Modes non-linéaires en théorie des vibrations : Définitions, exemples et applications

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1 Modes non-linéaires en théorie des vibrations :, exemples et applications Cyril Touzé ENSTA-UME, Unité de recherche en Mécanique, Chemin de la Hunière Palaiseau cedex, Collaborations : Olivier Thomas (CNAM), Marco Amabili (Universita di Parma), Antoine Chaigne (ENSTA-UME). Journée d étude SFA/GSAM Non-linéarités et instruments de musique

2 PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION DÉFINITIONS Modes linéaires Modes non-linéaires MÉTHODES DE CALCUL Variété invariante Formes normales Autres méthodes APPLICATIONS Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette

3 PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION DÉFINITIONS Modes linéaires Modes non-linéaires MÉTHODES DE CALCUL Variété invariante Formes normales Autres méthodes APPLICATIONS Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette

4 CADRE DE L EXPOSÉ Systèmes vibrants en grande amplitude oscillations non-linéaires, non-linéarités polynômiales.

5 CADRE DE L EXPOSÉ Systèmes vibrants en grande amplitude oscillations non-linéaires, non-linéarités polynômiales. Forme générique des équations à traiter : M q + C q + Kq + N 2 (q, q) + N 3 (q, q, q) = F(t) où : q R N (espace des phases de dimension N). M, C, K : matrices de masse, amortissement et raideur. N 2, N 3 : regroupe les termes non-linéaires d ordre 2 et 3. N.B. : On peut partir des EDP du système continu

6 EXEMPLES (PARMI D AUTRES...) Vibrations de grande amplitude de structures minces. Matériau élastique linéaire + grands déplacements non-linéarités géométriques. Modèles de Von-Karman, Donnell, pour les poutres, plaques, coques,... x1 a R2 u z w v h b R1 x2

7 EXEMPLES (PARMI D AUTRES...) Vibrations de grande amplitude de structures minces. Matériau élastique linéaire + grands déplacements non-linéarités géométriques. Modèles de Von-Karman, Donnell, pour les poutres, plaques, coques,...

8 EXEMPLES (PARMI D AUTRES...) Vibrations de grande amplitude de structures minces. Matériau élastique linéaire + grands déplacements non-linéarités géométriques. Modèles de Von-Karman, Donnell, pour les poutres, plaques, coques,... Milieu linéaire avec excitation non-linéaire localisée : exemple des instruments à vent.

9 PROBLÉMATIQUE La prise en compte des termes non-linéaires introduit de nouveaux problèmes : Au niveau phénoménologique complexité de la dynamique : couplages, échanges d énergie, transition vers le chaos,...

10 PROBLÉMATIQUE La prise en compte des termes non-linéaires introduit de nouveaux problèmes : Au niveau phénoménologique complexité de la dynamique : couplages, échanges d énergie, transition vers le chaos,... Au niveau de la modélisation Problèmes liés à la troncature (choix de N).

11 PROBLÉMATIQUE La prise en compte des termes non-linéaires introduit de nouveaux problèmes : Au niveau phénoménologique complexité de la dynamique : couplages, échanges d énergie, transition vers le chaos,... Au niveau de la modélisation Problèmes liés à la troncature (choix de N). Recherche de modèles réduits adaptés.

12 PROBLÉMATIQUE Modes propres linéaires : base adaptée au traitement de la dynamique linéaire. oscillateurs découplés Théorème de superposition Invariance. Mais ces propriétés sont perdues au stade non-linéaire.

13 PROBLÉMATIQUE Modes propres linéaires : base adaptée au traitement de la dynamique linéaire. oscillateurs découplés Théorème de superposition Invariance. Mais ces propriétés sont perdues au stade non-linéaire. Modes non-linéaires : Peut-on étendre la notion au régime non-linéaire? Selon quels critères? Quelles propriétés peut-on conserver?

14 Modes linéaires Modes non-linéaires PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION DÉFINITIONS Modes linéaires Modes non-linéaires MÉTHODES DE CALCUL Variété invariante Formes normales Autres méthodes APPLICATIONS Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette

15 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES PROPRES : RAPPELS Cas linéaire conservatif : M q + Kq = Modes propres solutions du problème aux valeurs propres : (K ω 2 M)φ = famille de N déformées modales φ i, i=1...n; et N pulsations propres ω i.

