Table des matières ALGÈBRE BILINÉAIRE. Chapitre 5

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1 Chapitre 5 ALGÈBRE BILINÉAIRE OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir montrer qu une application est un produit scalaire Savoir déterminer une base orthonormée d un espace vectoriel euclidien Savoir obtenir des inégalités à l aide de l inégalité de Cauchy-Schwarz ou de l inégalité triangulaire Savoir montrer qu une matrice est orthogonale Savoir déterminer l orthogonal d une partie d un espace vectoriel Savoir montrer que deux sous-espaces vectoriels sont orthogonaux ou supplémentaires orthogonaux Table des matières I Produit scalaire 2 1 Définitions 2 2 Caractérisation 3 3 Norme euclidienne et inégalité de Cauchy-Schwarz 5 4 Quelques formules et identités remarquables 7 II Orthogonalité et orthonormalité de familles de vecteurs 9 1 Vecteurs et familles orthogonales 9 2 Familles orthonormées 1 3 Orthonormalisation de Schmidt 1 III Bases orthonormées 11 1 Généralités 11 2 Changement de bases orthonormées 13 3 Expression matricielle du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée 15 IV Orthogonalité de parties et d espaces vectoriels 16 1 Orthogonal d un sev 16 2 Sous-espaces vectoriels orthogonaux 17 3 Supplémentaires orthogonaux 18 1

2 Dans tout ce chapitre on considère un espace vectoriel E sur R I PRODUIT SCALAIRE 1 DÉFINITIONS DÉFINITION 1 Forme bilinéaire Une forme bilinéaire sur E est une application φ : E E R qui est : 1 linéaire à gauche c est-à-dire linéaire en la première variable : x y z E λ R φλx + y z = λφx z + φy z ; 2 linéaire à droite c est-à-dire linéaire en la deuxième variable : x y z E λ R φxλy + z = λφx y + φx z Elle est dite : symétrique si positive si définie si x y E φx y = φy x ; x E φx x ; x E φx x = = x = E REMARQUE Attention dire qu une forme bilinéaire φ est positive ne signifie pas que pour tous x et y φx y DÉFINITION 2 Produit scalaire On appelle produit scalaire sur E et on note toute forme bilinéaire symétrique définie positive REMARQUE On utilise parfois la notation ou ou encore DÉFINITION 3 Espace euclidien Un espace euclidien est un R-espace vectoriel de dimension finie muni d un produit scalaire Donnons quelques propriétés utiles du produit scalaire PROPOSITION 4 Premières propriétés du produit scalaire Soit un produit scalaire sur l espace vectoriel E 1 x E x E = E x = 2 x y E λ R λx y = λ x y = xλy 3 Plus généralement pour toutes familles x 1 x n et y 1 y m d éléments de E et pour toutes familles de réels λ 1 λ n et µ 1 µ m on a m m λ i x i µ j y j = λ i µ j xi y j j =1 j =1 La dernière formule est très utilisée en particulier dans le cas où les familles sont des bases de E ECS2 Lycée Pothier Orléans 2 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

3 2 CARACTÉRISATION En pratique on utilise la caractérisation suivante PROPOSITION 5 Caractérisation du produit scalaire Une application : E E R est un produit scalaire si et seulement si elle vérifie les propriétés suivantes : 1 x y z E λ R λx + y z = λx z + y z; 2 x y E x y = y x ; 3 x E x x avec égalité si et seulement si x = E ; Démonstration Il suffit de voir que la symétrie d une part et la linéarité à gauche ou à droite d autre part permet d obtenir la bilinéarité Donnons quelques exemples fondamentaux à connaître EXEMPLES 1 1 Produit scalaire canonique sur R 2 Considérons l espace vectoriel R 2 et montrons que l application : R 2 R 2 R x1 y 1 x2 y 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 est un produit scalaire sur R 2 a Linéarité à gauche : soient x 1 y 1 x 2 y 2 et x 3 y 3 des éléments de R 2 et soit λ un réel λ x1 y 1 + x2 y 2 x3 y 3 = λx 1 + x 2 λy 1 + y 2 x3 y 3 = λx 1 + x 2 x 3 + λy 1 + y 2 y3 = λx 1 x 3 + x 2 x 3 + λy 1 y 3 + y 2 y 3 = λ x 1 x 3 + y 1 y 3 + x2 x 3 + y 2 y 3 b Symétrie : soient x 1 y 1 et x 2 y 2 des éléments de R 2 x1 y 1 x2 y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 = λ x 1 y 1 x3 y 3 + x2 y 2 x3 y 3 = x 2 x 1 + y 2 y 1 = x 2 y 2 x1 y 1 c Positivité : soit x y un élément de R 2 x y x y = xx + y y = x 2 + y 2 d Définie : soit x y un élément de R 2 tel que x y x y = Alors on a x 2 + y 2 = ce qui implique x = et y = donc x y = = R 2 Par conséquent R 2 muni de son produit scalaire canonique est un espace euclidien car R 2 est de dimension finie égale à 2 2 Produit scalaire canonique sur R n Plus généralement pour tout entier n N l application : R n R n R u1 u 2 u n v 1 v 2 v n u i v i ECS2 Lycée Pothier Orléans 3 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

