A. 1. Définitions 96/154. Cas particuliers

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1 I II III IV V VI VII VIII Cours de Mathématiques IUT Orsay DUT INFORMATIQUE A - Semestre 0-0 Introduction Wims Calcul ensembliste Relations binaires, applications Logique Raisonnements par récurrence, suites récurrentes Calcul matriciel Résolution de systèmes d équations linéaires Partie VII : Matrices A Généralités s Matrices Particulières Égalité de deux matrices Transposée d une matrice B Opérations sur les matrices Addition de deux matrices Multiplication d une matrice par un réel λ Multiplication de deux matrices C Matrices et systèmes linéaires D Matrice et application linéaire associée E Matrices carrées Généralités Matrices inversibles F Déterminant Déterminant d une matrice de taille, Déterminant d une matrice, : formule récursive Déterminant d une matrice n, n : formule récursive Comatrice, déterminants et inversion de matrice 95/54 A Généralités A s Quelques applications du calcul matriciel Opérations sur les relations binaires (matrice d adjacence d une relation) Suites récurrentes doubles Outil de l algèbre linéaire Résolution de systèmes linéaires Représentation de transformations géométriques Infographie, robotique Une matrice réelle est un tableau dont les éléments (ou les coefficients) sont des réels Si n est le nombre de lignes et p le nombre de colonnes de ce tableau, on dit que la matrice est une matrice (de taille) n, p et on note M n,p l ensemble des matrices réelles, de taille n, p Les coefficients de la matrice sont les réels a ij =(A) ij le premier indice i est l indice de ligne le deuxième indice j est l indice de colonne Une matrice n lignes, p colonnes comporte np coefficients 96/54 97/54 Écritures d une matrice n, p Cas particuliers a a a n a p a a a n a p a n a n a nn a np ou (a ij ) i n, j p ou (a ij ) ij lorsqu il n y a pas de confusion possible Si n = p, on dit que la matrice est carrée et on note M n l ensemble M n,n des matrices carrées de taille n, n I = M 0 I = 0 0 M 0 0 a a a a a M a a a a a M a a a 98/54 99/54

2 Si n =, on dit que l on a une matrice ligne 7 5 M,4 Si p =, on dit que l on a une matrice colonne On identifie 7 M 4, X = 5 x x R n = M n, M, A Matrices Particulières Matrices diagonales a ij = 0 si i = j a = Diag(a,, a n ) M n,p 0 0 a n 0 0 Matrices triangulaires supérieures a ij = 0 si i > j a a a p 0 an p M n,p 0 0 a nn a np Matrices triangulaires inférieures a ij = 0 si i < j 00/54 0/54 A Égalité de deux matrices Deux matrices A et B sont égales si elles sont de même taille et si pour tout (i, j), on a a ij = b ij n 5 = 0 = = m n = m A 4 Transposée d une matrice Soit (a ij ) ij une matrice de taille n, p La matrice transposée de A, notée t (a ij ) ij, est la matrice de taille p, n avec (i, j) {,,n} {,,p}, a ij = a ji Ainsi la première colonne de A donne la première ligne de t A 4 M t 4 6 0, 6 M, 0 t ( t A)=A 0/54 0/54 B Opérations sur les matrices B Addition de deux matrices (a ij ) ij et B =(b ij ) ij sont deux matrices de même taille n, p La matrice somme de A et de B est la matrice A+B =(a ij + b ij ) ij M n,p = B Multiplication d une matrice par un réel λ La matrice λa, produit de A M n,p par le réel λ est la matrice 0 = 0 6 λ(λa ij ) ij M n,p λ = permet de définir l opposée de A : ( )A La soustraction de deux matrices A et B de même taille est alors définie par A B = A +( B) 04/54 05/54

