Exercices. Version du 7 janvier :37. UE Mathématiques et statistiques appliquées AA Mathématiques et statistiques appliquées

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1 Exercices Version du 7 janvier :37 UE Mathématiques et statistiques appliquées AA Mathématiques et statistiques appliquées 1ère Bachelier en Informatique de Gestion Ludovic Kuty <ludovic.kuty@hepl.be>

2 Table des matières Table des matières 2 1 Bibliographie 4 2 Statistiques Intro et tableaux statistique à une entrée Exercice 1 Quantités de RAM Exercice 2 Capacités de stockage Exercice 3 Age des étudiants de 1ère Exercice 4 Interpolation linéaire Paramètres statistiques Exercice 5 Calcul de paramètres de position et de dispersion Exercice 6 Aplatissements Exercice 7 Sensibilité des paramètres à des transformations Ajustement et corrélation Exercice 8 Ajustement par la méthode de Mayer Exercice 9 Ajustement par la méthode des moindres carrés Exercice 10 Ajustement par la méthode des moindres carrés Probabilités Analyse combinatoire et notions de probabilités Exercice 11 Jours de pluie Exercice 12 Liste d expériences Exercice 13 Pièce lancée n fois Exercice 14 Jet de 3 dés Exercice 15 Point dans un triangle Exercice 16 Point dans un cercle Exercice 17 Avant-dernière boule dans une urne Exercice 18 Quatre ou vingt-quatre jets d un dé Exercice Exercice 20 Rangement de livres Exercice 21 Places assises Exercice 22 Les jurés Exercice 23 Vrais-Faux Exercice 24 A compléter Exercice 25 QCM Exercice 26 QCM étudiants Solutions 14 Solution Solution Solution

3 0. Table des matières. L. Kuty Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Solution Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

4 Chapitre 1 Bibliographie [1] Lloyd R. Jaisingh, Statistics for the utterly confused, McGraw-Hill, 2nd edition,

5 Chapitre 2 Statistiques 2.1 Intro et tableaux statistique à une entrée Exercice 1 (Quantités de RAM). Soit la série statistique suivante portant sur le nombre de GB de RAM se trouvant dans des ordinateurs de bureau d informaticiens : Quelle est la population? 2. Quel est le caractère statistique (ou la variable) étudié? 3. Est-ce une variable qualitative, quantitative discrète, quantitative continue? 4. Quelle est la distribution statistique de cette série? 5. Indiquez dans un tableau statistique à une entrée les effectifs et les fréquences (relatives). 6. Construisez le diagramme approprié pour représenter les données. Exercice 2 (Capacités de stockage). Soit la série statistique suivante portant sur la capacité de stockage en TB se trouvant dans des ordinateurs de bureau d informaticiens : 4.5, 4.5, 6.5, 5.5, 8, 6, 6.5, 4.5, 5.5, 6.5, 6, 3.5, 6.5, 3, 2.5, 4.5, 7.5, 7, 8, 4.5, 2.5, 2, 4.5, 5.5, 3.5, 7.5, 6, 3.5, 4, 9.5, 6, 5.5, 5, 5.5, 9, 2.5, 7.5, 7, 3.5, 8.5, 5.5, 1.5, 6.5, 3, 1.5, 1.5, 5, 5.5, 5, 7.5, 5, 4, 3, 5, 7, 5.5, 2.5, 6, 3, 6, 6, 5, 4, 5, 4.5, 7.5, 5.5, 4, 4.5, 3, 7, 4, 2, 4.5, 1.5, 7.5, 4, 1.5, 5.5, 6, 1, 0.5, 8, 5.5, 5, 4.5, 4, 4.5, 2.5, 6, 5.5, 5, 5, 7.5, Quelle est la population? 2. Quel est le caractère statistique (ou la variable) étudié? 3. Est-ce une variable qualitative, quantitative discrète, quantitative continue? 4. Indiquez dans un tableau statistique à une entrée les effectifs, les fréquences, les fréquences cumulées croissantes et décroissantes. 5. Quel pourcentage des individus a au moins 4 TB ( ) de stockage? 6. Quel pourcentage des individus a moins de 1 TB (<)? 7. Quel pourcentage a plus de 1 TB (>) et au plus 4 TB ( )? 8. Quel pourcentage des individus a au plus 1.5 TB ( )? Exercice 3 (Age des étudiants de 1ère). Soit la série statistique suivante portant sur l âge des étudiants de 1ère : , 20.43, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 21.12, , , , , 19.17, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Quelle est la population? 5