4 est un produit scalaire sur R n appelé le produit scalaire canonique sur R n Sauf mention contraire c est le produit scalaire dont R n sera muni dans toute la suite REMARQUE Si on identifie les espaces vectoriels R n et M n1 R c est-à-dire si on écrit les vecteurs X = x 1 x n et Y = y 1 y n en colonne alors X Y = t X Y où t X désigne la transposée de X et où désigne le produit matriciel Par conséquent R n muni de son produit scalaire canonique est un espace euclidien car R n est de dimension finie égale à n 3 Un produit scalaire sur les polynômes Soit n un entier naturel Considérons l espace vectoriel R n [X ] Alors l application : R n [X ] R n [X ] R PQ 1 PtQt dt est un produit scalaire sur R n [X ] En effet la bilinéarité et la symétrie s obtiennent immédiatement par linéarité de l intégrale et car PtQt = QtPt quel que soit le réel t dans l intervalle [ 1] Montrons que l application est définie positive Soit P un polynôme dans R n [X ] Alors PP = 1 Pt 2 dt Or pour tout t dans [1] Pt 2 Par positivité de l intégrale PP donc l application est positive 1 2 Enfin si P est un polynôme de R n [X ] tel que PP = alors Pt dt = Or on on sait que l intégrale d une fonction positive continue sur un segment est nulle si et seulement si la fonction est nulle Comme t Pt 2 est positive sur [1] on en déduit que pour tout t dans [1] Pt 2 = et donc Pt = On en conclut que P est un polynôme qui a une infinité de racines tous les éléments de [1] : c est donc le polynôme nul Par conséquent R n [X ] muni de son produit scalaire canonique est un espace euclidien car R n [X ] est de dimension finie égale à n Produit scalaire sur les espaces de matrices Soit n un entier naturel non nul On considère l espace vectoriel M n R des matrices réelles carrées de taille n Alors l application : M n R M n R R AB Tr A t B est un produit scalaire sur M n R Nous étudierons cet exemple en exercice M n R muni d un produit scalaire est un espace euclidien car c est un espace vectoriel de dimension finie égale à n 2 5 Produit scalaire sur les espaces de fonctions continues sur un segment Plus généralement qu en 3 si a et b sont deux réels tels que a < b alors l application : C [ab]r C [ab]r R f g b a f tg t dt est un produit scalaire sur l ensemble C [ab]r des fonctions réelles définies et continues sur l intervalle [ab] Attention l espace vectoriel C [ab]r est de dimension infinie donc le munir d un produit scalaire n en fait pas un espace euclidien ECS2 Lycée Pothier Orléans 4 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