3 Propriétés A, B, C sont trois matrices de même taille n, p λ et µ sont deux réels A + B = B + A addition commutative (A + B)+C = A +(B + C) = A + B + C addition associative A + 0 np = 0 np + A 0 np est l élément neutre de M n,p pour l addition A A +( A) =O np A est l opposée de A ( A) =A λ(a + B) =λa + λb (λµ) λ(µa) (λ + µ) λa + µa 06/54 B Multiplication de deux matrices Soit (a ij ) ij une matrice de taille n, p et B =(b ij ) ij une matrice de taille p, m On appelle produit de A par B la matrice C = AB =(c ij ) ij de taille n, m dont les coefficients sont donnés par : Remarques c ij = (i, j) {,,n} {,,m} p a ik b kj = a i b j + + a ip b pj k= c ij est le produit scalaire L i (A)C j (B) Le produit AB n est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B En particulier, la situation où AB est possible et BA impossible est fréquente 07/54 0 M, B = 0 0 M, 0 Le produit AB est défini car le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B On a AB M, et AB = = Le produit BA n est pas défini car le nombre de colonnes de B est différent du nombre de lignes de A Si (a ij ) ij M n,p et X = M p, = R p alors x Le produit AX est défini, AX M n, = R n et x a a p p AX = k= a n a = a kx k p np k= a nkx k Le produit XA n est pas défini 08/54 09/54 Remarque Attention! Si les produits AB et BA sont possibles, en général AB = BA : et B = 0 AB = 0 et B = 0 0 = B AB = 0 = B 0 0 Propriétés Soient (A, A ) (M n,p ), (B, B ) (M p,m ), C M m,r et λ R A(B + B )=AB + AB multiplication distributive à gauche par rapport à l addition (A + A )B = AB + A B multiplication distributive à droite par rapport à l addition (AB)C = A(BC) = ABC multiplication associative A(λB) =λ(ab) Propriétés de la transposée t (A + A )= t A + t A t (λa) =λ t A t (AB) = t B t A 0/54 /54

4 Diviseurs de zéro Il existe des matrices A et B, non nulles, avec AB = 0 De telles matrices s appellent des diviseurs de zéro Elément neutre pour la multiplication dans M n 0 I n = M n 0 Propriété : A M n, AI n = I n A /54 C Matrices et systèmes linéaires Données : (a ij ) M n,p et B R n Résoudre l équation matricielle AX = B c est déterminer S = {X R p ; AX = B}, l ensemble des solutions du système linéaire de n équations à p inconnues suivant : a x + a x + + a p = b (S) a n x + a n x + + a np = b n x où X = et B = b b n /54 Soit (S 0 ): AX = 0 un système linéaire homogène (X, X ) S 0, (α, α ) R, αx + α X S 0 Soit (S) : AX = B un système linéaire et (S 0 ): AX = 0 n le système linéaire homogène associé à (S) L ensemble S 0 des solutions de (S 0 ) n est pas vide car 0 p S 0 Si (S) admet une solution notée Z, alors l ensemble S des solutions de (S) est égal à S = {X 0 + Z ; X 0 S 0 } D Matrice et application linéaire associée Soit (a ij ) ij M n,p et l application associée à A définie par : Propriétés de f A R p x f A : X = f A(X) =AX (X, X ) (R p ), f A (X + X )=f A (X)+f A (X ) X R p, λ R, On dit que f A est linéaire f A (λx) =λf A (X) 4/54 5/54 Propriétés (A, B) M n,p ), f f B B (A, B) M n,p ), λ R, f A+B = f A + f B et f λ λf A A M n,p et B M p,m, AB M n,m et En effet : f A f B : R m f A f B = f AB et est définie par E Matrices carrées E Généralités Une matrice est carrée, de taille n si elle a n lignes et n colonnes Elle possède n coefficients On note M n l ensemble M n,n des matrices carrées de taille n, n A M n est symétrique si t A A M n est antisymétrique si t A A M n est orthogonale si A( t A)=( t A) I n X = x x m f A f B (X) =f A (f B (X)) = A(BX) =(AB)X A M n, f Id R n I n 6/54 Si A M n est antisymétrique, alors i {,,n}, a ii = 0 7/54

5 La somme de deux matrices symétriques de M n est symétrique Le produit d une matrice symétrique de M n par un réel est symétrique Le produit de deux matrices symétriques de M n n est en général pas symétrique La somme de deux matrices antisymétriques de M n est antisymétrique Le produit d une matrice antisymétrique de M n par un réel est antisymétrique Le produit de deux matrices antisymétriques de M n n est en général pas antisymétrique E Matrices inversibles Une matrice A M n est inversible si B M n ; B AB = I n et définition Si A est inversible, la matrice B est unique La matrice B est alors appelée matrice inverse de A Elle est notée B = A Si A et B sont deux matrices carrées inversibles de taille n, alors AB est inversible et (AB) = B A 8/54 9/54 0 Montrer que la matrice 0 0 est inversible et 0 0 calculer son inverse a b Soit Vérifier que si ad bc = 0, alors A est c d inversible et A d b = ad bc c a Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices orthogonales Inversibilité d une matrice et application linéaire associée R n x A M n et f A : X = x n AX A inversible si et seulement si l application f A est bijective Si A est inversible, l application récoproque de f A est f A = f A : R n f y A : Y = A Y y n 0/54 /54 Résumé R n x A M n et f A : X = x n AX A est inversible f A est bijective Y R n, le système AX = Y a une solution unique Si A est inversible, AX = Y X = A Y Problèmes posés Avoir des critères simples pour savoir si une matrice carrée est inversible ou pas Calcul de déterminant Calculer l inverse d un matrice carrée Résolution de système linéaire Algorithme de Gauss Calcul de A en résolvant le système AX = Y /54 /54