6 2. Statistiques 2.2. Paramètres statistiques L. Kuty 2. Quel est le caractère statistique (ou la variable) étudié? 3. Est-ce une variable qualitative, quantitative discrète, quantitative continue? 4. Indiquez dans un tableau statistique à une entrée les effectifs, les fréquences, les effectifs et fréquences cumulées croissantes et décroissantes. 5. Quel pourcentage des étudiants a entre 18 et 20 ans (18 age < 20)? 6. Quel pourcentage des étudiants a plus de 19 ans (>)? 7. Quel pourcentage des étudiants ont 19 ans (19 age < 20)? 8. Quel pourcentage des étudiants ont au moins 19.5 ans mais moins de 20 ans (19.5 age < 20)? Cela fait combien d étudiants? Comparez avec les données de la série statistique. Que constatez-vous? 9. Si vous choisissez une division en classes qui vous donne une seule classe (c est un cas extrême), que deviennent les réponses aux questions 4 à 8? 10. Si vous considérez que vous avez affaire à une variable quantitative discrète, quelles sont les réponses aux questions 5 à 8? Exercice 4 (Interpolation linéaire). Soit une variable continue pour laquelle on connait les points (x i, F i ) suivants de la fonction représentant les fréquences cumulées croissantes de la distribution statistique : (1, 0.1), (3, 0.2), (6, 0.7), (7, 0.75), (10, 1). On vous demande de trouver par interpolation linéaire le x ou le F(x) en fonction de la question posée. 1. Que vaut F(x) si x = 2.5? 2. Que vaut F(x) si x = 8.1? 3. Que vaut F(x) si x = 0.05? 4. Quel est le x pour lequel F(x) = 0.5? 5. Quel est le x pour lequel F(x) = 0.25? 2.2 Paramètres statistiques Les exercices de cette section portent sur les paramètres statistiques de tendance centrale et de dispersion. Exercice 5 (Calcul de paramètres de position et de dispersion). Calculez la moyenne arithmétique, le ou les modes, la médiane, l étendue et l écart-type des séries statistiques des exercices 1, 2 et 3. Si vous avez utilisé un groupement en classes, calculez les mêmes paramètres sur base de vos classes. Comparez les résultats. Pour les exercices 2 et 3 on vous conseille de vous aider d un logiciel comme Excel pour déterminer la moyenne et l écart-type de la population. Construisez la valeur de l écart-type à l aide de la formule vue au cours et comparez avec le résultat fourni par Excel. Exercice 6 (Aplatissements). 1. Soit la distribution représentée graphiquement à la figure 2.1. La série statistique contient un grand nombre de valeurs et l histogramme a été approximé par une courbe continue. On a les valeurs de la variable en abscisse et la fréquence en ordonnée. Dans le cas d un aplatissement à gauche important (left skewed), quel sera l ordre relatif (<, >,, ) entre la moyenne arithmétique, le mode et la médiane. 2. Et dans le cas d un aplatissement à droite? 3. Et si la courbe présente une symétrie parfaite? 4. Inventez une distribution statistique qui présente un aplatissement à gauche important comme on peut le voir sur le graphique ci-dessous. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

7 2. Statistiques 2.3. Ajustement et corrélation L. Kuty Figure 2.1 Distribution statistique avec un aplatissement à gauche (lef tskewed) Exercice 7 (Sensibilité des paramètres à des transformations). Comment les paramètres de moyenne, médiane, écart-type, mode et étendue évoluent lorsqu on réalise les opérations ci-dessous. Testez vos prédictions sur la série statistique suivante : 10, 7, 13, 9, 11. On peut répondre aux deux questions en même temps si on transforme chaque x i en ax i + b. 1. On ajoute une constante b à toutes les valeurs x i de la série statistique. 2. On multiplie toutes les valeurs x i de la série statistique par une constante a. 3. Imaginez une distribution statistique (x i, n i ). Répondez aux deux questions précédentes si on modifie les x i en additionnant b ou en multipliant par a. 2.3 Ajustement et corrélation Exercice 8 (Ajustement par la méthode de Mayer). Utilisez l ajustement par la méthode de Mayer pour trouver l équation de la droite qui approxime les points définis par le quartet 3 de Anscombe. Les données sont les suivantes : (10, 7.46), (8, 6.77), (13, 12.74), (9, 7.11), (11, 7.81), (14, 8.84), (6, 6.08), (4, 5.39), (12, 8.15), (7, 6.42), (5, 5.73). Faites une représentation graphique du jeu de données et de votre droite. Exercice 9 (Ajustement par la méthode des moindres carrés). Utilisez l ajustement par la méthode des moindres carrés pour trouver les équations des droites qui approximent les points définis par les quartets 3 et 4 de Anscombe. On arrondit les moyennes à 2 décimales, le a de la droite de régression à 2 décimales et le b de la droite de régression à 3 décimales. Les données sont les suivantes : Quartet 3 : (10, 7.46), (8, 6.77), (13, 12.74), (9, 7.11), (11, 7.81), (14, 8.84), (6, 6.08), (4, 5.39), (12, 8.15), (7, 6.42), (5, 5.73). Quartet 4 : (8, 6.58), (8, 5.76), (8, 7.71), (8, 8.84), (8, 8.47), (8, 7.04), (8, 5.25), (19, 12.5), (8, 5.56), (8, 7.91), (8, 6.89). Faites une représentation graphique des deux jeux de données ainsi que de vos droites. Quelle conclusion pouvez-vous en tirer? Exercice 10 (Ajustement par la méthode des moindres carrés). Soient les notes de 10 élèves dans deux cours représentées par les variables X et Y. Elèves e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 X Y Calculez le coefficient de corrélation linéaire r(x, Y ). Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

8 2. Statistiques 2.3. Ajustement et corrélation L. Kuty 2. Représentez le nuage de 10 points et tracez la droite des moindres carrés. 3. Que vaut le coefficient de corrélation linéaire si on exclut l élève e 10? 4. Représentez le nuage de 9 points et tracez la droite des moindres carrés sans e Quelle conclusion peut-on tirer à propos des données des 10 élèves? Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

9 Chapitre 3 Probabilités 3.1 Analyse combinatoire et notions de probabilités Exercice 11 (Jours de pluie). Vous enregistrez le nombre de jours de pluie pendant une semaine quelconque. Quels sont : 1. L univers Ω 2. Un des résultats ω 3. L évènement qu il pleuve plus de jours que le contraire Exercice 12 (Liste d expériences). Voici une liste d expériences, chacune avec un évènement associé. Dans chaque cas écrivez un univers Ω qui convient et définissez l évènement en question en fonction des éléments de Ω. 1. Deux dés sont jetés ; leur somme est ampoules sont testées ; au plus 4 sont défectueuses. 3. Une famille est composée de 3 enfants ; ils sont tous du même sexe. 4. La hauteur d un arbre est enregistrée au mètre près ; elle est entre 10 et 15 mètres. 5. Batman et Robin sont pesés au kilo près ; Batman est plus lourd. Exercice 13 (Pièce lancée n fois). Si une pièce est lancée n fois, quelle est la probabilité qu elle tombe du même côté à chaque fois? Exercice 14 (Jet de 3 dés). Trois dés sont lancés et leur total est calculé. Y a-t-il plus de chance d avoir 9 que 10, ou le contraire? Exercice 15 (Point dans un triangle). Vous choisissez un point P au hasard dans un triangle ABC. Quelle est la probabilité qu il soit dans ABD où D se situe sur le côté BC? Exercice 16 (Point dans un cercle). Vous choisissez un point aléatoirement dans un cercle. Quelle est la probabilité qu il soit plus proche du centre que de la circonférence? Exercice 17 (Avant-dernière boule dans une urne). Une urne contient b boules blanches et n boules noires. Vous les retirez une par une sans les regarder. Quelle est la probabilité que l avant-dernière boule soit blanche? Exercice 18 (Quatre ou vingt-quatre jets d un dé). Lequel de ces deux évènements est le plus probable? 1. Quatre jets d un dé montrent au moins un 6. 9

