x 2y 3 0 (S ) : x 5y 2 y z 1 (S ) : 4x 3y 11z 2 x y z 0 sin x sin y sinz 0 a'x +b'y + c'z + d 0 ax by cz d a''x b''y c''z d''

Transcription

1 Chapitre 1 : Systèmes linéaires - résumé Dans tout ce chapitre, n et p désignent deux entiers naturels non nuls et = ou. 1. Généralités Def: Un système linéaire à n équations et p inconnues à coefficients dans est un ensemble de conditions de la forme : (S) a11x1 a1x... a1pxp b1 a x a x... a x b an1x1 anx... anpxp b n 1 1 p p où (a i, j) 1 i n, 1 j p np et (b 1,, b n) n Exemples : x x x x 4 1 x y z 4 7x y z x y 0 x 5y y z 1 4x y 11z 5 x y 4z 1 ix y i x iy 1 x y z 0 x y z 0 6 x y z 0 x y 4z 0 Contre-exemples : x² y² 1 x y 0 x y z 0 sin x sin y sinz 0 Interprétation géométrique pour les systèmes x, x et x à coefficients réels Soit a, b et c des réels avec (a,b) (0,0), ax + by = c est une équation de droite dans le plan. ax +by c Aussi résoudre le système revient à étudier la position relative de deux droites du a'x +b'y c' plan. Soit a, b, c et d des réels avec (a, b, c) (0,0,0), ax + by + cz = d est une équation de plan dans l espace. ax +by + cz + d 0 Aussi résoudre le système revient à étudier la position relative de deux a'x +b'y + c'z + d 0 plans de l espace et résoudre le système relative de trois plans de l espace. Vocabulaire Les éléments de (a ij ) 1 i n,1 j p sont les coefficients du système (b 1,, b n) est le second membre du système. ax by cz d a'x b'y c'z d' revient à étudier la position a''x b''y c''z d'' Lorsque (b 1,, b n) = (0, 0,..., 0), on dit que le système est homogène. On note (H) le système homogène associé à (S) obtenu en remplaçant le second membre par (0, 0,..., 0). On appelle solution de (S) tout p-uplet de scalaires (x 1,, x p) p, vérifiant les n équations formant (S).

2 On dit que le système (S) est compatible s il admet au moins une solution. Sinon, le système est dit incompatible. On peut observer qu un système homogène est toujours compatible, car il admet au moins une solution : (0, 0,..., 0). Résoudre le système (S), c est trouver toutes ses solutions. Proposition 1.1 : Structure de l ensemble des solutions. Soit (S) un système linéaire et H le système homogène associé. Si (S) est compatible alors les solutions de (S) s obtiennent en faisant la somme d une solution particulière de (S) et des solutions de (H). Ecriture matricielle d un système linéaire : On peut ranger dans un tableau les coefficients du système : a i,j se trouve à la ligne i et dans la colonne j. On pose : A = a a a p a a a 1 p a a n1 np. Ce tableau s appelle une matrice à n lignes et p colonnes., A est la matrice du système (S). b1 On pose : B =. Ce tableau s appelle une matrice colonne, à n lignes. B est la matrice du nd b n membre de (S). On appelle matrice augmentée du système : (A B) =. Opérations élémentaires sur les lignes (O.E.L.) a 11 a 1 a 1p b 1 a 1 a a p b a b n1 a np n Def : Soit (S) un système de n équations ou lignes notées L 1,L,.., L. On appelle opération élémentaire sur les lignes (de (S), l une des transformations suivantes La permutation notée L i L j est l échange des lignes i et j. La dilation notée L i L i est la multiplication de la ligne L i par le scalaire non nul. La transvection notée L i Li+Lj est l ajout à la ligne L i d un multiple de la ligne L j Remarque : ce vocabulaire reste valable pour une matrice à n lignes et p colonnes. On fait des opérations sur les lignes de la matrice. Proposition 1.: Si on applique à un système (S) une OEL alors on obtient un système (S ) équivalent à (S), c est à dire ayant les mêmes solutions. Remarque : Les opérations type L i Li + Lj avec 0 donnent aussi un système équivalent. ax +by c Proposition 1. : Soit (S) : un système de équations à inconnues. a'x +b'y c' Si ab a b 0 alors (S) admet une unique solution Si ab a b = 0 alors (S) admet une infinité de solution ou est incompatible Def : Deux matrices M et M à n lignes et p colonnes sont équivalentes en lignes lorsqu il est possible de passer de M à M en faisant un nombre fini d O.E.L. On note M'. M L

