Méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes hétérogènes

Transcription

1 Méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes hétérogènes SMA - Projet de semestre - Analyse Numérique Sous la direction du Dr. Marco Discacciati Rime Mathias automne 2008

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3 Remerciements Je remercie vivement Marco Discacciati pour m'avoir suivi durant ce projet, en prenant le temps, parfois des heures, de vérier mes calculs ou trouver des erreurs. Je le remercie aussi pour le code MATLAB écrit à mon intention. Finalement je remercie mes collègues Gwenol, Matthieu et Fabrizio pour leur soutient, leur faculté à parler d'analyse numérique, et simplement leur bonne humeur! iii

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5 Table des matières 1 Problème de diusion hétérogène Forme faible Forme multi-domaines Forme faible multi-domaines Approximation par éléments nis et forme multi-domaines Le complément de Schur Méthodes itératives de décomposition de domaine Méthode de Dirichlet-Neumann Méthode de Neumann-Neumann Approximation par éléments nis et forme algébrique Convergence des méthodes itératives Préconditionneur de Neumann-Neumann pour plusieurs sous-domaines Une méthode de Schwarz hybride Forme variationnelle Une méthode de projection Généralisation à plusieurs sous-domaines Forme algébrique Méthode à deux niveaux Résultats numériques Méthode de Neumann-Neumann Nombre de conditionnement et scalabilité Inuence des sauts des coecients Méthode de Schwarz hybride Problème elliptique Problème de Stokes Bibliographie 49 v

6 Chapitre 1 Problème de diusion hétérogène Nous introduisons dans ce chapitre le problème de diusion hétérogène que nous étudierons tout au long du projet. Considérons le problème elliptique suivant : { (µ u = f, dans Ω R (1.1 d ; (d = 2, 3 u = 0, sur Ω avec µ L (Ω, inf Ω µ > 0 et f L 2 (Ω. On considère une décomposition de Ω en deux sous-domaines sans recouvrement Ω 1 et Ω 2, avec Ω 1 Ω 2 = Ω, Ω 1 Ω 2 = et Ω 1 Ω 2 =: Γ. Soit { µ 1 (x dans Ω 1 µ(x = µ 2 (x dans Ω 2 avec µ 1 L (Ω 1 et µ 2 L (Ω 2. Nous nous intéressons donc au cas où la décomposition du domaine Ω se fait suivant les particularités physiques du problème que nous voulons modéliser ; ici, on décompose Ω suivant les sauts de la fonction de diusion µ. Nous introduisons maintenant les divers notations et espaces fonctionnels que nous utiliserons. Ensuite nous pourrons décrire la forme faible du problème (1.1 et, surtout, ses formes multidomaines ainsi que l'équation d'interface de Steklov-Poincaré associée à l'interface Γ. Dénition. Soit Ω R d, d = 2, 3 un ouvert. Nous dénissons (w, v Ω := wv, Ω L 2 (Ω := {v : Ω R, v mesurable (v, v Ω < } H 1 (Ω := { v L 2 (Ω D j v L 2 (Ω j = 1,..., d } H 1 0(Ω := { v H 1 (Ω v Ω = 0 } V := H 1 0(Ω, où D j désigne l'opérateur de dérivée partielle x j, j = 1,..., d. La norme de L 2 (Ω sera notée. 0,Ω tandis que la norme de H 1 (Ω sera notée. 1,Ω, avec v 0,Ω = (v, v 1/2 Ω v L 2 (Ω 1

7 2 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE et où on a noté v 1,Ω = ( v 2 0,Ω + v 2 0,Ω 1/2 v H 1 (Ω, v 2 0,Ω = Nous avons l'inégalité de Cauchy-Schwartz d D j v 2 0,Ω. (u, v u 0,Ω v 0,Ω. L'inégalité de Poincaré nous dit qu'il existe une constante C Ω > 0 telle que (1.2 v 2 0,Ω C Ω v 2 0,Ω v H 1 0(Ω. La semi-norme v 0,Ω est donc une norme pour v H0(Ω, 1 équivalente à la norme v 1,Ω. En eet nous avons C Ω v 2 1,Ω v 2 0,Ω v 2 1,Ω v H 1 0(Ω. On dénit aussi l'espace de trace H 1/2 ( Ω de H 1 (Ω sur le bord Ω H 1/2 ( Ω = { v Ω v H 1 (Ω }, et on a une dénition analogue pour un sous-ensemble ouvert non vide Σ Ω H 1/2 (Σ = { v Σ v H 1 (Ω }. 1.1 Forme faible Nous multiplions l'équation (1.1 par une fonction test v H0(Ω 1 et on intègre sur Ω : v (µ u = fv. Ω Ω On intègre le membre de gauche par partie en utilisant (vµ u = v µ u + v (µ u, on obtient v µ u (vµ u = fv. Ω Ω Ω En utilisant le théorème de Green, on a (vµ u = (vµ u n Ω, Ω Ω

8 1.2. FORME MULTI-DOMAINES 3 où n Ω désigne la normale extérieure du domaine Ω. Comme v H 1 0(Ω est nul sur le bord de Ω, la dernière intégrale est nulle. Finalement, on obtient la forme faible du problème (1.1 : (1.3 Trouver u H 1 0(Ω : a(u, v = (f, v Ω, v H 1 0(Ω où a(u, v = (µ u, v Ω. La forme a(, est coercive sur H0(Ω, 1 en eet nous avons a(u, u = µ u u (min µ u 2 0,Ω min Ω µ u 2 Ω 1 + C 1,Ω, Ω Ω où on a utilisé l'inégalité de Poincaré pour la dernière étape. De plus a(, est continue, on a a(u, v = µ u v (max µ u 0,Ω v 0,Ω (max µ u 1,Ω v 1,Ω, Ω Ω Ω où on a utilisé l'inégalité de Cauchy-Schwarz en première étape. 1.2 Forme multi-domaines Nous posons u i = u Ωi la restriction à Ω i de la solution u du problème (1.1, et notons n i la direction normale à Ω i Γ, orientée vers l'extérieur de Ω i. Nous notons aussi n = n 1 (voir gure 1.1. n 2 1 (1.4 Figure 1.1 Décomposition de Ω en deux sous-domaines. Le problème (1.1 peut alors être reformulé sous la forme multi-domaines suivante (µ 1 u 1 = f sur Ω 1 u 1 = 0 sur Ω 1 Ω u 1 = u 2 sur Γ u µ 2 2 = µ n 1 u 1 sur Γ n (µ 2 u 2 = f sur Ω 2 u 2 = 0 sur Ω 2 Ω.

9 4 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE Remarquons que les deux problèmes (1.1 et (1.4 sont équivalent si la solution u est assez régulière (u C 2 (Ω par exemple, si non, ce sont les formes faibles de ces problèmes qui sont équivalentes. Les deux équations (1.4 3 et (1.4 4 sont les conditions de transmissions pour u 1 et u 2 à travers Γ. Ces équations assurent la continuité à l'interface Γ de la solution globale u, la réunion de u 1 et u 2, ainsi que la continuité du ux µ u. Notons λ := u n Γ la valeur de la solution sur l'interface Γ. Si on connaissait la valeur de λ, nous pourrions retrouver la solution complète en résolvant deux problèmes indépendants sur Ω 1 et Ω 2, avec la valeur λ comme conditions au bord de Dirichlet sur Γ et une condition de Dirichlet homogène sur Ω i \ Γ. Le problème est comment trouver λ? Pour trouver une équation déterminant λ, nous séparons les solutions u i en deux contributions. Nous posons u i = H i λ + G i f, i = 1, 2, où les contributions H i λ et G i f satisfont les problèmes suivant : (µ i H i λ = 0 sur Ω i (1.5 H i λ = 0 sur Ω i Ω H i λ = λ sur Γ et (1.6 (µ i G i f = f sur Ω i G i f = 0 sur Ω i Ω G i f = 0 sur Γ. Pour chaque i = 1, 2, H i λ est l'extension harmonique de λ vers Ω i (noter qu'en général on appelle extension harmonique une fonction satisfaisant au problème de Laplace, i.e. Hη = 0, Hη Γ = η. Remarquons que G i f ne dépend que de f, tandis que H i λ ne dépend que de la valeur λ de la solution u à l'interface. Pour vraiment obtenir un problème équivalent au problème (1.4, il nous faut encore la condition (1.4 4 sur le ux. Nous devons donc avoir (H 1 λ + G 1 f = (H 2λ + G 2 f n L n L où on a noté v n L = µ v n, la dérivée conormale. La dernière équation est équivalente à dire que λ est solution de l'équation d'interface de Steklov-Poincaré (1.7 Sλ = χ sur Γ où (1.8 χ := G 2f n L 2 = G 1f n L µ i G i f n i

