Chapitre 6. 2 Deux exemples d oscillateurs amortis 4

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1 Table des matières Chapitre 6 Régimes transitoires des systèmes du second ordre ; Oscillateurs harmoniques et oscillateurs amortis. 1 Trois problèmes, une équation : rappels sur l oscillateur harmonique Le circuit LC Mouvement horizontal sans frottement d une masse accrochée à un ressort Pendule simple Deux exemples d oscillateurs amortis Le circuit RLC série Masse suspendue à un ressort avec frottement fluide L équation différentielle de l oscillateur amorti Solution générale de l EDL2, comme somme de la solution générale de l EDLH2 et de la solution particulière de l EDL La forme de la solution dépend du facteur de qualité Cas Q < 1 σ > 1 > 0 : le régime apériodique Cas Q = 1 σ = 1 = 0 : le régime critique Cas Q > 1 σ < 1 < 0 : le régime pseudo-périodique Cas Q 1 σ 1 0 : l oscillateur harmonique très peu amorti Résumé Les prérequis du lycée Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques Dérivées, primitives et intégrales Mécanique (système, référentiel, bilan des forces, lois de Newton) Les prérequis de la prépa Signaux sinusoïdaux, période, fréquence, pulsation Lois de Kirchhoff Loi d Ohm, courant à travers un condensateur, tension aux bornes d une bobine Puissance et énergie consommées par un dipôle Équations différentielles Oscillateur harmonique

2 1 Trois problèmes, une équation : rappels sur l oscillateur harmonique 1.1 Le circuit LC L évolution de la tension aux bornes du condensateur soumis à un échelon de tension, dans un circuit LC, est décrite par l équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d 2 u C (t) dt 2 + ω 2 0u C (t) = 0 où ω 0 = 1 LC est la pulsation propre du circuit, C la capacité du condensateur, L l inductance de la bobine. (Démo à savoir refaire par coeur) Les limites du modèle de l oscillateur harmonique : dissipation de l énergie 1.2 Mouvement horizontal sans frottement d une masse accrochée à un ressort Description du système On se placera dans le référentiel terrestre R g que l on supposera galiléen. Une masse m attachée à un ressort horizontal de constante de raideur k, de longueur à vide l 0 peut se déplacer sans frottement selon l axe Ox. On l écarte de sa position d équilibre x = 0. À l instant t = 0, on lâche la masse, sans vitesse initiale, de la position x = X 0. 2/18 27 septembre 2016

3 (Démo à savoir refaire par coeur) Portrait de phase 1.3 Pendule simple Description du système On se placera dans le référentiel terrestre R g que l on supposera galiléen. Un point matériel M de masse m est accroché au bout d un fil inextensible de longueur l. L autre extrémité du fil est fixe dans le référentiel de l observateur. O θ À t = 0, le point est lâché avec la vitesse angulaire initiale Ω 0 de la position θ = 0. M Les oscillations de faible amplitude d un pendule simple sont décrites par l équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants θ + ω 2 0θ = 0 où ω 0 = g l est la pulsation propre du système, g l accélération de la pesanteur, m la masse du pendule. (Démo à savoir refaire par coeur) 3/18 27 septembre 2016

4 Application 1 : Battre la seconde Déterminer la longueur de la corde permettant au pendule de battre la seconde. 2 Deux exemples d oscillateurs amortis 2.1 Le circuit RLC série 4/18 27 septembre 2016

5 Description du montage RLC série On branche en série un générateur de f.e.m.e = 5 V, un interrupteur, un résistor de résistance R = 10 Ω et, une bobine d inductance L = 1, 0 mh et un condensateur C = 100 nf initialement déchargé. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. u R R i E L C u C u L Établissement de l équation différentielle vérifiée par la tension u C (t) (Démo à savoir refaire par coeur) Définition : Le circuit RLC est un circuit linéaire du second ordre car son évolution est décrite par une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficient constant, dont la forme canonique est d 2 u C + ω 0 du C dt 2 Q dt + ω 2 0u C (t) = ω 2 0E d2 u C dt σ ω 0 du C dt Il est caractérisé par deux grandeurs Sa pulsation propre ω 0 = 1 LC Son facteur de qualité Q = Lω 0 = 1 R RCω 0 ou de manière équivalente son coefficient d amortissement σ = 1 2Q + ω 2 0u C (t) = ω 2 0E 2.2 Masse suspendue à un ressort avec frottement fluide Description du système On se placera dans le référentiel terrestre R g que l on supposera galiléen. Une masse m = 100 g attachée à un ressort horizontal de constante de raideur k = 100 N.m 1, de longueur à vide l 0 peut se déplacer selon l axe Ox. On l écarte de sa position d équilibre x = 0. À l instant t = 0, on lâche la masse, sans vitesse initiale, de la position x = X 0. Bilan des forces (Démo à savoir refaire par coeur) 5/18 27 septembre 2016