5 EXEMPLE 2 Montrer que R n [X ] muni de l application : forme un espace euclidien : R n [X ] R n [X ] R a i X i b j X j a k b k i= j = k= 3 NORME EUCLIDIENNE ET INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ Dans toute la suite désigne un produit scalaire sur E DÉFINITION 6 Norme euclidienne On appelle norme euclidienne associée au produit scalaire de E et on note l application : E R x x = x x Le réel x est appelé la norme de x Attention il faut bien noter que la norme dépend du produit scalaire dont on a muni l espace vectoriel E MÉTHODE Dans la pratique pour déterminer la norme d un vecteur x on calcule toujours x 2 = x x puis comme c est un réel positif on en prend la racine ce qui évite de conserver la racine à chaque étape du calcul La proposition suivante montre que la norme euclidienne est bien une norme au sens mathématique c est-à-dire vérifie les propriétés définissantes suivantes PROPOSITION 7 Propriétés d une norme La norme euclidienne est une norme c est-à-dire qu elle vérifie les propriétés suivantes : 1 Positivité : x E x 2 Séparation : x E x = = x = E 3 Homogénéité : x E λ R λx = λ x 4 Sous-additivité appelée inégalité triangulaire : x y E x + y x + y REMARQUES Attention à ne pas oublier la valeur absolue pour la propriété d homogénéité x Si x est un vecteur non nul de E alors le vecteur est unitaire c est-à-dire de norme 1 car x x x = 1 x = 1 x ECS2 Lycée Pothier Orléans 5 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

6 u N L inégalité triangulaire généralise l inégalité triangulaire M v MP M N + N P u + v P Démonstration Les trois premiers points de la proposition se montrent grâce aux propriétés du produit scalaire Pour montrer le dernier point nous allons utiliser l inégalité de Cauchy-Schwarz THÉORÈME 8 Inégalité de Cauchy-Schwarz x y E x y x y De plus on a égalité si et seulement si la famille x y est liée c est-à-dire si et seulement si x et y sont colinéaires de même sens si leur produit scalaire est positif et de sens contraire s il est négatif REMARQUE L inégalité de Cauchy-Schwarz peut également s écrire sous la forme ou encore x y E x y E x y x x y y x y 2 x x y y Attention à ne pas mélanger ces formules et en particulier le carré ou les racines carrées Démonstration Soient x et y deux vecteurs de E Alors on calcule pour tout t réel x + t y 2 = x + t y x + t y = x x + t y x + x t y + t y t y = x x + 2t x y + t 2 y y par bilinéariété et symétrie = x 2 + 2t x y + t 2 y 2 On obtient ainsi si y cas où l égalité est vraie et les vecteurs colinéaires un polynôme du second degré en t à x et y fixés Or x + t y 2 donc il est positif sur R et en particulier n y change pas de signe Donc son discriminant doit être négatif ou nul Or = 4 x y 2 4 x 2 y 2 On en déduit donc x y 2 x 2 y 2 De plus on a égalité si et seulement si est nul c est-à-dire si et seulement s il existe une unique racine t telle que x + t y = et donc x + t y = ce qui équivaut à dire que x et y sont colinéaires Revenons à la démonstration de l inégalité triangulaire Démonstrationde l inégalité triangulaire Soient x et y deux éléments de E Alors x + y 2 = x + y x + y = x x + x y + y x + y y = x x y + y 2 x x y + y 2 d après l inégalité de Cauchy-Schwarz = x + y 2 ECS2 Lycée Pothier Orléans 6 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

7 En appliquant la fonction racine carrée qui est croissante sur R + on obtient x + y x + y En appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz aux exemples de produits scalaires précédents on obtient les corollaires suivants COROLLAIRE 9 Soient x = x 1 x n et y = y 1 y n deux éléments de R n On a alors x k y k x 2 k y 2 k COROLLAIRE 1 Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [ab] et à valeurs dans R On a alors b a b b f tg t dt f t 2 dt g t 2 dt a a MÉTHODE Pour montrer certaines inégalités on pourra parfois utiliser directement l inégalité de Cauchy- Schwarz Il s agit de savoir reconnaître un produit scalaire En particulier si le membre à majorer s écrit sous la forme d une somme et que le majorant s écrit sous la forme d un produit il faut essayer de trouver les vecteurs auxquels on peut appliquer l inégalité de Cauchy-Schwarz pour obtenir l inégalité demandée EXEMPLE 3 Montrer que pour tout entier n 2 on a k k nn + 1 2n QUELQUES FORMULES ET IDENTITÉS REMARQUABLES Il existe un encadrement dont l inégalité triangulaire est la majoration PROPOSITION 11 x y E x y E x y x + y x + y x y x y x + y Démonstration Il suffit de montrer les inégalités de gauche celles de droite étant des inégalités triangulaires Soient x et y deux vecteur de E 1 D une part d après l inégalité triangulaire on a x = x + y y x + y + y = x + y + y On en déduit x y x + y ECS2 Lycée Pothier Orléans 7 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