16 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES PROPRES : RAPPELS Cas linéaire conservatif : M q + Kq = Modes propres solutions du problème aux valeurs propres : (K ω 2 M)φ = famille de N déformées modales φ i, i=1...n; et N pulsations propres ω i. Dans la base modale, la dynamique se réduit à un ensemble d oscillateurs découplés. Si X = [X 1 X 2... X N ] t = P 1 q avec P la matrice de passage, alors p = 1...N: Ẍ p + ωp 2 X p =

17 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES PROPRES : RAPPELS Cas linéaire conservatif : M q + Kq = Modes propres solutions du problème aux valeurs propres : (K ω 2 M)φ = famille de N déformées modales φ i, i=1...n; et N pulsations propres ω i. Dans la base modale, la dynamique se réduit à un ensemble d oscillateurs découplés. Si X = [X 1 X 2... X N ] t = P 1 q avec P la matrice de passage, alors p = 1...N: Ẍ p + ωp 2 X p = Cas linéaire amorti : passage au premier ordre en utilisant la vitesse comme variable supplémentaire. modes complexes.

18 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES LINÉAIRES : INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE Y oscillateurs découplés 1 espace des phases : produit d hyperplan, X avec familles d orbites périodiques. 1

19 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES LINÉAIRES : INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE oscillateurs découplés espace des phases : produit d hyperplan, avec familles d orbites périodiques. Invariance : pour tout mouvement initié selon un seul mode, pas de couplage avec les autres modes.

20 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES LINÉAIRES : INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE oscillateurs découplés espace des phases : produit d hyperplan, avec familles d orbites périodiques. Invariance : pour tout mouvement initié selon un seul mode, pas de couplage avec les autres modes. Propriété toujours vraie en présence d amortissement.

21 Modes linéaires Modes non-linéaires RÉGIME NON-LINÉAIRE Les modes propres peuvent être utilisés au stade non-linéaire afin de rendre diagonale la partie linéaire : Ẍ p + 2ζ p ω p Ẋ p + ω 2 p X p + P g p ij X ix j + i,j=1 P i,j,k=1 h p ijk X ix j X k = F p (t) Oscillateurs couplés. Perte du théorème de superposition. Peut-on conserver une propriété des modes linéaires afin de définir des modes non-linéaires?

22 Modes linéaires Modes non-linéaires EXEMPLE : SYSTÈME À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Masse connectée à deux ressorts en grands déplacements. l x1 k 1 k 2 m x l 2

23 Modes linéaires Modes non-linéaires EXEMPLE : SYSTÈME À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Masse connectée à deux ressorts en grands déplacements. l x1 k 1 k 2 m x l 2 Équation du mouvement : Ẍ 1 + ω1x ω2 1 2 (3X X2 2 ) + ω2x 2 1 X 2 + ω2 1 + ω2 2 X 1 (X1 2 + X2 2 ) = 2 Ẍ 2 + ω2x ω2 2 2 (3X X1 2 ) + ω1x 2 1 X 2 + ω2 1 + ω2 2 X 2 (X1 2 + X2 2 ) = 2 Calcul des trajectoires, pour ω 1 = 1, ω 2 = 1.5

24 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES NON-LINÉAIRES : DÉFINITIONS ÉQUIVALENTES Familles d orbites périodiques autour de la position d équilibre. x x x 1 y x 1

25 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES NON-LINÉAIRES : DÉFINITIONS ÉQUIVALENTES Familles d orbites périodiques autour de la position d équilibre. Variété bidimensionnelle invariante, tangente à l origine au sous-espace propre linéaire associé.

26 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES NON-LINÉAIRES : DÉFINITIONS ÉQUIVALENTES Familles d orbites périodiques autour de la position d équilibre. Variété bidimensionnelle invariante, tangente à l origine au sous-espace propre linéaire associé. Définition plus générale, valable dans le cas amorti

27 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES NON-LINÉAIRES : DÉFINITION Conséquence quantitative sur les troncatures : IC onto invariant manifold (a) (c).1.1 IC onto linear eigenspace.2 Y 1 Linear eigenspace Non linear mode S X X1 (b) R 1 (d).2.1 X Y 1.1 Y 2.2 S X2 R2

28 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES NON-LINÉAIRES : DÉFINITION Conséquence quantitative sur les troncatures : IC onto invariant manifold (a) (c).1.1 IC onto linear eigenspace.2 Y 1 Linear eigenspace Non linear mode S X X1 (b) R 1 (d).2.1 X Y 1.1 Y 2.2 S 2.2 Troncature au premier mode : X2 R2 Ẍ 1 + ω1x ω2 1 2 X ω2 1 + ω2 2 X1 3 2 = on simule des traj. qui n existent pas dans l espace des phases complet. conséquences qualitatives sur le type de non-linéarité.