10 1.2. FORME MULTI-DOMAINES 5 et S est l'opérateur de Steklov-Poincaré déni par (1.9 Sη := H 1η n L 2 = H 2η n L µ i H i η n i. Nous dénissons de plus les opérateurs locaux de Steklov-Poincaré par Nous avons donc S i η := µ i H i η n i, i = 1, 2. S = S 1 + S Forme faible multi-domaines On introduit les espaces suivant pour la décomposition Ω 1, Ω 2 : V i := { v i H 1 (Ω i v i Ω Ωi = 0 } i = 1, 2 V 0 i := H 1 0(Ω i = { v i V i v i Γ = 0 }. Pour tout v V i, on peut dénir l'opérateur de trace γ : V i L 2 (Γ γw = w Γ w C 0 (Ω V i. On sait que si d > 1, alors H 1 (Ω C 0 (Ω, mais on peut étendre l'opérateur par densité. Donc il existe un opérateur γ continu tel que v Γ L 2 (Γ = γv L 2 (Γ C v 1,Ωi. De plus, on peut démontrer que γ(v i L 2 (Γ, on dénit alors l'espace de trace Λ := γ(v i et on peut dénir une norme η Λ := inf v 1,Ωi v V i v Γ =η tel que (Λ, Λ est un espace de Banach. On caractérise Λ par Λ = { η H 1/2 (Γ η = v Γ pour un v V = H 1 0(Ω }. L'opérateur γ : V i Λ est continu par rapport à cette norme, c'est-à-dire qu'il existe Ci > 0 tel que (1.10 v i Γ Λ C i v i 1,Ωi v i V i et il existe des opérateurs d'extension R i : Λ V i satisfaisant (R i η Γ = η.

11 6 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE Dénissons, pour i = 1, 2, a i (u i, v i := (µ i u i, v i Ωi u i, v i V i. Les formes bilinéaires a i (, sont coercives et continues, en eet par l'inégalité de Poincaré nous avons a i (u i, u i (min µ i u i 2 0,Ω Ω i min Ω i µ i u i 2 1,Ω i 1 + C i Ωi et a i (u i, v i (max µ i u i 0,Ωi v i 0,Ωi (max µ i u i 1,Ωi v i 1,Ωi, Ω i Ω i où on a utilisé l'inégalité de Cauchy-Schwarz en première étape. Ces formes sont les restrictions de a(, à chaque sous-domaine. Nous donnons maintenant la forme faible du problème multidomaine (1.4, ou plutôt la forme multidomaine de (1.3. Lemme 1.1. Le problème (1.3 est équivalent au problème : trouver u 1 V 1, u 2 V 2 tel que (1.11 a 1 (u 1, v 1 = (f, v 1 Ω1 v 1 V1 0 u 1 = u 2 sur Γ a 2 (u 2, v 2 = (f, v 2 Ω2 v 2 V2 0 a 2 (u 2, R 2 η = (f, R 1 η Ω1 + (f, R 2 η Ω2 a 1 (u 1, R 1 η η Λ, où R i est un opérateur d'extension quelconque de Λ vers V i. Démonstration. Soit u la solution de (1.3. Posons u i = u Ωi. Nous avons u i V i et les trois premières équations de (1.11 sont clairement satisfaite. De plus, pour chaque η Λ, on peut dénir Rη par { R 1 η sur Ω 1 Rη := R 2 η sur Ω 2 et on aura Rη V. Ainsi nous avons a(u, Rη = (f, Rη 2 2 a i (u i, R i η = (f, R i η Ωi, c'est-à-dire la dernière équation est satisfaite. Réciproquement, si u 1 et u 2 sont solutions de (1.11, en posant { u 1 sur Ω 1 u =, u 2 sur Ω 2 grâce à ( nous avons u V. Maintenant, pour chaque v V, nous avons η := v Γ Λ, et en dénissant Rη comme auparavant, nous trouvons que (v Ωi R i η V 0 i, et grâce

12 1.2. FORME MULTI-DOMAINES 7 aux équations 1, 3 et 4 de (1.11 nous trouvons a(u, v = = 2 [ ai (u i, v Ωi R i η + a i (u i, R i η ] 2 [ ] (f, v Ωi R i η Ωi + (f, R i η Ωi c'est-à-dire u est solution de (1.3. = (f, v v V, On caractérise maintenant l'opérateur de Steklov-Poincaré S comme agissant entre l'espace de trace Λ et son dual Λ. Pour tous η, ξ Λ, en utilisant le théorème de Green et du fait que (µ i H i η = 0 sur Ω i et ξ = (R i ξ Γ, on a Sη, ξ = = = = 2 2 µ i n H iη, ξ = µ i i (R i ξ Γ ( H i η n i Γ } {{ } =ξ 2 R i ξ (µ i H i η + R i ξ (µ i H i η Ω i Ω i } {{ } =0 2 µ i H i η R i ξ Ω i 2 a i (H i η, R i ξ η, ξ Λ. On peut alors prendre R i ξ := H i ξ comme opérateur d'extension, et on obtient la représentation variationnelle de S : 2 (1.12 Sη, ξ = a i (H i η, H i ξ η, ξ Λ. On en déduit que l'opérateur S est symétrique. De plus, grâce à la coercivité des opérateurs a i (,, nous avons Sη, η 2 min Ωi µ i 1 + C Ωi H i η 2 1,Ω i, et en utilisant l'inégalité de trace (1.10 nous obtenons { 2 } min Ωi µ i Sη, η η 2 (Ci 2 Λ (1 + C Ωi donc S est un opérateur coercif. On remarque qu'on peut dénir l'action des opérateurs locaux S i par S i η, ξ = a i (H i η, H i ξ η, ξ Λ, i = 1, 2.

13 8 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE On a bien Sη, ξ = 2 S i η, ξ, et on trouve que chaque S i est symétrique et coercif car nous avons S i η, η min Ωi µ i (C i 2 (1 + C Ωi η 2 Λ. En suivant la même idée que pour l'opérateur S, nous donnons une expression variationnelle du membre de droite χ de (1.7. On utilise à nouveau le théorème de Green, (R i ξ Γ = ξ et le fait que (µ i G i f = f sur Ω i, on obtient ( χ, ξ = µ i n G if, ξ = R i i ξ (µ i G i f n i Γ 2 [ ] = µ i G i f R i ξ + R i ξ (µ i G i f Ω i } {{ } = f 2 = [(f, R i ξ Ωi a i (G i f, R i ξ] ξ Λ. Finalement, nous obtenons une forme variationnelle pour l'équation d'interface de Steklov-Poincaré : (1.14 Trouver λ Λ : Sλ, ξ = χ, ξ ξ Λ. 1.3 Approximation par éléments nis et forme multidomaines Dans cette section nous introduisons l'approximation par éléments nis de la formulation multi-domaines (1.11. Nous allons voir que la décomposition eectuée au niveau variationnel entraîne une décomposition par bloc de la matrice associée au problème discret. De plus, le système linéaire associé à l'équation de Stecklov-Poincaré découlera d'une élimination de Gauss par bloc eectuée sur le système original, on l'appelle le complément de Schur du système original. Supposons que le domaine Ω R d est un domaine polygonal, c'est-à-dire que c'est un ouvert connexe tel que Ω est une union nie de polygones (d = 2 ou de polyèdre (d = 3. Considérons une triangulation régulière T h du domaine Ω, i.e Ω = K T h K, où chaque K T h est un triangle (tétraèdre avec ( K diam(k h pour tout K T h,

