6 Conditions aux limites sur < des contraintes <7 124

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1 Table des matières 1 Introduction i I La mécanique des milieux continus I II L'élasticité des solides 5 1 Traction 5 2 Cisaillement 10 3 Flexion 11 4 Torsion 13 5 Plaques minces 14 A Exercices 15 2 Cinématique des particules matérielles m I Notion de particule matérielle 17 1 Les trois échelles au sein des milieux matériels 18 a L'échelle microscopique 18 b L'échelle mésoscopique 18 c L'échelle macroscopique 19 2 Définition des particules matérielles 20 3 Masse volumique p 21 4 Premières notions de grandeurs physiques eulériennes 22 II Description lagrangienne 22 1 Donnée fondamentale 22 2 Propriétés de la fonction x(i?0: t) 24 3 Vitesse et accélération lagrangiennes 26 4 Déplacement lagrangien 26 III Description eulérienne 27 1 Définition 27 2 Équivalence entre les deux descriptions 28 a Passage Lagrange-Euler 28 b Passage Euler-Lagrange 28 c Application 29 3 Lignes et tubes de courant ; trajectoires 30 a Lignes de courant 30 b Tubes de courant 31 c Trajectoires 32 d Vorticité 32 4 Champ de déplacement eulérien 35 5 Accélération eulérienne 36

2 a Première méthode 36 b Seconde méthode 37 c Dérivée de la vitesse en suivant le mouvement 38 IV Dérivées en suivant le mouvement de grandeurs eulériennes 39 A Exercices 41 3 Déformations 43 I Etude locale des transformations 44 1 Transformation d'un segment matériel 44 2 Tenseur gradient de transformation 46 3 Variations de volume et jacobien d'une transformation 46 II Tenseur des déformations en description lagrangienne 48 1 Variations de longueur des segments matériels 48 2 Variations angulaires 50 3 Déformation nulle et transformation rigide 51 III Petites déformations lagrangiennes 52 1 Tenseur des petites déformations ë 52 2 Eléments diagonaux eu et variations des longueurs 53 a Variations relatives de longueurs élémentaires 53 b Application : allongement d'une barre en traction 54 3 Variations relatives de volume 55 4 Eléments non diagonaux tj et variations angulaires 56 IV Petits déplacements et petites perturbations 56 V Déformations en description eulérienne 58 1 Tenseur gradient de transformation eulérien / 58 2 Tenseur des déformations en description eulérienne 59 3 Petites déformations eulériennes et lagrangiennes 60 a Définition du tenseur 60 b Signification de 61 c Variations relatives de volumes 62 d Egalité des tenseurs ë' e 'et ê 62 VI Conditions de compatibilité sur ë 63 VII Passage des déformations au champ de déplacement u 65 VIII Cinématique des transformations 67 1 Variations temporelles de longueur d'un segment matériel 67 2 Tenseur des taux de déformation D 69 a Définition 69 b Signification des éléments de D 70 c Variations temporelles des volumes élémentaires 70 A Tenseur des déformations en coordonnées cylindriques 72 B Tenseur des déformations en coordonnées sphériques 76 C Exercices 78

3 4 Equations de bilan : A - Bilan de masse 83 I Principe de conservation de la masse 84 II Dérivées en suivant le mouvement d'intégrales de volume 84 1 Première méthode 85 a Sens de l'intégrale de volume 87 b Sens de l'intégrale de surface. Flux de masse 88 c Conclusion 89 2 Deuxième méthode 90 3 Généralisation 92 III Bilan de masse 93 1 Forme intégrale 93 2 Forme locale 93 IV Mouvement isochore 94 1 Définition 94 2 Notion de débit volumique 95 V Compléments sur la dérivation d'intégrales 97 VI Bilan de masse et discontinuités 98 A Exercices Equations de bilan : B - Contraintes, bilan d'impulsion 105 I Forces agissant au sein d'un milieu matériel Forces en volume Forces en surface 107 a Forces d'interaction d'origine atomique 107 b Forces de pression 109 c Expression générale Force et moment résultants agissant sur un domaine D 110 II Principe fondamental de la dynamique Impulsion et moment cinétique Énoncé du principe fondamental de la dynamique 112 III Définition du tenseur des contraintes Propriété d'antisymétrie de T Théorème de Cauchy 115 a Énoncé 115 b Démonstration 117 IV Lois fondamentales de la dynamique des milieux continus Expressions intégrales Expression locale du bilan d'impulsion Bilan d'impulsion dans un référentiel non-galiléen Bilan d'impulsion et discontinuités Expression locale du bilan de moment cinétique : symétrie du tenseur des contraintes < Conditions aux limites sur <7 125

