La proportionnalité G. Martiel -2014
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- Arnaud Damours
- il y a 8 ans
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Transcription
1 Laproportionnalité
2 Mise en situation
3 La petite géante de ROYAL DE LUXE Le spectacle de rue «ROYAL DE LUXE» a des marionnettes géantes. Une de ces marionnettes est «La Petite Géante»
4 Quelle est la taille de La Petite Géante?
5 La Petite Géante La Petite Géante mesure 5 mètres de haut. Pourquoi, n avons-nous pas trouvé 5mètres?
6 Les différents types de problèmes Classer la liste de problèmes distribuée
7 Les différents types de problèmes Classer la liste de problèmes distribuée Problèmes à classer Problèmes classés
8 Les différents types de problèmes La proportionnalité simple et directe Recherche de 4 ième proportionnelle - un des nombres est égal à 1 - aucun des nombres n est égal à 1 Les problèmes de comparaison Problèmes de proportionnalité composée et multiple
9 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Deux grandeurs sont en relation de proportionnalitési on peut passer de l une à l autre en multipliant par un même nombre. Exemple: Grandeur 1: le nombre d objets identiques. Grandeur 2: le prix de ces objets. Contre exemple: Grandeur 1: l âge des humains Grandeur 2: leur poids
10 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle: on recherche lune des quantités. Grandeur 1 a a a Grandeur 2 b b b 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Nombre de stylos 4 14 Prix des stylos 2,42?
11 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle. Cas particulier où l un des nombres est égal à 1. Pb1: En rangeant ses photos de vacances dans son album, Jean a rempli 12 pages de 8 photos. Combien a-t-il de photos? Nombre de pages 1 12 Nombre de photos 8? Remarques: Le 1 n est pas explicitement dit dans l énoncé. C est un problème «de multiplication» Il fait intervenir deux grandeurs
12 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle. Cas particulier où l un des nombres est égal à 1. Pb2 : Jean a 15 euros et Marc lui dit «j ai trois fois plus que toi!». Quelle somme a Marc? Somme de Jean 1 12 Somme de Marc 8? Remarques: Le 1 n est pas explicitement dit dans l énoncé. C est un problème «de multiplication» Il fait intervenir une seule grandeur
13 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle. Cas particulier où l un des nombres est égal à 1. Pb3: Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours le même nombre de photos par page. Il a rempli 12 pages. Combien met-il de photos par page? Nombre de pages 12 1 Nombre de photos 96? Remarques: Le 1 n est pas explicitement dit dans l énoncé. C est un problème «de division» partition (recherche de la valeur d une partition) Il fait intervenir deux grandeurs
14 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle. Cas particulier où l un des nombres est égal à 1. Pb 3: Nombre de pages 12 1 Nombre de photos 96? Remarques: Le 1 n est pas explicitement dit dans l énoncé. C est un problème «de division» partition (recherche de la valeur d une part) Il fait intervenir deux grandeurs
15 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle. Cas particulier où l un des nombres est égal à 1. Pb4: Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours 8 photos par page. Combien de pages a t-il rempli? Nombre de pages? 1 Nombre de photos 96 8 Remarques: Le 1 n est pas explicitement dit dans l énoncé. C est un problème «de division» quotition (recherche du nombre de parts)
16 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de quatrième proportionnelle: Cas où aucun des nombres n est égal à 1. 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Nombre de stylos 4 14 Prix des stylos 2,42?
17 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de comparaison: Dans la bouteille A je mets 12 verres d eau et 10 morceaux de sucre. Dans la bouteille B je mets 4 verres d eau et 2 morceaux de sucre. Quelle bouteille contient le sirop le plus sucré?
18 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de comparaison: Bouteille A Bouteille B Nombrede verres d eau Nombrede morceaux de sucre
19 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Les problèmes de comparaison: Bouteille A Bouteille A Bouteille A Nombrede verres d eau Nombrede morceaux de sucre On se ramène à un multiple commun Bouteille B Bouteille B Bouteille B Nombrede verres d eau Nombrede morceaux de sucre ?
