SP6 Introduction au monde quantique

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1 SP6 Introduction au monde quantique I Concepts initiau de la physique quantique I.1 Apparition de la notion d objet physique I.2 Objet physique, limite relativiste et approimation newtonienne I.3 Objet physique, limite quantique et traitement classique I.4 Ordres de grandeurs Balle de tennis : m = 58 g et v = 35 m.s 1 Comme v < c, la mécanique newtonienne suffit à décrire le mouvement de l objet : p mv. 1 On en déduit : λ DB = h p h mv = 3, m Comme λ DB est négligeable devant les longueurs caractéristiques du problème (diamètre de la balle, taille du terrain de tennis), l objet physique est correctement décrit par un traitement classique (newtonien). Proton en mouvement circulaire uniforme à grande vitesse dans le synchroton LHC : R = 4, 3 km et E = 1TeV = 1 12 ev L énergie de masse du proton est m p c 2 = (1, ) (3.1 8 ) 2 = 1, J Soit, en électron-volts : m p c 2 (ev ) = m pc 2 (J) = 938 MeV e Puisque m p c 2 E, on en déduit que la particule est ultrarelativiste : E k + m p c 2 E k E = λ DB = h p 2 c 2 + m 2 c 4 pc p hc E = 1, m Comme, là encore, λ DB est négligeable devant les longueurs caractéristiques du problème (rayon R du LHC), le proton ultrarelativiste (car sa vitese est proche de c) est correctement décrit par un traitement classique (relativiste). Électron dans un métal : pour un tel problème, dans un métal à température ambiante (T = 298K) la dimension caractéristique est la taille d un atome ou encore la distance interatomique : D c, 1 nm { kb = 1, J.K 1 L énergie cinétique (moyenne) d un tel électron, avec : m e = 9, kg < E k,e >= 1 2 m e < v 2 >= 1 2 m ev 2 q 3 2 k BT = 6, J 2 < Ek,e > Donc : v q = = 1, m.s 1 m e Comme v q < c 1, la particule n est pas relativiste : p mv = 1, kg.m.s 1. On en déduit : λ DB = h p h mv = 6, m Comme λ DB > D c on ne peut pas ignorer les effets quantiques pour l étude de la liaison métallique comme pour l étude de la conduction du courant. Si on accélère l électron jusqu à lui fournir une énergie E k = 1 ev, l électron reste non 2 < Ek,e > relativiste (v q = = 1, m.s 1 < c m e 1 ), soit : p = mv et donc : E k = p2 2m.

2 SP6 I. Concepts initiau de la physique quantique On en déduit que l électron relève là encore d un traitement quantique puisque : λ DB = h 2mEk =, 39 nm D c La physique quantique est indispensable pour analyser les propriétés électroniques de la matière. Neutron (lent) : objet physique de masse m = 1, kg, d énergie cinétique E k = 8, 43 mev, envoyé sur un cristal dans lequel la distance interatomique est a = 398 pm (donc D c, 4 nm). Puisque m n c 2 = 938 MeV E k, on a v c, p mv = 2mE k h Donc : λ DB = = 312 pm D c 2mEk Cl : les effets quantiques sont à prendre en compte dans l étude de l interaction entre un neutron et un cristal. Cela se traduit par la manifestation d un comportement ondulatoire lors du phénomène de diffraction des neutrons par le cristal. Cf. III Qadri J.-Ph. PTSI

