DEVOIR EN CLASSE N 4

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1 Nom/Prénom :... Mardi 3 janvier 217 Classe : 1ere S 1 DEVOIR EN CLASSE N 4 Il sera tenu compte de la qualité de la présentation et de la rédaction. L'usage de la calculatrice est autorisé. Attention le sujet comporte 4 pages! Le barème est sur 4 points. Durée : 2 h Exercice 1 : (12 points) f est une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous : x Toutes les réponses doivent être justifiées. 1) a) Comparer f (4) et f (5). b) Donner le signe de f (4) et f (5). c) Comparer, si possible, ( f (4)) 2 et ( f (5)) 2. d) Comparer, si possible, f (4) et f (5). 2) a) Comparer, si possible, ( f (,5)) 2 et ( f (,2)) 2. b) Comparer, si possible, f (,5) et f (,2). 3) Dresser le tableau de variations de la fonction g définie par g= 1 f x Signe de f (x) g 4) Dresser le tableau de variations de la fonction h définie par h= f. x h. Exercice 2 : (6 points) Soit f la fonction définie par f (x )= 1 2 x+ 4. 1) Déterminer l'ensemble de définition de f. 2) Soit a et b deux réels tels que a < b < 2. Comparer f (a) et f (b). 3) En déduire le sens de variation de f sur ] ; 2[ Partie B : Avec les fonctions associées dresser le tableau de variation de f sur son ensemble de définition. Page 1 sur 4

2 Exercice 3 : (5 points) A l'aide des fonctions associées, dresser le tableau de variation de la fonction f. 1) f définie sur R par f (x)= 2 x 5. 2) f définie sur [ ; + [ par f (x)=7 x. Exercice 4 : (3 points) Cet exercice est un QCM. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponse est exacte. L'entourer. Aucune justification n'est demandée. Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève,5 points et l absence de réponse rapporte point. La note de l'exercice ne peut être négative. La classe de T ES L comporte 36 élèves. 15 élèves sont en ES et le reste sont en L. Au dernier devoir d'histoire/géographie, le groupe de ES a obtenu 8,3 de moyenne et le groupe de L 1,2. 1) La moyenne de la classe de T ES L au dernier devoir d'histoire géographie est environ: a) 9,4 b) 9,2 c) 9,3 2) Le professeur remonte toutes les notes du groupe de ES de 2 points. La moyenne du groupe de ES est alors : a) 1,3 b) 8,3 c) on ne peut pas savoir On a relevé le temps d'attente, en minutes, à la caisse d'un supermarché pour 75 clients. Temps d'attente (en min) [ ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 16[ [16 ; 2[ [2 ; 24[ Nombre de clients ) Les clients attendent en moyenne : a) 6,6 minutes b) 1,6 minutes c) 8,6 minutes Page 2 sur 4

3 Exercice 5 : (1 points) Le but de cet exercice est de comparer la répartition des salaires dans deux entreprises A et B. Partie A : Etude de l entreprise A Dans l'entreprise A, les salaires mensuels nets en euros des personnels sont : Montant en Nombre d'employés ) a) Calculer le salaire moyen des employés de l'entreprise A. Arrondir à l'euro. b) A l'aide de la calculatrice, déterminer l'écart type de cette série.arrondir au centième. 2) Construire sur l'axe gradué de la page 4, le diagramme en boite avec les déciles de la série statistique des salaires des employés. Justifier tous les calculs. Attention! Penser à laisser de la place au dessus, car il faudra construire un second diagramme dans la partie B. Partie B : Etude de l entreprise B L'entreprise B, récolte les 3 salaires de 3 employés et donne les résultats à un statisticien. Il lui donne les paramètres suivants : Min = 1 ; Max = 3 9 ; Q1 = 1 7 ; Med = 2 45 ; Q3 = 3 2 ; D1 = 1 2 ; D9 = 3 6 ; x 2 45 ; 865,54 Construire, sur le même axe que la partie A, le diagramme en boite de la série de l entreprise B. Partie C : Comparaison des 2 entreprises Comparer à l'aide des deux couples étudiés en classe les deux entreprises. Exercice 6 : (4 points) On a calculé les paramètres statistiques de trois séries. Chaque série a ensuite été représentée à l'aide d'un diagramme en bâtons. Associer chaque série à sa représentation graphique en justifiant. Moyenne arrondie à l'unité Médiane Ecart type arrondi au dixième Série A 5 5 1,5 Série B 5 5 2,4 Série C 5 4 2, Graphique 1 -> Graphique 2 Graphique 3 Page 3 sur 4