20 Les problèmes de proportionnalité multiple ou composée Problèmes dans lesquels une grandeur varie proportionnellement à deux grandeurs indépendantes Exemples Le prix d une journée au camping est de 10 par jour et par personne. Combien paie une personne pour 5 jours? Trois personnes pour une nuit? Un couple pour une semaine? 3 poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d œufs pondent 6 poules en 6 jours?
21 Les problèmes de proportionnalité Exemples multiple ou composée Le prix d une journée au camping est de 10 par jour et par personne. Combien paie une personne pour 5 jours? Trois personnes pour une nuit? Un couple pour une semaine? Nombre de jours Nombrede personnes Prix en
22 Les problèmes de proportionnalité Exemples multiple ou composée 3 poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d œufs pondent 6 poules en 6 jours? Nombrede poules Nombrede jours Nombre d oeufs oeufs
23 Les différentes méthodes de résolution Pour la recherche de la 4 ième proportionnelle
24 Les différentes méthodes de résolution 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Trouver toutes les méthodes de résolution possibles.
25 Les différentes méthodes de résolution 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Procédure 1+2: linéarité multiplicative et additive. 4 stylos coûtent 2,42 12 stylos coûtent 3 fois plus 3x2,42= 7,26 2 stylos coûtent la moitié de 4 donc 1,21 14 stylos coûtent 7,26 + 1,21 = 8,47
26 Les problèmes de proportionnalité simple et directe 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Procédure 3: passage à l unité ou règle de trois. 4 stylos coûtent 2,42 1 stylo coûte 4 fois moins: 0, stylos 14 fois plus :14x0,605= 8,47
27 Les problèmes de proportionnalité simple et directe 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Procédure 4: coefficient de proportionnalité. Nombre de personnes 4 14 Nombre de citrons 2,42? X 0, X 0,605= 8,47
28 Les problèmes de proportionnalité simple et directe 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Procédure 5: produit en croix Nombre de personnes 4 14 Nombre de citrons 2,42?? =, = 8,47
29 Les problèmes de proportionnalité simple et directe 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos? Procédure 6: résolution graphique 14,00 prix 12,00 10,00 8,00 6,00 prix 4,00 2,
30 Des productions d élèves de CM1- CM2-6ième
31 Productions d élèves de CM1-CM2-6ème Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012 Linéarité additive
32 Productions d élèves de CM1-CM2-6ème Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012 Linéarité multiplicative et additive
33 Productions d élèves de CM1-CM2-6ème Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012 Linéarité multiplicative
34 Productions d élèves de CM1-CM2-6ème Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012 Passage à l unité
35 Productions d élèves de CM1-CM2-6ème Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012 Coefficient de proportionnalité fractionnaire: sixième?
36 Productions d élèves de CM1-CM2-6ème Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012 Coefficient de proportionnalité : sixième?
37 A l école primaire Quelles méthodes de résolution?
38 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Procédures 1 et 2: linéarité multiplicative et additive. Pour 5 personnes 2 citrons. Pour 20 personnes 4 fois plus de citrons donc 8 citrons. Oui est à privilégier! Remarques: - il n est pas utile de faire un tableau, ni dans l énoncé, ni dans la résolution. - cela demande une habileté en calcul mental.
39 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Procédure 3: passage à l unité ou règle de trois. Pour 5 personnes 2 citrons. Pour une personne 5 fois moins de citrons: 0,4 citron. Pour 20 personnes: 20 fois plus de citrons 20x0,4= 8 citrons. Oui, mais uniquement si on ne peut pas faire autrement. Remarques: - demande une division: pas simple - le résultat de l unité peut amener à des arrondis ou des résultats peu élégants.
40 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Procédure 4: coefficient de proportionnalité. Nombre de personnes 5 20 Nombre de citrons 2? X 0,4 Oui, parfois quand ce coefficient est simple. Ici ce n est pas intéressant. Cela ne serait pas une méthode très pertinente à l école primaire.