14 1.3. APPROXIMATION PAR ÉLÉMENTS FINIS ET FORME MULTI-DOMAINES 9 K 1 K 2 = pour chaque K 1, K 2 T h distincts si F = K 1 K 2, alors F est une face, arête ou sommet commun à K 1 et K 2. Dénissons l'espace de Lagrange X r h(ω := { v h C 0 (Ω v h K P r (K K T h }, r 1, où P r (K est l'espace des polynômes sur l'élément K de degré inférieur ou égal à r. Soit l'espace V h de dimension nie N V h := { v h X r h v Ω = 0 } = X r h H 1 0(Ω. En notant F (v = (f, v Ω, l'approximation de Galerkin du problème (1.3 est donc (1.15 trouver u h V h : a(u h, v h = F (v h v h V h. Soit {ϕ j } N une base de l'espace V h. Nous supposons que l'interface Γ = Ω 1 Ω 2 est une réunion d'arête ou de face de la triangulation T h. On peut alors introduire la partition suivante des noeuds du domaine Ω : soient {x (1 j, 1 j N 1 } les noeuds dans le sousdomaine Ω 1, {x (2 j, 1 j N 2 } les noeuds dans Ω 2 et soient {x (Γ j, 1 j N Γ } ceux sur l'interface Γ. On partitionne aussi les fonctions de base en notant ϕ (i j les fonctions associées aux noeuds x (i j, i = 1, 2, j = 1,..., N i et ϕ (Γ j celles liées aux noeuds x (Γ j sur l'interface. Les fonctions de bases satisfont donc { ϕ (α j (x (β δ ij 1 i, j N α si α = β i = 0 si α β avec α, β = 1, 2, Γ, et où δ ij est le symbole de Kronecker. Dans le problème (1.15 il sut maintenant de prendre comme fonctions tests v h V h uniquement les fonctions de bases {ϕ j }, le problème est donc équivalent à trouver u h V h tel que a(u h, ϕ (1 i = F (ϕ (1 i i = 1,..., N 1 (1.16 a(u h, ϕ (2 j = F (ϕ (2 j j = 1,..., N 2 a(u h, ϕ (Γ k = F (ϕ(γ k k = 1,..., N Γ. Comme auparavant, soit a i (,, i = 1, 2, la restriction de la forme a(, au sous-domaine Ω i et soit V i,h := X r h(ω i V i = {v h X r h(ω i v h Ωi \Γ = 0}, i = 1, 2 et V 0 i,h := { v h V i,h v h Γ = 0 } = X r h(ω i H 1 0(Ω i. Notons u (i h = u h Ω i V i,h. Le problème (1.16 peut s'écrire sous la formulation multidomaine suivante : trouver u (1 h V 1,h, u (2 h V 2,h tels que a 1 (u (1 h, ϕ(1 i = F 1 (ϕ (1 i i = 1,..., N 1 a ( (u (2 h, ϕ(2 j = F 2 (ϕ (2 j j = 1,..., N 2 a 1 (u (1 h, ϕ(γ k Ω 1 + a 2 (u (2 h, ϕ(γ k Ω 2 = F 1 (ϕ (Γ k Ω 1 + F 2 (ϕ (Γ k Ω 2 k = 1,..., N Γ.

15 10 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE On peut décomposer la fonction u h sur la base {ϕ j } de l'espace V h : N 1 u h (x = u (1 j ϕ (1 j (x + N 2 u (2 j ϕ (2 j (x + N Γ u (Γ j ϕ (Γ j où u (α j := u h (x (α j (j = 1,..., N α, α = 1, 2, Γ sont les coecients de la combinaison linéaire représentant u h dans la base {ϕ j }. On obtient aussi Ni u (i h (x = u (i j ϕ(i j NΓ (x + u (Γ j ϕ (Γ j Ω i (x. En utilisant ces combinaisons linéaires, on peut écrire le problème (1.17 sous la forme algébrique suivante : A 11 u 1 + A 1Γ λ = f 1 (1.18 A 22 u 2 + A 2Γ λ = f ( 2 A Γ1 u 1 + A Γ2 u 2 + A (1 ΓΓ + A(2 ΓΓ λ = f1 Γ + f2 Γ où le vecteur des inconnues est u = (u 1, u 2, λ T avec u 1 := (u (1 j, u 2 := (u (2 j, λ = (u (Γ j, et où on a déni les matrices et vecteurs suivants : (A mm ij = a m (ϕ (m j, ϕ (m i, m = 1, 2 (A Γm ij = a m (ϕ (m j, ϕ (Γ i, m = 1, 2 (A mγ ij = a m (ϕ (Γ j, ϕ (m i, m = 1, 2 (A (m ΓΓ ij = a m (ϕ (Γ j, ϕ (Γ i, m = 1, 2 (f m i = F m (ϕ (m i, m = 1, 2 (f Γ m i = F m (ϕ (Γ i, m = 1, 2 En écrivant tout sous forme d'un système Au = f on obtient A 11 0 A 1Γ u 1 f 1 ( A 22 A 2Γ u 2 = f 2, A Γ1 A Γ2 A ΓΓ λ f Γ où on a noté A ΓΓ = A (1 ΓΓ + A(2 ΓΓ et f Γ = f Γ 1 + f Γ Le complément de Schur Nous introduisons maintenant la forme discrète de l'équation de Steklov-Poincaré. Dénissons l'espace de trace discret Λ h := { v h Γ v h V h }. (x,

16 1.3. APPROXIMATION PAR ÉLÉMENTS FINIS ET FORME MULTI-DOMAINES 11 En répétant le travail eectué pour obtenir la forme variationnel (1.11, nous trouvons le problème a 1 (u (1 h, v(1 h = (f, v(1 h Ω 1 v (1 h V1,h 0 u (1 h = u (2 h sur Γ (1.20 a 2 (u (2 h, v(2 h = (f, v(2 h Ω 2 v (2 h V2,h 0 2 a i(u (i h, R i,hη h = 2 (f, R i,hη h Ωi η h Λ h, où R i,h, i = 1, 2 est un opérateur d'extension de Λ h vers V i,h. Cette formulation est équivalente au problème (1.17, car tout η h Λ h est entièrement déni par ses valeurs {η j } N Γ sur les noeuds {x (Γ j } N Γ, on peut donc prendre comme opérateur d'extension N Γ R i,h η h (x = η j ϕ (Γ j Ω i (x, et on trouve la formulation (1.17. De manière similaire, nous dénissons les opérateurs d'extension harmonique discrets H i,h et l'opérateur résolvant discret G i,h par H i,h η h V i,h : (1.21 a i (H i,h η h, v i,h = 0 v i,h Vi,h 0 H i,h η h Γ = η h sur Γ, et (1.22 G i,h f V 0 i,h : a i (G i,h f, v i,h = (f, v i,h Ωi v i,h V 0 i,h. En développant H i,h η h dans la base de l'espace V i,h, on trouve que l'extension harmonique satisfait le problème ( ( ( Aii A iγ Hi η 0 =, 0 I Γ η η où I Γ est la matrice identité d'ordre N Γ, η est la valeur (donnée de η h aux noeuds sur Γ, et H i η est le vecteur des inconnues donnant la valeur de H i,h η h sur les noeuds dans Ω i. Les matrices sont les mêmes que dénit précédemment. Remarquer qu'on a N 1 N Γ H i,h η h (x = (H i η j ϕ (1 j (x + η j ϕ (Γ j Ω i (x. La matrice A ii étant inversible (problème de Laplace avec condition de Dirichlet homogène pour i = 1, 2, on peut écrire H i η = A 1 ii A iγη. En faisant de même pour G i,h f nous trouvons ( Aii ( Gi f = ( f i,

17 12 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE avec les notations évidentes. On a donc G i f = A 1 ii f i. En posant u (i h = H i,h λ h + G i,h f, dans (1.19 on peut poser u i = H i λ + G i f, i = 1, 2, et en utilisant les identités trouvées précédemment on obtient le système A 1Γ λ + f 1 + A 1Γ λ = f 1 A (1.23 2Γ λ + f 2 + A 2Γ λ = f 2 A Γ1 A 1 11 A 1Γ λ + A Γ1 A 1 11 f 1 A Γ2 A 1 22 A 2Γ λ + A Γ2 A 1 22 f 2 + A ΓΓ λ = f Γ. On obtient donc un système pour l'inconnue λ, correspondant à la valeur de la solution u sur Γ, appelé complément de Schur du système original : (1.24 Σ h λ = χ Γ, avec (1.25 Σ h := A ΓΓ A Γ1 A 1 11 A 1Γ A Γ2 A 1 22 A 2Γ et (1.26 χ Γ = f Γ A Γ1 A 1 11 f 1 A Γ2 A 1 22 f 2. Le complément de Schur est la version algébrique de l'équation d'interface de Steklov- Poincaré. En eet, nous pouvons donner l'approximation par éléments nis de l'équation de Steklov-Poincaré comme étant S h λ h = χ h sur Γ avec χ h := S h η h := S i,h η h := 2 2 S i,h η h n i G i,hf n i H i,hη h. Alors Σ h est la version discrète de l'opérateur S h, et on peut dénir les compléments de Schur locaux par Σ i,h := A (i ΓΓ A ΓiA 1 ii A iγ, et on obtient ainsi les versions discrètes des opérateurs S i,h. On a Σ h = Σ 1,h + Σ 2,h. Remarquer que le complément de Schur peut aussi être obtenu en éliminant les variables u 1, u 2 directement dans le système original (1.19. Ainsi, si on trouve λ en résolvant le