4 Exercice 8 : Un train circule entre deux villes. On a relevé la durée en minutes de son trajet sur 5 voyages La société ferroviaire s'engage, pour au moins 6 % des trains, à ne pas s'écarter du temps moyen d'un temps supérieur à l'écart type sur ces trajets et affirme que plus de 5 % des trains ne sont pas dans l'intervalle interquartile. Cette affirmation est-elle vérifiée sur cet échantillon? Justifier. Page 4 sur 4

5 Classe : 1ere S 1 CORRECTION DEVOIR EN CLASSE N 4 Exercice 1 : 1) a) f est strictement croissante sur [3;6] et 3<4<5<6 donc f (3)< f (4)< f (5)< f (6) b) puis < f (4)< f (5)< 9 c) La fonction carré est strictement croissante sur [;+ [ donc ( f (4)) 2 < ( f (5)) 2. d) La fonction racine carré est strictement croissante sur [;+ [ donc f (4) < f (5). 2) a) f est strictement décroissante sur [-3;-1] et -1<-,5<-,2< donc f ( 1)> f (,5)> f (,2)> f () puis > f (,5)> f (,2)> 2 La fonction carré est strictement décroissante sur ] ;] donc ( f (,5)) 2 < ( f (,2)) 2. b) > f (,5)> f (,2)> 2 donc f ( 1,5) et f ( 2,5) n'existent pas. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction g définie par g= 1. f x Propriétés Signe de f (x) ,5 f Et 1 g f 1/16 1/9 4) Dresser le tableau de variations de la fonction h définie par h= f. x h f est de signe constant sur [-3;- 1] sur [-1;3] et sur [3;2] ont sens de variations contraires. f Et f ont même sens de variations Exercice 2 : Soit f la fonction définie par f (x)= 1 2 x+ 4. 1) 2 x+ 4= ; x=2 donc f est définie sur R\{2}. 2) Soit a et b deux réels tels que a < b < 2. On multiplie les deux membres de l'inégalité par -2 <. 2a> 2b> 4 On ajoute 4 aux deux membres de l'inégalité. 2a+ 4> 2b+ 4> La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ;[. 1 2 a+ 4 < 1 cad f (a)< f (b). 2b+ 4 3) a et b deux réels tels que a < b < 2 alors f (a)< f (b) donc f est strictement croissante sur ] ; 2[ Page 5 sur 4

6 Exercice 3 : 1) f définie sur R par f (x)= 2 x 5. x + x x x 2 x u Et λ u avec < ont sens de variations contraires f -5 u Et u+ ont même sens de variations. 2) f définie sur [ ; + [ par f (x)=7 x. x + x x f u Et λ u avec > ont même sens de variations Exercice 4 : 1) Réponse a) La moyenne de la classe de T ES L au dernier devoir d'histoire géographie est environ: 15 8,3+ 1,2 (36 15) 9,4 36 2) Réponse a) Le professeur remonte toutes les notes du groupe de ES de 2 points. La moyenne du groupe de ES est alors : 8,3+2=1,3. 3) Réponse c) Les clients attendent en moyenne : 8,6. 75 Exercice 5 : Page 6 sur 4