29 Modes linéaires Modes non-linéaires TYPE DE NON-LINÉARITÉ : DÉFINITION Pour un oscillateur non-linéaire : Ẍ p + ω 2 px p + g p ppx 2 p + h p pppx 3 p = Dépendance de la fréquence des oscillations libres avec l amplitude selon : ω NL = ω p (1 + Γ p a 2 ), avec : ( ) Γ p = 1 8ωp 2 3hppp p 1gp pp 3ωp 2.

30 Modes linéaires Modes non-linéaires TYPE DE NON-LINÉARITÉ : DÉFINITION Pour un oscillateur non-linéaire : Ẍ p + ω 2 p X p + g p ppx 2 p + hp pppx 3 p = Dépendance de la fréquence des oscillations libres avec l amplitude selon : ω NL = ω p (1 + Γ p a 2 ), avec : ( ) Γ p = 1 8ωp 2 3hppp p 1gp pp 3ωp 2. a 1.8 Si Γ p >, comportement raidissant. Si Γ p <, comportement assouplissant comportement assouplissant comportement raidissant ω /ω NL p

31 Modes linéaires Modes non-linéaires TYPE DE NON-LINÉARITÉ : PRÉDICTION Lorsqu on a N oscillateurs : pas de formule analytique simple. Réduction à un mode linéaire prédictions erronées.

32 Modes linéaires Modes non-linéaires TYPE DE NON-LINÉARITÉ : PRÉDICTION Lorsqu on a N oscillateurs : pas de formule analytique simple. Réduction à un mode linéaire prédictions erronées. Réduction à un mode non-linéaire bonne prédiction. Exemple sur le système à deux ddl :

33 Modes linéaires Modes non-linéaires TYPE DE NON-LINÉARITÉ : PRÉDICTION Lorsqu on a N oscillateurs : pas de formule analytique simple. Réduction à un mode linéaire prédictions erronées. Réduction à un mode non-linéaire bonne prédiction. Exemple sur le système à deux ddl : Γ 1 = ω2 2 16ω 2 1 Γ 1 = ω2 2 16ω1 2 + ω2 2 (8ω2 1 3ω2 2 ) 16ω1 2(ω2 2 4ω2 1 ) 6 First linear eigenspace 6 First non linear invariant manifold ω ω ω ω1 Jaune : Γ > : comportement raidissant, bleu Γ < : comportement assouplissant. [C. Touzé, O. Thomas et A. Chaigne, JSV, 24]

34 Modes linéaires Modes non-linéaires MODES NON-LINÉAIRES : PREMIER BILAN Définition : variété invariante de l espace des phases, tangente à l origine aux sous-espace propre associé. Dynamique sur la variété : gouvernée par une seule équation d oscillateur. Modèles d ordre réduits Permet de prédire correctement le type de non-linéarité.

35 Variété invariante Formes normales Autres méthodes PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION DÉFINITIONS Modes linéaires Modes non-linéaires MÉTHODES DE CALCUL Variété invariante Formes normales Autres méthodes APPLICATIONS Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette

36 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Méthode proposée par S. Shaw et C. Pierre (JSV, ). Utilise la technique de calcul proposée dans le théorème de la variété centrale.

37 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Méthode proposée par S. Shaw et C. Pierre (JSV, ). Utilise la technique de calcul proposée dans le théorème de la variété centrale. Point de départ : i = 1...N: { xi = y i y i = f i (x, y)

38 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Méthode proposée par S. Shaw et C. Pierre (JSV, ). Utilise la technique de calcul proposée dans le théorème de la variété centrale. Point de départ : i = 1...N: { xi = y i y i = f i (x, y) Mouvement selon un mode non-linéaire on peut exprimer toutes les coordonnées en fonction d une seule paire, soit (x 1, y 1 ) par exemple. Donc : { xi = X i 2...N : i (x 1, y 1 ) y i = Y i (x 1, y 1 ) 2(N 1) inconnues : fonctions X i (x 1, y 1 ), Y i (x 1, y 1 ).