6 L évolution de la position d une masse attachée à un ressort horizontal, avec frottements fluides, est décrite par l équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ẍ + ω 0 Q ẋ + ω2 0 x = 0 ẍ + 2 σ ω 0 ẋ + ω 2 0 x = 0 k où ω 0 = est la pulsation propre du système, Q = ω m 0 m le facteur de qualité σ le α coefficient d amortissement, k la raideur du ressort, m la masse de la masse, α le coefficient de frottements. 3 L équation différentielle de l oscillateur amorti Ces deux problèmes sont décrits par la même équation différentielle linéaire d ordre 2. Nous appelerons cette équation différentielle l équation différentielle de l oscillateur amorti. Définition : On appelle système linéaire du second ordre tout système dont l évolution peut être décrite par une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficient constant, dont la forme canonique est d 2 y dt + ω 0 dy 2 Q dt + ω2 0y = C d2 y dt + 2 σ ω dy 2 0 dt + ω2 0y = C Il est caractérisé par deux grandeurs Sa pulsation propre ω 0 ; Son facteur de qualité Q ou son coefficient d amortissement σ. Application 2 : Pendule amorti Mettre l équation différentielle du pendule amorti (linéarisé autour de θ = 0) sous forme canonique : ml 2 θ + αl 2 θ + mglθ = Solution générale de l EDL2, comme somme de la solution générale de l EDLH2 et de la solution particulière de l EDL2 Comme pour les équations différentielles linéaires d ordre 1, la solution générale y d une équation différentielle linéaire d ordre 2 est la somme de la solution générale y 0 de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2, et d une solution particulière y 1 de l équation différentielle linéaire d ordre 2 : y : t y 0 (t) + y 1 (t). 3.2 La forme de la solution dépend du facteur de qualité 6/18 27 septembre 2016

7 Le polynôme caractéristique associé La solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 dépend du facteur de qualité. Pour déterminer sa forme, nous allons rechercher les racines du polynôme caractéristique de l équation différentielle. Définition : Soit l équation différentielle linéaire d ordre 2 ÿ + ω 0 Q ẏ + ω2 0 y = 0 (ÿ + 2 σ ω0 ẏ + ω 2 0 y = 0 resp. ) On appelle polynôme caractéristique associé, le trinôme en r P : r r 2 + ω 0 Q r + ω2 0 ( P : r r σ ω 0 r + ω 2 0 resp. ) 3.3 Cas Q < 1 2 σ > 1 > 0 : le régime apériodique 7/18 27 septembre 2016

8 3.4 Cas Q = 1 2 σ = 1 = 0 : le régime critique 8/18 27 septembre 2016

9 3.5 Cas Q > 1 2 σ < 1 < 0 : le régime pseudo-périodique Définition : La tension u C (t) décroit à chaque pseudo-période : u C (t + T ) = u C (t)e T τ. Ce facteur est constant dans le temps. On pose alors le décrément logarithmique δ tel que ( ) uc (t) δ = ln = T u C (t + T ) τ = 2π 4Q2 1 = 2π 1 1 σ 2 On obtient donc u C (t + T ) = u C (t)e δ. Application 3 : portrait de phase Commenter l allure du portrait de phase ci-dessous. 9/18 27 septembre 2016

10 3.6 Cas Q 1 2 amorti σ 1 0 : l oscillateur harmonique très peu Application 4 : Décrément logarithmique et détermination du coefficient de frottement Une masse m est attachée à un ressort vertical de raideur k = 10 N.m 1 et de longueur à vide l 0 = 10 cm, fixé au point O. En plus de son poids et de la force de rappel élastique, la masse est soumise à une force de frottement fluide F = h v. Un capteur fournit l évolution de l altitude z(t) de la masse par rapport à sa position d équilibre au cours du temps. 1 À partir du relevé de z(t), déterminer la valeur de la masse m et du coefficient de frottement h. 10/18 27 septembre 2016

11 3.7 Résumé équation différentielle : Polynôme caractéristique : Régime apériodique critique pseudo-périodique Facteur de qualité : Racines : Solution générale : Temps caractéristique : Pseudo-pulsation : 11/18 27 septembre 2016