41 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Procédure 5: produit en croix Nombre de personnes 5 20 Nombre de citrons 2? Non, en aucun cas à l école primaire? = = 8 Pourquoi? -le trait de fraction n est pas une division à l école primaire. - cela devient une technique sans sens derrière -cela demande aux élèves de savoir dresser un tableau correct. -Basé sur = = programme de 4ième
42 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Procédure 6: résolution graphique N est plus au programme de l école primaire, mais peutêtre amenée - Pour vérifier s il y a proportionnalité ou non. - Pour vérifier un résultat. - Pour trouver une quatrième proportionnelle. 14,00 prix 12,00 10,00 8,00 6,00 prix 4,00 2,
43 Une expérience
44 Problèmes posés à des 6ièmes et des 3ièmes En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures? En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures? En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures? En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures? En quoi ces exercices sont-ils semblables? En quoi sont-ils différents?
45 Problèmes posés à des 6ièmes et des 3ièmes En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures? En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures? En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures? En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures? Lesclasserduplusfacileauplusdifficile.
46 Résultats du tests avec des élèves Problème posé En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures? En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures? En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures? En 32 heures, une installation de chauffage consomme104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures? 6ème : 68 % réussite 18 (26,5%) 48 (78,6%) 42 (61,8%) 34 (50%) 3ème : 107 % réussite 71 (66,4%) 101 ( 94,4%) 97 (90,7%) 94 (87,8%)
47 Résultats du tests avec des élèves Problème posé En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures? En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures? En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures? réussite N 4 N 1 N 2 En 32 heures, une installation de chauffage consomme104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures? N 3 D après vous, pourquoi?
48 Analyse de ces exercices En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures? Premier au niveau réussite x 3 Temps (heures) Consommation. (litres)
49 Analyse de ces exercices En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures? Deuxième au niveau réussite Temps (heures) Consommation. (litres) x 4
50 Analyse de ces exercices En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures? troisième au niveau réussite : 4 Temps (heures) Consommation. (litres)
51 Analyse de ces exercices En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures? Quatrième au niveau réussite Temps (heures) Consommation. (litres) : 3
52 Conclusion de l expérience Il est plus facile pour les élèves de trouver une quatrième proportionnelle en utilisant une multiplication qu une division. Il est plus facile de trouver une quatrième proportionnelle en utilisant la linéarité que le coefficient de proportionnalité
53 Difficultés des élèves Avec la proportionnalité
54 Difficultés des élèves que vous avez repérées
55 1) Confusion entre linéarité additive et addition.
56 Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012
57 2) Proportionnalité, non proportionnalité
58 Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012
59 Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012
60 Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012
61 Un problème de CRPE Blanc Justine et Hélène courent à une même vitesse autour d une piste. Justine est partie la première. Au moment où elle a couru 9 tours, Hélène a couru 3 tours. Combien de tours Justine aura-t-elle courus quand Hélène aura couru 15 tours? Source : travail en temps limité étudiants préparant le CRPE -2012
62 Un problème de CRPE Blanc: quelques réponses Source : travail en temps limité étudiants préparant le CRPE -2012
63 Source : travail en temps limité étudiants préparant le CRPE -2012
64 3) Tableaux et proportionnalité
65 3) Tableaux et proportionnalité
66 Source : travaux d A. Simard, Petit x, n 89-90, 2012
67 4) La confusion entre croissance et proportionnalité - Les élèves considèrent ce tableau comme un tableau de proportionnalité parce que les valeurs de la seconde ligne augmentent régulièrement : «plus on achète, plus c est cher». Masse (en kg) Prix (en )
68 Conséquences Proposer des problèmes de proportionnalité sans tableau. Proposer des tableaux sans proportionnalité Mettre en place «Si j'achète n fois plus je paie n fois plus cher» et travailler le calcul mental. Identifier clairement ce qui est de la proportionnalité et ce qui n en est pas: exemples des deux catégories. Faire travailler les élèves sur des agrandissements de puzzles, pour constater que si on ajoute un même nombre à chacune des dimensions des pièces on déforme le puzzle.
