Le principe fondamental de la statique

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1 Sciences-industrielles.com Cours, exercices et corrections en SI Le principe fondamental de la statique Cours Hadrien ainier 13 septembre 2013

2 Table des matières 1 Principe fondamental de la statique pour un solide S Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique Théorème du moment statique en Sous forme torsorielle Principe fondamental de la statique pour deux solides Σ = S 1 S Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique Démonstration Théorème du moment statique en Sous forme torsorielle Principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides Σ = S i Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique Théorème du moment statique en Sous forme torsorielle pplication à un solide soumis à 2 glisseurs (i.e 2 forces pas de moment) Théorème Démonstration Remarque pplication à un solide soumis à 3 glisseurs (i.e 3 forces pas de moment) Théorème Démonstration Remarque ilan Principe fondamental de la statique pour un solide S Sous forme vectorielle Sous forme torsorielle Principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides Σ = S i Sous forme vectorielle Sous forme torsorielle pplication à un solide soumis à 2 glisseurs (i.e 2 forces pas de moment) pplication à un solide soumis à 3 glisseurs (i.e 3 forces pas de moment) Remarque /9

3 Le principe fondamental de la statique Introduction Le principe fondamental de la statique est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique qui sera vu en deuxième année. Pour un solide S : Principe fondamental de la dynamique ma(g S/R) Fext S δ( S/R) M,ext S Principe fondamental de la statique 0 Fext S 0 M,ext S 1 Principe fondamental de la statique pour un solide S 1.1 Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique 0 Fext S Théorème du moment statique en 0 M,ext S 1.2 Sous forme torsorielle { 0 0 { F ext S M (Fext S) (1) 2 Principe fondamental de la statique pour deux solides Σ = S 1 S2 2.1 Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique 0 Fext Σ 3/9

4 2.1.2 Démonstration On applique le théorème de la résultante statique à S 1 en distinguant les efforts de S 2 sur S 1 et les efforts de l extérieur de Σ sur S 1 : 0 = F S2 S 1 + F ext S1 On applique le théorème de la résultante statique à S 2 en distinguant les efforts de S 1 sur S 2 et les efforts de l extérieur de Σ sur S 2 : 0 = F S1 S 2 + F ext S2 On fait la somme : 0 = F S2 S 1 + F ext 1 + F S1 S 2 + F ext S2 On tient compte de la troisième loi de Newton : F S2 S 1 = F S1 S 2 On a donc : 0 Fext Σ Théorème du moment statique en 0 M,ext Σ On applique le théorème du moment statique à S 1 en en distinguant les efforts de S 2 sur S 1 et les efforts de l extérieur de Σ sur S 1 : 0 = M,S2 S 1 + M,ext S1 On applique le théorème du moment statique à S 2 en en distinguant les efforts de S 1 sur S 2 et les efforts de l extérieur de Σ sur S 2 : On fait la somme : 0 = M,S1 S 2 + M,ext S2 0 = M,S2 S 1 + M,ext S1 + M,S1 S 2 + M,ext S2 On tient compte de la troisième loi de Newton : M,S2 S 1 = M,S1 S 2 On a donc : 0 M,ext Σ 2.2 Sous forme torsorielle { 0 0 { F ext Σ M (Fext Σ) (2) 4/9

5 3 Principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides Σ = S i On a exactement le même résultat que pour deux solides, la démonstration est rigoureusement identique mais les notations deviennent pénibles. 3.1 Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique 0 Fext Σ Théorème du moment statique en 0 M,ext Σ 3.2 Sous forme torsorielle { 0 0 { F ext Σ M (Fext Σ) (3) 4 pplication à un solide soumis à 2 glisseurs (i.e 2 forces pas de moment) 4.1 Théorème Pour un solide soumis à 2 glisseurs les forces sont de norme égale, opposés et dans la direction des points d application. 4.2 Démonstration priori les efforts sont quelconques on a : F2,ext S F1,ext S 5/9

