Exercice n GE Corrigé

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1 ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d exercices en Hydrologie Cours : Gestion des Eaux / Thématiue : Optimisation Exercice n GE 31 - Corrigé Logo optimisé par J.-D.Bonjour, SI-DGR ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Rentabilité économiue d un système d irrigation utilisant l'eau d'une nappe phréatiue Données de l exercice : Une feuille de calcul Excel à compléter est disponible dans le fichier «GE31_feuilledecalcul.xls». Le corrigé est aussi disponible dans le fichier «GE31_corrige.xls». Question 1. Mise en éuations du problème Détermination des annuités à payer pour le remboursement de l emprunt : n r (1 + r) Co = P n (1 + r) 1 Annuité + Coût annuel d exploitation du pompage : C( = Co + β V z = Co + β t z avec V =.t avec V : z : : t : C( : coût total de l exploitation (Frs/an) volume annuel pompé (m3) profondeur à lauelle se trouve la pompe (m) débit de pompage (m3/s) durée annuelle de pompage (s) Relation en régime permanent entre débit pompé et profondeur à lauelle se trouve la pompe : Aucune! En fait, on a une relation (h r ) en régime permanent entre le débit pompé et la hauteur de rabattement h r de la nappe dans le puit. Conclusion : pour rendre possible le pompage d un débit o donné, il suffit de positionner la pompe à une profondeur + importante ue celle définie par la hauteur de rabattement h r o critiue obtenue par la relation (h r ). La relation entre la profondeur z de la pompe et le débit pompé n est donc pas univoue et l on a un système ui est à première vue indéterminé sauf ue : étant donné ue le coût du pompage est proportionnel à la profondeur à lauelle se situe la pompe, il est nécessaire pour minimiser les coûts d exploitation du pompage de positionner la pompe le moins profondément possible avec la contrainte ue (z-zo)>h r o si l on veut assurer le débit o. Problème d optimisation 1 z tel ue C( = C( z) = Co + β z avec = o et z zo + hro soit minimum Mise à jour le GE 15 - Page 1

2 Pour assurer un débit de pompage o donné, la profondeur optimale du pompage correspond donc à z=zo+h r o et la relation (hr) devient donc la relation (z-zo) Relation (hr) Courbe caractéristiue d'un puit en régime permanent : Courbe caractéristiue du puits profondeur de rabattement débit de pompage (m3/s) Au-delà du point critiue, les apports de la nappe n arrivent plus à compenser les prélèvements par pompage. Pour la partie linéaire de la courbe : utilisation de la formule de Vibert valable pour un puits à fond et parois latérales perméables. h. H 1 = Kπ = ( z zo) avec ln( R / r) α ln( R / r) α = K π ( zs zo) avec K : perméabilité de la nappe (m/s) h : hauteur du rabattement (m) h =z-zo H : hauteur de la nappe (m) H=zs-zo R : rayon d action du puits (m) r : rayon du puits (m) z, zo, zs : profondeur de la pompe, du toit de la nappe, du substratum imperméable base de la nappe (m) Reformulation des coûts annuels : C( = Co + β t ( zo + α Relation entre le gain de la production et le débit d irrigation Le débit d irrigation à fournir pour une production optimale de la culture ( opt ) est déterminé de façon à compenser les pertes journalières par évapotranspiration évaluées grossièrement à 5mm/jour opt 4 s*1 * E TR = 1 *36 * n h avec opt : débit d irrigation optimal (par hectare irrigué) pour une production maxi (m3/s) s : surface du champ à irriguer (ha ; s = 1ha dans l exercice) ETR : évapotranspiration (mm/jour) n h : nombre d heure d irrigation par jour Mise à jour le GE 15 - Page 2