3 II. Dualité onde-particule de la lumière SP6 II Dualité onde-particule de la lumière II.1 Aspect ondulatoire Les phénomènes d interférences et de diffraction lumineuses ont permis d introduire la notion d onde lumineuse. Le domaine de l optique géométrique que nous avons étudié est inclus dans le domaine de l optique ondulatoire ; il correspond au sous-domaine où ces phénomènes ondulatoires ne sont pas prépondérants. II.2 Aspect corpusculaire a Effet photoélectrique : Cf. Approche documentaire (a). Observation : un métal est capable d émettre un électron dans le vide lorsqu il est éclairé par un rayonnement du domaine visible ou ultraviolet, à condition que la fréquence ν du rayonnement soit supérieure à une fréquences seuil ν s caractéristique du métal considéré et indépendamment de l intensité du rayonnement utilisé. L interprétation du phénomène est due à Einstein (195), qui reçut à ce titre le pri Nobel en Interprétation : Le rayonnement est constitué de «quanta de lumière», indivisible et transportant l énergie E ϕ = hν. Ces «grains» de lumière seront appelés «photons» à partir de L échange d énergie entre la lumière et le métal est, pour le système {photon,électron}, une collision inélastique : elle conserve l énergie totale du système sans conservation de l énergie cinétique : photon + e dans le métal } {{ } e dans le métal } {{ } Bilan énergétique : hν + E e,avant = E e,après On en déduit : Ce qu on peut aussi écrire : hν = E e,après E e,avant hν = W s +E k... en introduisant W s = hν s, appelé «travail de sortie» de l électron hors du métal ou encore «travail d etraction», c est-à-dire l énergie minimale à fournir à l électron pour l etraire du métal (sans lui donner un ecédent d énergie cinétique donc). Alors l énergie cinétique maimale emportée par l électron est : Qadri J.-Ph. PTSI 3

4 SP6 II. Dualité onde-particule de la lumière E k = h(ν ν s ) Comme E k, on en déduit que l électron n est etrait qu à l unique condition que : ou encore : ν ν s avec : ν s = W s h E ϕ =hν E Ee,après= E k W s énergie cinétique de l'électron libéré λ λ s avec : λ s = c ν s = hc W s Ee,avant= énergie de l'électron dans le métal Ordre de grandeur : pour le Zinc : W s = 4, 33 ev soit : λ s = hc = 6, W s,(j) 4, 33 1, =, 29 µm Pour avoir un effet photoélectrique, le rayonnement utilisé doit correspondre à une longueur d onde λ λ s, ce qui correspond au domaine ultraviolet (puisque, 4 µm < λ visible <, 8 µm). Rq : Mise en évidence de la nature ultraviolete du rayonnement permettant l effet photoélectrique pour le zinc : si on interpose une plaque de verre entre la plaque de zinc et le rayonnement, l effet photoélectrique cesse. Ceci vient du fait que si une plaque de verre laisse passer les longueurs d onde du domaine visible, elle absorbe les rayonnements ultraviolets. b Effet Compton Cf. SP6-E4 et SP6-E19. II.3 Le photon Il s agit de l objet physique associé à la lumière. Ses caractéristiques : m = c = m.s 1 E ϕ = hν = hc λ Relation de Planck-Einstein h p = k = hν u = u λ c p = E ϕ c λ = h p E ϕ = pc Relation de Louis de Broglie II.4 Ordres de grandeur Domaine du visible : λ = 59 nm (domaine du vert) E ϕ = hc λ = 3, J 2, 1 ev Retenir : Un photon dans le domaine du visible possède une énergie de l ordre de 2 ev. Comme E ϕ (J) = hc, l énergie d un photon, en électronvolts peut s écrire : λ E ϕ (ev ) = 1 e.hc λ = 1, λ (m) E ϕ (ev ) = 1 24 λ (nm) λ 4 Qadri J.-Ph. PTSI

