Modèle du vide. Montrer que le système d équations de Maxwell est le résultat direct de sa description des propriétés de l éther.

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1 1 Modèle du vide Exercice Montrer que le système d équations de Maxwell est le résultat direct de sa description des propriétés de l éther. Solution. Maxwell a considéré l éther comme un milieu physique particulier, et a proposé pour ce milieu le modèle suivant (fig.1): Tout l espace est plein de tourbillons (moléculaires), dont le mouvement de rotation est transmit entre eux par de très petites particules, placées parmi ces tourbillons de façon que chacun d eux oblige le tourbillon voisin à tourner dans le même sens de rotation. Les dimensions linéaires des tourbillons n influent pas (comme Maxwell l a démontré) sur les propriétés du modèle dynamique. La masse et les dimensions des particules intermédiaires sont supposées négligeables. Le volume et la forme des tourbillons sont indéformables. Seulement une déformation tangentielle élastique à la surface de chaque tourbillon est admise (fig.2). Les grandeurs des déformations sont supposées petites de façon que les forces restent linéairement proportionnelles à ces déformations. Les particules occupant l espace entre les tourbillons se comportent comme un liquide incompressible.

2 2 Tout frottement et toute perte d énergie sont négligeables. Tourbillon particule intermédiaire y y X y ll o Z D= y / Fig.1. Modèle du vide d après Maxwell. Fig.2. Déformation de compression tangentielle du tourbillon. A cause de sa fréquence de rotation très haute, la masse spécifique µ du tourbillon peut être considérée comme répartie sur sa surface. Soit la vitesse linéaire de rotation de la surface du tourbillon. L énergie cinétique de rotation de la masse spécifique du tourbillon sera alors. En comparant cette énergie à celle de la densité d énergie du champ magnétique, on peut conclure que µ n est autre que la perméabilité du vide et la vitesse joue le rôle de l excitation du champ magnétique. D autre part, soit D= y / la valeur de la déformation tangentielle du tourbillon (fig.2), et ε = 1/ k le module d élasticité

3 3 du tourbillon (où k est le coefficient d élasticité). L énergie potentielle de déformation dans l unité de volume est égale à :. En comparant cette énergie à celle de la densité d énergie du champ électrique, il est facile voir que le module d élasticité ε n est autre que la permittivité du vide, appelée constante électrique, et est le déplacement électrique. Le théorème de Gauss en électrostatique illustre bien l idée du modèle sur l incompressibilité du liquide: (dans le système CGSE). En effet, l incompressibilité du liquide des particules s exprime par le fait que le volume du liquide de déplacement ( dû à la déformation des tourbillons, reste le même sur la surface de n importe quelle sphère de centre à la valeur de cette charge source. ; il est toujours égal La caractéristique la plus essentielle du modèle à deux composantes conçu par Maxwell, c est que le vide admet la propriété de fibration. La figure 3 représente un fragment de l espace dans lequel se propage un champ électromagnétique. La fibration du vacuum consiste en ce que le champ est considéré comme le résultat d une structure appropriée des tourbillons dans cet espace, et que le flux d énergie électromagnétique devient canalisé dans le sens de propagation du champ. 1 Y 2 Z