10 3. Probabilités 3.1. Analyse combinatoire et notions de probabilités L. Kuty 2. Vingt-quatre jets de deux dés montrent au moins une paire de 6. Exercice Quelle est la probabilité d avoir au moins un six lorsque 6 dés sont lancés? 2. Quelle est la probabilité d avoir au moins deux six lorsque 12 dés sont lancés? Exercice 20 (Rangement de livres). Quatre livres de mathématiques différents, six livres de physique différents et deux livres de chimie différents doivent être disposés sur une étagère. De combien de manière peut-on le faire si : 1. Il n y a aucune contrainte. On peut les diposer comme on le souhaite. 2. Les livres d un sujet (une matière) doivent tous être ensemble? 3. Uniquement les livres de mathématiques doivent être ensemble Exercice 21 (Places assises). De combien de manières peut-on : 1. Assoir 10 personnes sur un banc sur lequel il n y a que 4 places disponibles? 2. Assoir 5 hommes et 4 femmes si les femmes doivent occuper les places paires? Exercice 22 (Les jurés). Un jury de trois personnes a deux membres qui ont indépendamment une probabilité p de prendre la bonne décision et un troisième membre qui lance une pièce pour chaque décision à prendre. On considère que le choix effectué par le jury est déterminé par la majorité. Un autre jury constitué d une seule personne a la probabilité p de prendre la bonne décision. Quel jury a la meilleure probabilité de prendre la bonne décision? Exercice 23 (Vrais-Faux). Répondez aux questions ci-dessous par vrai ou faux. Vous devez être capable de justifier vos choix. Cet exercice provient de [1, p. 164]. 1. L univers d une expérience est l ensemble de tous les résultats possibles de l expérience. 2. Un événement est un sous-ensemble de l univers. 3. La probabilité d un événement est une mesure de la vraisemblance que l événement ne se réalise pas. 4. Si on lance une pièce 100 fois et qu on observe 50 faces, on peut estimer que la probabilité d avoir face est de 50%. Cette estimation est connue sous le nom de loi des grands nombres (LLN). 5. Dans l interprétation classique des probabilités, il n est pas nécessaire de faire l hypothèse que les résultats de l univers sont équiprobables. 6. Si deux événements A et B sont indépendants, alors P(A B) P(A). 7. Deux événements sont mutuellement exclusifs si la realisation de l un dépend de la réalisation de l autre. 8. Si deux événements A et B sont indépendants, alors la probabilité qu ils se réalisent tous les deux P(A B) est la somme de leurs probabilités respectives. 9. Deux événements A et B sont dépendants si P(A B) P(A). 10. Dans un diagramme de Venn, l intersection de deux événements indique que les deux événements ne sont pas mutuellement exclusifs. 11. Si deux événements sont mutuellement exclusifs alors ils sont indépendants. 12. Le complément d un événement et l événement lui-même sont mutuellement exclusifs. 13. La probabilité d un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 inclus. 14. En tirant une carte d un jeu de 52 cartes classique, l événement choisir une dame et l événement choisir un roi sont mutuellement exclusifs. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

11 3. Probabilités 3.1. Analyse combinatoire et notions de probabilités L. Kuty 15. Les résultats d un événement et son complément forment l univers entier si on les prend ensemble. 16. Si un dé à 6 faces est jeté, alors le complément de avoir un nombre pair est l ensemble {2, 4, 6}. 17. Un univers est une liste de tous les résultats possibles d une expérience. 18. Deux événements sont mutuellement exclusifs si ils ne peuvent pas tous les deux se produirent en même temps. 19. Si deux événements A et B sont indépendants, alors P(A B) = P(A) P(B). 20. Si P(A B) = 0 alors les deux événements sont nécessairement indépendants. Exercice 24 (A compléter). Complétez les questions ci-dessous. Les choix possibles sont indiqués. Cet exercice provient de [1, p. 167]. 1. Si A et B sont mutuellement exclusifs, alors P(A B) doit être égal à (0, 0.5, 1). 2. La probabilité qu un événement se réalise prendra des valeurs entre (0, 0.5, 1) et (0, 0.5, 1). 3. Un événement est un/une (résultat, sous-ensemble) d un univers. 4. Si la probabilité d un événement est nulle alors il se réalisera (toujours, jamais). 5. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d un univers doit être égale à (0, 0.5, 1). 6. Si les événements A et B sont mutuellement exclusifs alors P(A B) = (P(A) + P(B), P(A) P(B)). 7. Si les événements A et B sont indépendants alors P(A B) = (P(A)+P(B), P(A) P(B)). 8. Si la probabilité qu un événement se réalise est égale à (1,0) alors l événement doit se réaliser. 9. Un univers est la collection de tous/toutes les (résultats, événements composés, événements) d une expérience. 10. Le complément d un événement A est l événement que A (se réalise, ne se réalise pas). 11. Lorsque n importe quel résultat d une expérience a la même probabilité de se produire que n importe quel autre résultat de la même expérience, on dit que les résultats sont (indépendants, mutuellement exclusifs, équiprobables). 12. Le principe des probabilités totales (règle de l addition) est utilisé lorsqu on cherche la probabilité d événements (mutuellement exclusifs, indépendants). 13. Si P(A B) = P(A) alors A et B doivent être (indépendants, dépendants). 14. Si deux événements A et B ont des probabilités non nulles et sont mutuellement exclusifs alors P(A B) doit être (0, 1, aucun des deux). 15. Lancer un dé à 6 faces et obtenir un 6 et ensuite de nouveau lancer le dé et obtenir encore un 6 est un exemple d événements (indépendants, mutuellement exclusifs). 16. Si un dé non-biaisé à 6 faces est jeté et que les résultats possibiles ont tous la même probabilité de survenir, cela est un exemple de l interprétation (classique, fréquentiste, subjectiviste) des probabilités. 17. Supposez qu on lance une pièce de monnaie non biaisée un grand nombre de fois et que nous observons le nombre de fois qu on obtient le côté pile pour pouvoir calculer la probabilité d avoir pile lors du lancer de cette pièce. Cette approche des probabilités est connue sous le nom d interprétation (fréquentiste, classique, subjectiviste). 18. Soient A et B indépendants avec les probabilités P(A) = 0.7, P(B) = 0.8 et P(A B) = 0.4. Ces probabilités sont (valides, invalides). Exercice 25 (QCM). Répondez aux questions à choix multiples ci-dessous. Cet exercice provient de [1, p. 165]. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

