LEÇON N 5 : 5.1 Probabilité conditionnelle. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités.

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1 LEÇON N 5 : Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l ensemble d épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités. On se place dans un espace probabilisé (Ω,P(Ω), P). Introduction : On se donne le tableau suivant représentant la proportion de garçons (G) et de filles (F) étudiant l anglais (A) ou l espagnol (E) en 1 re langue. A E G F Quelle est la probabilité qu un élève fasse de l anglais sachant que c est un garçon : G A G = On constate aussi que P(G A) P(G) = 48/150 70/150 = Probabilité conditionnelle Théorème 1 : Soit B P(Ω) telle que 0. Alors l application P B : P(Ω) [0, 1] A P B (A) = P(A B) est une probabilité sur Ω.

2 2 démonstration : Puisque pour toute partie B de Ω, B Ω = B, il est clair que P B (Ω) = 1. Soient alors A 1, A 2 P(Ω) tels que A 1 A 2 =. Alors. A 2 ) B ). P B (A 1 A 2 ) = P( (A 1 = P(A 1 B) + P(A 2 B) = P( (A 1 B). (A 2 B) ) = P B (A 1 ) + P B (A 2 ). P B est donc bien une probabilité sur Ω. Définition 1 : Soient A, B P(Ω) tels que 0. Le nombre P B (A) est appelé probabilté conditionnelle de A sachant (que) B (est réalisé), aussi notée P(A B). Conséquences directes : Si A B =, alors P B (A) = 0 ; Si B A, alors P B (A) = 1 (car A B = B) ; Si P(A) 0 et 0, alors P(A B) = P B (A) = P A (B) P(A). Exemple : Une urne contient deux boules rouges et trois bleues. On fait deux tirages successifs sans remise. Quelle est la probabilité de tirer deux boules bleues? Soient B i l événement «on tire une boule bleue au i-ième tirage» pour i {1, 2}. Alors P(B 1 B 2 ) = P B1 (B 2 ) P(B 1 ) = = Théorème 2 (formule des probabilités composées) : Soient A 1,..., A n P(Ω) tels que P(A 1 A n ) 0. Alors P(A 1 A n ) = n P(A i A i+1 A n ). i=1 démonstration : On effectue une récurrence sur l entier n N : Initialisation : Pour n = 1, le résultat est évident. Hérédité : Supposons le résultat vrai au rang n 1, c est-à-dire vrai pour n 1 parties de A dont la probabilité de l intersection ne soit pas nulle. Alors P ( A 1 (A 2 A n ) ) = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A n ) H.R. = P(A 1 A 2 A n ) ( P(A 2 A 3 A n ) P(A n 1 A n )P(A n ) ), et le résultat est ainsi démontré au rang n, ce qui achève la récurrence.

3 3 Théorème 3 (formule des probabilités totales) : Soit (B k ) 1kn une partition finie de Ω. Alors n A P(Ω), P(A) = P Bk (A) P(B k ). démonstration : Puisque A =. n (B k A), on a l égalité ( n ) n n P(A) = P (B k A) = P(B k A) = P Bk (A)P(B k ). Remarques 1 : Cette formule reste vraie si A. B k ; Ω = B. B, donc on a en particulier P(A) = P B (A) + P B (A). Corollaire 1 (formule de Bayès) : Soient (B k ) 1kn une partition finie de Ω, A P(Ω) telle que P(A) 0. Alors k {1,..., n}, P A (B k ) = P B k (A) P(B k ) n i=1 P B i (A) P(B i ). démonstration : P(A) 0, donc P A (B k ) = P(A B k )/P(A). Or P(A B k ) = P Bk (A)P(B k ) et d après la formule des probabilités totales, puisque les B k forment une partition de Ω, on a P(A) = n i=1 P B i (A)P(B i ). Exemple 1 : On dispose de trois urnes contenant chacune un certain nombre de boules colorées, comme indiqué dans le tableau ci-dessous : boules bleues boules rouges U U U On tire au hasard une urne, puis une boule de cette urne. La boule tirée est bleue (B), mais quelle est la probabilité qu elle provienne de U 1? P B (U 1 ) = P 1 U 1 (B) P(U 1 ) 3 i=1 P U i (B) P(U i ) = ( ) = Exemple 2 : Cinq personnes sur sont proteuses d un virus. On fait un test dont les conclusions sont que 5% des non malades et 99% des malades sont décelés comme étant malades. Quelle est la probabilité qu une personne soit malade (M) sachant que son test est positif (T)?