5 III. Dualité onde-particule de la matière SP6 II.5 Epérience d interférences avec photons uniques franges_photon/interference.htm (Description et surtout une vidéo à télécharger qui correspond à l enregistrement de l epérience) III III.1 Dualité onde-particule de la matière L onde de matière de Louis de Broglie La relation λ = h obtenue pour le photo a été généralisée par Louis de Broglie au corpuscules matériels (électrons, neutrons, protons,... ), Louis de Broglie postulant l eistence d une p «onde de matière»associée à chaque corpuscule matériel et caractérisée par une longueur d onde désormais appelée «longueur d onde de de Broglie» : λ DB = h p III.2 Epérience de Davison et Germer Cf Approche documentaire (b). Hypothèse : Le fait epérimental qui consiste à détecter avec un maimum de probabilité, après interaction avec le cristal, un faisceau d électrons dans des directions bien spécifiques de l espace conduit à supposer l eistence d un phénomène de ondulatoire associé au électrons. Ces direction de détection avec un maimum de probabilité correspondent alors à des directions où a lieu un phénomène d interférences constructives entre deu ondes de matière. La condition d interférences constructive au niveau du détecteur impose que les ondes arrivent en phase, ce qui revient à imposer que les ondes diffractées par deu sites diffuseurs (atomes du cristal) soient déphasées de : Qadri J.-Ph. PTSI 5

6 SP6 III. Dualité onde-particule de la matière ϕ = 2π.δ = n.2π λ avec δ la différence de marche entre deu ondes électroniques diffusées selon le même angle θ par deu sites diffuseurs voisins (atomes de nickel séparés par la distance interatomique D = 215 pm) : δ = AH = D sin θ Cf Table II de l Approche documentaire (b) : on détecte un pic de diffusion pour l angle θ = 8 et une tension accélératrice V a = 33 V. A θ δ H D θ + B V a Faisceau d'électrons Canon électronique θ Cristal de nickel Intensité détectée Détecteur θ=8 3 5 V a (V) L hypothèse d interférences constructives conduit, pour n = 1, à une longueur d onde de de Broglie : λ DB,ep = D sin θ = 211, 7 pm Or, la longueur d onde de de Broglie d un électron accéléré par la tension V a (qui possède donc une énergie cinétique E k = ev a ; Cf Méca) : λ DB,th = h p = h h = = 214, 7 pm 2mEk 2meVa Retenir : Les résultats epérimentau de l epérience de Davison et Germer concordent avec les calculs théoriques fondés sur la nature ondulatoire de la matière. Cette epérience fut la première confirmation de la théorie de Louis de Broglie. III.3 Interférences avec des électrons uniques La figure ci-dessous montre le résultat d une epérience d interférences d électrons réalisée en 1989 par les chercheurs japonais A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki et H. Ezawa. Il s agit d une epérience analogue à l epérience des fentes de Young. Les électrons, après leurs passage à travers les «fentes», tombent sur un film fluorescent jouant le rôle d «écran». Chaque électron arrivant sur le film provoque l émission d environ 5 photons, collectés par un dispositif d imagerie. Sur le document présenté sur la figure chaque point lumineu témoigne de l arrivée d un électron. 6 Qadri J.-Ph. PTSI

7 III. Dualité onde-particule de la matière SP6 Dans cette epérience les électrons arrivent un à un sur le détecteur. En effet, le flu d électrons à travers l appareil est maintenu à une valeur très faible, de l ordre de 1 3 électrons par seconde soit un électron toutes les 1 3 s. Ces électrons ont une énergie cinétique moyenne de 5 kev, donc une vitesse (relativiste) de 1, m.s 1. Ainsi la distance entre deu électrons consécutifs serait de l ordre de 1, = 1, m = 125 km soit bien plus que la taille de l appareil. Il y a donc un seul électron à la fois dans l appareil. L observation du document de la figure d interférences appelle les remarques suivantes : - La présence d impacts de faible etension spatiale sur la plaque de détection prouve le caractère corpusculaire des électrons. - L apparition de franges d interférences pour un nombre suffisant de particules envoyées vers les fentes est quant à elle une manifestation de la nature ondulatoire des même électrons. Cf Vidéos d Hitachi de l enregistrement en 1989 de la figure d interférences : - avec commentaires : - sans commentaires : III.4 Cf SP6-E12 III.5 Interférences avec des atomes uniques Interférences avec des molécules uniques Des chercheurs de l université de Vienne ont pu réaliser des interférences avec des molécules de très grande taille : - en 1999, le fullerène C 6, molécule en forme de ballon de football de masse moléculaire 72 (M = 72 g.mol 1 ), - et récemment (212), avec des molécules organiques de 114 atomes (masse moléculaire de 1, 298). Qadri J.-Ph. PTSI 7