6 F Déterminant F Déterminant d une matrice de taille, a a Si, le déterminant de A est a a det(a) = a a a a = a a a a det(a) = 5 = 5 ( ) = det(a) = = 0 Propriétés du déterminant d une matrice, (A, B) (M ), λ R det(ab) =det(a) det(b) =det(ba) det(λa) =λ det(a) det det( t A) A est inversible si et seulement si det(a) = 0 et dans le cas où A est inversible, det A = det(a) 4/54 5/54 F Déterminant d une matrice, : formule récursive (a ij ) ij M Mineurs de A : sous-matrices A kl M obtenues à partir de A en supprimant la ligne k et la colonne l A = A 9 4 = Une matrice de taille, a 9 mineurs Cofacteurs de A : C kl =( ) k+l det(a kl ) C = 0 C = ( 5) =5 Une matrice de taille, a 9 cofacteurs 8 9 Comatrice de A : A co =(C kl ) kl M est la matrice des cofacteurs 6/54 Soient D i = a i C i + a i C i + a i C i, pour i =,, et Dj = a j C j + a j C j + a j C j, pour j =,, et définition det(a) =D = D = D = D = D = D En pratique : on choisit une ligne ou une colonne Développement suivant la i e ligne det(a) =D i Développement suivant la j e colonne det(a) =Dj 7/ Calcul par développement suivant L det(a) =D = a C + a C + a C = ( ) ( ) = ( )+5 ( ) = 0 Calcul par développement suivant C det(a) =D = a C + a C + a C = +( ) ( )6 5 = 0 8/54 Règle de Sarrus et propriétés Règle de Sarrus x y z x y z x y z det(a) =x y z + x y z + x y z (x y z + x y z + x y z ) Propriétés (A, B) (M ), λ R det(ab) =det(a) det(b) =det(ba) det(λa) =λ det(a) det det( t A) A est inversible si et seulement si det(a) = 0 et dans le cas où A est inversible, det A = det(a) 9/54

7 F Déterminant d une matrice n, n : formule récursive s (a ij ) M n Mineurs de A : sous-matrices A kl M n obtenues à partir de A en supprimant la ligne k et la colonne l Une matrice n, n a n mineurs Cofacteurs de A : C kl =( ) k+l det(a kl ) Une matrice n, n a n cofacteurs Comatrice de A : A co =(C kl ) kl M n est la matrice des cofacteurs Soit D i = a i C i + + a in C in pour i =,, n et D j = a j C j + + a nj C nj pour j =,, n et définition Matrices diagonales Si Diag(a,, a n ), alors det(a) =a a n =Π n i= a i Matrices triangulaires Si (a ij ) ij M n est triangulaire, alors det(a) =a a nn =Π n i= a ii det(a) =D = = D n = D = = D n En pratique : on choisit une ligne ou une colonne Choisir une ligne ou une colonne avec un maximum de 0! 0/54 /54 Propriétés du déterminant Soit A la matrice obtenue à partir de A en multipliant une ligne de A par un réel λ det(a )=λ det(a) (A, B) (M n ), λ R det(ab) =det(a) det(b) =det(ba) det(c,, λc i,, C n )=λ det(c,, C i,, C n ) det(λa) =λ n det(a) det det( t A) A est inversible si et seulement si det(a) = 0 Soit A la matrice obtenue à partir de A en échangeant les lignes i et j de A (i = j) det(a )= det(a) Soit A la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ligne i de A λ fois la ligne j de A (i = j) det(a )=det(a) Si deux lignes de A sont égales, alors det(a) =0 /54 /54 F 4 Comatrice, déterminants et inversion de matrice A est inversible si et seulement si det(a) = 0 et A = t A co det(a) où A co, comatrice de A est la matrice des cofacteurs A co =(C ij ) ij, C ij =( ) i+j det(a ij ) très bon critère d inversibilité ok si le calcul explicite de A n est pas trop lourd Remarque : A t A co = t A co det(a)i n 4/54