La Rivière Situations Connexes. Arc de cercle. Voir. Courbe. Voir. Sur la sphère. Voir. Retour au Menu La Rivière

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1 Arc de cercle Voir Courbe Voir Sur la sphère Voir Retour au Menu La Rivière

2 Rivière en arc de cercle La rivière est un arc de cercle : Retour au Menu des

3 Rivière en arc de cercle Expérience : Expérimenter avec GeoGebra Retour au Menu des

4 Rivière en arc de cercle Pour déterminer le point cherché, on s intéressera ici au chemin de lumière, c est à dire on cherchera les points du cercle tels que l angle d incidence soit égal à l angle de réflexion ; la première solution utilise les arcs capables et la deuxième les tangentes ; on verra que cette deuxième solution peut se généraliser aux courbes des fonctions dérivables. Retour au Menu des

5 Rivière en arc de cercle Rayon de lumière : Cliquer sur l image pour visualiser ou Expérimenter avec GeoGebra Retour au Menu des

6 Rivière en arc de cercle Réflexion : Cliquer sur l image pour visualiser ou Expérimenter avec GeoGebra Retour au Menu des

7 Solution analytique Illustration géométrique en généralisant le deuxième procédé sur le cercle Retour au Menu des

8 Données : A := [x A, y A ] : B := [x B, y B ] : M := [x M, f (x M )] t := y f (x M ) = df (x M ) (x x M ) la tangente à la courbe de f en M ; (df représente la dérivée de f ) n := x x A + df (x M ) (y y A ) = 0 la droite passant par A et perpendiculaire à t Retour au Menu des

9 On cherche les coordonnées du symétrique de A par rapport à t Première étape : point d intersection de t et n : x = x A df (x M )f (x M ) + df (x M ) 2 x M + df (x M )y A 1 + df (x M ) 2 y = df (x M) 2 y A + f (x M ) + df (x M )x A df (x M )x M 1 + df (x M ) 2 Retour au Menu des

10 Deuxième étape : le lieu des points A est paramétré par x M : x A = x A + 2 ( x A df (x M )f (x M ) + df (x M ) 2 x M + df (x M )y A ) 1 + df (x M ) 2 y A = y A + 2(df (x M ) 2 y A + f (x M ) + df (x M )x A df (x M )x M ) 1 + df (x M ) 2 Retour au Menu des

11 Une condition d alignement s exprime alors comme suit : x B x M x A x B y B f (x M ) y A y B = 0 dont l expression est rapidement compliquée, même avec des fonctions simples, comme on peut le voir dans la section suivante. Retour au Menu des Application Numérique

12 avec : A(0; 0), B(1; 2), f (x) = x 2 1 on obtient le paramétrage du lieu de A : x = 2 ( 2x M ( (xm ) 2 1 ) + 4(x M ) 3) 1 + 4(x M ) 2 y = 2 ( (x M ) 2 1 ) 1 + 4(x M ) 2 La condition d alignement des trois points amène à résoudre une équation de degré 5 : 4x 5 4x 4 + 2x 3 + x 2 8x 1 = 0 Retour au Menu des Illustration Géométrique

13 Les solutions réelles en valeur approchée : ; ; correspondent aux positions sur les trois dessins : (flèches gauche droite ou haut bas pour les faire défiler) Expérimenter avec GeoGebra Et si la rivière était un arc d ellipse? Expérimenter avec GeoGebra Retour au Menu des

14 Les solutions réelles en valeur approchée : ; ; correspondent aux positions sur les trois dessins : (flèches gauche droite ou haut bas pour les faire défiler) Expérimenter avec GeoGebra Et si la rivière était un arc d ellipse? Expérimenter avec GeoGebra Retour au Menu des

15 Les solutions réelles en valeur approchée : ; ; correspondent aux positions sur les trois dessins : (flèches gauche droite ou haut bas pour les faire défiler) Expérimenter avec GeoGebra Et si la rivière était un arc d ellipse? Expérimenter avec GeoGebra Retour au Menu des

16 La Rivière coule sur une sphère La rivière r 1 r 2 est un grand cercle de la sphère : Écoutez en cliquant sur l image ou Expérimenter avec GeoSpace Retour au Menu des

17 La Rivière coule sur une sphère Tout comme dans le plan, si M est un point de la rivière, la distance AM + MB = A M + MB avec A le symétrique 1 de A par rapport à la rivière. La plus courte distance sera obtenue lorsque A, M et B appartiendront à un même grand cercle. Retour au Menu des Retour au Menu La Rivière 1 C est à dire le point de la sphère appartenant au grand cercle passant par A et orthogonal au grand cercle de la rivière est à égale distance de la rivière que le point A ou bien tel que le plan du grand cercle r 1r 2 soit le plan médiateur de [AA ]

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