8 SP6 IV. Fonction d onde IV Fonction d onde IV.1 Idée générale Définition : la fontion d onde Ψ(M, t) d un objet physique, définie en tout point M de l espace, est une fonction qui : - caractérise l état quantique de l objet physique asocié à t ; - vérifie l équation de Schrödinger ; - représente l amplitude de probabilité associée à une mesure de la position de la particule en ce point M. Système 3D Sytème 1D La probabilité qu une mesure de la position de l objet physique indique qu il se trouve : - dans un volume élémentaire dτ centré sur M(, y, z) du volume V disponible : dp V = Ψ(M, t) 2.dτ - dans un segment élémentaire d centré sur M() du segment L disponible : dp L = Ψ(M, t) 2.d L objet physique étant avec certitude localisé dans tout l espace, on peut écrire la «condition de normalisation de la fonction d onde» : Ψ(M, t) 2.dτ = 1 Ψ(M, t) 2.dτ = 1 V Propriété : L équation de Schrödinger est une équation linéaire. L Conséquence : Si Ψ 1 (M, t) et Ψ 2 (M, t) sont deu solutions de cette équation alors : - non seulement Ψ 1 (M, t) et Ψ 2 (M, t) représentent deu états possibles de l objet quantique, - mais Ψ 3 (M, t) = Ψ 1 (M, t)+ψ 2 (M, t) représente également un état possibe de l objet quantique puisque Ψ 3 (M, t) est également, par linéarité, solution de l équation de Schrödinger. C est une telle propriété qui permet d interpréter, à défaut de totalement comprendre, des epériences surprenantes comme celles des interférences dites «à partitules uniques». IV.2 Interprétation probabiliste d une epérience d interférence à particules uniques Supposons que des objets physiques (photons ou particules matérielles), tous préparés dans le même état quantique, sont envoyés un par un sur un dispositif interférentiel de type fentes de Young. Après les fentes, sur le plan Oy on place un détecteur de particules (figure ci-contre). Les résultats obtenus pour différentes epériences sont résumés dans le tableau page suivante. Dualité onde-particule : - Chaque objet physique individuel allume un seul piel de l écran : il se comporte donc comme une particule (epériences a, b et c). - Quand on répète l epérience avec un grand nombre d objets physiques, tous préparés dans le même état, le comportement ondulatoire se révèle avec la présence de franges d interférences (epérience b). l objet physique n est pas onde ou particule mais il est à la fois une onde et un corpuscule. 8 Qadri J.-Ph. PTSI

9 IV. Fonction d onde SP6 Rq : Le comportement ondulatoire est ici indiscutable dans la mesure où la figure d interférences obtenue sur l écran quand les deu fentes sont ouvertes ne se réduit pas à la superposition des deu figures obtenues quand une seule des deu fentes est successivement ouverte (epérience b pour les interférences et epérience c pour les figures de diffraction, centrées respectivement sur les fentes 1 et 2). Analyse en termes probabilistes : Le point d impact est aléatoire, c est-à-dire que pour des particules préparées toutes dans le même état, on ne peut pas prévoir à l avance la position du piel qui sera allumé sur le détecteur. Mais si on fait une mesure de la position de chaque particule avec un détecteur de résolution spatiale δ (largeur d un canal), à condition de répéter l epérience un grand nombre de fois, l histogramme des résultats représentant le nombre n i de particules (sur un total de N) détectées dans chaque canal i présente une forme caractéristique, qui n est autre que celle de la densité de probabilité de présence Ψ(, t) 2 (epériences b et c). Donc : Si Ψ 1 (, t) 2 et Ψ 2 (, t) 2 sont les fonctions d ondes correspondant au particules dans les configurations où respectivement seules les fentes 1 et 2 sont ouvertes, la mécanique quantique prévoit que pour les deu fentes ouvertes simultanément Ψ(, t) = Ψ 1 (, t) + Ψ 2 (, t) (principe de superposition). On en déduit la relation entre les densités de probabilité de présence : Ψ(, t) 2 = Ψ 1 (, t) 2 + Ψ 2 (, t) 2 +terme d interférences Qadri J.-Ph. PTSI 9