8 D autre part y = x + y x x + y + x = x + y + x On en déduit y x x + y Finalement on obtient x y x + y 2 On applique l inégalité précédente à x et y Donnons quelques identités remarquables PROPOSITION 12 Identités remarquables x y E x + y 2 = x x y + y 2 x y E x y 2 = x 2 2 x y + y 2 x y E x + y x y = x 2 y 2 Démonstration C est immédiat par définition de la norme euclidienne et du produit scalaire Le premier point se généralise naturellement à n vecteurs PROPOSITION 13 x 1 x n E 2 x k = x k xi x j 1 i<j n Démonstration Par définition du produit scalaire et de la norme euclidienne La proposition suivante décrit comment déterminer le produit scalaire à partir de la norme PROPOSITION 14 Identités de polarisation Pour tous éléments x et y de E x y x y x y = 1 x + y 2 x 2 y 2 ; 2 = 1 x 2 + y 2 x y 2 ; 2 = 1 x + y 2 x y 2 4 Démonstration À faire PROPOSITION 15 Identité du parallélogramme x y E x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 N v L identité du parallélogramme généralise l égalité MP 2 +NQ 2 = M N 2 +N P 2 +MQ 2 +QP 2 = 2M N 2 +2N P 2 M u u + v u v u P Q v ECS2 Lycée Pothier Orléans 8 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

9 Démonstration À faire II ORTHOGONALITÉ ET ORTHONORMALITÉ DE FAMILLES DE VECTEURS 1 VECTEURS ET FAMILLES ORTHOGONALES DÉFINITION 16 Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux on peut noter x y si x y = REMARQUE Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs EXEMPLE 4 Les vecteurs 13 et 62 de R 2 sont orthogonaux car = = EXEMPLE 5 Montrer que les fonctions f et g définies pour tout réel x dans [1] par f x = 2x 2 et g x = 3x sont orthogonales pour le produit scalaire usuel sur C [1]R DÉFINITION 17 Famille orthogonale On dit qu une famille finie v 1 v p de vecteurs est orthogonale si ses éléments sont orthogonaux deux à deux : i j 1 p vi v j = EXEMPLE 6 La base canonique de R n est orthogonale pour le produit scalaire canonique EXEMPLE 7 Montrer que les éléments et de R 3 forment une famille orthogonale pour le produit scalaire canonique THÉORÈME 18 Théorème de Pythagore 1 Version à deux vecteurs : x y E x y x + y 2 = x 2 + y 2 2 Version à plusieurs vecteurs : si x 1 x p est une famille orthogonale de E alors x x p 2 = x x p 2 Démonstration Pour la première assertion il suffit de remarquer que PROPOSITION 19 x + y 2 = x x y + y 2 p 2 p Pour la seconde on utilise la formule x k = x k Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre xi x j 1 i<j p Démonstration Soit v 1 v p une famille orthogonale de vecteurs non nuls Montrons qu elle est libre p Pour cela on considère des réels λ 1 λ p tels que λ k v k = E Alors pour tout entier i dans 1 p p = E v i = λ k v k v i = p λ k v k v i = λ i v i v i = λ i v i 2 Comme le vecteur v i n est pas nul on a v i 2 et donc λ i = ceci pour tout i dans 1 p ce qui prouve que la famille est libre ECS2 Lycée Pothier Orléans 9 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

