APPLICATIONS DIRECTES

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1 PSI FEUILLE D EXERCICES DE SCIENCES PHYSIQUES N 19 06/03/ /2019 Thème: Bilans macroscopiques APPLICATIONS DIRECTES 1. Etude d un turboréacteur 1. Rappeler l expression du 1er principe de la thermodynamique appliqué à un fluide en écoulement stationnaire au travers d une machine thermique. 2. Exprimer la variation massique de l enthalpie d un gaz parfait. 3. Rappeler les conditions d application de la loi de Laplace et l exprimer en fonction des variables T et P. La fonction d un turboréacteur est de transformer de l énergie thermique fournie à l air lors d une combustion en énergie cinétique. On se place en régime permanent de débit massique d air Dm = 1kg.s -1 et on suppose que l air est un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constante cp = 1 kj.kg -1.K -1 constante et = 1,4. La tuyère est horizontale, la vitesse de l écoulement est supposée constante sauf à la sortie de la tuyère. Les évolutions à l intérieur des compresseurs, turbines et tuyère sont adiabatiques et réversibles, les évolutions dans les chambres de combustion sont isobares. Le compresseur axial aspire l air ambiant : P1 = 1 bar et T1 = 288 K. Son taux de compression P2/P1= 6,15. Après compression l air est chauffé dans la chambre de combustion jusqu à la température T3 =1250 K. Après détente partielle dans la turbine axiale, l air est envoyé dans la tuyère où la détente s effectue à pression ambiante P5 = 1 bar. Le compresseur est uniquement entraîné par la turbine qui lui transmet intégralement la puissance mécanique que lui fournit l écoulement 4. Noter sur le schéma de principe de fonctionnement du turboréacteur les valeurs connues des températures et pression. 5. Donner les expressions littérales puis numériques de : a) la température T2 et de la puissance mécanique reçue par le fluide au cours de la compression. b) la puissance thermique fournie à l air lors de la combustion. c) le travail mécanique reçu par l air lors de son passage dans la turbine. d) la température T4, puis la pression P4 à la sortie de la turbine. e) la température T5 et de la vitesse c5 à la sortie de la tuyère. e) l énergie cinétique massique de l air à la sortie de la tuyère. f) Définir, puis calculer la valeur du rendement thermique de ce turbocompresseur. Page 1 28/02/2019

2 2. De la relation de Bernoulli : On enfonce une punaise au centre d une carte postale que l on place sur une table, pointe vers le haut. On place alors une bobine de fil (d environ 4 cm de large au moins) au dessus de la punaise, la pointe de la punaise dans le creux de la bobine. En maintenant la bobine avec les mains on souffle à l intérieur tout en la soulevant légèrement. Expliquer le phénomène observé. Carte postale Souffler très fort contre la bobine Bobine de fil punaise 3. Effet Venturi Déterminer la vitesse initiale d un écoulement horizontal d eau liquide, sous une pression de 1 bar, nécessaire pour atteindre la pression de vapeur saturante p2 = Pa, à l étranglement d une canalisation où la section passe de 1 m 2 à 0,01 m 2. Que se passe-t-il si l eau atteint une vitesse initiale supérieure? 4. Jet d eau : La partie horizontale du tube représenté sur la figure est immergée à la profondeur p dans un courant d eau uniforme et horizontal de vitesse v. Sa partie verticale émerge d une hauteur H et est percée d un orifice par lequel peut sortir un jet 4. d eau. En précisant les hypothèses adoptées, calculer la hauteur h à laquelle le jet, dans les conditions où celui-ci existe monte au-dessus du tube. 5. Puissance disponible sur une turbine : Une turbine est installée à la sortie d une conduite forcée de section 10-2 m 2, constante, de 30m de dénivellation sur un cours d eau dont le débit est de 0,1 m 3.s -1. Quelle puissance maximale peut-on récupérer sur cette turbine? 6. Force exercée par un fluide sur les parois d une conduite de section variable : De l eau de masse volumique µ coule en régime stationnaire avec un débit massique Dm dans une canalisation horizontale d axe Oz présentant un élargissement progressif entre deux tronçons de sections respectives S1 et S2, avec S1 < S2. La vitesse du fluide est supposée uniforme sur toute section du conduit : son module ne dépend que de z. Le débit volumique d alimentation est Dv. La pression du fluide à l entrée est uniforme égale à P1 et l écoulement est unidimensionnel de vitesse v1uz. Après l élargissement, la pression est uniforme égale à P2 et l écoulement est unidimensionnel de vitesse v2uz. Le but de l exercice est de déterminer la valeur de la force exercée par le fluide sur les parois de la conduite. AN : p1 = 1 bar ; Dv = 1L.s -1 ; S2 = 2S1 = 10 cm 2 ; µ = 1000 kg.m -3. Calculer F. Que se passe-t-il dans le cas d un rétrécissement? 7. Poussée d une fusée Une fusée en mouvement sur la verticale ascendante dans le référentiel terrestre supposé galiléen Page 2 28/02/2019 P1 S1 v1 v2 S2 P2 z