10 V SP6 V. Inégalités d Heisenberg Inégalités d Heisenberg On se limite à un système unidimensionnel évoluant sur l ae O. On note OM = e et p = p e. V.1 Indétermination quantique G La mesure d une grandeur G sur un objet quantique donne à priori un résulat aléatoire. On introduit : Définition : la moyenne des résultats posssibles pondérés par leurs probablités : < G > Par eemple, dans le cas où G = : < >= +.dp = +. Ψ(M, t) 2.d Définition : l indétermination quantique G qui est l écart quadratique moyen : G = < G 2 > < G > 2 Cet écart quadratique moyen renseigne, pour la mesure de la grandeur G, sur la dispersion des résultats possibles par rapport à la moyenne. On peut en effet aussi l écrire sous la forme : G = < (G < G >) 2 > V.2 Inégalité de Heisenberg pour les variables conjuguées position/impulsion Cf Approche documentaire (c). En Quantique, le fait que la notion classique de position (ou d impulsion) d une particule doit être remplacée par celle de «valeur la plus probable»de la position (ou de l impulsion) implique la disparition de la notion classique de trajectoire. On doit à Heisenberg une inégalité qui montre que l indétermination sur la position d un objet physique est reliée à celle sur la quantité de mouvement de ce même objet physique. On parle d «inégalité de Heisenberg«ou encore de «relation d indétermination de Heisenberg»pour les variables conjuguées que sont la position et l impulsion p : Relation d indétermination de Heisenberg :. p 2 L indétermination quantique sur la position augmente ( ր) lorsque l indétermination quantique sur la quantité de pouvement diminue ( p ց). Inversement, ց lorsque p ր. En pratique, on utilise souvent l inégalité de Heisenberg en ordre de grandeur :. p Ordre de grandeur à retenir : 1 34 J.s 1 Qadri J.-Ph. PTSI

11 VI. Quantification de l énergie d une particule libre confinée SP6 Commentaires : La relation. p traduit une propriété intrinsèque de la nature quantique d un objet 2 physique. Le Document 2 de l approche documentaire montre bien que et p (liées à l objet quantique) ne doivent pas être confondues avec les incertitudes epérimentales m et m p (liées au appareils de mesure) et telles que : m et p m p V.3 Diffraction d un objet physique par une fente VI VI.1 Quantification de l énergie d une particule libre confinée Impossibilité du repos Définition : On appelle particule libre un objet physique qui n est soumis à aucune force dérivant d une énergie potentielle (E p () = V () = ). L énergie d une particule libre non relativiste (vc) est donc purement cinétique : E = E k + V () Soit une particule libre confinée de entre = et = L. Pour une telle particule, = L. De plus, puisque l objet physique se déplace aussi bien dans un sens que dans l autre selon l ae (O) : p = < p 2 > < p > 2 = L =L < p 2 > ( p ) 2 =< p 2 > L énergie cinétique (moyenne) de la particule s écrit : E k = 1 2 m < v2 >= < p2 > 2m = ( p ) 2 2m Comme. p 2, on en déduit : p 2 = E k E k,min avec : E k,min = 2 8m.( ) 2 > Propriété : à cause de l inégalité de Heinsenberg : - il est impossible à un objet physique de se trouver «au repos» car l énergie cinétique d un objet physique ne peut jamais être nulle ; - de plus, cette énergie cinétique minimale augmente lorsque le confinement augmente : ց E k,min ր. Rq : Avec. p, on obtient la condition E k h 2 8π 2 m( ) 2 VI.2 Puits rectangulaire infini unidimensionnel a Eemple On modélise le profil d énergie potentielle d un électron confiné dans une couche d arséniure de gallium entouré par deu couches d arséniure d aluminium et de gallium par un puits rectangulaire infini. On travaille sur un modèle à une dimension (). E p =V() Probabilité de présence nulle Ψ(<)= =L E=E k +V L Probabilité de présence nulle Ψ(>L)= Qadri J.-Ph. PTSI 11