39 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Idée : éliminer la variable temps pour avoir l équation définissant la géométrie de la variété dans l espace des phases. i 2...N: { ẋi = X i x 1 ẋ 1 + X i y 1 ẏ 1 ẏ i = Y i x 1 ẋ 1 + Y i y 1 ẏ 1

40 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Idée : éliminer la variable temps pour avoir l équation définissant la géométrie de la variété dans l espace des phases. i 2...N: { ẋi = X i x 1 ẋ 1 + X i y 1 ẏ 1 ẏ i = Y i x 1 ẋ 1 + Y i y 1 ẏ 1 En remplaçant : { Y i = X i x 1 y 1 + X i y 1 f 1 (x 1, y 1 ) f i (x 1, y 1 ) = Y i x 1 y 1 + Y i y 1 f 1 (x 1, y 1 ) équations de la variété de dimension 2 dans l espace des phases de dimension 2N.

41 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Une fois obtenues les équations géométriques, la dynamique sur la variété s exprime selon : { x1 = y 1 y 1 = f 1 (x 1, X 1 (x 1, y 1 ),..., y 1,..., Y N (x 1, y 1 ))

42 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Une fois obtenues les équations géométriques, la dynamique sur la variété s exprime selon : { x1 = y 1 y 1 = f 1 (x 1, X 1 (x 1, y 1 ),..., y 1,..., Y N (x 1, y 1 )) Mais : Équations de la variété contiennent toutes les non-linéarités du problème inital. difficile à résoudre.

43 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Une fois obtenues les équations géométriques, la dynamique sur la variété s exprime selon : { x1 = y 1 y 1 = f 1 (x 1, X 1 (x 1, y 1 ),..., y 1,..., Y N (x 1, y 1 )) Mais : Équations de la variété contiennent toutes les non-linéarités du problème inital. difficile à résoudre. Développement asymptotique : i 2...N : { Xi (x 1, y 1 ) = a i,1 x 1 + a i,2 y 1 + a i,3 x1 2 + a i,4x 1 y Y i (x 1, y 1 ) = b i,1 x 1 + b i,2 y 1 + b i,3 x1 2 + b i,4x 1 y

44 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Une fois obtenues les équations géométriques, la dynamique sur la variété s exprime selon : { x1 = y 1 y 1 = f 1 (x 1, X 1 (x 1, y 1 ),..., y 1,..., Y N (x 1, y 1 )) Mais : Équations de la variété contiennent toutes les non-linéarités du problème inital. difficile à résoudre. Développement asymptotique : i 2...N : Résolution numérique. { Xi (x 1, y 1 ) = a i,1 x 1 + a i,2 y 1 + a i,3 x1 2 + a i,4x 1 y Y i (x 1, y 1 ) = b i,1 x 1 + b i,2 y 1 + b i,3 x1 2 + b i,4x 1 y

45 Variété invariante Formes normales Autres méthodes VARIÉTÉ INVARIANTE Avantages Formulation très générale. (ajout d amortissement, de termes gyroscopiques, voire même de non-linéarité non-régulière,...). Se prête bien à un calcul numérique. [Pesheck, Jiang, Shaw et Pierre, 22-26] Inconvénients Une seule variété calculée. refaire le calcul pour une autre. Dans les cas où le mouvement réduit est compris dans une sous-variété de dimension 2, 4 ou 6... la formulation se complexifie.

46 Variété invariante Formes normales Autres méthodes FORMES NORMALES : RAPPEL Théorème de Poincaré : Soit Ẋ = AX + N(X). Soient {s k } k=1...n les valeurs propres de A. S il n existe aucune relation de résonance entre les v.p. de A, alors il existe un changement de variables X = Y + h(y) t.q. : Ẏ = AY Relation de résonance : Toute relation de la forme : s k = N n i s i, n i, i=1 n i = p 2 i où p est l ordre de la non-linéarité. Exemples : s 1 = 2s 2, résonance d ordre deux ; s 2 = s 1 + 2s 3, résonance d ordre trois.