12 3. Probabilités 3.1. Analyse combinatoire et notions de probabilités L. Kuty 1. Si P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 et P(A B) = 0.3 alors P(A B) vaut : (a) 0.8 (b) 0.5 (c) 0.6 (d) 0 2. Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 et P(A B) = 0.9 alors P(A B) vaut : (a) Impossible (b) 0.2 (c) 0.3 (d) Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.5 et P(A B) = 0.6 alors P(A B) vaut : (a) 0.5 (b) (c) 0.4 (d) Si P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 et P(B A) = 0.3 alors P(A B) vaut : (a) 0.75 (b) 0.6 (c) 0.12 (d) Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 et P(A B) = 0.4 alors P(A B) vaut : (a) 0.78 (b) 0.12 (c) (d) Si A et B sont des événements mutuellement exclusifs et que P(A) = 0.5 et P(B) = 0.4 alors P(A B) vaut : (a) 0 (b) 0.9 (c) 0.18 (d) Si A et B sont des événements indépendants et que P(A) = 0.3 et P(B) = 0.6 alors P(A B) vaut : (a) 0.72 (b) 0.9 (c) 0.18 (d) Si A et B sont des événements indépendants et que P(A) = 0.3 et P(B) = 0.6 alors P(A B) vaut : (a) 0.9 (b) 0.18 (c) 0.5 (d) 0.72 Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

13 9. Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 et P(A B) = 0.4 alors P(A c ) vaut : (a) 0.4 (b) 0.1 (c) 0.6 (d) Si A et B sont des événements mutuellement exclusifs et que P(A) = 0.2 et P(B) = 0.7 alors P(A B) vaut : (a) 0.14 (b) 0 (c) 0.9 (d) 0.76 Exercice 26 (QCM étudiants). Répondez aux questions à choix multiples ci-dessous. Cet exercice provient de [1, p. 167]. Une enquête réalisée auprès d un groupe de 120 étudiants vivant en internat a permis de savoir que 60 d entre eux ont uniquement une chaîne hifi, 40 ont uniquement un ordinateur et 15 ont les deux dans leur chambre. Les 5 étudiants restant n ont rien. 1. Si un étudiant est choisi aléatoirement dans ce groupe, la probabilité qu un étudiant ait une chaîne hifi et un ordinateur vaut : (a) (b) (c) (d) Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

14 Chapitre 4 Solutions Solution La population est constituée des individus dont on étudiera une particularité qui sera le caractère statistique. Notre attention se portera sur la quantité de RAM donc l individu est l ordinateur. La population est constituée des ordinateurs de bureau d informaticiens. 2. Le caractère statistique est la quantité de RAM. 3. C est une variable quantitative discrète. On peut additionner les nombres donc c est quantitatif et elle est discrète car le nombre de valeurs différentes est faible, à savoir 3 (4, 8 et 16). 4. La distribution indique comment les valeurs (les x i ) sont distribués (se répartissent). On peut exprimer cela à l aide d un ensemble de paires (x i, n i ) : (4, 10), (8, 6), (16, 4). Cela se retrouvera également dans les deux premières colonnes du tableau statistique. 5. i x i n i f i /20 = /20 = /20 = Nous choisissons un diagramme en bâtons (bar chart) d une certaine largeur visible à la figure 4.1. Solution Les ordinateurs de bureau d informaticiens. 2. La capacité de stockage en TB. 3. Il y a 19 valeurs différentes allant de 0.5 TB à 9.5 TB. On pourrait donc la considérer comme une variable discrète ou comme une variable continue et effectuer une classification. Partons sur l idée d une Figure 4.1 Diagramme en bâtons 14