4 4 P T (M) = 99 P M (T) P(M) P M (T) P(M) + P M (T) P(M) = On peut en déduire que ce test n est pas à préconiser, mais plutôt à proscrire!! = %. 5.2 Evénements indépendants Définition 2 : Soient A, B P(Ω). A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A). Remarques 2 : Quelque soit A P(Ω), il est toujours indépendant de Ω et ; Intuitivement, on dirait plutôt que A et B sont indépendants si, par exemple, P B (A) = P(A), mais ce n est pas si intuitif qu il n y paraît, comme le montre l exemple ci-dessous ; Par contre, on a équivalence enter ces égalités, c est-à-dire que pour A,B P(Ω), P(A B) = P(A) P A (B) = P B (A) = P(A). Ces équivalences sont évidentes du fait que P(A B) = P A (B) P(A) = P B (A). Exemple : On tire un numéro au hasard dans chacun des exemples ci-dessous. On note A l événement «On a un nombre pair» et B l événement «On a un multiple de trois.» Soit Ω = {1,...,20}. On détermine que P(A) = 1 2, = 3 3, P(A B) = de sorte que les événements A et B soient indépendants. Par contre, si ω = {1,...,21}, alors trouve que P(A) = 10 21, = 1 3, P(A B) = 3 21 = 1 7 = P(A), P(A), de sorte que les événements A et B ne soient pas indépendants dans ce cas. Exercice : Calculer aussi P A (B) et P B (A) pour chacun des deux cas et conclure quant à l indépendance en comparant respectivement ces quantités à et P(A). Proposition 1 : On a équivalence entre : (i) A et B sont indépendants ; (ii) A et B sont indépendants ; (iii) A et B sont indépendants ; (iv) A et B sont indépendants.

5 5 démonstration : On se contentera de montrer que (i) (ii), les autres cas s étudiant de manière analogue. Remarquons que A = (A B). (A B), de sorte que P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(A) car A et B sont indépendants par hypothèse. On poursuit le calcul : P(A B) = P(A) ( 1 ) = P(A), et on aboutit au résultat. Remarque 3 : La relation d indépendance n est pas transitive, c est-à-dire que si A et B sont deux événements indépendants, et C un troisième événement tel que B et C le soient aussi, alors A et C ne sont en général pas indépendants, comme le montre l exemple qui suit. Exemple : Au cours de l année 2002, deux classes de terminale ont réalisé un sondage traduisant les votes entre «jeunes» (J, élèves des deux classes) et «vieux» (V, profs du lycée) qui ont permis de déterminer le président entre deux candidats A et B. Les résultats sont reportés dans ce tableau : Le calcul détermine que J V A B A B H F P(J) = = 5 80, P(F) = = 2 3 et P(A) = = 3 8, et justifie ainsi les égalités P(J F) = 5/12 = P(J) P(F) et P(F A) = 1/4 = P(F) P(A), ce qui fait que les événements J et F, ainsi que F et A sont indépendants. Vérifions alors que J et A ne le sont pas! En effet, par calcul, P(J A) = = 1 4 et P(J) P(A) = = Proposition 2 : Soit B C. Si A et B sont indépendants, ainsi que A et C, alors A et C\B le sont aussi. démonstration : A C = (A C B). (A C B) = (A B). (A C B) car B C. D où P(A C\B) = P(A C) P(A B) = P(A) ( P(C) ) = P(A)P(C\B). Exercice : On suppose que B Ω. Montrer de deux manières que A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A B). 1. Notons b = (donc 1 b = ), α = P(A B) (donc 1 α = P(A B)) et β = P(A B) (donc 1 β = P(A B)). On trouve alors A B P(A B) = P(A) rq 1 = P(A B) + P(A B) α = bα + (1 b)β (1 b)α = (1 b)β α = β.

6 6 2. On utilise tout ce qui précède. Supposons l indépendance établie, alors : P(A B) = P(A) A B prop 1 A B P(A B) = P(A). On en déduit directement que P(A B) = P(A B). Etudier la réciproque en exercice. c 2011 par Martial LENZEN. Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l article L du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite sans l autorisation expresse de l auteur.

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