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1 Chp4 lentilles C4-1 Chapitre 4 dioptres & lentilles C4.1 Réfraction par un dioptre sphérique : source ponctuelle Rappelons qu'un dioptre est constitué par deux milieux transparents d'indices de réfraction différents séparés par une surface. Si cette surface est sphérique, le dioptre est dit sphérique 1. Etudions la réfraction sur un dioptre sphérique dans les conditions de l'approximation de Gauss. Soit une surface sphérique de rayon R, de centre C séparant deux régions de l'espace d'indice de réfraction n 1 et n 2, avec n 1 < n 2. Considérons une source ponctuelle située au point P sur l axe optique. Les rayons issus de P en divergent (objet réel) et sont réfractés. Considérons le rayon passant par C (angle i = 0) : il n est pas dévié (r = 0). Soit un autre rayon incident PA faisant un angle d incidence i avec la normale AC au dioptre et un angle α avec l axe optique (α arbitraire mais suffisamment petit pour vérifier l approximation de Gauss). Après réfraction, ce rayon coupe l axe optique en P les rayons réfractés convergent en P, image réelle de P. Appelons β et γ les angles que font respectivement la normale et le rayon réfracté AP avec l axe optique et r l angle de réfraction. AIR VERRE L arc de cercle AS= βr αps γp's (car les angles [radians] sont <<). Appelons p et p respectivement les distances PS et P S. PAC: i = α + β Des considérations géométriques montrent que : PAC ' : β= r+ γ La loi de la réfraction s écrit dans l approximation des petits angles : n i= n r b g b g n1 α + β = n2 β γ n1 α + n2 γ = bn2 n1g β On établit ainsi la formule de Descartes pour la réfraction au passage d une surface sphérique: n1 n2 n2 n1 + = (4.1) p p' R dans laquelle les grandeurs p, p et R doivent être introduites avec leur signe déduit des conventions définies suivant. 1 Dioptre plan = dioptre sphérique de rayon infini.

2 Chp4 lentilles C4-2 NB Très souvent on considère les valeurs algébriques des distances repérées par rapport au sommet S (ainsi, dans le cas traité PS et P S sont de signe contraire (SP = -PS = -p) et on trouve souvent la n 2 n1 n2 n1 loi de Descartes sous la forme : = p' p R La relation (4.1) indique qu il n existe qu une seule image ponctuelle d un objet ponctuel, tant que l ouverture de la surface sphérique reste petite (approximation de Gauss). Dans la réalité, on a presque toujours à faire à des réfractions au niveau de plusieurs dioptres sphériques, au moins deux pour former une lentille dont tous les centres se trouvent sur une même droite (systèmes centrés) C4.4. C4.2 Convention de signes (dioptres) Les signes peuvent être fixés par un raisonnement physique propre au problème de la figure du C4.1 où la lumière diverge d un objet réel, tombe sur une surface convexe de réfraction et converge après réfraction pour former une image réelle : nous considérerons alors que p, p et R ont des valeurs numériques positives. Contrairement au cas des miroirs, ici l énergie lumineuse traverse la surface de réfraction et c est de l autre côté de cette surface que se formera une image réelle qui devient ainsi le côté REEL "R". Le côté d où provient la lumière incidente sera donc considéré comme le côté VIRTUEL "V" (c est le lieu où se formera une image virtuelle). Corollaire: p positif (objet réel) si les rayons divergent de l objet pour frapper la surface. Côté virtuel Image virtuelle Dioptre ou lentille mince V Côté réel Image réelle R Lumière incidente Lumière réfractée R négatif si C de ce côté p positif p' négatif R positif si C de ce côté p négatif p' positif Différents cas à étudier : n 1 < ou > n 2, surface convexe ou concave, position de P EXERCICES!!! n 1 < n 2 : surface convexe avec P proche du dioptre n 1 > n 2 : surface concave avec P éloigné du dioptre