15 classification avec un intervalle de 1 TB. On verra l impact que ça a sur les réponses aux questions suivantes. 4. Dans le tableau ci-dessous, nous avons ajouté les effectifs cumulés croissants de manière à pouvoir calculer les fréquence cumulée de manière correcte et ainsi à ce que la dernière fréquence cumulée vaille 1. Remarquez la différence pour F 7 si on n avait pas procédé ainsi ( au lieu de ) et f 7 qui aurait valu au lieu de Chaque colonne à partir de celle contenant les n i permet de calculer la colonne à sa droite. i classe n i N i F i f i Fréq décr 1 [0, 1[ [1, 2[ [2, 3[ [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7[ [7, 8[ [8, 9[ [9, 10[ Il s agit de la fréquence cumulée décroissante de la classe 5 de manière à l inclure dans le compte effectué (> ou égal). La réponse est donc %. 6. Il s agit de la fréquence cumulée croissante de la classe 1 (strictement inférieur à la classe 2 = inférieur ou égal à la classe 1). C est 1.05 %. 7. On cherche d abord la fréquence 4 TB. On ne dispose pas directement de l information dans le tableau. Donc a priori on ne sait pas répondre à la question. Nous allons cependant y répondre de trois façons différentes. (a) On triche et on revient aux données initiales sans utiliser le tableau statistique et on les compte. Il y en a 29 sur 95 donc une fréquence de %. Ceci est la vraie réponse. (b) On peut changer la question en < 4 TB pour pouvoir y répondre. Auquel cas, on prend la fréquence cumulée croissante de la classe 4, c est-à-dire 24.21% dont on retire ceux qui ont une valeur 1 TB (fréq cum cr) puisqu on veut uniquement ceux qui ont une valeur > 1 TB. On fait donc = 23.16%. Avec cette manière de procéder on n a pas compté ceux qui ont 4 TB, c est-à-dire 7 individus. (c) On sait qu on avance par incréments de 0.5 TB. Cela veut dire que la classe [4, 5[ qui contient les individus possédant 4 TB, ne contient réellement que les individus ayant 4 TB et 4.5 TB. Il n y a que deux valeurs distinctes qu on peut supposer uniformément réparties (on ne sait pas faire autrement!) et donc réaliser une interpolation linéaire. On part de la réponse précédente de 23.16% à laquelle on ajoute la moitié de la fréquence de la classe 5, c est-à-dire 18.95/2 = 9.48%. Cela donne 23.16% % = 32.64%. On est plus proche de la vraie valeur mais on en a compté de trop. Pourquoi? Car il y a 7 individus qui ont 4 TB et 11 individus qui ont 4.5 TB plutôt qu une proportion moitié-moitié. 8. On prend la fréquence de la classe 1 et on interpole linéairement la fréquence de la classe 2 pour n en considérer que la moitié /2 = 4.21 %. La vraie fréquence dont le calcul est basé sur la série statistique est 7/95, ce qui donne en pourcentage 7.37%. On a donc une perte d information due à la division en classes. Solution La population est celle des étudiants de 1ère gestion. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

16 2. Le caractère statistique est l âge. 3. On a une variable continue. Quelle division en classes utiliser? A priori des amplitudes égales. On a des âges qui varient entre 17 (>) et 31 ans (<). On peut faire des intervalles d un an et avoir ainsi 14 intervalles. Dans ce cas on ne dépasse pas le maximum de 20 intervalles conseillés ce qui est acceptable. Ou on réalise des classes d amplitude plus grande en évitant d avoir trop peu de classes ( 5). Une autre indication intéressante provient des questions posées. On souhaite répondre à des questions portant sur des intervalles de 1 an en majorité avec un cas portant sur 0.5 an. Donc ça serait une bonne idée de faire 14 classes mais ça fait beaucoup de calculs. On pourrait également réduire le nombre de classes en utilisant des classes d amplitudes inégales grâce à une classe [22, 31[ par exemple. Surtout qu il n y a pas d étudiants qui ont 25, 26, 27, 28 ou 29 ans. Et qu aucune question ne porte sur cet intervalle. 4. i classe n i N i F i f i Fréq décr 1 [17, 18[ [18, 19[ [19, 20[ [20, 21[ [21, 22[ [22, 31[ Il suffit d additionner les pourcentages des classes 2 et 3. En tout généralité, s il y a beaucoup de classes, on fera F 3 F 1 ce qui donne = 49.13%. Ou = 49.13%. 6. On utilise la fréquence cumulée décroissante en choisissant la classe 4. Réponse : 45.61%. 7. Il s agit de la fréquence de la classe 3 f 3, c est-à-dire 26.32%. 8. On fait une interpolation linéaire. Il y a 26.32% d étudiants qui ont 19 ans et donc la moitié qui au moins 19.5 ans ( ) mais moins de 20 ans, c est-à-dire 13.16%. Si on regarde les données initiales avant de les avoir divisées en classes, on constate qu il n y a que 2 étudiants sur 57, c est-à-dire 3.51%. On est assez loin de la réalité. C est le prix à payer lorsqu on classifie un petit nombre d informations et/ou que la répartition n est pas uniforme. 9. i classe n i N i F i f i Fréq décr 1 [17, 31[ Etant donné que les informations ont été réduites à outrance, nous allons utiliser l interpolation linéaire pour répondre à toutes les questions. Cette classification n est évidemment pas une bonne idée mais vous montre justement à quoi un petit nombre de classes peut conduire. (f) Entre 18 et 20 ans, il y a 2 ans. Ceci représente 2/(31 17) = 2/14 = 14.29% de l intervalle total. Cela correspond aussi à 14.29% des effectifs et c est donc la réponse. Si on avait demandé les effectifs, on aurait pris 14.29% des 57 observations, à savoir , c est-à-dire 8 individus. (g) Entre 20 et 31 ans (> 19 ans), il y a 11 ans, ce qui représente 11/14 = 78.57% de l intervalle et donc des observations. (h) Entre 19 et 20 ans, il y a 1 an, ce qui représente 1/14 = 7.14% de l intervalle et donc des observations. (i) Entre 19.5 et 20 ans, il y a 0.5 an, ce qui représente 0.5/14 = 3.57% de l intervalle et donc des observations. 10. On revient aux données initiales pour calculer les vraies valeurs. Le plus simple étant de les trier dans un logicial comme Excel ce qui permet de compter les lignes facilement. Ou d en disposer déjà triées sur papier, ce qui nous facilitera la vie , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 19.17, , , Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