12 SP6 VI. Quantification de l énergie d une particule libre confinée b Approche quantique qualitative On peut effectuer une analogie entre le système quantique qu est l objet physique confiné et le système mécanique qu est une conrde vibrante. Onde stationnaire pour une corde vibrante Onde de Louis de Broglie stationnaire pour fiée au deu etrémités. un objet physique confiné. n=1 n=2 λ 1 =2L λ 2 =L. λ 2L λ n = n = 1 n λ DB = h p = 2L m On en déduit la quantité de mouvement : p = nh 2L ainsi que l epression de l énergie : Soit : E = p2 2m = n2 h 2 8mL 2 = E n E n = n 2 E 1 avec E 1 = h2 8mL 2 = π2 2 2mL 2 Propriété : Le confinement spatial impose une quantification des énergies. Rq : E 1 est à mettre en rapport avec E k,min établie en VI.1) : E k,min est une valeur approchée alors que E 1 est une valeur eacte confirmée par la résolution de l équation de Schrödinger (voir c suivant). c Résolution eacte de l équation de Schrödinger Soit un objet physique libre confiné, de masse m : équation de Schrödinger spatiale 2 d 2 2m dψ 2 + V ()ψ = E.ψ pour L avec ψ() = ψ(l) = d 2 ψ On en déduit : d 2 + 2mE.ψ = avec E (Cf. a où il a été montré que le repos est 2 impossible) ( d 2 ) 2 ψ 2mE On reconnaît l équation d un oscillateur harmonique : d 2 + ψ = ( ) ( ) 2mE 2mE qui admet pour solution générale : ψ() = A. sin. + B. cos. Les conditions au limites permettent de déterminer les deu constantes d intégration A et B : { ( ) B 2mE = ψ() = ψ() = A. sin. ( ) 2mE A. sin.l 2mE = L ψ(l) =.L = nπ avec n N On en conclut que l énergie de l objet physique est quantifiée : E n = n2 π 2 2 2mL Qadri J.-Ph. PTSI

13 VI. Quantification de l énergie d une particule libre confinée SP6 et donc : ψ() = A. sin 2m. n2 π 2 2 ( ) 2mL 2. nπ ψ() = A. sin L. Rq1 : nécessairement et quelque soit la valeur de n, l énergie quantifiée E n de la particule doit être supérieure à l énergie cinétique minimale. Ce qu on vérifie effectivement : E n E k,min avec =L E n E 1 = π2 2 2mL 2 > E k,min = 2 8mL 2 Rq2 : Il resterait à déterminer A. Pour ce faire, il faut prendre en compte la condition de normalisation de la fonction d onde, sachant que l objet physique est contenu dans le puits rectagulaire et nulle part ailleurs, c est-à-dire que la probabilité de le trouver entre = et = L doit être de 1 : On en déduit : A = P = 1 = 2 L = L L = A 2 ( L ψ() 2.d A 2. sin 2 ( nπ L. ).d d L ( ) 2 1 2nπ 2 cos L. [ ( L = A ( 1 2 n2π ) ]L 2nπ ) sin L. = A2 L 2 et donc : ψ() = 2 L. sin ( nπ L. ).d ) Qadri J.-Ph. PTSI 13