47 Variété invariante Formes normales Autres méthodes FORMES NORMALES : RAPPEL Théorème de Poincaré-Dulac : Le changement de variable X = Y + h(y) permet d éliminer tous les monômes non-résonnants. Ẏ = AY + n A n (Y)

48 Variété invariante Formes normales Autres méthodes FORMES NORMALES : RAPPEL Théorème de Poincaré-Dulac : Le changement de variable X = Y + h(y) permet d éliminer tous les monômes non-résonnants. Ẏ = AY + n A n (Y) Changement de variables non-linéaires forme "la plus simple" possible de la dynamique. Calcul de la fonction h (et preuve du théorème) : par développements asymptotiques, et de manière récursive sur les ordres p de la non-linéarité.

49 Variété invariante Formes normales Autres méthodes MODES NON-LINÉAIRES ET FORMES NORMALES Au stade conservatif : spectre linéaire en {±iω p } relation de résonances d ordre 3 triviales. On ne pourra pas linéariser complètement le système.

50 Variété invariante Formes normales Autres méthodes MODES NON-LINÉAIRES ET FORMES NORMALES Au stade conservatif : spectre linéaire en {±iω p } relation de résonances d ordre 3 triviales. On ne pourra pas linéariser complètement le système. Changement de coordonnées non-linéaire: (X 2,Y 2 ) (R,S ) 2 2 M 2 ( Xp ) = Y p ( Rp S p ) + ( P (3) Q (3) p (R i, S i ) p (R i, S i ) ) (R 1,S 1 ) (X 1,Y 1 ) M 1 (R p, S p): nouvelles coordonnées, reliés aux MNL.

51 Variété invariante Formes normales Autres méthodes MODES NON-LINÉAIRES ET FORMES NORMALES Au stade conservatif : spectre linéaire en {±iω p } relation de résonances d ordre 3 triviales. On ne pourra pas linéariser complètement le système. Changement de coordonnées non-linéaire: ( Xp ) = Y p ( Rp S p ) + ( P (3) p (R i, S i ) Q (3) p (R i, S i ) (R p, S p): nouvelles coordonnées, reliés aux MNL. Dynamique exprimée en (R p, S p ) : espace des phases engendré par les MNL. [C. Touzé, O. Thomas et A. Chaigne, JSV, 24] ) (X 2,Y 2 ) (R,S ) 2 2 M 2 (R 1,S 1 ) (X 1,Y 1 ) M 1

52 Variété invariante Formes normales Autres méthodes MNL ET FORMES NORMALES Avantages Tous les modes non-linéaires sont calculés en une seule opération. cadre adapté à l analyse/synthèse non-linéaire : Dynamical system (physical co ordinates) ( X, Y ) i i direct study : many d.o.f. ( X(t), Y(t) ) Non linear change of co ordinates X R Y S Normal dynamics Study Reduced order models inverse variable change ( R(t), S(t) ) Ajout d amortissement (perturbation du problème linéaire) possible. [C. Touzé et M. Amabili, JSV, 26] Inconvénients Calcul par développement asymptotique validité limitée en amplitude Ne se prête pas à un calcul numérique.

53 Variété invariante Formes normales Autres méthodes FORMULATION AMPLITUDE-PHASE Définition du mode non-linéaire comme solutions périodiques dépendant explicitement de l amplitude [S. Bellizzi et R. Bouc, JSV, 26] : X(t) = aψ(a, φ(t)) cos φ(t) φ(t) = Ω(a, φ(t)) φ() = Φ où Ψ représente la déformée modale non-linéaire, Ω la pulsation instantanée. Conduit à une extension du problème aux valeurs propres classiques, contenant les non-linéarités du problème initial.

54 Variété invariante Formes normales Autres méthodes FORMULATION AMPLITUDE-PHASE Définition du mode non-linéaire comme solutions périodiques dépendant explicitement de l amplitude [S. Bellizzi et R. Bouc, JSV, 26] : X(t) = aψ(a, φ(t)) cos φ(t) φ(t) = Ω(a, φ(t)) φ() = Φ où Ψ représente la déformée modale non-linéaire, Ω la pulsation instantanée. Conduit à une extension du problème aux valeurs propres classiques, contenant les non-linéarités du problème initial. Méthode ayant des points communs avec la technique de la variété invariante. se prête bien à un calcul numérique.