17 19.392, , , , , , , , 20.43, , , , , , , , , 21.12, , , , , , , , , , , , , (f) Entre 18 et 20 ans, il y a 28 individus. Ceci représente 28/57 = 49.12% des observations. (g) Entre 20 et 31 ans (> 19 ans), il y a 26 individus, ce qui représente 26/57 = 45.61% des observations. (h) Il y a 15 individus qui ont 19 ans c est-à-dire 26.32%. (i) Il y a 2 individus entre 19.5 et 20 ans, c est-à-dire 3.51%. On remarque que la plupart des réponses calculées à l aide d une seule classe sont fausses. Les données calculées en utilisant des classes dont l intervalle est 1 an sont pour la plupart correctes, ce qui est logique étant donné le type des questions posées. Solution x = 2.5. Il est donc situé entre les observations x 1 = 1 et x 2 = 3 dont le F vaut resp. 0.1 et 0.2. La longueur de l intervalle que l on considère sur l axe des abscisses (celui des x) qui va de 1 à 3 est 3 1 = 2. L observation x = 2.5 se trouve où dans cet intervalle (nombre entre 0 et 1)? Le nombre 2.5 est à une distance = 1.5 du début de l intervalle qui est 1. Donc cela veut dire qu on se déplace de 1.5 sur un intervalle de longueur 2 pour atteindre l observation 2.5. On se déplace donc de 1.5/2 = 0.75 fois la longueur de l intervalle ou encore 75% de la longueur de l intervalle. Cela veut dire qu on doit parcourir 75% de l intervalle pour trouver l observation 2.5. Si on parcourt la même proportion sur l intervalle de l axe des ordonnées (celui des y) en démarrant au F correspondant à l observation x 1, on arrive à la valeur recherchée qui est F(x). On démarre en F(x 1 ) = 0.1 et on se déplace de 75% de l intervalle F(x2) F(x1) = = 0.1, c est-à-dire qu on se déplace de = en partant de 0.1. On arrive donc à = Ceci est la réponse recherchée. Tout le raisonnement qu on vient de faire peut s écrire sous la forme d une seule formule : Ce qui donne numériquement : F(x) = F(x 1 ) + (F(x 2 ) F(x 1 )) x x 1 x 2 x 1 F(x) = ( ) = On cherche F(8.1). Les paires considérées sont (7, 0.75) et (10, 1). F(x) = (1 0.75) = On cherche F(0.05) est strictement inférieur à la première observation x 1 qui vaut 1. Comme on ne possède pas d observation 0.05, on ne sait pas interpoler linéairement. Donc il n y a pas de réponse. Cependant, notez que si on avait opéré un groupement en classes, on aurait très probablement eu une première classe [0, 1[ dont la fréquence et la fréquence cumulée auraient valu 0.1 et dans ce cas on aurait eu implicitement le point (0, 0) et on aurait donc pu interpoler linéairement. 4. On cherche x tel que F(x) = 0.5. Les paires considérées sont (3, 0.2) et (6, 0.7). On effectue le même style de calcul mais cette fois en partant de l axe des ordonnées. x = 3 + (6 3) = On cherche x tel que F(x) = Les paires considérées sont (3, 0.2) et (6, 0.7). x = 3 + (6 3) = 3.3 Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

18 Solution La série statistique de l exercice 1.1 est constituée de 20 observation : On peut utiliser la distribution statistique (4, 10), (8, 6), (16, 4) pour calculer la moyenne ou le faire directement à partir de la série statistique. Les formules sont indiquées dans le cours à la page 97 de la partie 1. La moyenne vaut 7.6 GB. En effet : µ = x 1n 1 + x 2 n 2 + x 3 n = = 7.6 n 1 + n 2 + n 3 20 Le mode est la valeur x i la plus fréquente de la série statistique ou la valeur dont l effectif de la distribution statistique est le plus élevé, c est-à-dire 4 dans notre cas. La médiane est la valeur au milieu de la série ordonnée. Il y a 20 valeurs, donc nous allons calculer la moyenne arithmétique entre les valeurs x 10 et x 11, ce qui donne (4 + 8)/2 = 6 GB. L étendue est la différente entre la valeur de la variable la plus élevée et la valeur la moins élevée, c est-à-dire 16 4 = 12 GB. Les formules de l écart-type sont données p138 de la partie 1. Pour nous simplifier la vie, nous allons utiliser celle pour laquelle nous disposons de la distribution statistique avec les effectifs. σ = ni (x i µ) 2 n = 10(4 7.6) 2 + 6(8 7.6) 2 + 4(16 7.6) 2 20 = Il y a 95 observations. Qualifions de vrais les paramètres calculés en se basant sur la série statistique tandis que les paramètres calculés sur base du groupement en classes n auront pas de qualificatif particulier. Notre division en classe utilise 10 classes dont l amplitude est fixe et vaut 1 TB. La vraie moyenne (en se basant sur la série statistique) vaut TB. Si on se base sur notre groupement en classes, on dispose du tableau statistique ci-dessous, ce qui nous permet de calculer une moyenne égale à TB/95 = TB ce qui ne diffère pas de trop de la vraie moyenne. i classe x i n i x i n i 1 [0, 1[ [1, 2[ [2, 3[ [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7[ [7, 8[ [8, 9[ [9, 10[ Le vrai mode est la valeur 5.5 qui apparait 12 fois. La classe modale est la classe [5, 6[ dont l effectif est 22. La valeur centrale de la classe est également 5.5 ce qui correspond au vrai mode. La médiane est la valeur en position 96/2 = 48 car le nombre d observation 95 est impair. La valeur de la variable x 48 vaut 5 TB. Si on se base sur le tableau statistique, on a besoin des effectifs cumulés N i ou des fréquences cumulées F i pour déterminer la classe médiane. Soit le tableau ci-dessous. La classe médiane est la classe [5, 6[ puisque la fréquence cumulée croissante F i vaut 0.5 dans cette classe. On procède par interpolation linéaire pour trouver la valeur de la médiane. La valeur 0.5 est à une distance de = du début de la classe ce qui correspond à / = ou 29.53% de l intervalle. La médiane est donc = TB. La différence avec la vraie médiane est faible. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