4 4 1 Fig. 3. Modèle de propagation du champ électrique dans le vide. Le sens de propagation est suivant l axe ox perpendiculairement au plan de la figure. 1-Tourbillons non déformés dans la zone non active (sans propagation). 2-Tourbillons déformés dans la zone active. - Déplacement dynamique dans la zone active. e - Déplacement statique à l extérieur de la zone active. X- Sens de propagation du champ. A cause de cela le milieu devient semblable à un fibré tangent. Par conséquent, deux zones différentes prennent naissance : une zone active (ou zone de propagation) avec un déplacement dynamique, et une zone non active avec un déplacement statique qui joue le rôle d appui pour la zone dynamique. Dans la zone active, l interaction mutuelle des tourbillons crée le déplacement appelé déplacement dynamique rotationnel. Le mouvement de ce déplacement peut être identifié à un courant électrique, appelé courant de déplacement. Tandis que dans la zone statique, là où la propagation n existe pas, le déplacement (ou bien la déformation) est dû à l interaction mutuelle des particules intermédiaires du fluide incompressible, comme dans le cas d un champ électrostatique crée par une charge q. Considérons maintenant un tourbillon quelconque dans la zone de propagation et écrivons l équation de son mouvement dans le plan x o y. Il est clair que ce tourbillon se met en mouvement supplémentaire à son mouvement propre sous l effet de la somme des forces qui agissent sur lui de la part d autres tourbillons voisins. Soit la position d un point quelconque sur sa surface. La coordonnée peut être considérée comme la phase de rotation du point d observation, et l expression devient égale à l accélération du mouvement de rotation du tourbillon. Il est entendu que la position reste la même pour tous les tourbillons si le vide est non perturbé. Puisqu on considère que la masse volumique µ du tourbillon est répartie sur sa surface, le mouvement de rotation de

5 5 celui-ci sera décrit comme un mouvement linéaire. A un moment donné, la variation de phase entre deux points infiniment voisins est :. Quand la phase est fonction du temps, alors : Tenant compte de tout cela, l équation de mouvement de la masse spécifique, peut être écrite, d après la deuxième loi de Newton, sous la forme suivante :, (1) où, sont les forces agissant de part et d autre sur la masse de l élément du tourbillon, et qui sont projetées sur ox.mais, z, (2) puisque est dirigé suivant oy et ne change pas dans le plan yoz, et. Ici on a fait introduire le symbole, appelé champ électrique. En utilisant la relation, on peut écrire après dérivation que. Finalement l équation de mouvement de la position du tourbillon devient :, (3) ou bien,, (4) ici, la constante a les dimensions d une vitesse, car : L équation de mouvement (3) s avère une équation de propagation ondulatoire

6 6 pour laquelle le système de coordonnées se met en mouvement dans la direction de ox à la vitesse : d x / d t = c. Ainsi, en utilisant le modèle de Maxwell pour le vide, on arrive à trouver à partir de l équation de Newton non seulement l équation ondulatoire du champ électromagnétique (4), mais aussi la formule importante : appelée équation de Maxwell,, (5) où la grandeur désigne l impulsion de la masse spécifique du tourbillon : ; cette grandeur est appelée induction magnétique et connue couramment sous le nom de champ magnétique. Trouvons maintenant la relation entre la vitesse de rotation du tourbillon ( ) qui est égale à par définition, et la vitesse de propagation c de la déformation du tourbillon. Cette relation est immédiatement obtenue par le calcul direct de la dérivée de par rapport à t. En effet, (6) Dans le cas où ne dépend pas explicitement du temps : (7) ou bien :. (8) Cette relation élevée au carré montre qu à tout instant les densités d énergie magnétique et électrique sont égales entre elles, ce qui confirme le fait que la propagation n est pas due à la transformation de l énergie d un champ (électrique) dans l autre (magnétique). Considérons finalement comment se produit, d après le modèle proposé, la puissance électromagnétique traversant une surface quelconque, autrement dit le

7 7 flux du vecteur de Poynting vecteur de Poynting s écrit : à travers cette surface. L expression générale du. (9) Puisque les dimensions de et sont : force par unité de surface pour et vitesse pour, on comprend pourquoi le vecteur de Poynting devient égal à la puissance du champ formé par et traversant l unité se surface, car par définition Donc le champ électrique n est autre que la force élastique rapportée à l unité d aire de la section du tourbillon ou bien la contrainte de l éther. Le sens physique de l expression (9) devient clair lorsqu on voit que la force agissant sur la surface du tourbillon, multipliée par la vitesse de son mouvement est une grandeur mécanique égale au travail accompli par cette force pendant l unité de temps. Assad Khoury, atccm@ul.edu.lb 05/10/2011

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