10 2 FAMILLES ORTHONORMÉES DÉFINITION 2 Famille orthonormée Une famille v 1 v n de vecteurs est dite orthonormée si elle est orthogonale et si tous ses vecteurs sont de norme 1 : i j 1n vi v j = et i 1n vi = 1 EXEMPLE 8 La base canonique de R n est une famille orthonormée 3 EXEMPLE 9 Montrer que les vecteurs et de R 3 forment une famille orthonormée MÉTHODE Pour passer d une famille orthogonale de vecteurs non nuls à une famille orthonormée il suffit de diviser chacun de ses vecteurs par sa norme 3 ORTHONORMALISATION DE SCHMIDT Le théorème suivant décrit un algorithme qui permet de construire à partir d une famille libre une famille orthonormée proche de la première au sens où les espaces engendrés par le premier vecteur sont les mêmes de même que les espaces engendrés par les deux premiers vecteurs et ainsi de suite THÉORÈME 21 Orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit e 1 e n une famille libre de E Définissons par récurrence finie une famille f 1 f n de vecteurs de E en posant : f 1 = e 1 e 1 puis f 2 = f 2 f 2 où f 2 = e 2 e 2 f 1 f1 et de manière générale pour tout k dans 2n f k f k = f k où f k = e k k ek f i fi Alors la famille f 1 f n est l unique famille orthonormée qui vérifie pour tout k dans 1n Vecte 1 e k = Vect f 1 f k et ek f k > Démonstration On procède par récurrence forte EXEMPLE 1 Déterminons une base orthonormale du plan P de R 3 défini par l équation : x + y + z = Soit ϕ : R 3 R ; x y z x+y+z ϕ est une forme linéaire donc P = {x y z R 3 ; ϕx y z = } est un hyperplan de R 3 donc un plan Il admet pour base e 1 e 2 = = = 2 d où 1 = 2 et f 1 = ECS2 Lycée Pothier Orléans 1 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

11 Déterminons maintenant f 2 f2 = e 2 e 2 f 1 f 1 = = /2 = /2 1 On en déduit f2 2 = = 3 / et f 2 = 3 /2 = EXEMPLE 11 Orthonormaliser la base u 1 u 2 u 3 = de R 3 pour le produit scalaire canonique III BASES ORTHONORMÉES Dans toute la suite E désigne un espace euclidien En particulier E est de dimension finie 1 GÉNÉRALITÉS 1A DÉFINITION DÉFINITION 22 Base orthogonale base orthonormée On appelle base orthogonale de E respectivement base orthonormée de E toute famille orthogonale respectivement orthonormée qui est une base de E EXEMPLE 12 La base canonique de R n est une base orthonormée MÉTHODE Pour montrer qu une famille de vecteurs est une base orthogonale respectivement orthonormée de E il suffit de montrer 1 que les vecteurs sont orthogonaux deux à deux ; 2 que les vecteurs sont non nuls respectivement de norme 1; 3 que la famille compte autant d éléments que la dimension de E En effet on utilise le fait que toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre et que toute famille libre contenant autant de vecteurs que la dimension d un espace vectoriel en forme une base 3 EXEMPLE 13 Montrer que les vecteurs et de R 3 forment une base orthonormée de R 3 ECS2 Lycée Pothier Orléans 11 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

12 1B EXISTENCE DE BASES ORTHONORMÉES THÉORÈME 23 Existence d une base orthonormée Tout espace euclidien admet une base orthonormée Démonstration Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base Il suffit ensuite d orthonormaliser cette base à l aide du procédé de Schmidt par exemple THÉORÈME 24 Complétion d une famille orthonormée en une base orthonormée Toute famille orthonormée d un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée Démonstration Toute famille orthonormée est une famille libre elle ne contient pas de vecteurs nuls car ses vecteurs sont unitaires De plus toute famille libre peut être complétée en une base Finalement on orthonormalise cette base et les premiers vecteurs restent inchangés 1C EXPRESSION DES COORDONNÉES DANS UNE BASE ORTHONORMÉE PROPOSITION 25 Expression des coordonnées dans une base orthonormée Soit B = e 1 e n une base orthonormée de E Alors pour tout vecteur x de E les réels xe k forment les coordonnées de x dans la base B c est-à-dire que l on a x = xe k e k xe 1 Autrement dit les coordonnées du vecteur x dans la base B sont xe n Démonstration Notons x 1 x n les coordonnées du vecteur x dans la base B c est-à-dire les uniques réels qui vérifient x = x k e k Pour tout entier i 1n on a xe i = x k e k e i = x k e k e i = x i 3 EXEMPLE 14 Nous avons vu que les vecteurs et forment une base orthonormée de R 3 1 Donner les coordonnées du vecteur et dans cette base puis celles des vecteurs 2 Donner les coordonnées des vecteurs 1 1 et 1 dans cette base 3 Écrire le vecteur 111 comme combinaison linéaire des vecteurs de cette base ECS2 Lycée Pothier Orléans 12 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