18 1.3. APPROXIMATION PAR ÉLÉMENTS FINIS ET FORME MULTI-DOMAINES 13 complément de Schur, on peut récupèrer les solutions sur les domaines Ω i en résolvant indépendamment les deux problèmes A 11 u 1 = f 1 A 1Γ λ A 22 u 2 = f 2 A 2Γ λ. Comme dans la section précédente, les formes variationnelles de ces opérateurs donnent, pour tous η h, ξ h Λ h 2 2 (1.27 S h η h, ξ h = a i (H i,h η h, H i,h ξ h =: S i,h η h, ξ h, et (1.28 χ h, ξ h = 2 [ ] (f, R i,h ξ h Ωi a i (G i,h f, R i,h ξ h. Remarquons qu'on a les relations suivantes : [Σ h η, ξ] = S h η h, ξ h η h, ξ h Λ h, et [χ Γ, ξ] = χ h, ξ h ξ h Λ h, où [, ] est le produit scalaire euclidien sur R N Γ, et ηh Λ h, η R N Γ est le vecteur des valeurs aux noeuds sur Γ de η h. On en déduit que Σ i,h et Σ h sont des matrices symétriques, car S i,h et S h sont des opérateurs symétriques. En fait Σ h est symétrique dénie positive, on pourra donc utiliser la méthode du gradient conjugué pour résoudre le système du complément de Schur. Lors de l'application d'une telle méthode, chaque multiplication matrice-vecteur avec Σ h implique la résolution de deux sous-problèmes liés aux matrices A 1 11 et A Si y Γ est le vecteur auquel on applique la matrice, on doit d'abord résoudre pour i = 1, 2 le système suivant par rapport à x (i A ii x (i = A iγ y Γ, puis on peut calculer le vecteur résultant global Σ h y Γ 2 Σ h y Γ = A (i ΓΓ A Γix (i. Ces calculs peuvent être fait entièrement en parallèle. Remarquons aussi que la matrice Σ h est dense et le calcul de ses entrées nécessite la résolution du système précédent pour chaque fonction de base associée à chaque noeud sur l'interface Γ. Ainsi, si N Γ est grand, on préférera des méthodes itératives pour la résolution du système de Schur plutôt que des méthodes directes où on doit construire explicitement la matrice du complément de Schur. Finalement, il est important de noter que la matrice Σ h est mal conditionnée. En eet on peut montrer que le nombre de conditionnement spectral de Σ h est borné par κ(σ h C 0 h 1 pour une constante C 0 > 0 indépendante de h. Un préconditionneur pour ce système est donc nécessaire ; nous verrons au chapitre suivant comment obtenir de tels préconditionneurs.

19 14 CHAPITRE 1. PROBLÈME DE DIFFUSION HÉTÉROGÈNE

20 Chapitre 2 Méthodes itératives de décomposition de domaine Nous présentons ici des méthodes itératives pour la résolution du problème multidomaine (1.4. Nous nous intéressons particulièrement aux méthodes de Dirichlet-Neumann, et Neumann-Neumann. De manière générale, on calcule itérativement deux suites de solutions u k 1 et u k 2, associées aux domaines Ω 1 et Ω 2 respectivement, de sorte que les deux suites tendent vers la solution u lorsque k. Pour générer les suites u k 1 et u k 2, la méthode générale est de donner une valeur initiale λ 0 de la solution sur l'interface Γ, puis de résoudre un problème sur chaque domaine, donnant les solutions u 1 1 et u 1 2, puis de calculer λ 1 à partir de ces solutions, donnant la valeur initiale pour l'incrément suivant de la suite. Nous verrons que ces méthodes sont interprétées comme des méthodes de Richardson préconditionnées pour résoudre l'équation d'interface de Steklov-Poincaré. Cela permettra d'estimer leur taux de convergence, et plus particulièrement de voir si le nombre de conditionnement du système préconditionné est aecté par les sauts de la fonction de diusion µ à travers l'interface Γ. On pourra de plus utiliser des méthodes itératives telles que la méthode du gradient conjugué préconditionné pour résoudre le système du complément de Schur avec le préconditionneur donné par la méthode de Dirichlet-Neumann ou Neumann-Neumann. Nous utiliserons ici les mêmes notations qu'au chapitre Méthode de Dirichlet-Neumann La méthode de Dirichlet-Neumann consiste à résoudre un problème de Dirichlet dans le premier domaine, avec une donnée de Dirichlet λ k sur Γ, puis de résoudre un problème mixte de Dirichlet-Neumann sur le second domaine où on utilise la valeur du ux de la solution précédente sur Γ comme condition de Neumann, et une condition de Dirichlet homogène sur le reste du bord du domaine. Nous avons l'algorithme suivant. Étant donné λ 0, pour chaque k 0 résoudre (µ 1 u k+1 1 = f dans Ω 1 (2.1 u k+1 1 = 0 sur Ω 1 Ω u k+1 1 = λ k sur Γ 15

21 16 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE puis résoudre (2.2 et poser (µ 2 u k+1 2 = f dans Ω 2 u k+1 1 = 0 sur Ω 2 Ω u µ k+1 2 u 2 = µ k+1 1 n 1 sur Γ n (2.3 λ k+1 := θu k+1 2 Γ + (1 θλk, où θ > 0 est un paramètre d'accélération. Le paramètre θ permet ici d'assurer la convergence de la méthode. En eet on peut montrer que dans le cas où θ = 1, c'est-à-dire λ k+1 = u k+1 2 Γ, on obtient la convergence seulement en imposant des conditions sur les domaines Ω 1 et Ω 2. Par exemple dans le cas unidimensionnel, la méthode converge seulement si la mesure de Ω 1 (le domaine avec condition de Dirichlet est plus grande que celle de Ω 2. Notons tout de suite que si la suite λ k converge vers un λ dénit sur Γ, alors les suites u k 1 et u k 2 converge vers les solutions u 1 et u 2 du problème (1.4, car lors de la convergence on aura λ k = u k 2 Γ = λ ainsi les problèmes (2.1 et (2.2 seront équivalents à (1.4. La méthode de Dirichlet-Neumann est donc consistante. Avant de passer aux formulations faibles et algébriques, nous faisons le lien entre la méthode Dirichlet-Neumann et l'équation de Steklov-Poincaré Sλ = χ en démontrant le théorème suivant, où on rappelle que par dénition H i η S = S 1 + S 2, S i η = µ i η Λ n i et χ = 2 µ i G i f n i. Théorème 2.1. La méthode de Dirichlet-Neumann est équivalente à la méthode de Richardson préconditionnée avec préconditionneur S 2 appliquée à l'équation d'interface de Steklov-Poincaré Sλ = χ, c'est-à-dire qu'on a λ k+1 = λ k + θs 1 2 (χ Sλ k. Démonstration. Grâce à (2.2 et la dénition de G 2 f, la fonction (u k+1 2 G 2 f satisfait le problème (µ 2 (u k+1 2 G 2 f = 0 dans Ω 2 (2.4 u k+1 2 G 2 f = 0 sur Ω 2 Ω µ 2 n 2 (u k+1 u 2 G 2 f = µ k n 1 µ 2 G 2 f n 2 sur Γ. De plus, on a u k+1 2 Γ = (uk+1 2 G 2 f Γ. Notons maintenant que les opérateurs S i : η Γ µ i H i η Γ n i, i = 1, 2

22 2.1. MÉTHODE DE DIRICHLET-NEUMANN 17 permettent de passer d'une donnée de Dirichlet sur Γ à une donnée de Neumann sur Γ. Les opérateurs inverses S 1 i fournissent donc une donnée de Dirichlet sur Γ à partir d'une donnée de Neumann. Si S 1 i η =: w Γ, alors w est la solution du problème suivant (µ i w = 0 sur Ω i (2.5 w = 0 sur Ω i Ω w µ i = η sur Γ. n i En comparant (2.4 et (2.5 on trouve que u k+1 2 Γ = (uk+1 2 G 2 f Γ = S2 1 ( µ 1 u k+1 1 n 1 G 2 f µ 2. n 2 Mais grâce à (2.1 on peut écrire la solution u k+1 1 comme u k+1 1 = H 1 λ k +G 1 f, par dénition de H 1 et G 1 f. On trouve donc u k+1 2 Γ = S 1 2 ( µ 1 H 1 λ k n 1 µ 1 G 1 f n 1 µ 2 G 2 f = S 1 n 2 2 (χ S 1 λ k, en utilisant les dénitions de χ et S 1. On peut maintenant écrire l'étape de mise-à-jour (2.3 de la méthode comme λ k+1 = θ [ S 1 2 (χ S 1 λ k ] + (1 θλ k ou en écrivant θλ k = θs 1 2 S 2 λ k et en groupant les termes en θ, λ k+1 = λ k + θs 1 2 (χ Sλ k. Noter que le préconditionneur S 2 correspond au domaine où on résout le problème de Neumann. Le théorème précédent montre surtout que les méthodes itératives de décomposition de domaines sans recouvrement fournissent principalement des préconditionneurs pour l'équation d'interface de Steklov-Poincaré, indépendamment du fait que la méthode est équivalente à une méthode de Richardson. On utilisera plutôt une méthode de gradient conjugué préconditionné, dans le cas symétrique, ce qui sera beaucoup plus ecace. La formulation variationnelle de (2.1 et (2.2 donne trouver u k+1 1 V 1 : (2.6 a 1 (u k+1 1, v 1 = (f, v 1 Ω1 v 1 V1 0 u k+1 1 = λ k sur Γ et (2.7 trouver u k+1 2 V 2 : a 2 (u k+1 2, v 2 = (f, v 2 Ω2 v 2 V2 0 a 2 (u k+1 2, R 2 ξ = (f, R 1 ξ Ω1 + (f, R 2 ξ Ω2 a 1 (u k+1 1, R 1 ξ ξ Λ.