7 Partie A : Etude de l entreprise A Montant en Nombre d'employés ECC ) a) x= = Le salaire moyen des employés de l'entreprise A est environ b) A l'aide de la calculatrice, l'écart type de cette série est 945, ) 2 =15 et 32 est pair donc la médiane est la moyenne entre la 16ème et la 17ème valeur soit 2+ 2 = =7,5 donc Q 1 est la 8ème valeur soit Q 1 = =22,5 donc Q 3 est la 24ème valeur soit Q 3 =3 3 1 =3 donc D 1 est la 3ème valeur soit D 1 = =27 donc D 9 est la 29ème valeur soit D 9 =39 Partie C : Comparaison des 2 entreprises Le salaire moyen des employés de l'entreprise A est légèrement inférieur à celui des employés de l'entreprise B. L'écart type de l'entreprise A est plus grand que celui de l'entreprise B ce qui signifie que les salaires des employés de l'entreprise A sont plus dispersé autour du salaire moyen que les salaires des employés de l'entreprise B. En comparant les diagrammes en boite, on constate que le diagramme de l'entreprise B est assez symétrique, on a la même répartition des salaires avant et après la médiane. Alors que pour l'entreprise A, les salaires dépassant 2 sont plus étalés que ceux entre 1 et 2. Exercice 6 : Pour cet exercice, on peut envisager plusieurs pistes : Piste 1 : Traduire chaque diagramme en bâton par un tableau d'effectif et calculer (à la calculatrice) les paramètres de la série Graph Graph Graph Piste 2 : Par déduction. Pour le graphique 1, on compte 13 valeurs strictement supérieur à 4 et 24 strictement inférieur à valeurs sont égale à =26>24 donc 4 peut être la médiane. 26 valeurs sont strictement inférieure à 5 et 15 strictement supérieure à 5. 9 valeurs sont égale à =24<26 donc 5 ne peut être la médiane. Ainsi le graphique 1 représente la série C. Pour le graphique 2, on compte 32 valeurs strictement supérieur à 4 et 8 strictement inférieur à 4. 1 valeurs sont égale à =18 < 32 donc 4 ne peut être la médiane. 18 valeurs sont strictement inférieure à 5 et 18 strictement supérieure à 5 donc il est possible que 5 soit la médiane de cette série. Pour le graphique 3, on compte 22 valeurs strictement inférieure à 5 et 2 strictement supérieure à 5 donc il est possible que 5 soit la médiane de cette série. On constate que les valeurs du graphique 3 sont plus dispersé aprés 5 que celle du graphique 2. La série qui représente le graphique 3 a donc un écart type plus grand que celle qui représente le 2. Le graphique 3 représente la série B et le graphique 2 la série A. Page 7 sur 4

8 Exercice 2 : Partie B Soit f la fonction définie par f (x)= 1 2 x+ 4. x 2 + Propriétés x 2 x+ 4 2 x+ 4 Est de signe constant sur ] ;2[ et sur ]2;+ [ 2 x f u Et 1 ont sens de variations u contraires. Exercice 7 : Question de cours 1) Si x 1, en multipliant chaque membre de l'inégalité par x on obtient : x 2 x Puisque la fonction racine carré est strictement croissante sur [ ; + [, on obtient : x 2 x puis x x Ainsi, si x 1 alors x 2 x x 2) <,2<1 donc,2 2 <,2<,2 ou encore,4< 2 1 <,2.Exercice 8 : Durée du trajet Nombre de trajet A l'aide du mode STAT de la calculatrice, x 54,4 ; 3,97 ; Q1 = 51 et Q3=55. x + 58, =41 ; donc 91% des trains ont une durée de trajet inférieur au temps moyen plus l'écart type. La première condition est vérifiée. L'intervalle interquartile est [51;55]. 22 trajets ne sont pas dans cet intervalle soit ,8 %. La seconde condition n'est pas vérifiée. Page 8 sur 4