13 1D EXPRESSION DE LA NORME DANS UNE BASE ORTHONORMÉE COROLLAIRE 26 Expression de la norme dans une base orthonormée Soit e 1 e n une base orthonormée de E Alors pour tout vecteur x de E on a x = xe k 2 2 CHANGEMENT DE BASES ORTHONORMÉES DÉFINITION 27 Matrice orthogonale Une matrice carrée P est dite orthogonale si elle est inversible d inverse égale à sa transposée P = t P EXEMPLE 15 Montrons que la matrice A est orthogonale où Il suffit de montrer que A t A = I 3 1 A = 1 1 t A t A = 1 1 = 1 = I Donc la matrice A est inversible d inverse t A et est donc orthogonale EXEMPLE 16 Montrer que la matrice est orthogonale La proposition suivante justifie la terminologie PROPOSITION P = Une matrice carrée M de taille n est orthogonale si et seulement si les vecteurs correspondant à ses colonnes forment une base orthonormée de R n Démonstration Pour tout entier i dans n on note C i la i -ème colonne de la matrice M Alors le coefficient indexé par i j de t M M est t C i C j qui est nul si i j et égal à 1 si i = j si et seulement si la famille C 1 C n est orthonormée De plus toute famille orthonormée de n vecteurs est une base de R n ECS2 Lycée Pothier Orléans 13 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

14 EXEMPLE 17 Montrons que la matrice A est orthogonale où 1 A = 1 1 Les colonnes 1 1 et 1 de la matrice A forment une base orthonormée de M 31 R ce qui prouve que A est orthogonale EXEMPLE 18 Montrer que la matrice P = est orthogonale à l aide de la proposition ci-dessus PROPOSITION 29 Soit B une base orthonormée de E Alors une base B de E est orthonormée si et seulement si la matrice de passage de B à B est orthogonale Démonstration Soient B = e 1 e n une base orthonormée d un espace euclidien E et B = f 1 f n une base de E Notons P la matrice de passage de B à B Par définition de la matrice de passage la i -ème colonne de P notée Y i est le vecteur colonne des coordonnées de f i dans la base B Le coefficient i j de t PP est égal à t Y i Y j = f i f j Si B est orthogonale alors t Y i Y j = { si i j f i f j = 1 sinon Ainsi t PP a tous ses coefficients nuls sauf les coefficients diagonaux qui valent 1 : c est l identité I n Par conséquent P est orthogonale Réciproquement si P est orthogonale alors i j 1n 2 f i f j = t Y i Y j = { si i j 1 sinon Donc B est orthogonale EXEMPLE 19 Montrons que la matrice A est orthogonale où 1 A = 1 1 La matrice A est la matrice de passage de la base canonique e 1 e 2 e 3 de R 3 à la base e 3 e 2 e 1 qui sont toutes deux orthonormées Par conséquent la matrice A est orthogonale ECS2 Lycée Pothier Orléans 14 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