69 Une progression possible I. Résoudre des problèmes en «fois plus, fois moins» II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité III. Reconnaître une situation de proportionnalité IV. Autres méthodes: passage à l unité -règle de trois V. Exercices avec choix de la méthode VI. Applications : des problèmes de la vie courante
70 I. Résoudre des problèmes en «fois plus, fois moins» En CE2 et repris dans les autres classes, résoudre des problèmes : - De multiplication : Sens produit de mesures Sens additions réitérées Posés en «fois plus, fois moins»
71 I. Résoudre des problèmes en «fois plus, fois moins» En CE2 et repris dans les autres classes, résoudre des problèmes : - De division : Sens groupements (quotition) Sens partage (partition) Posés en «fois plus, fois moins»
72 Questions: II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité Un problème introductif qui servira de référence RECETTE DES BANANES AU FOUR 20 grammes de beurre 4 bananes 10 grammes de sucre 1) pour 120g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre? 2) Pour 10g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre? 2) Pour 50g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?
73 II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité Une «définition» à partir de cette introduction Pour 20 grammes de beurre, il faut 4 bananes Pour 6 fois plus de beurre, il faut 6 fois plus de bananes. On dit que le nombre de bananes est proportionnel à la quantité de beurre
74 II. Situations de proportionnalité: Pour les élèves: résolution par linéarité Ce n est pas le tableau qui va leur permettre de résoudre le problème C est uniquement le sens de la situation qui va les guider Ils vont se poser la question: «si j ai deux fois plus de l un, est-ce que j ai deux fois plus de l autre?»
75 II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité Des exercices d entraînement qui se résolvent par linéarité. 1) Darius a pesé ensemble 10 feuilles de papier. Il a trouvé 60g. Combien pèsent 5 feuilles identiques à celle-ci? 2) Une personne a acheté 4 places de cinéma, elle a payé 20. Une autre a payé 40. Combien a-t-elle acheté de places? 3) Marc range 280 pêches dans 8 cageots et 420 pêches dans 12 cageots. Combien de pêches range-t-il dans 20 cageots
76 II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité Une fois la linéarité acquise, on peut donner une représentation en tableau.
77 II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité Une idée du site «Comment aider les élèves» Faire un long tableau et avancer petit à petit vers la question posée. 9 mètres de toile coûtent 105 euros, que coûtent 150 mètres de toile? Longueur de toile en m Coût en euros de cette longueur ?
78 II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité Une idée du site «Comment aider les élèves» Faire un long tableau et avancer petit à petit vers la question posée. 9 mètres de toile coûtent 105 euros, que coûtent 150 mètres de toile? Longueur de toile en m Coût en euros de cette longueur ? Longueur de toile en m Coût en euros de cette longueur
79 III. Reconnaître une situation de proportionnalité Poser aux élèves des situations de nonproportionnalité, de manière à ce qu ils se posent la question de savoir s il y a proportionnalité ou non. Cap maths CM1
80 III.Reconnaître une situation de proportionnalité Cap maths CM1
81 III. Reconnaître une situation de proportionnalité Résoudre des problèmes qui ne relèvent pas tous de la proportionnalité. 1) Quand j achète 5 gâteaux, le prix est 12 Quand j achète 10 gâteaux, le prix est 24 Quand j achète 25 gâteaux, le prix est 60 Le prix des gâteaux est-il proportionnel au nombre de gâteaux? 2) Quand Alim a 10 ans, Karim a 14 ans Quand Alim a 20 ans, Karim a 24 ans L âge de Karim est-il proportionnel à l âge d Alim?
82 III. Reconnaître une situation de proportionnalité Résoudre des problèmes qui ne relèvent pas tous de la proportionnalité. 3) Un carré de 1cm de côté a une aire de 1cm 2 Un carré de 2 cm de côté a une aire de 4 cm 2 Un carré de 4 cm de côté a une aire de 16cm 2 L aire du carré est-elle proportionnelle à son côté? 4)L épaisseur d une pile de 7 revues identiques est 3 cm et l épaisseur d une pile de 14 revues est 6 cm. L épaisseur de la pile de revues est-elle proportionnelle au nombre de revues?