23 18 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE 2.2 Méthode de Neumann-Neumann Dans la méthode de Neumann-Neumann on résout d'abord un problème de Dirichlet dans chaque sous-domaine avec donnée de Dirichlet λ k sur Γ, puis deux problèmes de Neumann où on utilise la diérence des ux des solutions précédentes comme donnée de Neumann sur Γ. L'algorithme est le suivant. Étant donné λ 0 sur Γ, pour chaque k 0 : pour i = 1, 2 résoudre (µ i u k+1 i = f dans Ω i (2.8 u k+1 i = 0 sur Ω i Ω u k+1 i = λ k sur Γ puis pour i = 1, 2 résoudre (µ i ψ k+1 i = 0 dans Ω i (2.9 ψ k+1 i = 0 sur Ω i Ω ψ µ k+1 i u i = µ k+1 1 u n 1 µ k+1 2 n 2 sur Γ n puis poser (2.10 λ k+1 := λ k θ(σ 1 ψ k+1 1 Γ σ 2ψ k+1 2 Γ. À nouveau, θ > 0 est un paramètre d'accélération. Le poids positifs σ 1 et σ 2 permettent de pondérer les contributions des ux suivant le domaine Ω 1 et Ω 2 pour, par exemple, atténuer les eets des sauts des fonctions de diusion µ 1 et µ 2. En général on prendra σ 1 +σ 2 = 1 et dans le cas de coecients de diusion constants, on pourra prendre σ i = pour la méthode la méthode de Dirichlet-Neumann, le schéma de Neumann-Neumann peut être interprété comme une méthode de Richardson préconditionnée : µ i µ 1 +µ 2. Comme Théorème 2.2. La méthode de Neumann-Neumann correspond à une méthode de Richardson préconditionnée appliquée à l'équation de Steklov-Poincaré avec préconditionneur N := (σ 1 S1 1 + σ 2 S2 1 1, on a donc λ k+1 = λ k + θ(σ 1 S σ 2 S 1 2 (χ Sλ k. Démonstration. Comme dans la preuve du théorème 2.1, en comparant (2.5 et (2.9 nous trouvons que ψ k+1 1 Γ = u S 1 1 (µ k+1 1 u k µ n 1 2 n 2 et ψ k+1 2 Γ = u S 1 2 ( µ k+1 1 u k µ n 1 2 n 2 où on a utilisé n = n 1 = n 2. Or, pour i = 1, 2, grâce à (2.8 nous avons u k+1 i = H i λ k +G i f. En substituant ce résultat dans les équations précédentes on obtient ψ k+1 1 Γ = S 1 1 (µ 1 H 1 λ k n 1 = S 1 1 (χ Sλ k, G 1 f + µ 1 n + µ H 2 λ k 1 2 n 2 + µ 2 G 2 f n 2

24 2.2. MÉTHODE DE NEUMANN-NEUMANN 19 et D'où ψ k+1 2 Γ = H 1 λ S 1 2 ( µ k 1 n 1 = S 1 2 (χ Sλ k, G 1 f µ 1 n µ H 2 λ k 1 2 n 2 λ k+1 = λ k + θ(σ 1 S σ 2 S 1 2 (χ Sλ k. G 2 f µ 2 n 2 La formulation faible de (2.8 et (2.9 donne trouver u k+1 i V i : (2.11 a i (u k+1 i, v i = (f, v i Ωi v i Vi 0 u k+1 i = λ k sur Γ, pour i = 1, 2, puis trouver ψ1 k+1 V 1 : a ( (ψ1 k+1, v 1 = 0 v 1 V1 0 a 1 (ψ1 k+1, R 1 ξ = (f, R 1 ξ Ω1 (f, R 2 ξ Ω2 +a 1 (u k+1 1, R 1 ξ + a 2 (u k+1 2, R 2 ξ ξ Λ. (2.13 trouver ψ2 k+1 V 2 : a 2 (ψ2 k+1, v 2 = 0 v 2 V2 0 a 2 (ψ2 k+1, R 2 ξ = (f, R 1 ξ Ω1 + (f, R 2 ξ Ω2 a 1 (u k+1 1, R 1 ξ a 2 (u k+1 2, R 2 ξ ξ Λ Approximation par éléments nis et forme algébrique En reprenant les notations de la section 1.3, l'approximation par éléments nis de la méthode de Neumann-Neumann est la suivante. Étant donné λ 0 h Λ h, pour chaque k 0 trouver les solutions u k+1 1,h et u k+1 2,h des problèmes trouver u k+1 i,h V i,h : (2.14 a i (u k+1 i,h, v i,h = (f, v i,h Ωi v i,h Vi,h 0 u k+1 i,h = λk h sur Γ, pour i = 1, 2, puis trouver ψ k+1 1,h V 1,h : a ( (ψ k+1 1,h, v 1,h = 0 v 1,h V1,h 0 a 1 (ψ k+1 1,h, R 1,hξ = (f, R 1,h ξ Ω1 (f, R 2,h ξ Ω2 +a 1 (u k+1 1,h, R 1,hξ + a 2 (u k+1 2,h, R 2,hξ ξ Λ h.

25 20 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE et (2.16 trouver ψ k+1 2,h V 2,h : a 2 (ψ k+1 2,h, v 2,h = 0 v 2,h V2,h 0 a 2 (ψ k+1 2,h, R 2,hξ = (f, R 1,h ξ Ω1 + (f, R 2,h ξ Ω2 a 1 (u k+1 1,h, R 1,hξ a 2 (u k+1 2,h, R 2,hξ ξ Λ h. Finalement poser λ k+1 h = λ k h θ(σ 1ψ k+1 1,h Γ σ 2ψ 2,h Γ. De la même manière qu'au niveau variationnel, l'approximation par éléments nis de la méthode de Neumann-Neumann correspond à une méthode de Richardson préconditionnée pour l'équation de Steklov- Poincaré discrète avec préconditionneur N h = (σ 1 S 1 1,h + σ 2S 1 2,h 1. En fait, sous sa forme algébrique la méthode de Neumann-Neumann consiste à résoudre d'abord les deux systèmes (2.17 A 11 u k+1 1 = f 1 A 1Γ λ k, A 22 u k+1 2 = f 2 A 2Γ λ k, qui correspondent aux problèmes de Dirichlet (2.14, puis de résoudre les deux systèmes suivants correspondant aux problèmes de Neumann (2.15 et (2.16 respectivement : (2.18 et (2.19 ( A11 A 1Γ A Γ1 A (1 ΓΓ ( A22 A 2Γ A Γ2 A (2 ΓΓ ( ( ψ k+1 1 η k+1 = 1 ( ( ψ k+1 2 η k+1 = 2 0 f Γ + A Γ1 u k A ΓΓ λ k + A Γ2 u k A (2 ΓΓ λk 0 f Γ A Γ1 u k+1 1 A ΓΓ λ k A Γ2 u k+1 2 A (2 ΓΓ λk où η k+1 i est le vecteur des degrés de liberté de ψ k+1 i,h associé aux noeuds sur Γ. On pose donc λ k+1 = λ k θ(σ 1 η k+1 1 σ 2 η k+1 2. Remarquons qu'en remplaçant u k+1 1 par sa valeur donnée en (2.17 dans le membre de droite de (2.18 on trouve ( 0 χ Γ + Σ h λ k. de même pour (2.19 on obtient ( 0 χ Γ Σ h λ k. En éliminant maintenant ψ k+1 1 et ψ k+1 2 dans (2.18 et (2.19 on a ψ k+1 i et la deuxième ligne de (2.18 devient = A 1 ii A iγη k+1 i A Γ1 A 1 11 A 1Γ η k A (1 ΓΓ ηk+1 1 = χ Γ + Σ h λ k

