Première partie : Calcul numérique

Transcription

1 Janvier 1995 : Devoir commun de troisième onsignes : les trois parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer. Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée La présentation ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique seront notées. haque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle. Première partie : alcul numérique Exercice 1 : Effectuer en détaillant les calculs. Pour le vous donnerez l'écriture scientifique du résultat.: ,1 10 A = 5 ; = ; = Exercice : Soit D = ( x ) ( x 5)( x ) a) Développer et réduire D b) Metttre D sous la forme d'un produit de facteurs c) alculer D pour x = Exercice : Factoriser E = ( x + ) 5 ; F = 49x ( x 1 ) Exercice 4 : ombien de bouteilles de 8 de litre peut-on remplir avec 9 litres de vin? Exercice 5 : J'ai dépensé les 4 des de 10 F. ombien ai-je dépensé? Deuxième partie : Travaux géométriques Exercice 1 : Dans un triangle D, D mesure 90 et D mesure 8 D = 15 cm. alculer (valeur arrondie au millimètre près) Exercice : (Les trois questions sont indépendantes) onstruire un triangle A rectangle en A tel que A = 4 cm et = 8 cm 1) alculer la valeur de A arrondie au millimètre près. ) calculer la mesure de l'angle A ) Soit D un point tel que D = 4,8 cm et D =,4 cm. Démontrez que D est un triangle rectangle. Exercice : Tracer un triangle A tel que A = cm, A = 4,8 cm et = 8,4 cm. Sur la demi droite d'origine contenant A, on place E tel que E = 11 cm Sur la demi droite d'origine contenant A, on place F tel que F = 8,8 cm 1) alculez AE et AF ) Prouver que (EF) et () sont parallèles ) alculer la longueur du segment [EF]

2 Troisième partie : questions enchainées Sur une droite d, placer les points A,, dans cet ordre tels que A = cm, = cm. O est le milieu de [A] et O' est le milieu de []. Tracer le cercle de diamètre [A] et le cercle ' ' de diamètre []. Sur placer le point D tel que AD =, cm. La droite (D) coupe ' en E. 1) Faire un dessin que l'on complétera tout au long du problème. ) Donnez la nature des triangles AD et E (Justifier votre réponse). En déduire que (AD) et (E) sont parallèles. ) alculez E. 4) onstruire le point F symétrique de E par rapport à. (F) coupe (AE) en J et (FA) coupe (DE) en I. a) Que représente [A] pour le triangle AEF? b) Vérifiez que A = A. Que représente pour le triangle AEF? c) Démontrez que I est le milieu de [AF] et que J est le milieu de [AE]. 5) Démontrez que (IJ) est parallèle à (AD).

3 Janvier 1995 : Devoir commun de troisième orrection (présentation 4 pt) Première partie : alcul numérique Exercice 1 : Effectuer en détaillant les calculs : A = 5 = = = - = - (1pt) = = = = = (1,5 pt ) , ,07 0,07 = = = = 0,05 10 =,5 10 (1,5 pt ) Exercice : Soit D = (x ) (x 5)(x ) a) D = (9x 1x+4) (15x x 15x+10) = 9x 1x+4 15x +x+15x 10 = x +5x (1pt) b) D = (x ) [(x ) (x 5)] = (x ) (x+) c) D = +5 = = = 54 = 7 (1pt) Exercice : Factoriser E = ( x + ) 5 = [( x + ) 5]( [ x + ) + 5] = ( x )( x + 8) (1pt et pt) F = 49x x = 7x x 7x + x = 4x x ( ) [ ( )][ ( )] ( )( ) Exercice 4 : ombien de bouteilles de 8 de litre peut-on remplir avec 9 litres de vin? 9 = 9 8 = 8 = 5. Je peux remplir 5 bouteilles.(1pt) 8 Exercice 5 : J'ai dépensé les 4 des de 10 F. ombien ai-je dépensé?(1pt) = = 0 J'ai dépensé 0 F. 4 Deuxième partie : Travaux géométriques Exercice 1 : Dans un triangle D, D mesure 90 et D mesure 8 D = 15 cm.alculer (valeur arrondie au millimètre près) ( pt) Dans le triangle D rectangle en : côté opposé tan D = côté adjacent 15 cm 8 D tan D = donc tan 8 = D 15 = 15 tan 8 7,97 cm 8,0 cm valeur arrondie au millimètre près Exercice :construire un triangle A rectangle en A tel que A = 4 cm et = 8 cm 1) alculer la valeur de A arrondie au millimètre près. ) calculer la mesure de l'angle A arrondie au dixième de degré près. ) Soit D un point du plan tel que D = 4,8 cm et D =,4 cm. Démontrez que D est un triangle rectangle.