3 Chp4 lentilles C4-3 C4.3 Dioptre plan Si la surface de réfraction est plane, son rayon de courbure R est 4. Dès lors l'équation (4.1) devient : n1 n2 n2 + = 0 p' = p p' n p (4.2) La figure ci-contre illustre la situation: un observateur femme placée dans l air voit l objet (plongeur, d où proviennent les rayons lumineux) plus proche d'un facteur : p'/p = n 2 /n 1 = n air /n eau = 1/1,33 = 0,75 Par contre, l'observateur (plongeur) placé dans l eau voit la femme (objet) dans l air, plus élevée d un facteur : n 2 /n 1 = n eau /n air = 1,33 N.B. p > 0, n 1 et n 2 > 0 p < 0 (image virtuelle). 1 C4.4 Lentilles :généralités Les lentilles se définissent comme un matériau transparent limité par deux surfaces courbes, généralement sphériques. Il existe six formes différentes de lentilles appelées : - lentille biconvexe : R 1 > 0, R 2 < 0 (a) - lentille plan-convexe: R 1 > 0, R 2 = 4 (b) - lentille concave-convexe ou ménisque convergent : R 1 < R 2 < 0 (c) - lentille biconcave: R 1 < 0, R 2 > 0 (d) - lentille plan-concave : R 1 = 4, R 2 > 0 (e) - lentille convexe-concave ou ménisque divergent: 0 < R 1 < R 2 (f) f > 0 f < 0 Les lentilles qui sont plus épaisses au centre qu à la périphérie sont des lentilles convergentes ou lentilles convexes car elles font converger des rayons parallèles, tandis que les lentilles plus épaisses sur leurs bords dispersent ou rendent divergent un faisceau de rayons parallèles ± sont appelées lentilles divergentes ou concaves (lunettes correctives de la myopie = lentilles convexes-concaves).

4 Chp4 lentilles C4-4 La figure ci-dessous schématise une lentille épaisse (c'est-à-dire dont on ne néglige pas l épaisseur e) dont les deux surfaces possèdent des rayons de courbure R 1 et R 2. Supposons que la lentille possède un indice de réfraction n et soit entourée d'air (indice de réfraction 1). Soit un objet ponctuel P 1 placé sur l axe optique, près de la surface # 1 (celle de gauche, considérant la propagation de la lumière de la gauche vers la droite). Un rayon issu de P 1 le long de l axe n'est pas dévié par les surfaces sphériques lorsqu il entre ou sort du verre, puisqu il frappe ces surfaces perpendiculairement. Un deuxième rayon quittant P 1 à un angle α quelconque, frappe la surface # 1 au point A 1, est réfracté et frappe la surface # 2 en A 2. Le rayon est réfracté une seconde fois et coupe l axe optique en P 2 qui est l image de P 1 puisqu'elle est à l'intersection des deux rayons émergeant de la lentille. Détaillons les deux étapes de réfraction aux deux surfaces # 1 et # 2 : 1/. A la surface # 1 se forme une image virtuelle de P 1 en P' 1 telle que (éq. 4.1) : n n n n air verre b verre airg + = p1 p' 1 R1 Posons n air = 1, n verre = n et tenons compte que P 1 est une image virtuelle c'est-à-dire p 1 négatif (ceci revient à introduire arbitrairement un signe moins correspondant à une image virtuelle) : 1 n bn 1g = (4.3) p' R p /. L'image (virtuelle) P 1 formée par la surface # 1 devient l'objet réel P 2 pour la surface # 2. La distance qui sépare cet objet de la surface # 2 est : p = p' + e 2 1 Appliquons l équation (4.1) à la surface # 2 (n = n, n 2 = 1 cette fois) : n = p p R p + e + p = ' ' ' R C4.5 Lentille mince 1 b ng n b ng Supposons que l épaisseur de la lentille soit négligeable vis-à-vis des autres distances (typiquement R 1 et R 2); c est l approximation de la lentille mince : e 0 n 1 n 1 + = (4.4) p' 1 p' 2 R2 1 n n 1 n 1 n 1 L addition des relations (4.3) et (4.4) donne : + + = p' p' p' R R p 1 1