26 2.3. CONVERGENCE DES MÉTHODES ITÉRATIVES 21 c'est-à-dire En faisant de même pour (2.19 on obtient Σ 1,h η k+1 1 = χ Γ + Σ h λ k. Σ 2,h η k+1 2 = χ Γ Σ h λ k. Donc on a (2.20 λ k+1 = λ k + θ [ σ 1 Σ 1 1,h (χ Γ Σ h λ k + σ 2 Σ 1 2,h (χ Γ Σ h λ k ] = λ k + θ(σ 1 Σ 1 1,h + σ 2Σ 1 2,h (χ Γ Σ h λ k. La matrice associée au préconditionneur de Neumann-Neumann est donc N h := (σ 1 Σ 1 1,h + σ 2Σ 1 2,h Convergence des méthodes itératives Nous allons étudier la convergence de la méthode de Dirichlet-Neumann et de Neumann- Neumann en tant que méthode de Richardson préconditionnée. Nous allons voir que la vitesse de convergence dépend des valeurs extrêmes des fonctions µ 1 et µ 2. La première étape pour l'analyse de convergence est d'établir l'équivalence spectrale entre les préconditionneurs donnés par les méthodes itératives (S 2, respectivement (σ 1 S σ 2 S et l'opérateur de Steklov-Poincaré S. Pour ce faire nous avons besoin d'un théorème d'extension pour les extensions harmoniques. Rappelons d'abord que Λ := γ(v i est l'image de V i par l'opérateur de trace γ. De plus, pour tout η Λ, son extension harmonique H i η sur Ω i satisfait le problème (2.21 (µ i H i η = 0 dans Ω i H i η = η sur Γ H i η = 0 sur Ω i \ Γ. La forme faible est : trouver H i η V i tel que H i η = η sur Γ et µ i H i η v = 0 v Vi 0. Ω i Théorème 2.3 (Théorème d'extension. Il existe deux constantes positives C 1 et C 2 telles que (2.22 C 1 η Λ H i η 1,Ωi C 2 η Λ η Λ, i = 1, 2. Démonstration. L'inégalité de gauche vient de l'inégalité de trace (1.10. On a η Λ C i H i η 1,Ωi, i = 1, 2

27 22 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE { } 1 1 donc avec C 1 = min, C1 C on obtient le résultat. Pour l'inégalité de droite, comme 2 η Λ = γ(v i, il existe une fonction u V i telle que γu = η. On peut donc exprimer H i η comme H i η = u + u 0 avec u 0 H0(Ω 1 i qui est telle que γu 0 = 0. La forme faible du problème (2.21 peut donc s'écrire comme : trouver u 0 Vi 0 tel que µ i u 0 v = Ω i µ i u v Ω i v Vi 0. En prenant v = u 0 et en sortant la fonction µ i des intégrales, on obtient u 0 2 0,Ω i max µ i min µ i u u 0. Avec l'inégalité de Poincaré et l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a et donc Mais on a C Ωi u 0 2 1,Ω i max µ i min µ i u 0,Ωi u 0 0,Ωi max µ i min µ i u 1,Ωi u 0 1,Ωi, u 0 1,Ωi (1 + C Ωi max µ i min µ i u 1,Ωi. H i η 1,Ωi = u 0 + u 1,Ωi u 0 1,Ωi + u 1,Ωi ( 1 + (1 + C Ωi max µ i min µ i u 1,Ωi, et cette inégalité est vraie pour toutes les fonctions u V i telles que u Γ = η. Ainsi ( H i η 1,Ωi 1 + (1 + C Ωi max µ i min µ i u 1,Ωi = inf u V i u Γ=η ( 1 + (1 + C Ωi max µ i min µ i η Λ. { } Il reste à poser C 2 = max 1 + (1 + C Ωi max µ i,2 min µ i pour trouver le résultat. Remarquer que C 2 dépend à priori des fonctions de diusions µ 1 et µ 2. Dans le cas où µ 1 et µ 2 sont des constantes, cette dépendance disparaît. avec Rappelons que les opérateurs de Steklov-Poincaré sont dénis par S = S 1 + S 2, S i η, ξ = a i ( H i η, H i ξ η, ξ Λ. De plus ces opérateurs sont symétriques et coercifs ; plus précisément, S i a une constante de coercivitié min µ i α i := (Ci 2 (1 + C Ωi.

28 2.3. CONVERGENCE DES MÉTHODES ITÉRATIVES 23 Grâce au théorème d'extension 2.3 nous obtenons aussi facilement que S 1 et S 2 sont continus, avec constantes β i := max µ i C 2 2, i = 1, 2. Évidemment S est aussi continu avec constante β 1 + β 2. Nous obtenons maintenant la proposition suivante. Proposition 2.4. Les opérateurs S 1 et S 2 sont spectralement équivalents : il existe des constantes positives C 3 et C 4 telles que (2.23 C 3 S 1 η, η S 2 η, η C 4 S 1 η, η η Λ. En conséquence, S 1 et S 2 sont spectralement équivalents à S. Démonstration. En utilisant le théorème d'extension 2.3, de la continuité des opérateurs S i nous tirons S i η, ξ (max µ i C 2 2 η Λ ξ Λ et par coercivité nous avons D'où S i η, η C 2 1 min µ i 1 + C Ωi η 2 Λ. S 1 η, η (max µ 1 C2 η 2 2 Λ ( 2 C2 max µ 1 (1 + C Ω2 S 2 η, η. min µ 2 En échangeant les rôles de S 1 et S 2 on obtient aussi Finalement on obtient le résultat avec et C 1 S 2 η, η (max µ 2 C2 η 2 2 Λ ( 2 C2 max µ 2 (1 + C Ω1 S 1 η, η. min µ 1 C 3 = C Ω2 C 4 = (1 + C Ω1 C 1 ( C1 C 2 ( C2 C 1 2 min µ 2 max µ 1 2 max µ 2 min µ 1. Nous pouvons maintenant estimer le nombre de conditionnement spectral de l'opérateur S2 1 S associé à la méthode de Dirichlet-Neumann. En eet, grâce à la proposition 2.4 nous avons les inégalités suivantes ( S 2 η, η Sη, η = S 1 η, η + S 2 η, η 1 + C max µ 1 S 2 η, η, min µ 2

29 24 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE où C := (1 + C Ω2 borné par ( C 2 C 1 2. On en déduit que le nombre de conditionnement spectral est κ(s2 1 S 1 + C max µ 1. min µ 2 La méthode de Dirichlet-Neumann est donc très sensible aux sauts des coecients de diusion µ 1 et µ 2 à travers l'interface. Par exemple en posant µ 1 1 dans Ω 1 et en prenant µ 2 très petit, on fait exploser le nombre de conditionnement du système et ainsi la méthode converge très lentement. La convergence de la méthode est assurée par le théorème suivant. Théorème 2.5. Il existe θ max > 0 tel que pour tout θ (0, θ max et tout λ 0 Λ la méthode de Dirichlet-Neumann converge, i.e. que la suite λ k+1 = λ k + θs 1 2 (χ Sλ k converge vers la solution λ de l'équation Sλ = χ Démonstration. On introduit le produit scalaire engendré par S 2 (η, ξ S2 := 1 2 ( S 2η, ξ + S 2 ξ, η ainsi que la norme associée notée η S2 := (η, η 1/2 S 2 norme η Λ car nous avons = S 2 η, η 1/2 qui est équivalente à la α 2 η 2 Λ η 2 S 2 β 2 η 2 Λ η Λ. Pour montrer la convergence de la suite λ k il sut de montrer que l'opérateur d'itération T θ : Λ Λ, T θ η := η θs 1 2 Sη est une contraction respectivement à la norme S2. En supposant θ 0 nous avons T θ η 2 S 2 = η 2 S 2 + θ 2 Sη, S 1 2 Sη θ ( S 2 η, S 1 2 Sη + Sη, η. Comme S 2 est symétrique, nous avons S 2 η, S 1 2 Sη + Sη, η = Sη, η + Sη, η 2(α 1 + α 2 η 2 Λ 2 α 1 + α 2 β 2 η 2 S 2. De plus remarquons que S 1 2 est aussi continu avec constante de continuité 1/α 2 (voir la proposition 2.6, nous avons donc Ainsi, en posant Sη, S2 1 Sη 1 Sη 2 Λ α (β 1 + β 2 2 η 2 Λ (β 1 + β 2 2 η 2 2 α 2 α2 2 S 2. K θ = 1 + θ 2 (β 1 + β 2 2 α 2 2 2θ α 1 + α 2 β 2