6 Montrons que les efforts sont de norme égale, et opposés. On applique le théorème de la résultante statique : donc On a donc des efforts opposés, on a : F 1,ext S + F 2,ext S =0 F 1,ext S = F 2,ext S F2,ext S F1,ext S 0) Montrons que les efforts sont dans la direction des points d application. On applique le théorème du moment statique au solides exprimé au point(i.e : M,ext S = M,F1 S + M,F2 S =0 F 1,ext S + F 2,ext S =0 F 2,ext S =0 Pour que le produit vectoriel F 2,ext S =0 soit nul il faut que F 2,ext S soit colinéaire à Conclusion F 2,ext S est suivant la direction. On a l une des configurations suivantes : F1,ext S F2,ext S soit F1,ext S F2,ext S 4.3 Remarque La forme du solide S ne joue pas dans la direction ou la norme des efforts : F1,ext S F2,ext S 6/9

7 5 pplication à un solide soumis à 3 glisseurs (i.e 3 forces pas de moment) 5.1 Théorème Pour un solide soumis à 3 forces les forces sont dans le même plan et elles sont : soit colinéaires soit concourantes en un même point Démonstration priori les efforts sont quelconques, montrons que les efforts sont coplanaires. On applique le théorème de la résultante statique (i.e Fext S =0) F 1,ext S + F 2,ext S + F 3,ext S =0 donc : F 3,ext S = F 1,ext S F 2,ext S Les vecteurs F 1,ext S, F 2,ext S, F 3,ext S sont donc coplanaires. F 3,ext S C F 1,ext S F 2,ext S Comme les vecteurs sont coplanaires on peut maintenant travailler dans le plan, on a alors deux configurations possibles : 7/9

8 (, F 2,ext S ) et (C, F 3,ext S ) ne se coupent pas (, F 2,ext S ) et (C, F 3,ext S ) se coupent en D F 3,ext S C F 3,ext S C F 1,ext S F 2,ext S F 1,ext S F 2,ext S Montrons que dans le cas où (, F 2,ext S ) et (C, F 3,ext S ) se coupent en D les efforts sont concourants en D. On écrit le théorème du moment statique en D (i.e M,ext S =0 ) D F 1,ext S + D F 2,ext S + DC F 3,ext S D est le point d intersection de (, F 2,ext S ) et (C, F 3,ext S ) donc D F 2,ext S = 0 et DC F 3,ext S =0 On a donc : D F 1,ext S + D F 2,ext S + DC F 3,ext S =0 D F 1,ext S =0 F 1,ext S est colinéaire à D autrement dit la droite (, F 1,ext S ) passe par D Remarque Les théorèmes sur le solide S soumis à 2 ou 3 glisseurs se généralisent de la même façon à un ensemble de solides Σ = S i. Pour le démontrer il suffit de reprendre la démonstration en utilisant le principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides Σ = S i. 8/9

9 6 ilan 6.1 Principe fondamental de la statique pour un solide S Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique Théorème du moment statique en 0 Fext S 0 M,ext S Sous forme torsorielle { 0 0 { F ext S M (Fext S) (4) 6.2 Principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides Σ = S i On a les mêmes théorèmes que pour un seul solide S Sous forme vectorielle Théorème de la résultante statique 0 Fext Σ Théorème du moment statique en 0 M,ext Σ Sous forme torsorielle { 0 0 { F ext Σ M (Fext Σ) (5) pplication à un solide soumis à 2 glisseurs (i.e 2 forces pas de moment) Pour un solide soumis à 2 glisseurs les forces sont opposées et dans la direction des points d application pplication à un solide soumis à 3 glisseurs (i.e 3 forces pas de moment) Pour un solide soumis à 3 forces les forces sont dans le même plan, elles sont : soit colinéaires soit concourantes en un même point Remarque Les théorèmes sur le solide S soumis à 2 ou 3 glisseurs se généralisent de la même façon à un ensemble de solides Σ = S i. 9/9