4 V Premières propriétés du tenseur des contraintes Contraintes normales et contraintes de cisaillement Directions principales et contraintes principales Cercles de Mohr Tenseurs des contraintes particuliers 127 a Pression dans un fluide. Contraintes isotropes 128 b Contraintes uniaxiales : traction et compression 128 c Contraintes de cisaillement pur 129 d Contraintes planes 130 e Lexique des contraintes élémentaires 130 VI Efforts intérieurs. Théorème de l'énergie cinétique Puissance des efforts intérieurs Théorème de l'énergie cinétique 134 VII Principe des puissances virtuelles (P.P.V.) Introduction au P.P.V. : cas d'un point matériel Généralisation au cas d'un système de n points matériels Le principe des puissances virtuelles en M.M.C 137 a Mouvements rigidifiants et détermination de A et C 139 b Dérivation du bilan d'impulsion et de la relation de Cauchy Le Principe des Travaux Virtuels (P.T.V.) 141 VIII Bilan des premières équations de bilan 142 A Coordonnées cylindriques ou sphériques et tenseur des contraintes 143 I Relations entre les éléments de a en coordonnées cylindriques et II Bilan d'impulsion en coordonnées cylindriques et sphériques 145 B Exercices Equations de bilan : C - Energie, entropie, comportement 153 I Préliminaires Energie totale et énergie interne d'une particule Entropie d'une particule Energies et entropie d'un domaine T> 156 II Premier principe de la thermodynamique Énoncés du premier principe Expressions du taux de chaleur 158 a Chaleur échangée en surface ; vecteur flux de chaleur 159 b Chaleur échangée en volume 159 c Taux de chaleur total Q(t) Bilan d'énergie totale Cas particulier où / dérive d'un potentiel indépendant du temps Bilan d'énergie interne Bilan d'énergie et discontinuités 165 III second principe de la thermodynamique Bilan d'entropie sous forme intégrale Bilan d'entropie sous forme locale 167

5 3 Différents types de transformations 168 a Transformation adiabatique 168 b Transformation isotherme 169 c Transformation isentropique 169 d Transformation réversible Bilan d'entropie et discontinuités 169 IV Bilan des équations de bilan 170 V Lois de comportement de e Méthode de calcul de la différentielle de l'énergie interne massique Cas des fluides 173 a Loi de comportement de l'énergie interne des fluides 173 b Bilan d'entropie pour un fluide Cas des solides élastiques 176 a Loi de comportement de l'énergie interne des solides élastiques b Bilan d'entropie pour un solide élastique 178 VI Comportement du flux de chaleur. Loi de Fourier 179 A Exercices Fluides newtoniens et fluides parfaits 183 I Tenseur des contraintes dans les fluides Pression dans un fluide en équilibre. Modèle microscopique Équation d'état pour un fluide Modèle microscopique des contraintes visqueuses dans un fluide en mouvement simple Propriétés des fluides newtoniens 189 a Approximation linéaire entre <r et grad v i 89 b Rôle de l'isotropie des fluides 191 c Tenseur des contraintes Propriétés de r/ et n Fluides non newtoniens 195 II Équation de Navier-Stokes Démonstration Application : viscosimètre 197 a Régime permanent 199 b Régime transitoire de retour à l'immobilité 201 III Les équations de bilan et les lois de comportement Grandeurs physiques connues et inconnues Conditions aux limites 204 a Conditions initiales temporelles 204 b Conditions spatiales sur v (r, t) 204 c Conditions spatiales sur S 205 d Conditions aux limites de nature thermique 205 IV Statique des fluides Que deviennent les équations de bilan? 206 a Bilan de masse 206

6 b Bilans d'énergie interne et d'entropie 207 c Bilan d'impulsion Applications diverses 208 a Fluide en équilibre dans le champ de pesanteur 208 b Pression dans un fluide en rotation uniforme 209 c Pesanteur et pression dans un gaz idéal isotherme 210 d Pesanteur et pression dans un liquide compressible isotherme e Pesanteur et pression dans un gaz idéal adiabatique 213 f Le théorème d'archimède 214 V Fluides parfaits et bilan d'impulsion Fluides barotropes Première relation de Bernoulli 217 a Démonstration de Bernoulli I 217 b Fluide en mouvement isentropique 218 c Fluide incompressible 218 d Gaz idéal en transformation adiabatique réversible Seconde relation de Bernoulli 219 a Un fluide en écoulement irrotationnnel est barotrope 219 b Démonstration de Bernoulli II 220 c Application : surface libre d'un tourbillon Théorèmes de Lord Kelvin et de Lagrange 222 a Théorème de Lord Kelvin 223 b Théorème de Lagrange 224 A Exercices Solides élastiques linéaires 231 I Energie libre et tenseur des contraintes dans un solide élastique 232 II Transformations isothermes dans les solides élastiques linéaires Transformation isotherme et énergie libre approchée Energie libre des solides isotropes Equation de Lamé Signe des coefficients de Lamé Equation de Hooke 241 III Les lois physiques dans les solides EL2I Approximations sur la masse volumique, la vitesse et l'accélération Les équations de l'élasticité linéaire des milieux isotropes et isothermes. 243 a Bilans d'énergie et d'entropie 243 b Déplacements, déformations et contraintes Équation de Navier 245 a Cas général 245 b Régime permanent sans force en volume Equations de compatibilité de Beltrami-Michell Notion d'énergie élastique Unicité et linéarité des solutions stationnaires 250 IV Transformations non isothermes des solides élastiques 251

7 1 Energie libre approchée des solides isotropes Équation de Lamé généralisée. Dilatation thermique 254 a Équation de Lamé généralisée 254 b Dilatation thermique Tenseur des contraintes et transformation adiabatique Équations de bilan des solides thermo-élastiques 257 a Équation de Navier généralisée 258 b Equation de la chaleur pour les solides thermo-élastiques 259 V Élasticité des cristaux Rudiments de cristallographie 260 a Systèmes cristallins et réseaux de Bravais 261 b Les 32 groupes ponctuels Changement de référentiel et transformation des éléments de a et ë Propriétés de ä et ë liées aux symétries cristallines Relation de Lamé dans les cristaux 266 a Cristal triclinique 267 b Cristal monoclinique 267 c Cristal cubique Tenseur de dilatation thermique Tenseur de conductivité thermique 271 A Équations de Beltrami-Michell 273 B Exercices 275 Réponses aux exercices 279 Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Index 326