30 2.3. CONVERGENCE DES MÉTHODES ITÉRATIVES 25 nous obtenons T θ η 2 S 2 K θ η 2 S 2. On en conclu que T θ est une contraction pour tout θ (0, θ max avec car alors K θ < 1. θ max = 2 α2 2 (α 1 + α 2 β 2 (β 1 + β 2 2 Nous obtenons aussi une estimation pour la méthode de Neumann-Neumann. Proposition 2.6. Soit L : Λ Λ un opérateur continu et coercif, avec constante de continuité β et constante de coercivité α. Alors son inverse L 1 : Λ Λ existe et est continu avec constante α 1 et coercif avec constante α/β 2. Grâce à la proposition 2.6, nous trouvons que le préconditionneur N = (σ 1 S1 1 + σ 2 S2 1 1 est continu et coercif, de plus il est symétrique (car S 1 et S 2 le sont, et l'inverse d'un opérateur symétrique est symétrique. Notons β N et α N les constantes de continuité et coercivité, respectivement, de N. En appliquant la proposition précédente, on trouve β N := β 2 1β 2 2 σ 1 α 1 β σ 2 α 2 β 2 1 α N := (σ 1α 1 β σ 2 α 2 β 2 1α 2 1α 2 2 β 2 1β 2 2(α 1 σ 2 + α 2 σ 1 2. Nous trouvons de plus que l'opérateur N est spectralement équivalent à l'opérateur de Steklov-Poincaré S, car nous avons N η, η β N η 2 Λ β N Sη, η η Λ, α 1 + α 2 et Sη, η (β 1 + β 2 η 2 Λ β 1 + β 2 N η, η η Λ. α N Nous pouvons ici conclure que le nombre de conditionnement spectral de l'opérateur de Steklov-Poincaré préconditionné avec N est borné par (2.24 κ(n 1 S β N (β 1 + β 2 α N (α 1 + α 2. Nous estimons maintenant cette borne pour le nombre de conditionnement spectral. Pour plus de simplicité, nous prenons le cas où les coecients de diusion µ 1 et µ 2 sont constants sur les domaines Ω 1 et Ω 2, respectivement. De plus nous pouvons prendre les valeurs suivantes des constantes de coercivités et continuités : α 1 = C µ 1, α 2 = C µ 2, β 1 = C 2 2µ 1, β 2 = C 2 2µ 2, où C = min,2 { 1 (C i 2 (1+C Ωi } et C 2 est la constante donnée par le théorème 2.3. Nous pouvons maintenant calculer explicitement (2.24 :

31 26 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE κ(n 1 S β N (β 1 + β 2 α N (α 1 + α 2 = β4 1β2 4 (α 1 σ 2 + α 2 σ 1 2 (β 1 + β 2 (σ 1 α 1 β2 2 + σ 2 α 2 β1 2 2 α1α (α 1 + α 2 = (µ4 1C2 8 (µ 4 2C2 8 C 2 (µ 1 σ 2 + µ 2 σ 1 2 C2(µ µ 2 C2 8 C 2 (σ 1 µ 1 µ σ 2 µ 2 µ µ 2 1µ 2 2 C 4 C (µ 1 + µ 2 ( C 2 5 = 2. C Nous trouvons donc que le conditionnement ne dépend pas des coecients µ 1 et µ 2. Remarquons déjà que ce résultat est en contradiction avec les résultats numériques du chapitre 4. Nous montrons nalement le théorème suivant. Théorème 2.7. La méthode de Neumann-Neumann converge, i.e. il existe θ max > 0 tel que pour tout θ (0, θ max et pour tout λ 0 Λ donné, la suite λ k+1 = λ k + θn 1 (χ Sλ k converge dans Λ vers la solution λ du problème Sλ = χ. Démonstration. Comme N : Λ Λ est continu et coercif, il engendre un produit scalaire sur Λ dénit par (η, ξ N := 1 ( N η, ξ + N ξ, η, 2 et on note la norme associée η N := (η, η 1/2 N = N η, η 1/2 qui est équivalente à la norme η Λ car on a α N η 2 Λ η 2 N β N η 2 Λ. Pour montrer la convergence de la suite λ k, nous montrons que l'opérateur d'itération T θ : X X, T θ η := η θn 1 Sη est une contraction respectivement à la norme N. En supposant θ 0, pour η Λ nous avons T θ η 2 N = η 2 N + θ 2 Sη, N 1 Sη θ ( N η, N 1 Sη + Sη, η. Comme N est symétrique, nous avons N η, N 1 Sη + Sη, η = N N 1 Sη, η + Sη, η = 2 Sη, η 2(α 1 + α 2 η 2 Λ 2 α 1 + α 2 β N η 2 N. D'où T θ η 2 N θ 2 Sη, N 1 Sη + ( 1 2θ α 1 + α 2 η 2 N. β N

32 2.4. PRÉCONDITIONNEUR DE NEUMANN-NEUMANN POUR PLUSIEURS SOUS-DOMAINES 27 Remarquons que l'opérateur N 1 = σ 1 S1 1 + σ 2 S2 1 est continu et satisfait ( η, N 1 σ1 ψ + σ 2 ψ 2 Λ α 1 α ψ Λ, 2 ainsi on a Ainsi en posant on obtient Sη, N 1 Sη ( σ1 + σ ( 2 Sη 2 Λ α 1 α σ1 + σ 2 (β 1 + β 2 2 η 2 Λ 2 α 1 α 2 ( σ1 + σ 2 (β1 + β 2 2 η 2 N. α 1 α 2 α N ( K θ = 1 + θ 2 σ1 + σ 2 (β1 + β 2 2 2θ α 1 + α 2, α 1 α 2 α N β N T θ η 2 N K θ η 2 N. On en conclut que T θ est bien une contraction pour tout θ (0, θ max avec θ max := 2(α 1 + α 2 α ( N σ β 1 N α 1 + σ 2 α 2 (β 1 + β 2 2 car alors K θ < Préconditionneur de Neumann-Neumann pour plusieurs sous-domaines Nous décrivons ici brièvement le préconditionneur de Neumann-Neumann pour plusieurs sous-domaines, car nous l'utiliserons lors des tests numériques du chapitre 4. Le domaine Ω est ici décomposé en M > 2 sous-domaines sans recouvrement Ω i de diamètre H i, i = 1,..., M. On note Γ i := Ω i \ Ω les interfaces locales et Γ := M Γ i l'interface globale. Avec les notations évidentes, à chaque sous-domaine Ω i on associe la matrice A i correspondant au problème de Poisson sur Ω i avec donnée de Neumann sur Γ i (et des données de Dirichlet homogène sur Ω i Ω dénie par ( Aii A iγ A i := A Γi A (i ΓΓ La matrice de raideur globale A est liée à ces sous-matrices par l'équation A = M Ri T A i R i,

33 28 CHAPITRE 2. MÉTHODES ITÉRATIVES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE où R i est la matrice de restriction d'un vecteur dénit sur tout Ω à un vecteur local associé à Ω i Γ i. Sa transposée Ri T dénote donc la prolongation par 0 sur les noeuds extérieurs à Ω i Γ i. On dénit maintenant les complément de Schur locaux, associés aux opérateurs de Steklov-Poincaré locaux, par Σ i,h = A (i ΓΓ A ΓiA 1 ii A iγ, pour i = 1,..., M. On peut alors dénir le complément de Schur global comme Σ h = M RΓ T i Σ i,h R Γi, où R Γi est la matrice de restriction d'un vecteur de degrés de libertés liés à l'interface globale Γ vers le vecteur de degré de liberté liés seulement à l'interface locale Γ i. Sa transposée RΓ T i dénote donc la prolongation par 0 d'un vecteur de degré de libertés de Γ i vers Γ. Notons que dans le cas de seulement deux domaines, on a Γ = Γ 1 = Γ 2 et RΓ T i, R Γi sont les matrices identités, on retrouve donc Σ h = Σ 1,h + Σ 2,h. On a à nouveau une équation de Steklov-Poincaré pour l'inconnue λ, valeur de la solution du problème elliptique sur l'interface Γ : Σ h λ = χ Γ, pour un second membre χ Γ convenable. Comme dans le cas de deux domaines, on peut dénir un préconditionneur de Neumann- Neumann en faisant une somme pondérée des inverses des opérateurs de Steklov locaux. On dénit donc (2.25 (P NN h 1 := M D i (R T Γ i Σ 1 i,h R Γ i D i, où D i est une matrice diagonale à coecients positifs servant à pondérer les contributions de chaque noeud sur Γ i pour chaque matrice Σ i,h. On choisit souvent ces matrices telles que M D i = I. Typiquement, si un noeud j Γ i appartient à l'interface d'un nombre n de domaines, alors on posera (D i jj = 1 de manière à éviter qu'un noeud soit comptabilisé n plusieurs fois. Une estimation du nombre de conditionnement du système préconditionné est donné par ([1] p.85 ( (2.26 κ((p NN h 1 Σ h CH log H 2 h où h est la taille du maillage et H = min i H i la taille moyenne d'un sous-domaine. Ce préconditionneur n'est donc pas scalable, c'est-à-dire que le nombre de conditionnement du système dépend du nombre de domaine M, ou de la taille H des domaines. Pour plus de détails voir [1, 2].