55 Variété invariante Formes normales Autres méthodes CONTINUATION D ORBITES PÉRIODIQUES Utilise la définition d un MNL comme famille d orbites périodiques Proche de l origine, les orbites sont contenues dans les plans modaux.

56 Variété invariante Formes normales Autres méthodes CONTINUATION D ORBITES PÉRIODIQUES Utilise la définition d un MNL comme famille d orbites périodiques Proche de l origine, les orbites sont contenues dans les plans modaux. Par des méthodes numériques de continuation, on peut obtenir toute la famille. [R. Arquier, B. Cochelin, S. Bellizzi et R. Bouc, Computers and Structures, 26] x x x 1 y x 1

57 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION DÉFINITIONS Modes linéaires Modes non-linéaires MÉTHODES DE CALCUL Variété invariante Formes normales Autres méthodes APPLICATIONS Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette

58 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette VIBRATIONS DE COQUES MINCES Structure mince, grands déplacements non-linéarités géométriques. Exemple choisi : réponse forcée d une coque, au voisinage de la première fréquence propre. [C. Touzé, M. Amabili et O. Thomas, CMAME, 28] x1 a R2 u z w h b F cos( ωt) v R1 x2

59 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette VIBRATIONS DE COQUES MINCES Structure mince, grands déplacements non-linéarités géométriques. Exemple choisi : réponse forcée d une coque, au voisinage de la première fréquence propre. [C. Touzé, M. Amabili et O. Thomas, CMAME, 28] x1 a R2 u z w h b F cos( ωt) v R1 x2 Équations du mouvement (projetées sur les modes propres): Ẍ p + 2ζ p ω p Ẋ p +ω 2 p X p + P g p ij X ix j + i,j=1 P i,j,k=1 h p ijk X ix j X k = F p cos(ωt) Dimensions : a = b =.1 m, R x = R y = 1 m, h = 1 mm. matériau élastique linéaire, E = Pa, ρ = 78 kg.m 3, ν =.3. Amplitude du forçage : f = 4.37 N.

60 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette VIBRATIONS DE COQUES MINCES Solution de référence obtenue pour P = 18 modes linéaires max(w /h) 1, ω/ω 1

61 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Troncature à un seul mode linéaire: P = max(w /h) 1, ω/ω 1 Ẍ 1 + 2ζ 1 ω 1 Ẋ 1 + ω 2 1X 1 + g 1 11X h 1 111X 3 1 = F 1 cos(ωt)

62 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Convergence linéaire : Augmentation de P P = max(w /h) 1, ω/ω 1

63 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Convergence linéaire : Augmentation de P P = max(w /h) 1, ω/ω 1

64 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Convergence linéaire : Augmentation de P P = reference 11 LNM 15 LNM max(w 1,1 /h) LNM 5 LNM ω/ω 1

65 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Troncature au premier mode non-linéaire : P NNM =1 2 NNM 1.5 reference max(w /h) 1,1 1 LNM ω/ω 1 R 1 +2ζ 1 ω 1 Ṙ 1 +ω 2 1 R 1+ ( h A1 111) R 3 1 +B R 1Ṙ2 1 +C1 111 R2 1Ṙ1 = F 1 cos(ωt)

66 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette 1.5 Comparaison des autres coordonnées (a) (b) NNM (c) max(w /h) 1,1 LNM max(w 3,1 /h).1.5 NNM max(w /h) 1,3.1.5 NNM max(w /h) 3, max(u /h) 1,1.1 NNM ω/ω ω/ω ω/ω NNM max(v /h) 1, NNM (d) ω/ω ω/ω ω/ω 1 (e) 1 (f) 1

67 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Réponse temporelle: intégration directe des équations du mouvement reference NNM f = 4.37 N ω = 1.3ω 1 max(w 1,1 /h) 1.5 LNM comparaison des coordonnées principales: w 1,1, w 3,1, w 3,3, and u 1, ω = 1.3ω ω/ω 1 1

68 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Réponse temporelle Comparaison des coordonnées principales: w 1,1 w 3, t [non dim] x t [non dim] x w 3,3 u 1, t [non dim] x t [non dim] x 1 4

69 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Pour une valeur plus faible du forçage : 2.84 N 1.5 reference NNM max(w /h) 1,1 1.5 LNM ω/ω 1

70 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Pour une valeur plus élevée du forçage : 6.66 N 2.5 NNM max(w /h) 1, reference LNM ω/ω 1

71 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette VIBRATIONS FORCÉES : CONCLUSION Réduction importante de la dynamique : 1 seul mode non-linéaire contre 18 modes linéaires. gain substantiel en temps de calcul : un facteur 25 entre les simulations 1 NNM et 18 modes linéaires. Légère perte de précision à cause du développement asymptotique.