15 EXEMPLE 2 Montrer que la matrice P = est orthogonale à l aide de la proposition ci-dessus COROLLAIRE 3 Formule de changement de bases orthonormées Soit f une application linéaire de E dans E On note A sa matrice dans une base orthonormée B de E et A sa matrice dans une autre base orthonormée B de E Alors la formule de changement de bases s écrit A = PA t P où P est la matrice de passage de la base B à la base B Démonstration C est trivial car la formule usuelle est M = P MP et on sait ici que P = t P Résumons les différentes méthodes pour montrer qu une matrice est orthogonale MÉTHODE Pour montrer qu une matrice A de M n R est orthogonale il suffit de montrer l une des propriétés suivantes 1 t A A = I n ou A t A = I n ou A = t A rappelons que pour les matrices un inverse à gauche ou à droite est nécessairement l unique inverse 2 La famille des colonnes de A est une famille donc une base orthonormée de R n 3 A est la matrice de passage entre deux bases orthonormées 3 EXPRESSION MATRICIELLE DU PRODUIT SCALAIRE ET DE LA NORME DANS UNE BASE ORTHONOR- MÉE PROPOSITION 31 Expression matricielle du produit scalaire dans une base orthonormée Soit B = e 1 e n une base orthonormée de E Soient x = x i e i et y = y i e i deux vecteurs de E On considère les matrices colonnes de M n1 R des coordonnées de x et y dans la base B : x 1 x 2 X = y 1 y 2 et Y = x n y n Alors on a x y = t X Y Démonstration À faire ECS2 Lycée Pothier Orléans 15 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

16 COROLLAIRE 32 Expression matricielle de la norme dans une base orthonormée Soit B = e 1 e n une base orthonormée de E Soit x = x i e i un vecteur de E On considère la matrice colonne de M n1 R des coordonnées de x dans la base B : x 1 x 2 X = x n Alors on a x 2 = t X X Démonstration Immédiat en prenant x = y dans la proposition précédente IV ORTHOGONALITÉ DE PARTIES ET D ESPACES VECTORIELS Dans toute la suite E désigne un espace euclidien 1 ORTHOGONAL D UN SEV DÉFINITION 33 Orthogonal d un sev Soit F un sev de E On appelle orthogonal de F et on note F l ensemble des vecteurs orthogonaux à chaque vecteur de F : F = { x E y F x y = } EXEMPLE 21 Dans E = R 2 l orthogonal de la droite vectorielle Vect1 est la droite vectorielle Vect1 En effet les vecteurs orthogonaux à 1 sont les vecteurs x y de R 2 tels que 1x y = c est-à-dire y = Réciproquement si x R le vecteur x est orthogonal à tout vecteur de la forme λ1 c est-à-dire à tout vecteur de Vect1 EXEMPLE 22 Déterminer l orthogonal Vect3 de la droite vectorielle Vect3 dans R 2 EXEMPLE 23 E = { E } et { E } = E PROPOSITION 34 Pour tout sev F de E l orthogonal F de F est un sous-espace vectoriel de E Démonstration 1 F est un sous-ensemble de E 2 F est non vide car le vecteur nul E est orthogonal à tous les vecteurs de E 3 Pour tous vecteurs x et y dans F et pour tout réel λ λx + y appartient à F En effet pour tout z F on a λx + y z = λx z + y z = λ + = PROPOSITION 35 Soient F et G deux sev de E Si F G alors G F Démonstration Soit x un élément de G Alors pour tout y dans G x y = En particulier comme F G on a pour tout y dans F x y = donc x appartient à F ECS2 Lycée Pothier Orléans 16 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

17 2 SOUS-ESPACES VECTORIELS ORTHOGONAUX DÉFINITION 36 Sous-espace vectoriels orthogonaux Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E On dit que F et G sont orthogonaux on peut noter F G si x F y G x y = PROPOSITION 37 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E Alors les assertions suivantes sont équivalentes : 1 F et G sont orthogonaux; 2 F G ; 3 G F Démonstration Les sous-espaces vectoriels F et G sont orthogonaux si et seulement si x F y G x y = si et seulement si tout vecteur x de F est dans l orthogonal de G ie F G Par symétrie des rôles de F et G on obtient l autre équivalence REMARQUE Autrement dit F est le plus grand au sens de l inclusion sev de E orthogonal à F PROPOSITION 38 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E Si F et G sont orthogonaux alors F G = { E } En particulier F F = { E } Démonstration Le vecteur nul E appartient clairement aux deux sous-espaces vectoriels donc à leur intersection De plus si x est un élément de F G alors il vérifie }{{} x }{{} x = donc est le vecteur nul F G PROPOSITION 39 Caractérisation de l orthogonalité à l aide de familles génératrices 1 Soient F = Vect f 1 f p un sous-espace vectoriel de E Alors pour tout vecteur x de E x F i 1 p x fi = 2 Plus généralement soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que F = Vect f 1 f p et G = Vect g 1 g q Alors F G i 1 p j 1 q fi g j = Démonstration 1 Le sens direct est trivial Réciproquement si pour tout i 1 p x fi = alors p comme pour tout y F il existe λ 1 λ p R p tel que y = λ i f i on obtient par linéarité à droite du produit scalaire p p x y = λ i x fi = λ i = donc x F ECS2 Lycée Pothier Orléans 17 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