12 Le programme : ce qu il faut savoir faire Notions et contenus 1. Oscillateur harmonique Mouvement horizontal sans frottement d une masse accrochée à un ressort linéaire sans masse. Position d équilibre. Capacités exigibles Établir et reconnaître l équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique. La résoudre compte tenu des conditions initiales (Chapitre 2 + Paragraphe 1.1, 1.2 et 1.3 ; TD 2 + exercices 1 et 8). Caractériser le mouvement en utilisant les notions d amplitude, de phase, de période, de fréquence, de pulsation (Chapitre 2). 7. Oscillateurs amortis Circuit RLC série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux. Contrôler la cohérence de la solution obtenue avec la conservation de l énergie mécanique, l expression de l énergie potentielle élastique étant ici affirmée (Chapitre 2). Mettre en évidence la similitude des comportements des oscillateurs mécanique et électronique (TP à venir). Réaliser l acquisition d un régime transitoire du deuxième ordre et analyser ses caractéristiques (TP 6). Analyser, sur des relevés expérimentaux, l évolution de la forme des régimes transitoires en fonction des paramètres caractéristiques (Paragraphes 3.3, 3.4 et 3.5 ; application 4 ; exercice 3). Prévoir l évolution du système à partir de considérations énergétiques (Exercice 8). Prévoir l évolution du système en utilisant un portrait de phase fourni (Paragraphes 3.3, 3.4 et 3.5 ; application 3 ; exercice 3). Écrire sous forme canonique l équation différentielle afin d identifier la pulsation propre et le facteur de qualité (Paragraphes 2.1, 2.2 et 3 ; application 2 ; exercices 2, 4, 5, 8, 9 et 10). Connaître la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité (Paragraphes 3.2, 3.3, 3.4 et 3.5 ; exercices 2, 4, 5, 6, 8, 9 et 10). 12/18 27 septembre 2016

13 Déterminer la réponse détaillée dans le cas d un régime libre ou d un système soumis à un échelon en recherchant les racines du polynôme caractéristique (Paragraphes 3.3, 3.4 et 3.5 ; exercices 2, 6, 8, 9 et 10). Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, selon la valeur du facteur de qualité (Paragraphes 3.3, 3.4 et 3.5 ; exercices 5, 6, 9). Outils mathématiques 2. Équations différentielles Équations différentielles linéaires à coefficients. Équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants : y + ay + by = f(x) Capacités exigibles Identifier l ordre. Mettre l équation sous forme canonique. (). Utiliser l équation caractéristique pour trouver la solution générale de l équation sans second membre. Prévoir le caractère borné ou non de ses solutions (critère de stabilité). Trouver l expression des solutions lorsque f(x) est constante ou de la forme A.exp(λx) avec λ complexe. Trouver la solution de l équation complète correspondant à des conditions initiales données. Représenter graphiquement cette solution. 13/18 27 septembre 2016

14 TD n 6 - Régimes transitoires des circuits du second ordre Exercice 1 : Chute d une masse reliée à un ressort Une masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Elle est posée sur une planche, de telle sorte que la longueur l du ressort soit égale à l 0. À t = 0, on retire la planche. 1 Établir l équation différentielle vérifiée par l altitude de la masse. 2 La résoudre. 3 Vérifier la conservation de l énergie mécanique. Exercice 2 : Circuit RLC parallèle Soit un circuit RLC comprenant une source de courant de c.e.m I, un condensateur de capacité C = 1, F, une bobine d inductance L = 1, H, et un résistor de résistance R = 100 Ω en parallèle. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. 1 Déterminer l évolution temporelle de la tension u(t), ainsi que des trois courants i L (t), i R (t) et i C (t). i L i R i C I L R C u Solutions : cf. cours Exercice 3 : Détermination des paramètres d un ressort On considère le portrait de phase d un oscillateur amorti composé d une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une ofrce de frottement fluide λ v ( v étant la vitesse de la masse m et x est l écart à la position d équilibre). L étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. 1 Déterminer la nature du régime de l oscillateur. 2 Déterminer par lecture graphique : la valeur initiale de la position x 0 ; la valeur finale de la position x f ; la pseudo-période T a ; le décrément logarithmique.

15 3 En déduire le facteur de qualité Q de l oscillateur, sa période pulsation propre ω 0, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ. Faire l application numérique. Exercice 4 : Mécanique : Détermination d un coefficient de viscosité Un sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Déplacée dans un liquide de coefficient de viscosité η, la sphère est soumise à une force de frottement donnée par la formule de Stokes f = 6πηr v, où v est la vitesse de sphère. 1 Écrire l équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et en déduire l expression de la pseudo-période T. 2 Dans l air, où les frottements sont négligeables, la période des oscillations est T 0. Déterminer le coefficients de viscosité η du liquide en fonction de m, r, T et T 0. Solutions : 1) ẍ + 2σẋ + ω 2 0x = 0 avec 2σ = 6πηr m et ω 0 = k m, T = 2π ω 2 0 σ 2 ; 2m 2) η = 3r 1 T T 2. Exercice 5 : Mécanique : Suspension d un véhicule On considère un véhicule de masse m. Le système de suspension de ce véhicule peut être représenté par l association d un ressort, de constante de raideur k et de longueur à vide l 0, et d un amortisseur provoquant une force de frottement de type fluide f = λ v. Toute autre source de frottements est négligée. 1 En supposant que le véhicule ne change pas d altitude, déterminer la profondeur maximale h max d un nid de poule à partir de laquelle les roues ne sont plus en contact avec le sol. On négligera le poids du système de suspension et des roues. 15/18 27 septembre 2016