3 est soumise au champ de pesanteur supposé uniforme. Elle éjecte des gaz avec un débit massique Dm constant et une vitesse relative u constante et dirigée vers le bas. 1. Choisir un système fermé composé de la fusée et de son carburant à l instant t, et décrire ce système à l instant t+dt. 2. Effectuer un bilan de quantité de mouvement sur le système fermé entre t et t+dt. 3. Effectuer le bilan des actions extérieures qui s exercent sur S*. Appliquer le théorème de la résultante cinétique, et définir la «poussée». 4. Effectuer un bilan d énergie cinétique sur le système fermé entre t et t+dt. 5. Appliquer le théorème de la puissance cinétique pour déterminer la puissance fournie par le moteur de la fusée. 8. Etude d une turbine Une turbine, de rayon a, entraînée par un jet d eau, supposé parfait, tourne autour de son axe fixe. Le jet d eau, d épaisseur négligeable, arrive avec une vitesse v1 et un débit de masse Dm ; il ressort avec une vitesse v2 qui dépend de la vitesse angulaire. On appelle J le moment d inertie de la turbine et de l eau qu elle contient. L action de la turbine sur son axe est modélisée par un couple constant. On considère le système ouvert constitué de la turbine et de l eau qu elle contient à l instant t. On néglige l effet de la pesanteur sur l écoulement. 1. Effectuer un bilan de moment cinétique sur le système fermé coïncident et retrouver l équation suivante : D m a(v 2 v 1 ) + J dω = Γ. dt 2. Effectuer un bilan d énergie cinétique. Comment serait modifiée cette équation si on tenait compte de la viscosité de l eau? 3. A partir des deux équations précédentes, exprimer v2 en fonction de a et v1, et déterminer l équation différentielle du premier ordre vérifiée par (t) qui fait intervenir les grandeurs Dm, a, v1 et 4.a) Déterminer la vitesse angulaire p en régime permanent, discuter selon la valeur de v1. b) Exprimer en fonction de p. c) En déduire la puissance fournie par la turbine en fonction de p. Pour quelle valeur de p cette puissance est-elle maximale? Déterminer la puissance maximale. Tracer le graphe de la puissance maximale en fonction de p. 5. Déterminer (t) en régime transitoire. EXERCICES I. Etude d une éolienne Page 3 28/02/2019

4 Une éolienne de section S reçoit un flux d air. L écoulement est supposé éolienne incompressible. On étudie un tube de courant qui s appuie sur l hélice. Sa section d entrée a une aire S1 et sa section de sortie une aire S2. On note S l aire de la section du tube au niveau de l hélice et v la vitesse de l écoulement à travers cette section. 1. Exprimer le débit massique D à travers les différentes sections. S1 Tubede courant S S2 2. Sur quelles lignes de courant est-il possible d appliquer la relation de Bernoulli? 3. Déterminer la pression de l air, juste avant l hélice, puis celle juste après l hélice. En déduire la résultante des forces de pression exercée par l air sur l hélice, puis la puissance mécanique reçue par l hélice. 4. En effectuant un bilan de quantité de mouvement sur un système que l on précisera retrouver l expression de la force exercée par l hélice sur l air du tube en fonction de D, v1 et v2. 5. En effectuant un bilan d énergie, retrouver la puissance cédée par le fluide à l hélice. 6. En déduire que v = (½)(v1 + v2). 4. En l absence d éolienne, la surface S serait traversée par un écoulement de vitesse v1. En déduire le rapport entre l énergie prélevée par l éolienne et l énergie cinétique qui traverserait la section S en l absence d éolienne. Exprimer en fonction de x = v2 / v1. Tracer (x). Quelle est la valeur du rendement maximal, et dans quelles conditions l obtient-on? II. Vidange d un réservoir : z Soit un récipient de section S, muni d un robinet de vidange de section s, très petite devant S, qui contient un fluide parfait incompressible. A t=0, la hauteur de l eau dans h(t) le récipient est ho et on ouvre le robinet de vidange. 1. On suppose que l écoulement est quasistationnaire et que S >> s. Déterminer la vitesse de l écoulement à la sortie du robinet, dont on néglige la hauteur par rapport à h, en fonction de h(t) Exprimer le débit de sortie de l eau du récipient en fonction de h(t). 3. Si on suppose que ce débit de dépend pas du temps, exprimer la durée de vidange du récipient en fonction de ho. 4. On tient maintenant compte du fait que le débit volumique dépend du temps. Déterminer l équation différentielle dont est solution h(t). La résoudre en séparant les variables, puis déterminer la durée de vidange du récipient. Comparer et. 5. Comment peut-on utiliser ce dispositif pour mesurer des durées? Une telle horloge s appelle une clepsydre. Vous semble-t-elle simple à utiliser? III. Ecoulement d un fluide dans une tuyère convergente S(x) On étudie la variation d énergie cinétique d un gaz dans une tuyère horizontale de révolution d axe xx. L aire de la v(x) x' x section droite de la tuyère, S(x) est variable le long de xx. L écoulement a lieu sans frottement sur les parois. La vitesse d une particule v ne dépend que de son abscisse. h(x) désigne l enthalpie molaire du gaz de masse molaire M dx et u(x) son énergie interne molaire. q(x) représente le transfert thermique reçu entre les abscisses 0 et x par une mole de fluide. 1. Montrer que [h(x) +1/2 Mv 2 (x)] [h(0) + ½ Mv 2 (0)] = q(x). Le régime d écoulement est supposé stationnaire. S s Page 4 28/02/2019