72 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette GONGS ET CYMBALES Comportement typique des gongs épais : glissements de fréquences. [Fletcher et Rossing, 1986] Relié à la variation des fréquences avec l amplitude. a comportement assouplissant comportement raidissant ω /ω NL p Pour une bonne prédiction du glissement de fréquence: utiliser les modes non-linéaires.

73 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette GONGS ET CYMBALES Coque mince de rayon de courbure R, d épaisseur h, de diamètre 2a. Etude paramétrique du type de non-linéarité en fonction de la courbure R. r a w M h R H Plus précisément on montre que le paramètre géométrique pertinent (rapport d aspect de la coque sphérique) est : κ = a4 R 2 h 2

74 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Coque sphérique : variation des fréquences : mode (2,) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 11, 12,,1 1,1 2,1,2 35 3,1 1,2 4,1 2,2 3,3 5,1 3,2 25 1,3 mode (,1) Aspect ratio: κ [adim] ,1 4,2 7,1 2,3,4 mode (4,1) 1 5,2 8,1 5 3, Angular frequency ω [adim] kn

75 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette Variation du type de non-linéarité pour le mode (4,) hardening behaviour T (4,) 1 2:1 res. with (,2) N=1 N=2 softening behaviour with (,1) N= κ [C. Touzé et O. Thomas, Int. J. Non-linear Mech., 26]

76 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette GONGS ET CYMBALES.5 Excitation Transition vers le chaos: MNLs bon candidats pour modèle réduit pouvant reproduire ces dynamiques. Cependant : dimension de la variété assez grande (pour l exemple montré, au moins 7 modes non-linéaires) Encore des difficultés numériques. Accélération Acceleration du gong Fréquence Frequency (Hz) (Hz) f = 1.35 Hz response of the gong periodic Régime motion quasiperiodic Régime motion Régime chaotic périodique quasi-périodique chaotique motion Bifurcations Temps time (s) (s) t =.372 s

77 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE Modèle de Clarinette : résonateur linéaire (tuyau ouvert/fermé) + excitation non-linéaire (anche). [V. Debut et J. Kergomard, 24]

78 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE Modèle de Clarinette : résonateur linéaire (tuyau ouvert/fermé) + excitation non-linéaire (anche). [V. Debut et J. Kergomard, 24] Relation débit d air entrant/pression acoustique : ū = ζ(1 + p γ) γ p ū : débit d air entrant (adimensionné). p : pression acoustique imposée par le résonateur sur ū. γ : pression de jeu (imposée par l instrumentiste). ζ : paramètre géométrique (anche).

79 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE Modèle de Clarinette : résonateur linéaire (tuyau ouvert/fermé) + excitation non-linéaire (anche). [V. Debut et J. Kergomard, 24] Relation débit d air entrant/pression acoustique : ū = ζ(1 + p γ) γ p ū : débit d air entrant (adimensionné). p : pression acoustique imposée par le résonateur sur ū. γ : pression de jeu (imposée par l instrumentiste). ζ : paramètre géométrique (anche). Approximation à l ordre 3 : ū = u + A p + B p 2 + C p 3

80 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE Pression acoustique à l intérieur du résonateur : δ(x) ū t avec F(x, t) = ρ S source dû au débit d air entrant. 2 p x p c 2 = F(x, t) t2 Conditions aux limites : tuyau ouvert-fermé: p x = en x = p(x) = en x = L

81 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE On projette l inconnue p sur les modes propres du tuyau ouvert/fermé : N p(x, t) = p n (t) cos nπx 2l n=1 On utilise la relation qui relie ū et p pour obtenir : p n +2µ n ṗ n + ωn 2 p n = ( 2c N N ) 2 N A + 2B p i (t) + 3C p i (t) ṗ i (t) l i=1 i=1 i=1

82 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE Réduction à un mode : équation de type Van der Pol pour le mode n : p n + (2µ n + 2c (A + 2Bp n + 3Cp 2 l n))ṗ n + ωnp 2 n = création d un cycle limite stable par bifurcation de Hopf pour une valeur critique de la pression de jeu γ. auto-oscillations.

