence 4 55e 3 Talence 6 70e 1 Lyon IIème 8 95e 2 Lyon IIème 4 80e Réservations Nom Client Voiture Départ Retour Bordeaux Sud Dupont Bordeaux Sud Dupond Bordeaux Est François Paris Vème Marc Paris Vème Jean Talence Durand Talence Dupont Lyon IIème François Donnez les résultats renvoyés par les requêtes du calcul relationnel suivantes : {x Agences(x, Hertz)}. x 1, x 2, x 3, x 4, y 1, y 2, y 3, y 4 Réservations(x 1, x, x 2, x 3, x 4 ) x Réservations(y 1, x, y 2, y 3, y 4 ). (x 1 y 1 x 2 y 2 ) y, z, w, v, u, p Véhicules(y, z, w, p) x Réservations(z, x, y, v, u). p < 66e 2. Exprimez les requêtes suivantes en calcul relationnel : Retourner le nom des chaînes qui louent des voitures ayant plus de 6 places et coûtant moins de 70e. Retourner les clients qui ont loué deux voitures en même temps. Retourner les agences qui ont toutes leur voitures réservées le Retourner la chaîne qui loue la voiture la plus chère. 3. Reprenez les requêtes de la question précédente pour les exprimer dans la variante de l algèbre de votre choix (avec ou sans attributs). Exercice 9 On considère le schéma de base de données CUISINE contenant les relations {Recette,Contient,Ingrédients} tels que : 5

6 sort(recette) = {NomR, Temps, TypeR} sort(contient) = {NomR,NomI,Quantité} sort(ingredients) = {NomI,TypeI,Unité} On considère l instance suivante de CUISINE : Ingrédients NomI TypeI Unité Lait Liquide Litre Eau Liquide Litre Farine Poudre Gramme Sucre Poudre Gramme Boeuf Viande Gramme Tomate Légume Nombre Pomme Fruit Nombre Poire Fruit Nombre Pêche Fruit Nombre Beurre Solide Gramme Oeuf Oeuf Nombre Contient NomR NomI Quantité Tarte aux Pommes Farine 300 Tarte aux Pommes Sucre 100 Tarte aux Pommes Beurre 200 Tarte aux Pommes Oeuf 3 Tarte aux Pommes Pomme 6 Entrecote Boeuf 180 Entrecote Beurre 5 Salade de Fruits Pomme 4 Salade de Fruits Poire 4 Salade de Fruits Pêche 4 Recette NomR Temps TypeR Tarte aux Pommes 60mn Dessert Salade de Fruits 15mn Dessert Entrecote 10mn Plat Dans les questions qui suivent on va demander d écrire des requêtes en calcul et/ou en algèbre. Pour l algèbre, on laisse le choix entre les variantes avec ou sans attributs. 1. Pour les requêtes suivantes du calcul relationnel, donnez les résultats renvoyés et donnez une requête équivalente en algèbre : {x, y Ingrédients(x, Liquide, y)}. {x x 1 x 2 x 3 x 4 Contient(x 1, x, x 2 ) Recette(x 1, x 3, x 4 ) x 3 > 20} {x x 1 x 2 x 3 Ingrédient(x, x 1, Nombre ) ( Contient(x 2, x, x 3 ) x 3 3)} 2. Pour les requêtes suivantes du algèbre relationnelle, donnez les résultats renvoyés et donnez une requête équivalente en calcul : π 1 (σ 2 60 (Recette)). π 3 (σ 1=4 5= F arine (Recette Contient)). π 1 (σ 2= beurre (Contient)) π 1(σ 3= Dessert (Recette)). 3. On considère la liste de requêtes suivantes : Retourner les ingrédients qui entrent dans la composition de recettes dont le temps de préparation dépasse 60mn. Retourner les recettes qui ne sont pas des plats, qui utilisent un liquide dans leur composition, pas de viande et moins de 3 oeufs. Retourner les ingrédients qui composent la recette la plus rapide à préparer. Retourner les recettes qui n utilisent que des ingrédients qui sont soit des fruits soit des légumes. 6

7 Retourner les recettes dont tous les ingrédients sont exprimés en grammes. Retourner les types de recettes qui ont des recettes à base de viande. On demande d écrire chaque requête en calcul et en algèbre. De plus, pour chaque requête, si l expression que vous donnez n est pas conjonctive, justifiez qu on ne peut pas faire mieux 2. Exercice 10 On considère un alphabet A = {a, b, c} et le schéma de base de données MOTS contenant la relation binaire < et les relations unaires P a, P b et P c. On code tout mot a 1 a n sur l alphabet A comme une instance du schéma MOTS de la façon suivante : Le domaine est l ensemble dom = {1,..., n}. La relation < contient tous les couples (i, j) dom 2 tels que i < j. La relation P a contient tous les i dom tels que a i = a. La relation P b contient tous les i dom tels que a i = b.... Par exemple le mot abac est codé par l instance ayant pour domaine {1, 2, 3, 4} et telle que < = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, P a = {1, 3}, P b = {2} et P c = {4}. Une requête du calcul relationnel sans variables définit donc un langage de mots sur l alphabet A : le langage de tous les mots qui satisfont la requête. Par exemple, la requête x P a (x), définit le langage de tous les mots qui contiennent un a (A aa ). On demande d écrire des requêtes du calcul relationnel qui définissent les langages suivants : 1. Les mots qui contiennent un a puis un b, puis un c : A aa ba ca. 2. Les mots qui ne contiennent que des a et des c. 3. Les mots qui finissent par un a : A a. 4. Les mots qui contiennent le facteur ab : A aba. 5. les mots qui contiennent au plus deux c. 6. Les mots qui ne contiennent pas le facteur ac entre deux b. 7. Les mots de la forme abababababababab ab : (ab). 2. On rappelle que les requêtes conjonctives sont monotones 7