4 D 1) Dans le triangle A rectangle en A appliquons le 4,8 cm,4 cm théorème de Pythagore : ² = A² + A² 8 cm 4 cm 8² = 4² + A² 4 = 1 + A² 4-1 = A² A² = 48 A = 48cm valeur exacte A A,9 cm valeur arrondie au millimètre près 0,5pt (1,5 pt) ) Dans le triangle A rectangle en A : sin $ opposé = sin $ = A 4 = = 0, 5 hypoténuse 8 (1pt) $ = 0 ) Dans le triangle D D = 4,8 cm = 8 cm D =,4 cm D² =,04 ² = 4 D² = 40,9 40,9 +,04 = 4 donc D² + D² = ² D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle D est rectangle en D. ( pt) Remarque (hors problème) : le triangle A est rectangle en A donc A est inscrit dans le cercle de diamètre [] de même: le triangle D est rectangle en D donc D est inscrit dans le cercle de diamètre [] donc les quatre points AD appartiennent au cercle de diamètre [] Exercice : T'racer un triangle A tel que A = cm, A = 4,8 cm et = 8,4 cm. Sur la demi droite d'origine contenant A, on place E tel que E = 11 cm Sur la demi droite d'origine contenant A, on place F tel que F = 8,8 cm 1) alculez AE et AF. ) Prouver que (EF) et () sont parallèles ) alculer la longueur du segment [EF]. E 5 cm F 4 cm A cm 4,8 cm 8,4 cm 1) AE = E - A = 11 - = 5 cm AF = F - A = 8,8-4,8 = 4 cm (1 pt) ) Dans le triangle A, E, A, sont alignés F, A, sont alignés dans le même ordre AF = = = = A 4, 8 1, 1 AE 5 AF = donc AE = A A A D'après la réciproque de théorème de Thalès, les droites (EF) et () sont parallèles ( pt) ) E, A, sont alignés Le théorème de Thalès appliqué aux EF 5 = donc EF = 5 8,4 F, A, sont alignés triangles EAF et A affirme que : 8, 4 (EF) et (A) sont parallèles AE AF EF ( pt) A = A = donc EF = 5 EF = 4 = 7cm 4

5 questions enchainées :Sur une droite d, placer les points A,, dans cet ordre tels que A = cm, = cm. O est le milieu de [A] et O' est le milieu de []. Tracer le cercle de diamètre [A] et le cercle ' ' de diamètre []. Sur placer le point D tel que AD =, cm. La droite (D) coupe ' en E.1) Faire un dessin que l'on complétera tout au long du problème. ) Donnez la nature des triangles AD et E (Justifier votre réponse). En déduire que (AD) et (E) sont parallèles.) alculez E 4) onstruire le point F symétrique de E par rapport à. (F) coupe (AE) en J et (FA) coupe (DE) en I. a) Que représente [A] pour le triangle AEF? b) Vérifiez que A = A. Que représente pour le triangle AEF? c) Démontrez que I est le milieu de [AF] et que J est le milieu de [AE] 5) Démontrez que (IJ) est parallèle à (AD) 1 pt D I F A O O' J E ' ) AD est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [A], il est donc rectangle en D. E est inscrit dans le cercle de diamètre [] donc il est rectangle en E. (AD) et (D) sont perpendiculaires de même (E) et (E) sont perpendiculaires, de plus E sont alignés.(1 pt) (AD) et (E) sont perpendiculaires à une même droite (E) donc (AD) et (E) sont parallèles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles.(1 pt) ) D,, E sont alignès A,, sont alignés et (AD) et (E) sont parallèles Le théorème de Thalès appliqué aux triangles DA et E affirme que : D A AD A AD, = = donc = donc = E E E E E = donc E =, ( pt), = 1, 8cm 4) a) Dans le triangle AEF, F est le symétrique de E par rapport à donc est le milieu de [EF] donc [A] est une médiane.(1,5 pt) b) A =.(A + ) = ( + ) =.9 = cm A = cm donc A = A (1 pt) est un point de la médiane [A] situé au deux tiers de celle-ci. Donc est le centre de gravité de AEF. (1,5 pt) 5) Dans le triangle AEF, [EI] passe par le sommet E et par le centre de gravité donc [EI] est un médiane et I est le milieu de [AF] de même : [FJ] passe par le sommet F et par le centre de gravité donc [FJ] est un médiane et J est le milieu de [AE] (1 pt) 5) Dans le triangle AEF, I est le milieu de [AF] et J est le milieu de [AE]. Dans un triangle, la droite qui joint le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté Donc (IJ) et (EF) sont parallèles.or (EF) et (AD) sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre. donc (IJ) et (AD) sont parallèles. ( pt) 5

6 Exercice : Montrer que (IJ) est la médiatrice de [DE]