19 i classe n i N i F i f i 1 [0, 1[ [1, 2[ [2, 3[ [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7[ [7, 8[ [8, 9[ [9, 10[ La vraie étendue vaut 9 TB. On calcule le vrai écart-type avec un logiciel comme Excel (en se basant sur la série statistique). La valeur est Si on se base sur les classes, on utilise les valeurs centrales des classes et la moyenne TB. On trouve TB comme valeur de l écart-type, c est-à-dire /95. Cfr. tableau ci-dessous. i classe x i n i x i µ (x i µ) 2 n i (x i µ) 2 1 [0, 1[ [1, 2[ [2, 3[ [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7[ [7, 8[ [8, 9[ [9, 10[ L opération de groupement en classes n a pas affecté les résultats de manière significative. Par conséquent on dispose de paramètres exploitables car représentatifs de la série statistique originale. Il y a 57 observations. Qualifions de vrais les paramètres calculés en se basant sur la série statistique tandis que les paramètres calculés sur base du groupement en classes n auront pas de qualificatif particulier. La vraie moyenne vaut Si on effectue un groupement en classes, on a le tableau statistique ci-dessous. Et la moyenne vaut dans ce cas /57 = i classe n i x i n i x i 1 [17, 18[ [18, 19[ [19, 20[ [20, 21[ [21, 22[ [22, 31[ La classe modale est [19, 20[ et donc le mode vaut Il n y a pas de vrai mode puisque la variable est continue par nature. La médiane est la valeur en position (57 + 1)/2 = 29, c est-à-dire x 58 = Si on calcule la médiane en se basant sur les classes, on fait une interpolation linéaire dans la classe modale [19, 20[. La valeur 0.5 est Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

20 à une distance de = du début de la classe ce qui correspond à / = ou 83.32% de l intervalle. La médiane vaut (19 18) = ans. i classe n i N i F i f i 1 [17, 18[ [18, 19[ [19, 20[ [20, 21[ [21, 22[ [22, 31[ L étendue est ou en se basant sur les classes = 9, ce qui n est pas assez précis dans ce cas. L écart-type vaut ans. Si on se base sur les classes, on utilise les valeurs centrales des classes et la moyenne L écart-type vaut /57 = i classe x i n i x i µ (x i µ) 2 n i (x i µ) 2 1 [17, 18[ [18, 19[ [19, 20[ [20, 21[ [21, 22[ [22, 31[ Solution Nous savons que la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes contrairement à la médiane. Le mode est la valeur la plus fréquente de la variable, c est-à-dire sur le graphique le point x qui correspond au sommet de la courbe. La moyenne sera un peu déplacée vers la droite étant donné la présence de valeurs extrêmes à gauche (outliers). On sait donc déjà que moyenne < mode. Où se situe la médiane? Si la courbe étant parfaitement symétrique, la médiane aurait la même valeur que le mode mais on a ajouté quelques valeurs extrêmes à gauche ce qui a déplacé le mode vers la gauche mais nettement moins fortement que la moyenne. On a donc : moyenne médiane mode. 2. On aurait mode médiane moyenne par un raisonnement similaire. 3. Si la symétrie est parfaite, on a mode = médiane = moyenne 4. La moyenne vaut et la médiane 8. i n i x i Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

21 Solution 7. Les calculs qui suivent répondent à la question 3. Nous utilisons ensuite ces résultats pour répondre aux questions 1 et 2. La moyenne µ vaut xi n. Donc si chaque x i subit une transformation linéaire ax i + b, la moyenne axi +b n = a x i +nb n devient = aµ + b. La moyenne subit donc la même transformation. Etant donné que la médiane est une des valeurs x i ou la moyenne arithmétique de deux valeurs consécutives, elle subit la même transformation. Même raisonnement pour le mode. L étendue, si les valeurs sont ordonnées en ordre croissant, est x n x 1 c est-à-dire après transformation ax n + b ax 1 b = a(x n x 1 ). Donc l étendue subit une transformation par le facteur a uniquement. L écart-type σ vaut (xi µ) 2 n (axi +b aµ b) 2 n = a 2 (x i µ) 2 n et comme chaque x i subit une transformation linéaire ax i +b, l écart-type (xi µ) 2 devient = a n par le facteur a uniquement. Soit la série 10, 7, 13, 9, 11. Ses paramètres sont : Moyenne : 10 Médiane : 10 Mode : il n y pas de mode unique. Chaque valeur x i est un mode. Ecart-Type : 2 Etendue : 6 = aσ. Donc l écart-type subit une transformation Imaginons qu on la transforme par f(x) = 3x Cela répond aux questions 1 et 2. La série devient : 40, 31, 49, 37, 43. Moyenne : 40. Cela est bien Médiane : 40. Cela est bien Mode : il n y a pas de mode unique. Chaque valeur x i est un mode. Ecart-Type : 6. Cela est bien 3 2. Etendue : 18. Cela est bien 3 6. Solution 8. Soient les données (10, 7.46), (8, 6.77), (13, 12.74), (9, 7.11), (11, 7.81), (14, 8.84), (6, 6.08), (4, 5.39), (12, 8.15), (7, 6.42), (5, 5.73). On les trie sur les valeurs en x ce qui donne la série (4, 5.39), (5, 5.73), (6, 6.08), (7, 6.42), (8, 6.77), (9, 7.11), (10, 7.46), (11, 7.81), (12, 8.15), (13, 12.74), (14, 8.84). Il y a 11 paires. On choisit de les partager en deux séquences de 5 et 6 paires (ou de 6 et 5 paires). Cela donne : 1. (4, 5.39), (5, 5.73), (6, 6.08), (7, 6.42), (8, 6.77) 2. (9, 7.11), (10, 7.46), (11, 7.81), (12, 8.15), (13, 12.74), (14, 8.84) On calcule le point P 1 en prenant la moyennes des coordonnées en x de la série 1 comme coordonnée en x et la moyenne des coordonnées en y de la série 1 comme coordonnée en y. On fait de même pour P 2 avec la série 2. Cela donne les points P 1 = (x 1, y 1 ) = (6, 6.078) et P 2 = (x 2, y 2 ) = (11, 8.654). On détermine ensuite l équation de la droite passant par ces deux points en utilisant l équation y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ), ce qui donne f(x) = x La représentation graphique se trouve à la figure 4.2. Solution 9. Les formules se trouvent dans la partie 2 de statistiques à la page 28. On a : a = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 b = ȳ a x Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