3 Détermination du gain produit par le champ (avec G( en Frs/an/ha) Fonction de gain de l exploitation par hectare irrigué G ( = a² + b + c 25 Frs Revenu = f( Les coefficients de la fonction sont déterminés ici par : le gain optimal Gopt obtenu pour le débit d irrigation optimal opt le gain obtenu sans irrigation Go On en déduit : a = Gopt Go opt ² b 2 *( Gopt Go) = c=go opt Remarue 1 : on peut aussi exprimer de façon plus synthétiue cette fonction de gain sous la forme suivante : G( = Gopt a ( opt )² Remarue 2 : dans l exercice 11 ; Go =.4 Gopt, d où simplification possible des expressions ci dessus Question 2. Optimisation Expression de la fonction objectif à maximiser pour maximiser le profit Fonction objectif = bénéfices annuels B( : [ Gopt a( opt)² ] [ Co + β t ( zo + α )] B( = G( C( = [ ] [ β ] [ β α ] B( = Gopt Co a opt² + 2 a opt t zo t + a ² [ ] [ β ] [ β α ] B( = Go Co + 2 a opt t zo t + a ² B( = ξ + ε * η * ² Problème d optimisation : S = Max avec et [ B( ] > B( > Go Mise à jour le GE 15 - Page 3

4 Détermination de l optimum de la fonction B( : Dans le cas ou le coefficient η est non nul : un optimum B( m ) uniue pour m uniue B( B' ( = = ε 2η B( optimum obtenu pour B ( m )= ce ui impliue m ε 2a opt β t zo = = 2η 2 ( a+ β t α) Qui correspond au bénéfice maximum : 1 ε ² B ( m ) = ξ + 4 η Vérification des contraintes : Les deux contraintes du problème d optimisation S sont à vérifier, à savoir : Le débit de pompage optimum doit être positif et pour ue l installation soit envisageable, le bénéfice correspondant au débit optimum déterminé par l optimisation précédente doit au moins être supérieur au bénéfice annuel obtenu sans irrigation et sans installation de pompage (i.e. sans annuité Co à rembourser) Contrainte m > Pour ue m >, il faut ε> Dans le cas contraire, la dérivée du bénéfice B ( est strictement négative pour tout > donc le bénéfice maximum sur I=[,+ [ est obtenu pour m = ; Or, B( m =)= ξ = Go - Co < Go : donc le puit est non intéressant. Contrainte B( m )>Go : Dans le cas où ε>, οn peut trouver un débit optimum positif ui conduise à un bénéfice inférieur au bénéfice ue l agriculteur pourrait faire sans irrigation et sans avoir installé de puit sur son terrain (ce ui l obligerait sinon à rembourser de toutes façon les annuités même si le puit n était pas rentable). On a ε 2a opt β t zo m = = et 2η 2 ( a+ β t α) 1 ε ² 1 (2 a opt β t zo)² B ( m ) = ξ + = Go Co+ 4 η 4 ( a+ β t α) pour ue B( m )>Go il faut 1(2 a opt β t zo)² > Co 4 ( a+ β t α) Remarues : R 1 : Toute l étude est réalisée pour un puit devant servir à l irrigation d une surface cultivée de 1ha. Le débit optimum trouvé pour un champ à irriguer de surface plus grande serait bien entendu différent du fait de la non linéarité du problème : Débit à pomper : = s. avec s= nombre d hectares Coût annuel, gain, bénéfice de l exploitation : C2 ( = Co + β s t ( zo + α s [ a + b c] G ( = s ² + 2 Mise à jour le GE 15 - Page 4