5 Chp4 lentilles C4-5 b g F ' HG I KJ = n 1 p1 p 2 R1 R2 Comme les deux surfaces de réfraction sont accolées (e = 0), on ne distingue plus les indices 1 et 2 et on désigne par p la distance objet-lentille mince et p la distance lentille mince-image. Finalement, on obtient : b gf ' HG = n 1 p p R R I KJ (4.5) NB Si P 1 ' est réel (p 1 ' positif), dans ce cas e = p 1 ' + p 2 et on obtient la même formule finale. Vous pouvez vérifier.. Symboles On convient de représenter une lentille mince par un plan perpendiculaire à l axe optique passant par le centre optique C et symboliquement comme illustré ci-dessous, pour une lentille convergente (à gauche) et divergente (à droite). C4.6 Convention de signes (lentilles minces) Les signes se rapportant aux distances de l'équation (4.5) sont similaires à ceux des simples surfaces de réfraction (cf C4.2). On définit ainsi un côté réel "R" et un côté virtuel "V" par rapport à la lentille mince, se référant ainsi à la nature de l'image. V R Objet réel : p>0 Image réelle : p'>0 Objet virtuel : p<0 Image réelle : p'>0 Objet réel : p >0 Image virtuelle : p'<0 Objet virtuel : p<0 Image virtuelle : p'<0

6 Chp4 lentilles C4-6 C4.7 Foyers Cas du dioptre Le foyer objet F o d'un dioptre est la position d'un point objet de l'axe optique telle que les rayons réfractés soient parallèles à l axe optique, ce qui revient à former l'image du point à l'infini : pν = 4. La distance du foyer objet à la surface sphérique est appelée distance focale objet, et on la désigne par f o. En posant p = f o et pν = 4 dans la relation (4.1), on a : n1 n2 n1 n1 = f f R n n R o = (4.6) o 2 1 De même, si les rayons incidents sont parallèles à l axe optique, ce qui revient à considérer un objet très éloigné de la surface sphérique (p = 4), les rayons réfractés passent par un point F i sur l axe optique appelé foyer image. Dans ce cas, la distance de la surface sphérique au foyer image est appelée distance focale image et on la désigne par f i. En posant p = 4 et pν = f i dans la relation (4.1), nous avons n2 n2 n1 n2 = f f R n n R i = (4.7) i 2 1 Cas de la lentille mince Le point foyer image F i (point image d un objet à l infini) se trouve du côté R (à droite, en considérant une propagation de la lumière de la gauche vers la droite) pour une lentille convergente ou du côté V (à gauche) pour une lentille divergente. La distance focale correspondante f i (distance de F i à la lentille) est respectivement positive ou négative. Lentille convergente : points foyers réels Lentille divergente : points foyers virtuels F o F i F i F o Le point foyer objet F 0 (point objet correspondant à une image formée à l'infini) dans le cas des lentilles minces, les foyers objet et image sont situés sur les côtés opposés de la lentille et sont équidistants de celle-ci (loi du retour inverse de la lumière) : f i = f 0 = f. Pour trouver la valeur de la distance focale, on pose p = 4 dans l équation (4.5) : = bn 1g F I (4.8) f HG R1 R2KJ Cette relation porte le nom "d'équation des lunetiers" ou équation des opticiens" car elle permet de calculer la distance focale d une lentille en fonction des rayons de courbure et de l'indice de réfraction du matériau. NB important : Nous avons supposé que la lentille était placée dans l'air (n = 1). Si la lentille est placée dans un autre milieu ambiant (n milieu 1), la distance focale est alors donnée par : 1 F n IF 1 1I lentille = 1 (4.8') f n R R HG milieu KJ HG KJ

7 Chp4 lentilles C4-7 L'équation (4.5) peut se réécrire : = p p' 1 f (4.9) où f est considéré comme positif pour des lentilles convergentes et négatif pour des lentilles divergentes et où la convention de signes C4.6 s'applique pour p et p'. Cette relation porte le nom de relation de conjugaison. Lorsque le faisceau incident de rayons parallèles forme un petit angle α avec l'axe du miroir, les rayons sont focalisés en un point dans le plan focal de la lentille. Ce plan transverse est ainsi perpendiculaire à l'axe optique en F (cf. figure ). Puissance ou convergence d'une lentille Une lentille dévie d'autant plus les rayons que sa distance focale est petite. C'est pourquoi l'on mesure la puissance (aussi appelée vergence ou convergence) d'une lentille (ou d'un système optique en général) par l'inverse de sa distance focale : P = 1 (4.10) f P est positive pour les lentilles convergentes et négative pour les lentilles divergentes; elle s exprime en dioptries [Dioptrie, dpt : unité usuelle de la puissance d une lentille. 1 dpt = 1/m]. Les lunettes correctives de la vision ont des puissances comprises entre 0,5 et 5 dioptries. C4.8 Construction de l'image d'un objet étendu (lentille mince) Considérons trois rayons particuliers passant par l extrémité A de l objet. 1. Un rayon incident parallèle à l axe optique ressort de la lentille, soit directement, soit dans son prolongement en passant par le foyer image F i. 2. Un rayon incident qui passe, soit directement, soit dans son prolongement, par le foyer objet F 0 ressort de la lentille parallèlement à l axe. 3. Un rayon qui tombe sur la lentille en son centre la traverse en ligne droite (il n y a pas de déviation : on peut considérer la lentille à ce niveau comme une lame à faces parallèles infiniment mince).