83 III.Reconnaître une situation de proportionnalité 1 er cas: Comment décider si une situation est «de proportionnalité ou non? Décision arbitraire, par référence à une pratique sociale - 6 objets coûtent 15, combien coûtent 9 objets? - pour 50g de chocolat, il faut 10 g de sucre et pour100g de chocolat, il faut 20g de sucre; combien faut-il de sucre pour 325g de chocolat? C est aussi ce que nous avons fait avec La Petite Géante La relation de proportionnalité entre les deux grandeurs est alors implicite.
84 III.Reconnaître une situation de proportionnalité Comment décider si une situation est «de proportionnalité ou non? 2 ième cas: A partir de données expérimentales, qui laissent penser que le modèle proportionnelle est plausible dans certaines conditions C est ce que vous avez fait avec «La bougie»
85 III.Reconnaître une situation de proportionnalité Comment décider si une situation est «de proportionnalité ou non? 3 ième cas: A partir d une formule établissant une relation entre les deux grandeurs. Exemple : longueur de la diagonale d un carré en fonction de la longueur c du côté (elle est égale à, en vertu du théorème de Pythagore) 2c
86 IV. Autres méthodes: passage à l unité - règle de trois Résolution d un problème facilité par la recherche du coefficient de proportionnalité ou la règle de 3. Trois livres coûtent 12. Combien coûtent 7 livres?
87 IV. Autres méthodes: passage à l unité - règle de trois Résolution d un problème facilité par la recherche du coefficient de proportionnalité ou le passage à l unité. Trois livres coûtent 12. Combien coûtent 7 livres? 3 livres coûtent 12, un livre coûte 3 fois moins donc 4 7 livres coûtent 7 x 4 = 28 Le terme coefficient de proportionnalité est au programme de sixième
88 IV. Autres méthodes: passage à l unité - règle de trois 1) 2 billes ont une masse de 30 grammes. Quelle est la masse de 3 billes? 1) Jérémie achète 5 kg de pêches au prix de 13. Combien coûtent 7kg de pêches?
89 IV. Autres méthodes: passage à l unité - règle de trois
90 V. Exercices avec choix de la méthode 1) Lors de l essorage, le tambour d une machine à laver effectue tours en 6 minutes. Combien de tours fait ce tambour en 5 minutes? 2) JiaLi achète 4 bandes dessinées de son héros favori. Elle paye 13,00. Combien coûtent 3 de ces bandes dessinées?
91 V. Exercices avec choix de la méthode 3) Michel achète 4 croissants pour 3,80. Combien va-t-il payer pour 7 croissants? 4) Sarah fabrique des coupelles en terre. 24 coupelles ont une masse de 1,32 kg. Quelle est la masse de 16 coupelles? 5) Pour fabriquer un collier, Aude achète 35 perles pour un prix de 6,30. Il lui manque 15 perles pour terminer son collier. Combien va-t-elle payer ces 15 perles?
92 VI. Applications : des problèmes de la vie courante La bougie: voir séance d hier Dominique Valentin ERMEL La longueur du cercle
93 Longueur du cercle 1) Expérimentation - Mesure du diamètre - Mesure du périmètre Tableau des résultats
94 Longueur du cercle 2) Questions à poser aux élèves: Si le diamètre est de 16 cm, quel sera le périmètre? Si le périmètre est de 60 cm, quel est le diamètre? Réponses possibles: Faire un graphique pour voir Supposer un proportionnalité et regarder si la linéarité est vérifiée, puis déduire.
95 Une curiosité Vous prenez une balle depingpong, dont le diamètre fait 4 centimètres. A l'aide d'une ficelle, vous vous en faites exactement le tour. Vous ajoutez un mètre à votre bout de ficelle, et vous écartez le tout pour former un nouveau cercle parfait centré sur votre balle. schéma De quelle distance la ficelle s'écarte-t-elle de la balle?
96 Une curiosité 2/ Imaginons maintenant que vous puissiez faire le tour de la Terre à l'équateuravec une ficelle. On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra un diamètre de km. Vous ajoutez un mètre à votre ficelle, vous écartez le tout pour que ça fasse un cercle parfait centré sur la terre. De quelle distance votre ficelle s'écarte-t-elle de lasurfacede la Terre?
97 Monter une séquence sur la proportionnalité pour votre classe Plan de séquence; Choix des problèmes et activités;
98 Fin
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