3 . Echelonnement, algorithme du pivot de Gauss.1 Matrices et systèmes échelonnés Def : Une matrice M à n lignes et p colonnes est dite échelonnée en ligne lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées. Si une ligne est nulle, alors toutes les suivantes le sont. A partir de la deuxième ligne, pour une ligne non nulle, le premier coefficient non nul est situé à droite de celui de la ligne précédente. C est à dire que pour i la ligne i commence par au moins (i - 1) zéros Exemples : On peut dessiner «un escalier» au dessus des zéros Def : (suite) Un système est échelonné si sa matrice est échelonnée en ligne Pour une matrice, ou un système, échelonné(e), on appelle pivot le premier coefficient non nul de chaque ligne. Le nombre de pivots est le rang de la matrice ou du système Exemples : Encadrer chaque pivot et préciser le rang x y 4z 1 y z 1 z 1 x y z t 0 z t t 1 x y z 1 z 0 0 x y z 1 y 0, m m. Résolution des systèmes échelonnés Def : Soit (S) un système échelonné de rang r. Les équations L 1, L,..., L r sont les équations principales de (S) Les équations L r+1,..., L n sont les conditions de compatibilité Les r inconnues associées à chaque pivot sont les inconnues principales, les (p - r) autres sont les inconnues secondaires qui seront prises comme paramètres pour exprimer les éventuelles solutions du système Exemple : x y z 1 équations principales y relations de compatibilité 0 m Le système est de rang, x et y sont les inconnues principales et z l inconnue secondaire Proposition 1.4 : Soit (S) un système à n équations et p inconnues, échelonné de rang r (S) est compatible si et seulement si les (n - r) relations de compatibilité sont vraies. Si (S) est compatible avec r = p alors (S) admet une unique solution qu on obtient en «remontant» le système. Si (S) est compatible avec r < p alors (S) admet une infinité de solutions qui s expriment à l aide de (r-p) paramètres

4 . Algorithme du pivot de Gauss Proposition 1.5 : Tout système est équivalent à un système échelonné obtenu par une succession d OEL sur ce système. Démo : L algorithme du Pivot de Gauss permet de passer de (S) à un système échelonné en ligne en effectuant des OEL. On fixe p * et on raisonne par récurrence sur n, le nombre d équation du système. Si n = 1 alors (S) est déjà échelonné, il n y a rien à faire. Supposons la propriété vraie pour tout système linéaire à n équations. On considère un système à (n + 1) équation et p inconnues. a x a x a x b 1,1 1 1,, 1,p p 1 a x a x a x b,1 1,,,p p a x a x a x b n1,1 1 n1,, n1,p p 1 (S) 1er cas: Tous les coefficient sont nuls, et alors le système est échelonné et la propriété est donc vraie. ème cas : Il existe au moins un coefficient non nul Si a 1,1 i,1 L i L L i 1 a1,1 0 alors on prend ce coefficient comme pivot et on effectue les transvections a pour i variant de à (n + 1). On obtient le système suivant équivalent à (S) : a x a x a x b 1,1 1 1,, 1,p p 1 a x a x b ' ' ',,,p p a x a x b ' ' ' n1,, n1,p p 1 Si a 1,1 = 0 et si il existe i 0, n + 1 tel que a i0,1 L 1 et on ramené au cas précédent. Li0 0 alors on effectue la permutations Si i 1,n + 1, a i,1 = 0 alors on fait le même raisonnement avec les coefficients de x. On notera que dans ce cas, l inconnue x 1 n apparaît pas dans le système. Dans tous les cas, on a obtenu un système dont toutes les lignes de à (n + 1) commencent par zéro. On considère alors le sous-système formé par les lignes L, L,..., L n+1, c est un système à n équations, d après l hypothèse de récurrence, on peut échelonner ce système en lui appliquant des OEL ce qui donne un système échelonné équivalent à (S) et ce qui montre que la propriété est vraie au rang (n + 1). Dans la pratique : Soit un système np, le procédé décrit dans l hérédité, permet de choisir un premier pivot, de faire apparaître des zéros sous ce pivot ainsi qu un sous - système (n-1)(p-1) sur lequel on réitère le procédé. L algorithme s arrête donc en un nombre fini d étapes égal à min(n, p) Remarques : Au lieu d effectuer des OEL sur un système (S), on peut les effectuer sur sa matrice augmentée. On obtient des matrices équivalentes en ligne. Corollaire 1: Toute matrice est équivalente en ligne à une matrice échelonnée. Corollaire : Un système de n équations à p inconnues peut avoir Une unique solution Pas de solution. Une infinité de solutions

5 Exercices Chapitre 1: Systèmes linéaires 1.1 Résoudre les systèmes suivants dans : a) x y z 1 x y z 4 x y 4z 5 b) x y z 1 x y 5z x y z 1 c) x y z 1 x y z x y 4z 1 d) x y z 1 x y z x y z 1 1. Résoudre les systèmes suivants dans x y z 1 a) 4z b) x y x y 1 c) x y 1 1. Résoudre les systèmes suivants x y z 5 (S 1): ( 5) x y 7 z 7 ; où. (S ): x y z 4 x y z t 1 y z t 0 x z t x y z t 1 y z t, où. 4 y 8z 5t 1 y 6z t 1.4 Résoudre dans les systèmes suivants, de paramètres tous complexes x y z a (S 1): x j²y jz b (S ): x jy j²z c 1.5 Résoudre les systèmes suivants dans n : x my m²z m mx m²y mz m mx y m²z 1 m x1 x a 1 x x a (S 4): x x a xn an n 1 n n1 x1 x...xn 1 x1 x... xn 1 ; où a i, 1in (S 5): x1 x x... xn 1 x1 x x... nxn 1