8 Chp4 lentilles C4-8 C4.9 Grandissement linéaire (ou latéral) & Sur la figure précédente, on remarque que les triangles rectangles PAO et P A O sont PA ' ' PO ' p' semblables (2 3 angles égaux) = = PA PO p Par définition P'A'/PA représente le grandissement linéaire, noté g. Pour tenir compte du fait que l'image est inversée par rapport à l'objet, g sera donné par : p g = ' (4.11) p Le grandissement linéaire est positif ou négatif suivant que l image est droite ou inversée par rapport à l objet. lentille convergente La lentille convergente donne des images différentes d un même objet en fonction de la position p de l'objet dans l'espace objet : p < f, l'objet est situé entre la lentille et le foyer. Son image est agrandie, virtuelle et droite. ± loupe, oculaire d un microscope f < p < 2f, l'image est agrandie, réelle et renversée. rétroprojecteurs et projecteurs de diapositives p > 2f, l'image est plus petite que l'objet, réelle et inversée. appareils photographiques, longues-vues, objectifs-télescopes lentille divergente Pour toutes les distances objet-lentille de à 0, l image est virtuelle, droite, plus petite que l objet et située entre la lentille et le foyer. C4.10 Miroirs & lentilles minces : résumé Les formules (3.3) et (4.9) étant de parfaites répliques, elles peuvent se résumer ainsi : = ± 1 p p' f f Où f, valeur absolue de la distance focale, est toujours positive. Du côté droit de l'équation, on choisit +1 pour une lentille convergente ou un miroir concave ou 1 pour une lentille divergente ou un miroir convexe. figures ci-dessous représentent graphiquement l'équation : branches d'hyperbole. Lentilles convergentes / miroirs concaves p'/ f Lentilles divergentes / miroirs convexes (*) = grandissements p'/ f p/ f p/ f NB un objet virtuel ne peut pas produire d'image virtuelle (quadrant vide bas/gauche) NB un objet réel ne peut pas produire d'image réelle (quadrant vide haut/droite)

9 Chp4 lentilles C4-9 C4.11 Lentille épaisse : plans principaux & construction d'une image & On définit les plans principaux (objet et image) d'un système optique en général, d'une lentille épaisse en particulier, comme les plans conjugués du système pour lesquels le grandissement transversal est égal à + 1. Ces surfaces sont des plans transverses (perpendiculaires à l'axe optique); leurs positions doivent être déterminées de façon à ce que les images construites à l aide de ces plans principaux coïncident avec la réalité des images. Les points principaux sont les intersections des plans principaux (objet et image) et de l axe optique du système. Les plans principaux constituent une aide pour la construction des images : à la place des surfaces réfringentes réelles (dioptres) souvent courbes, on considère ces deux plans principaux, surfaces planes fictives sur lesquelles a lieu le changement de direction des rayons lumineux. Ceci va aider à la représentation graphique de la position de l'image donnée par le système optique appelée homographie. Plus précisément, dans le cas d'une lentille épaisse, la réfraction pourra être décrite à partir de ses deux plans principaux objet et image distincts (entre les plans principaux, les rayons se propagent parallèlement à l axe optique de la lentille épaisse). Dans le cas des lentilles minces, les plans principaux sont confondus (=lentille). Distances focales principales : F o H et H'F i construction de l'image d'un objet étendu pour une lentille épaisse Soit le point A à l'extrémité de l'objet; pour la construction du point image de A, on utilise trois rayons particuliers : 1/ Le rayon parallèle à l'axe optique se propage jusqu'au plan principal image H, puis passe par le foyer image de la lentille. 2/ Le rayon passant par le centre du plan principal objet H, (point principal objet H) continue suivant l'axe optique jusqu'au centre du plan principal image (point principal image H ) puis continue dans la direction parallèle au rayon AH AH // H A 3/ Le rayon passant par le foyer objet va jusqu au plan principal objet, puis continue parallèlement à l axe optique. Le point d intersection A de ces trois rayons constitue l image donnée par la lentille du point objet A.