83 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CLARINETTE Réduction à un mode : équation de type Van der Pol pour le mode n : p n + (2µ n + 2c (A + 2Bp n + 3Cp 2 l n))ṗ n + ωnp 2 n = création d un cycle limite stable par bifurcation de Hopf pour une valeur critique de la pression de jeu γ. auto-oscillations. Pour simuler la dynamique complète à N modes couplés : utilisation des MNL comme modèle réduit.

84 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette MODES NON-LINÉAIRES POUR LA CLARINETTE Calcul du premier mode non-linéaire pour γ =.39 (2 premiers modes linéairement instables). Technique de calcul : formulation amplitude-phase, à partir d une projection pour N=3. [D. Noreland, S. Bellizzi, C. Vergez and R. Bouc, 27]

85 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette MODES NON-LINÉAIRES POUR LA CLARINETTE Calcul du premier mode non-linéaire pour γ =.39 (2 premiers modes linéairement instables). Technique de calcul : formulation amplitude-phase, à partir d une projection pour N=3. [D. Noreland, S. Bellizzi, C. Vergez and R. Bouc, 27] Le vecteur P = [p 1 p 2 p 3 ] t est transformé selon : P(t) = v(t)x(v(t), φ(t)) Et la dynamique est donnée en résolvant : v(t) = v(t)ξ(v(t), φ(t)) φ(t) = Ω(v(t), φ(t))

86 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette MODES NON-LINÉAIRES POUR LA CLARINETTE Résolution numérique pour le premier mode non-linéaire : ξ X φ.2 v φ.2 v.4 Ω X rad s φ.2 v φ.2 v /(2π) 2π ξ/ω dφ.1 X v.1 5 φ v.2.4

87 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette MODES NON-LINÉAIRES POUR LA CLARINETTE Cycle limite dans l espace (p 1, p 2, p 3 ) : x p p p 1 2 x 1 3 4

88 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette MODES NON-LINÉAIRES POUR LA CLARINETTE Cycle limite dans l espace (p 1, p 2, p 3 ) : x p p 2.2 Formulation permet de retrouver des composantes pour toutes les coordonnées en simulant une dynamique à un degré de liberté. 2 p 1 2 x 1 3 4

89 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette MODES NON-LINÉAIRES POUR LA CLARINETTE Avantages Dynamique simple (1 seul oscillateur) calcul direct des transitoires, de la période d oscillations. Inconvénients Technique numérique couteuse. Calcul des variétés à refaire en changeant les paramètres de jeu. extensions à la synthèse sonore pas évidente.

90 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CONCLUSION GÉNÉRALE Mode non-linéaire : variété invariante de l espace des phases. en fait a priori les meilleurs modèles réduits possibles. plusieurs méthodes de calcul (plus ou moins précises et couteuse).

91 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CONCLUSION GÉNÉRALE Mode non-linéaire : variété invariante de l espace des phases. en fait a priori les meilleurs modèles réduits possibles. plusieurs méthodes de calcul (plus ou moins précises et couteuse). : vibrations forcées (structures minces). prédiction de la tendance de non-linéarité diagramme de bifurcation à moindre coût Systèmes d oscillateur type Van der Pol (clarinette) calcul efficace de la période et de la dynamique.

92 Réponse forcée de structures minces Gongs et Cymbales Clarinette CONCLUSION GÉNÉRALE Mode non-linéaire : variété invariante de l espace des phases. en fait a priori les meilleurs modèles réduits possibles. plusieurs méthodes de calcul (plus ou moins précises et couteuse). : vibrations forcées (structures minces). prédiction de la tendance de non-linéarité diagramme de bifurcation à moindre coût Systèmes d oscillateur type Van der Pol (clarinette) calcul efficace de la période et de la dynamique. Application synthèse sonore pour bientôt?