22 P 2 6 P Figure 4.2 Droite de Mayer Pour le quartet 3, on a les données suivantes : (10, 7.46), (8, 6.77), (13, 12.74), (9, 7.11), (11, 7.81), (14, 8.84), (6, 6.08), (4, 5.39), (12, 8.15), (7, 6.42), (5, 5.73). La moyenne des x notée x vaut 9 et la moyenne des y notée ȳ vaut 7.5. A l aide d un tableau, on peut calculer les valeurs dont nous avons besoin pour trouver les paramètres a et b. D après les calculs effectués dans le tableau ci-dessous, on a a = 54.97/110 = 0.5. Dans ce cas, b = = 3. L équation de la droite est 0.5x + 3. Celle-ci est représentée avec les données du quartet à la figure 4.4. i x i y i x i x y i ȳ (x i x)(y i ȳ) (x i x) Pour le quartet 4, on a les données suivantes : (8, 6.58), (8, 5.76), (8, 7.71), (8, 8.84), (8, 8.47), (8, 7.04), (8, 5.25), (19, 12.5), (8, 5.56), (8, 7.91), (8, 6.89). La moyenne des x notée x vaut 9 et la moyenne des y notée ȳ vaut 7.5. A l aide d un tableau, on peut calculer les valeurs dont nous avons besoin pour trouver les paramètres a et b. D après les calculs effectués dans le tableau ci-dessous, on a a = 54.99/110 = 0.5. Dans ce cas, b = = 3. L équation de la droite est 0.5x + 3. Celle-ci est représentée avec les données du quartet à la figure 4.4. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

23 Figure 4.3 Quartet 3 et la droite des moindres carrés i x i y i x i x y i ȳ (x i x)(y i ȳ) (x i x) Si on compare les coefficients des deux droites, on constate qu ils sont quasiment identiques. Cela signifie que deux jeux de données très différents peuvent produire la même droite d ajustement linéaire et par conséquent que l équivalence des droites ne signifie pas que les données sont identiques. Il faut réaliser une examination graphique. C est ce que nous enseigne les quartets d Anscombe. Solution 10. On utilise les formules de la partie statistiques 2 page 40 pour calculer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire et l équation de la droite des moindres carrés de la page 45. ( ) 1 n cov(x, Y ) = x i y i xȳ n i=1 r(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y y ȳ = cov(x, Y ) (x x) var(x) Nous allons utiliser un tableau statistique pour calculer ce dont nous avons besoin. La moyenne des valeurs prises par la variable X (x i ) appelée x vaut 117/10 = De la même manière, ȳ = 85/10 = 8.5. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

24 Figure 4.4 Quartet 4 et la droite des moindres carrés i x i y i x i y i x i x (x i x) 2 y i ȳ (y i ȳ) On a les valeurs suivantes : X : moyenne = 11.7, écart-type = 110.1/10 = , variance : = Y : moyenne = 8.5, écart-type = 226.5/10 = Nous n avons pas besoin de la variance. Covariance = 1038/ = r = = L équation de la droite des moindres carrés est : Ou encore : 2. Cela est représenté graphiquement à la figure Si on retire l élève e 10, on a les valeurs suivantes : y ȳ = cov(x, Y ) (x x) var(x) y 8.5 = 4.35 (x 11.7) y = x X : moyenne = , écart-type = , variance : Y : moyenne = , écart-type = Exercices Mathématiques et statistiques appliquées

25 Figure 4.5 Données et ajustement par la droite des moindres carrés Covariance = r = La droite des moindres carrés devient y = x Cela est représenté graphiquement à la figure Lorsque les cotes de l élève e 10 sont présentes dans les données le coefficient de corrélation linéaire r vaut ce qui indique une absence de corrélation linéaire, ce qui est confirmé par le graphique. Après avoir retiré ses cotes, on passe à un coefficient de qui indique une forte corrélation linéaire ce qui est confirmé par le graphique. Cela veut dire que la paire de cotes (6, 17) a une forte influence sur la présence ou l absence de corrélation linéaire et par conséquent on doit conclure à : Une absence de corrélation lorsqu on considère les 10 élèves. L influence forte d un seul point nous amène à vérifier si les données de ce point sont correctes. Nous ne savons pas le faire dans ce cas-ci car nous ne disposons pas de la procédure utilisée pour collecter les données mais nous savons cependant qu il faut vérifier si les données de l élève 10 sont correctes. Solution Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 2. N importe quel ω (un des éléments de Ω) comme par exemple E = {4, 5, 6, 7}. Solution On peut indiquer de manière exhaustive toutes les paires possibles (36). Dans ce cas, on a Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)} et E = {(1, 2), (2, 1)}. Ou on peut placer le focus sur la somme, ce qui donne Ω = {2, 3, 4,..., 12} et E = {3}. 2. On choisit d exprimer avec Ω le nombre d ampoules défectueuses. Ω = {0, 1, 2,..., 100} et E = {0, 1, 2, 3, 4}. On pourrait être tenté d expliciter toutes les combinaisons possibles mais remarquez qu il y a deux possibilités par ampoules et donc un total de résultats possibles. Cela rend leur énumération impossible et même difficile à condenser. Exercices Mathématiques et statistiques appliquées