10 Chp4 lentilles C4-10 C4.12 Association de lentilles minces & On peut associer un ensemble de plusieurs lentilles dont les axes optiques sont communs, en particulier pour construire des instruments d optique (cf. Chp. 5). Formules d'association de 2 lentilles minces Soit 2 lentilles minces désignées par L1 et L2. Soit D la distance qui les sépare. Un schéma de principe est donné ci-dessous. Le point important à saisir est que l'image donnée par la lentille 1 sert d'objet pour la lentille 2. Les 3 formules d'association se déduisent alors aisément. L1 L2 Sens propagation de la lumière D H 1 H 2 p 1 p' 1 p 2 p' 2 R S T = p1 p' 1 f1 D = p' + p = p p' f (4.12.a) (4.12.b) (4.12.c) Détermination des positions des points foyers objet et image du système 1 ) position du foyer image F i par rapport à la lentille #2 appelons cette distance H 2 F i p = p' = f p = D f f2 D f1 + = HF 2 i = D f H F f D f + f i 2 b g (4.13.a) b g 2 ) position du foyer objet F o par rapport à la lentille #1 appelons cette distance F o H 1 p' = p = f p' = D f f1 D f2 + = HF 1 o = HF D f f D f + f 1 o 2 1 Détermination de la distance focale du système. b g b g (4.13.b) Une correspondance graphique entre espace-objet & espace-image (construction graphique appelée homographie) combine dans l'exemple ci-contre 2 lentilles minces convergentes #1 et #2, de laquelle on peut trouver les positions de F i et de H i : ff f H F (4.13.c) syst = i i = D f f

11 Chp4 lentilles C4-11 C4.13 Aberrations géométriques et chromatiques & Les lentilles présentent 2 types de défauts : - aberrations géométriques, principalement des aberrations de sphéricité, similaires à celles présentées par les miroirs - aberrations chromatiques dues au phénomène de réfraction et donc de décomposition de la lumière en ses couleurs constituantes si celle-ci est polychromatique. Aberrations de sphéricité Avec une seule lentille, on n obtient des images suffisamment nettes, c està-dire des points images et des foyers bien définis, que si les points objets sont proches de l axe et si les rayons incidents sont peu inclinés sur l axe principal. Pour les lentilles à grande ouverture, l image d un point n est pas un point, mais un segment rectiligne de l axe optique. En particulier, les rayons incidents parallèles à l axe optique se coupent en différents points, en fonction de leur distance à l axe. L aberration de sphéricité est alors mesurée par la différence des distances focales pour des rayons marginaux et paraxiaux (Fig.). Corrections possibles : - remplacer la lentille unique par une combinaison de différentes lentilles. Dans le cas d une lentille convergente, on lui associe une lentille divergente et réciproquement. - utiliser un diaphragme (écran percé d une ouverture centrale réglable) pour éviter les rayons qui tombent sur les bords de la lentille; on perd alors en intensité lumineuse. - utiliser une lentille à échelons ou lentille de Fresnel (équivalent du miroir parabolique ): le faisceau lumineux placé au foyer d une telle lentille en émerge rigoureusement parallèle (cf. figure). Aberrations chromatiques Elles se produisent lorsqu on utilise de la lumière polychromatique (spectre de longueurs d'onde) et sont essentiellement dues à la variation de l indice de réfraction n avec la longueur d onde (cf. C1.4). L image de chaque composante de couleur différente passant par le même point se forme en un point différent. L image n est pas nette et présente des bords irisés. Une lentille aura un foyer pour chaque couleur ou longueur d onde puisque la distance focale f est déterminée par l indice de réfraction n qui dépend lui-même de la longueur d onde (cf. formule (4.8)) le bleu B a une plus courte distance focale que le rouge R. Correction : on associe une lentille convergente à une lentille divergente et réciproquement. On utilise alors des matériaux de dispersion différente (verre Crown pour l une, Flint pour l autre). Par exemple, un doublet achromatique convergent est constitué d une lentille biconvexe en Crown et d une lentille biconcave en Flint dont les rayons de courbure sont calculés en fonction de la vergence totale désirée. Ceci constitue ce que l on appelle un doublet achromatique.

