Chapitre I : Annuité et Rente

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1 Chapitre I : Annuité et Rente I. Généralités On appelle annuité une suite de règlements effectuée à intervalle de temps égaux. On dit que cette suite de règlements constitue une rente pour celle ou celui qui en est le bénéficiaire. Il existe deux sortes de rente : Les rentes certaines Les rentes aléatoires La rente est certaine lorsque le nombre de ses termes est fixé à l avance. La rente est aléatoire lorsque le versement de ses termes est interrompu par l arrivée d un évènement imprévu ou qui ne peut être prévu à l avance. Pour ce cours nous n utiliserons que les rentes certaines. Par ailleurs lorsque le nombre des termes ou de versements ou de règlements est fini on dit que la rente est temporaire. Mais si ce nombre est infini la rente est dite perpétuelle. Pour avoir une rente il faut que les versements se fassent à intervalle de temps égaux. Et en plus ces versements doivent être périodiques. La période peut être l année ou tout autre période. Ainsi si la périodicité est différente de l année le mot annuité est donc impropre. On doit lui préférer les termes de semestrialité, trimestrialité, mensualité, etc II. Etude des annuités ou des rentes L étude des annuités ou des rentes consiste à la détermination de la valeur actuelle ou de la valeur acquise à une date donnée des versements en 1

2 tenant compte des intérêts produits ou escomptés par chacun des versements. Il existe différentes sortes de rentes : La rente immédiate ou à terme échu. Pour cette rente, la date d origine précède d une période la date du 1 er versement. La rente dite différée. Dans ce cas la date d origine précède de plus d une période la date du 1 er versement. La rente dite anticipée. Ici la date d origine précède de moins d une période la date du 1 er versement. Rente immédiate 1 er versement 0 a 1 a 2 a 3 Rente différée rente anticipée 2 ème versement Quatre éléments permettent nécessairement de calculer la valeur acquise ou actuelle d une rente : La périodicité des versements L intervalle de temps qui sépare l origine de la rente et le 1 er versement. La valeur de chaque terme de la rente ou la loi qui permet de la calculer. Le nombre de termes de la rente. 2

3 A- Rente temporaire Une rente est dite temporaire lorsque le nombre de ses termes ou de ses versements ou de ses règlements est fini ou limité. 1) Rente temporaire immédiate a. Valeur acquise On appelle valeur acquise V n d une rente temporaire la somme des valeurs acquises par chaque terme à la date de versement du dernier terme. Soit n versements. La valeur acquise du terme de rang p est : a p (1 + i) n-p V n = a 1 (1 + i) n-1 + a 2 (1 + i) n a p (1 + i) n-p + + a n b. Valeur actuelle On appelle valeur actuelle V o d une suite d annuité, la somme des valeurs actuelles de chaque terme. Soit n versements. La valeur actuelle du terme de rang p est : a p (1 +i) p D où : a 1 a 2 a p a n V o = (1+i) (1+i) 2 (1+i) p (1+i) n Ou V o = a 1 (+) + a 2 (+) + + a p (+) +a n (+) 3

4 En comparant les formules V n et V o on peut écrire : V n = V o (1+i) n Cette égalité traduit le fait que l on peut aisément passer de la valeur actuelle à la valeur acquise en capitalisant la 1 ère pendant n périodes. Remarque : Mais si la rente est différée de d périodes, la valeur actuelle est : a 1 a 2 a p a n V d = (1+i) 1+d (1+i) 2+d (1+i) p+d (1+i) n+d On peut donc écrire : V d = V o (1+i) d La rente anticipée d une fraction e de période a pour valeur actuelle : V e = V o (1+i) e 2) Cas particulier de rente à terme versé d avance On dit que les rentes à terme versé d avance sont des rentes anticipées d une période exactement : V o (1+i) 1 On peut également remarquer que le 1 er terme a 1 étant versé à même temps le capital d origine V, tout se passe comme si le capital effectivement prêté était V - a 1 à la rente à terme échu de n 1 termes. V o = V - a 1 = a 2 (1 + i) -1 + a 3 (1 + i) -2 n a n (1 + i) 4

5 NB : On dit que l étude des rentes anticipées ou différées se déduit facilement des rentes à termes échus. 3) Rente temporaire immédiate à terme constant Une rente est dite immédiate, lorsque la date d évaluation précède d une période le 1 er des n versements constants égaux à a (a étant la valeur de chaque versement). Dans ce cas la date d évaluation est confondue à la date d origine. Déterminons la valeur de la rente à la date t o tout en sachant que les versements sont égaux à a et le taux d intérêt est i n a1 a(1+i) -1 a(1+i) n-1 Ce qui donne : V n = a(1 + i) n -1 + a(1 + i) n a V n = a (1 + i) n -1 + (1 + i) n On constate que le crochet regroupe des termes en progression géométrique. Multiplions les deux membres de l égalité par (1+i) et retranchons terme par terme. 5

6 (1+i) V n = a (1 + i) n + (1 + i) n (1+i) V n = a (1 + i) n -1 + (1 + i) n (1+i)V n V n = i V n = a (1 + i) n - 1 V n = a (1 + i) n - 1 i On en déduit que: V n a (1 + i) n - 1 V o = = V n (1+i) -n = *(1+i) -n (1+i) n i V o = a 1 - (1 + i) - n i B- Rente perpétuelle Une rente est dite perpétuelle lorsque le nombre de ses termes est infini (illimité). Dans ce cas le calcul de la valeur acquise n a pas de sens. Cependant on peut toutefois calculer la valeur actuelle d une rente perpétuelle. 1- Rente perpétuelle immédiate Pour une rente perpétuelle immédiate, la date d évaluation est confondue avec la date d origine. 6

7 Ainsi on obtient la valeur actuelle d une rente perpétuelle en calculant la limite de la valeur actuelle d une rente temporaire sous l hypothèse que : On ne retiendra que le n 1 er terme de la rente perpétuelle. n croît indéfiniment. On a : V n = a () V o = a () V o = (+) = (+) V o = D où la valeur actuelle d une rente perpétuelle à terme constant est le rapport de l annuité sur le taux d intérêt. 2- Rente perpétuelle anticipée La valeur actuelle d une rente perpétuelle anticipée à k fractions de période est la valeur actuelle de la rente perpétuelle immédiate (à la date d origine) capitalisée au taux i sur les k fractions de période. V o = *(+) V o = *(+) 7

8 3- Rente perpétuelle différée Il s agit d évaluer une rente perpétuelle dont la date d évaluation est antérieure à la date d origine de k fractions de périodes. Dans ce cas on actualise au taux i sur les k fractions de périodes la valeur actuelle de la rente perpétuelle immédiate. V o = *(+) V o = *(+) 8