5 h 2. L écoulement est suffisamment rapide pour être supposé adiabatique et réversible. Déterminer la vitesse de sortie du gaz de la tuyère v1 en fonction de de vo = v(0) vitesse d entrée,, To, M, R et du rapport P1 / Po où P1 est la pression en sortie de la tuyère. To, Po température et pression à l entrée. 3. AN : = 1,3 ; Po = 1, Pa ; P1 = 10 5 Pa ; To = 300K ; M = 44 g.mol -1 ; vo = 0. Calculer v1 et T1. IV. Fluide en écoulement au travers d'une machine On étudie en régime permanent et stationnaire l'écoulement d'un fluide au travers d'une machine (X). A l'entrée de la machine, le fluide est dans les conditions T 1 et P 1 de température et de pression et sa vitesse est v 1. La machine fournit une puissance mécanique P méca et une puissance thermique P th, puis refoule le fluide dans les conditions T 2 et P 2, avec la vitesse v 2. La canalisation est calorifugée c'est à dire que le fluide ne peut recevoir un transfert thermique ailleurs que dans la machine. T1, P1, v1 T2, P2, v2 1. Le fluide utilisé est de l'air que l'on assimilera à un gaz parfait. Il se détend dans une tuyère parfaitement calorifugée. On supposera que cette transformation est réversible. On donne P 1 =10bar; T 1 =1000K; v 1 négligeable, P 2 =2bar; =1,4 et M air =29g/mol. Calculer la valeur maximale de la vitesse de sortie v 2max du gaz. 2. Animé de v 2max, le gaz entre dans une turbine calorifugée d'où il ressort dans les mêmes conditions de température et de pression (T 2, P 2 ) mais avec une vitesse négligeable. Quelle puissance mécanique recueille-t-on sur l'arbre de la turbine? V. Turbine hydraulique : Une centrale hydro-électrique est alimentée par une conduite d eau issue d un barrage. La capacité du barrage est telle que l eau qu il contient sera supposée immobile, quel que soit le débit de la conduite. L extrémité aval de la conduite est raccordée à une tubulure de section décroissante, turbine appelée injecteur, à l extrémité de laquelle l eau sort à l air libre sous la forme d un jet cylindrique, d axe v horizontal, de section circulaire S. La vitesse v de l eau sera supposée horizontale et uniforme en tout point du jet de sortie. Soit h la dénivellation entre la surface libre de l eau du barrage et l axe de l injecteur. On supposera que l eau est un fluide parfait incompressible et l on néglige les frottements le long de la conduite de l injecteur. 1. Calculer la vitesse v de l eau à la sortie de l injecteur, le débit de masse Dm. 2. Déterminer la puissance maximale reçue par la turbine. AN: h = 900 m ; S = 150 cm 2 ; µeau= 1000 kg.m -3 ; µair = 1,20 kg.m -3. VI. Puissance d une pompe Soit une pompe dont la conduite d aspiration horizontale de section S1, arrive au niveau de référence. La conduite de refoulement, elle aussi horizontale de section S2, est située à une hauteur h au-dessus du niveau de référence. La pression est P1 à l entrée de la pompe et P2 à la sortie. Le débit de la pompe est Dv, le fluide est supposé parfait et incompressible de masse volumique µ. Le régime est stationnaire. Page 5 28/02/2019

6 1. Quelle puissance mécanique Pm faut-il fournir à la pompe sachant que son rendement est 80%? 2. AN : le diamètre de la conduite d aspiration est de 30 cm, celui de la conduite de refoulement 20 cm, P1 = 0,7 bar ; P2 = 1,7 bar ; h = 1,20m ; Dv = 9000 L.min -1. Page 6 28/02/2019