34 Chapitre 3 Une méthode de Schwarz hybride Nous introduisons dans ce chapitre une méthode de décomposition de domaine inspirée des méthodes de Schwarz classique. Dans les méthodes de Schwarz, nous considérons des décompositions du domaine Ω avec recouvrement, c'est-à-dire que l'intersection entre certains domaines est non-vide. Pour l'instant, considérons la même décomposition du domaine Ω qu'au chapitre précédent, c'est-à-dire Ω = Ω 1 Ω 2, Ω 1 Ω 2 =, Ω 1 Ω 2 =: Γ. On ajoute maintenant un domaine de recouvrement Ω 3 tel que Γ Ω 3, et on dénit Γ 1 = Ω 3 Ω 1 \ Ω, et Γ 2 = Ω 3 Ω 2 \ Ω. Un exemple de décomposition pour plusieurs sous-domaines est donné en gure 3.1 en page 33. À nouveau soit µ : Ω R dénit par { µ 1 (x sur Ω 1 µ(x = µ 2 (x sur Ω 2. On dénit les 3 opérateurs diérentiels suivants : L 1 u = (µ 1 u, L 2 u = (µ 2 u, L 3 u = (µ u, u : Ω 1 R u : Ω 2 R u : Ω 3 R Considérons la méthode suivante : Soit û 0 Γ donnée sur Γ. Résoudre pour tout k 0, L 1 û k+1 1 = f sur Ω 1 (3.1 û k+1 1 = û k Γ sur Γ û k+1 1 = 0 sur Ω 1 Ω et L 2 û k+1 2 = f sur Ω 2 (3.2 û k+1 2 = û k Γ sur Γ û k+1 2 = 0 sur Ω 2 Ω 29

35 30 CHAPITRE 3. UNE MÉTHODE DE SCHWARZ HYBRIDE puis (3.3 L 3 û k+1 3 = f sur Ω 3 û k+1 3 = û k+1 1 sur Γ 1 û k+1 3 = û k+1 2 sur Γ 2 û k+1 3 = 0 sur Ω 3 Ω puis poser û k+1 Γ = (û k+1 3 Γ. Cette méthode consiste donc a résoudre deux problèmes de diusion indépendant sur Ω 1 et Ω 2 avec condition de Dirichlet au bord, puis de résoudre le problème couplé, i.e. avec des coecients de diusion discontinu, sur le petit domaine Ω 3, avec condition de Dirichlet au bord. Nous notons déjà une grande diérence avec la méthode de Neumann-Neumann : ici tous les problèmes ont des conditions de Dirichlet sur le bord. En supposant que u est la limite unique des suites û k i, la continuité du gradient de la solution u à travers l'interface Γ est assurée par la continuité de la solution û k 3 sur le domaine de recouvrement Ω 3. Des conditions de Neumann sur l'interface Γ ne sont donc pas nécessaires. 3.1 Forme variationnelle On exprime maintenant la forme variationnelle de la méthode. On rappelle que V := H0(Ω 1 et Vi 0 := H0(Ω 1 i. De plus, nous avons trouvé la forme bilinéaire a(u, v = (µ u, v Ω u, v V, associée à l'opérateur L, et nous avons vu que la forme variationnelle du problème de diusion (1.1 s'écrit u V : a(u, v = (f, v Ω v V. Nous dénissons maintenant les trois formes associées aux opérateurs L 1, L 2 et L 3 : a 1 (u 1, v 1 := (µ 1 u 1, v 1 Ω1 u 1, v 1 H 1 (Ω 1 a 2 (u 2, v 2 := (µ 2 u 2, v 2 Ω2 u 2, v 2 H 1 (Ω 2 a 3 (u 3, v 3 := (µ u 3, v 3 Ω3 u 3, v 3 H 1 (Ω 3 Nous dénissons de plus les espaces V i, pour i = 1, 2, 3 par V i = { v V v = 0 sur Ω \ Ω i }. Pour tout w i Vi 0, nous notons w i Vi l'extension de w i par zéro sur Ω \ Ω i. Nous obtenons maintenant la forme faible de la méthode : Soit u 0 V donnée. Pour tout k 0, (3.4 Pour i = 1, 2, trouver w k i V 0 i : a i (w k i, v i = (f, v i Ωi a i (u k, v i v i V 0 i, u k+ 1 2 := wk 1 + w k 2 + u k V

36 3.2. UNE MÉTHODE DE PROJECTION 31 (3.5 puis trouver w k 3 V 0 3 : a 3 (w k 3, v 3 = (f, v 3 Ω3 a 3 (u k+ 1 2, v3 v 3 V 0 3, u k+1 := w k 3 + u k+ 1 2 V. Ce problème est équivalent au problème diérentiel. En eet, en posant û k Γ = (uk Γ dans (3.1 et (3.2, nous avons { u k+ 1 û k+1 2 = 1 sur Ω 1 û k+1 2 sur Ω 2 c'est-à-dire (3.4 est équivalent aux deux problèmes (3.1 et (3.2, de plus û k+1 3 sur Ω 3 u k+1 = û k+1 1 sur Ω 1 \ Ω 3 û k+1 2 sur Ω 2 \ Ω 3 c'est-à-dire (3.5 est équivalent à ( Une méthode de projection Nous allons voir maintenant comment écrire la méthode comme méthode de projection sur les espaces Vi. Pour i = 1, 2 et pour chaque vi Vi, nous avons Et, pour chaque v 3 V 3, nous avons Nous avons donc trouvé que a( w k i, v i = a i (w k i, v i Ω i = (f, v i Ω i Ωi a i (u k, v i Ω i = (f, v i Ω a(u k, v i = a(u u k, v i. a(u k+1 u k+ 1 2, v 3 = a( w k 3, v 3 = a 3 (w k 3, v 3 Ω 3 = (f, v 3 Ω 3 Ω3 a 3 (u k+ 1 2, v 3 Ω 3 = (f, v 3 Ω a(u k+ 1 2, v 3 = a(u u k+ 1 2, v 3. w k 1 = P 1(u u k w k 2 = P 2(u u k u k+ 1 2 u k = (P 1 + P 2(u u k u k+1 u k+ 1 2 = P 3 (u u k+ 1 2,

37 32 CHAPITRE 3. UNE MÉTHODE DE SCHWARZ HYBRIDE où Pi : V Vi est l'opérateur de projection orthogonal de V sur Vi par rapport au produit scalaire induit par la forme bilinéaire a(,. Plus précisément, pour tout w V on a Pi w Vi : a(pi w w, v = 0 v Vi. Notons I l'opérateur identité et J i : V i tout v V i. Dénissons de plus P i := J i P i u k+ 1 2 dans V, i.e. J i v = v pour : V V. Nous trouvons V l'immersion de V i = (I P1 P 2 u k + (P 1 + P 2 Gf, où Gf = u Lu = f, i.e. G = L 1 est l'opérateur résolvant. Ensuite on a où u k+1 = (I P 3 u k P3 Gf = (I P 3 [ (I P 1 P 2 u k + (P 1 + P 2 Gf ] + P 3 Gf = u k + Q(Gf u k = u k + QG(f Lu k, Q := P 1 + P 2 + P 3 P 3 P 1 P 3 P 2 = Pour le calcul de l'erreur, nous avons 3 P i u u k+ 1 2 = (I P1 P 2 (u u k, u u k+1 = (I P 3 (u u k On introduit l'erreur e k := u u k, on trouve e k+1 = u u k+1 = (I P 3 (u u k+ 1 2 = (I P 3 (I P 1 P 2 e k. 2 P 3 P i. Remarquons que nous avons une méthode hybride. La première étape donnant u k+ 1 2 est une méthode de Schwartz additive, correspondant au terme (I P 1 P 2. La seconde étape donnant u k+1 est une méthode de Schwartz multiplicative, correspondant à la multiplication par le terme (I P 3. Cet observation sera encore mieux mise en évidence dans la section suivante, dans le cas de plusieurs sous-domaines. 3.3 Généralisation à plusieurs sous-domaines Considérons une décomposition sans-recouvrement de Ω en M domaines Ω i. C'est-àdire qu'on a Ω = M Ω i avec Ω i Ω j = si i j. On dénit l'interface globale Γ := Ω i Ω j \ Ω. i,,...m, i<j Soit C le nombre de composantes connexes de Γ et soit Γ j, j = 1,..., C la jième composante connexe. Pour chaque composante Γ j, on ajoute un domaine de recouvrement Ω M+j tel que