12 Chp4 lentilles C4-12 EXERCICES 1. Soit une source ponctuelle de lumière placée dans l air (n 1 = 1) à 20 cm sur la gauche du sommet d une surface de réfraction convexe (n 2 = 2) de rayon de courbure de 10 cm. Trouver la position et la caractéristique R ou V de l image. Faire un schéma de la situation. [R. : p = + 40 cm (image réelle du côté "R" de la surface] 2. Un objet ponctuel dans un milieu où n 1 = 2 est à 15 cm d une surface sphérique concave ayant un rayon de courbure égal à (-) 10 cm. Le dioptre est placé dans l air (n 2 = 1) Trouver la position et la caractéristique V ou R de l image. Faire un schéma de la situation. [R. : p = 30 cm (image virtuelle)] 3. Un faisceau de lumière parallèle tombe sur une sphère de verre d indice de réfraction égal à 3/2 et de rayon R = 10 cm. L axe du faisceau est un diamètre de la sphère. Déterminer le point où convergent les rayons émergents. ABSOLUMENT faire un schéma de la situation. [R. : point de convergence des rayons émergents situé à 5 cm du sommet du 2 ième dioptre ] 4. Soit une lentille biconvexe fabriquée en verre d indice n = 1,65 dont les deux surfaces ont un rayon de courbure de 40 cm. Quelle est sa distance focale? Même question pour une lentille biconcave. [R. : f = 31 cm (lentille convergente ) f = 31 cm (lentille divergente)] 5. Une lentille mince convergente possède une distance focale de + 24 cm. Un objet est placé à 9,0 cm à gauche de cette lentille. Décrire l image. [R. : p = = 14,4 cm (image virtuelle) g = + 1,6 (image droite)] 6. Une lentille biconvexe a pour rayons de courbure 10 et 20 cm. L incidence de son verre est 1,5. Calculer la distance focale de cette lentille dans l eau et dans l air. (n eau = 4/3) [R. : f air = 13,3 cm f eau = 53,3 cm] 7. Deux lentilles de f = 10 cm sont placées à 10 cm l une de l autre. Un objet de 2 cm de haut est placé à 20 cm de la première lentille. Calculer la distance entre l image et la seconde lentille. Quelle est la grandeur de cette image? Est-elle réelle? Est-elle droite ou renversée? [R. : p' 2 = 5 cm image réelle & g = 1/2 image renversée] 8. Quelle est, sur une pellicule photographique, la dimension de l image d un homme de hauteur égale à 1,75 m, photographié à une distance de 5 m, si l objectif est assimilable à une lentille convergente de distance focale égale à 8 cm? A quelle distance le film doit-il être placé en arrière du plan focal image de la lentille? [R. : la pellicule se trouve en arrière du plan focal image à une distance de 1,3 mm de ce dernier grandeur de l image = 0,0285 m]. 9. Etudier le système optique "2 lentilles accolées". 10. Soit un téléobjectif constitué d'une lentille convergente et d'une lentille divergente formant ainsi un doublet dont les caractéristiques sont données ci-dessous. (a) Calculer la position des foyers objet et image du système formé ainsi que sa distance focale (cf. formules 4.13). (b) Comparer le grandissement de ce téléobjectif avec celui d'une seule lentille placée en H 1 et dont la distance focale serait de 25 cm. f 1 = 15,4 cm D = 10,6 cm f 2 = 7,2 cm H 1 H 2 R : (a) H 1 F o = 114,2 cm F i H 2 = 14,4 cm (b) g télé /g ob = 1,85 H i F i = 46,2 cm

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