18 2 Le sens direct est trivial Réciproquement soient x dans F de la forme x = dans G de la forme y = Alors on a d où l on déduit F G q y j g j j =1 p q p q x y = x i f i y j g j = x i y j fi g j = j =1 j =1 p x i f i et y EXEMPLE 24 Dans R 3 les sous-espaces vectoriels F = Vect 34 et G = Vect 1141 sont orthogonaux car 3411 = et 3441 = EXEMPLE 25 Dans R 4 muni de son produit scalaire euclidien on considère l espace vectoriel F = Vect Déterminer un système d équations et une base de l orthogonal F de F 3 SUPPLÉMENTAIRES ORTHOGONAUX Dans cette sous-section la dimension finie de E est cruciale DÉFINITION 4 Supplémentaire orthogonal Soit F un sous-espace vectoriel d un espace euclidien E Alors F est appelé le supplémentaire orthogonal de F Cette définition est justifiée par les théorème et corollaire suivants THÉORÈME 41 Soit F un sous-espace vectoriel d un espace euclidien E Alors les sous-espaces vectoriels F et F sont supplémentaires dans E : E = F F En particulier dime = dimf + dim F Démonstration Nous avons déjà vu que F est un sous-espace vectoriel de E et que F F = { E } Il reste à montrer que E = F + F Soit e 1 e k une base orthonormée de F que l on complète en une base orthonormée e 1 e n de E Alors les vecteurs e k+1 e n sont dans l orthogonal F de F car ils sont orthogonaux à la famille génératrice e 1 e k de F Tout vecteur x de E s écrit alors sous la forme k x = x i e i = x i e i + }{{} F i=k+1 x i e i } {{ } F COROLLAIRE 42 Unicité du supplémentaire orthogonal Soit F un sous-espace vectoriel de E Alors F est l unique supplémentaire de F qui lui soit orthogonal ECS2 Lycée Pothier Orléans 18 / 19 mise à jour : 14 novembre 217

19 Démonstration Soit G un supplémentaire orthogonal de F Comme G est orthogonal à F on a G F Comme les espaces vectoriels G et F sont supplémentaires de F ils ont même dimension égale à dime dimf d après le théorème précédent Finalement G est un sous-espace vectoriel de F de même dimension donc G = F ce qui prouve l unicité du supplémentaire orthogonal MÉTHODE Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires orthogonaux il suffit de montrer qu ils sont orthogonaux et qu ils vérifient la relation dime = dimf + dimg Attention montrer que deux sous-espaces vectoriels sont orthogonaux ne suffit pas à montrer qu ils sont supplémentaires orthogonaux : la condition sur les dimensions est importante EXEMPLE 26 Montrer que F = Vect11 et G = Vect1111 sont des supplémentaires orthogonaux de R 4 COROLLAIRE 43 Soit F un sous-espace vectoriel de E Alors F = F Démonstration D une part F et F sont supplémentaires orthogonaux dans E et d autre part F et F PROPOSITION 44 sont supplémentaires orthogonaux dans E Finalement F et F sont des supplémentaires orthogonaux de F donc sont égaux d après le corollaire précédent Soit F un sev de E La concaténation d une base orthonormée de F et d une base orthonormée de F forme une base orthonormée de E Démonstration Comme F et F sont supplémentaires on sait déjà que la concaténation d une base f 1 f p de F et d une base f p+1 f n de F forme une base de E La famille f 1 f p est orthonormée comme la famille f p+1 f n De plus pour tout i j 1 p p + 1n comme f i F et f j F f i f j = Ainsi la famille f1 f n est orthonormée ECS2 Lycée Pothier Orléans 19 / 19 mise à jour : 14 novembre 217