5 B( = G2 ( C2 ( R 2 : Le problème fait une approximation importante ui consiste à dire ue l on est en régime permanent et ui n est pas les cas si l on ne pompe ue 4h/jour. Donc, à priori le débit optimal et le bénéficie correspondant sont sousestimés : en effet, pendant 2h/24, la nappe a le temps de se recharger ; on pourrait donc envisager de positionner la pompe moins profondément R 3 : On pourrait aussi optimiser la durée journalière pendant lauelle on veut pomper pour compenser les pertes par évapotranspiration ETR=5mm/jour : plus la durée sera grande plus le débit à prélever sera faible, moins les coûts seront importants, et plus le bénéfice sera grand (influence par l intermédiaire de la variable opt ). Exemple : En modifiant dans le scénario 1 la durée de 4h à 8h on augmente le bénéfice de 12Frs /an. R 4 : Il peut être intéressant de prendre en compte des pertes d eau au niveau de l irrigation : 4 s*1 * (1 + w) E TR opt = avec w : % de pertes dans le système d irrigation (w=1%) 1 *36 * n h Question 3. Utilité du pompage pour les 3 configurations envisagées? Scénario 1 : sous sol = gravier K=1 e -3 + rayon d action = 2m optimum pour : Bénéfice annuel réalisé m =.3m3/s B(m)= 123Frs/an % de bénéfice supplémentaire 28% Cout-Bénéfice (Frs) Revenu culture.1 Benefice exploitation Revenu, Cout pompage et Bénéfice exploitation = f( Cout pompage Revenu sans puit Scénario 2 : sous sol = sable K=5 e -5 + rayon d action = 6m optimum pour : m =.21m3/s Bénéfice annuel réalisé B(m)= 778 Frs/an % de bénéfice supplémentaire -3 % Mise à jour le GE 15 - Page 5

6 Cout-Bénéfice (Frs) Revenu, Cout pompage et Bénéfice exploitation = f( Revenu culture Benefice exploitation Cout pompage Revenu sans puit.8 Scénario 3 : Coût du pompage β=.25frs/m3/m optimum pour : Bénéfice annuel réalisé pour débit nul % de bénéfice supplémentaire -76 % profondeur du toit de la nappe zo=8m m = -.7m3/s B(m)= 192 Frs/an Revenu, Cout pompage et Bénéfice exploitation = f( Cout-Bénéfice (Frs) Revenu culture Cout pompage Benefice exploitation Revenu sans puit Conclusions Scénario 1 : pompage intéressant permettant d augmenter les bénéfices annuels de l agriculteur Scénario 2 : pompage inintéressant : il existe un débit optimum m mais le bénéfice optimum correspondant est éuivalent (légèrement inférieur) au bénéfice réalisé sans l installation du puits (contrainte 2 non vérifiée) Scénario 3 : pompage complètement inintéressant : le débit optimum du problème obtenu pour maximiser le bénéfice est négatif (contrainte 1 non vérifiée). Les coûts d exploitation sont trop importants. Mise à jour le GE 15 - Page 6

7 Paramètres décrivant les différents scénarii Remboursement de l'installation Scénario 1 Scénario 2 Scénario 3 nombre années remboursement n années Coût initial de la construction P Frs taux d'emprunt r % Annuité Co Frs Temps et coût d'exploitation du pompage coût du pompage / m3 / m β Frs/m3/m Nbre de mois d'irrigation par an mois/an Nbre de jour d'irrigation par mois jours/mois Nbre d'heure d'irrigation par jour n h heures/jour durée annuelle d'irrigation en secondes t secondes/an coût exploitation ANNUEL du pompage / (m3/s) / m β' Frs/(m3/s)/m/an relation entre débit d'irrigation et gain produit par la culture de surface 1ha gain sans irrigation go Frs/an/ha gain maximum avec irrigation gopt Frs/an/ha débit d'irrigation pour gain maximum (=ETR) opt mm/jour opt m3/s/ha caractéristiues de la nappe profondeur du toit zo M profondeur du substratum zs M conductivité de la nappe K 1.E-3 5.E-5 1.E-3 m/s caractéristiues du pompage profondeur du pompage z inutile inutile inutile M rayon puit ro M rayon d'action du pompage R M coefficient de proportionnalité =(z-zo)/α α /α en m3/s/m Coefficients de la fonction de gain G(= -a.² + b. + c = Gopt - a (-opt)² Gopt Frs a variables intermédiaires ξ = A -Co -Bopt² ξ ε = 2 B opt -β' zo ε η = β' α + B η débit de pompage optimum pour bénéfice maximum de * m3/s l'agriculteur Bénéfice pour le débit de pompage optimum B(*) Frs/an contrainte Bénéfice > bénéfice sans irrigation B(m)- G % de bénéfice supplémentaire [B(m)- Go]/Go Frs +28% -2.9% -76 % Mise à jour le GE 15 - Page 7