16 2 Établir l équation différentielle du mouvement vertical du véhicule lorsqu il est écarté de sa position d équilibre. 3 Déterminer le coefficient λ pour que le régime d amortissement soit critique. 4 L usure des amortisseurs due au temps entraîne une diminution du coefficient λ d un cinquième de sa valeur initiale : Qualifier le régime d amortissement dans ce cas. ( λ = λ 1 1 ) 5 5 Un trou dans la chaussée écarte le ressort de sa position d équilibre d une longueur h 0. En considérant que la vitesse verticale est nulle en h 0, résoudre l équation différentielle régissant l évolution du mouvement vertical du véhicule. Déterminer le temps nécessaire pour que les oscillations du véhicule deviennent négligeables. Conclusion. Applications numériques : m = 800 kg ; k = N.m 1 ; l 0 = 50 cm. On considérera les oscillations du véhicule négligeables lorsque leur amplitude maximale est divisée par un facteur e 10. Exercice 6 : Un peu de python : solution d une équation différentielle linéaire d ordre 2 Étant donnés une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et deux conditions initiales d 2 u(t) + ω 0 du(t) + ω dt u(t) = ω0 2 E Q dt (du(t) ) u(0) = U 0 = D 0 dt 1 donner la forme de la solution générale de cette équation différentielle avec second membre ; t=0 2 déterminer l expression des constantes d intégration ; 3 écrire une fonction python qui, étant donnés en argument ω 0, Q, E, U 0, D 0, trace l unique solution au problème de Cauchy ci-dessus et en retourne l expression (sous forme d une fonction). 16/18 27 septembre 2016

17 Pour s entraîner seul(e) - 6. Régimes transitoires des circuits du second ordre Exercice 7 : Questions de cours 1 Donner la forme canonique d une équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficient constant. 2 Donner son polynôme caractéristique. 3 Donner la forme des solutions de cette équation différentielle linéaireen fonction de la valeur du facteur de qualité. 4 Donner le temps caractéristique d amortissement dans chacun des cas. 5 Définir le décrément logarithmique et établir son expression. Solutions : cf. cours Exercice 8 : Circuit RLC sans perte On considère le circuit ci-contre. t < 0 K 1 est fermé et K 2 est ouvert ; t = 0 on ferme K 2 et on ouvre K 1. 1 Pour t = 0 et t = 0 + déterminer u c (t), i(t) et u L (t). 2 Pour t > 0, déterminer l équation différentielle vérifiée par u c (t) puis la résoudre. 3 Faire le bilan énergétique. Montrer que l énergie dans le circuit est constante. 4 Déduire de la question précédente le portrait de phase de l oscillateur associé à la variable q(t). Exercice 9 : Prise en compte de la résistance On considère le circuit ci-contre. L = 10 mh, C = 0, 1 µf t < 0 K 1 est fermé et K 2 est ouvert ; t = 0 on ferme K 2 et on ouvre K 1. 1 Pour t = 0, t = 0 + déterminer u c (t), i(t) et u L (t). 2 Pour t > 0, déterminer l équation différentielle vérifiée par u c (t) en fonction du facteur de qualité et de la pulsation propre. 3 Déterminer la résistance critique R C, en déduire l expression de u c (t) pour le régime critique et déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 4 On suppose R = 80 Ω. Le régime est pseudo-périodique, pourquoi? Déterminer la pseudo-pulsation, le coefficient d amortissement ξ, u c (t) et un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 5 On suppose R = 8000 Ω. Le régime est apériodique, pourquoi? Déterminer u c (t) et un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 6 Comparer suivant les valeurs de R les différentes durées du régime transitoire.

18 Exercice 10 : Circuit RLC série On branche en série un générateur de f.e.m.e, un interrupteur, un résistor de résistance R et, une bobine d inductance L et un condensateur C initialement déchargé. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. u R R i E L C u C u L 1 Déterminer l évolution temporelle de la tension u c (t). Solutions : cf. cours 18/18 27 septembre 2016