Mathématiques financières

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1 Mathématiques financières 1 Licence 3 Gestion ESDHEM PARIS 2015 Sabrina CHIKH Déroulé 2 n 16H n 4 séances de 4 heures, 4 thèmes n Cours / applications n Evaluation : un contrôle continu à chaque séance portant sur le contenu de la séance précédente n EXAM FINAL 1

2 Programme 3 n Séance 1 : Les intérêts n Séance 2 : Les annuités n Séance 3 : Les emprunts indivis n Séance 4 : La rentabilité des investissements Séance 1 LES INTERETS 4 2

3 Les intérêts 5 n Préférez-vous 1000 maintenant ou la même somme dans 3 ans? n Préférez-vous 1000 maintenant ou 1070 dans 3 ans? Les intérêts 6 n L intérêt est le loyer de l argent. n Son montant est le résultat d offres et de demandes. n Il est une fonction : n Croissante du temps n Croissante du risque n Des conditions économiques générales 3

4 Les intérêts 7 n Les taux d intérêt dépendent de : n LA CONJONCTURE ECONOMIQUE n LA QUANTITE DE MONNAIE n L INFLATION Les intérêts 8 Notations: VI : le capital initial (somme prêtée ou empruntée) Vf : le capital final r : taux d intérêt simple pour une période n : nombre de périodes (horizon du placement) It : montant d intérêt accumulé sur t périodes it : montant d intérêt pour la période t. VI Vf Quelle est la valeur acquise par un capital VI placé pendant n périodes au taux r? 4

5 Les intérêts simples L intérêt est dit simple lorsqu il est payé en une seule fois à la date d échéance du prêt et qu il est proportionnel à la durée du placement. It = VI x r x t Intérêts à payer pour une période Intérêts à payer pour la durée t n It est le cumul des intérêts versés pour la période allant de 0 à t. n In est donc la totalité des intérêts versés pour toute la durée n de l emprunt. Les intérêts simples 10 Formule It = VI x r x t i = VI x r It = i x t 5

6 Les intérêts simples 11 Valeur acquise On appelle valeur acquise par un capital placé le résultat de l addition à ce capital de l intérêt qu il a produit Si les intérêts sont payés à la fin, le capital final est : Vf = VI VI.n.r = VI In Vf = VI (1 nr) Exemple: 5000 prêté à 10% pendant 90 jours. Calculer l intérêt rapporté (année commerciale). Les intérêts simples 12 Applications Ex#1 Au taux annuel de 5%, pendant combien de mois faut-il placer un capital de pour disposer de ? 6

7 Les intérêts simples 13 Applications Ex#2 Le 7 juillet un organisme financier avance à une personne la somme de au taux de 5,2%. Quels sont les intérêts versés par l emprunteur le 15 novembre date du remboursement (année civile)? Les intérêts simples 14 Applications Ex#3 On réalise un investissement de 350. Le taux d intérêt est fixé à 7 % mensuel. La rémunération doit se faire sur 14 mois. Quel est l intérêt versé sur la période 1? Quel est l intérêt total à la période 12? Quel est le capital final? 7

8 Les intérêts simples 15 Applications Ex#4 A quel taux annuel a été placé un capital de ayant généré un intérêt de 2500 après deux ans? Les intérêts simples 16 Représentation graphique Valeur acquise par un capital de 18000, placé à 10 % en fonction de la durée de placement exprimée en jours Valeur acquise Valeur acquise Durée n (en jours) 8

9 Les intérêts simples Taux moyen d une série de placements effectués 17 simultanément Capitaux V... V 1 k Taux r1... r k Durées n1jours... nkjours Les taux r1, r2,, rk n étant pas égaux entre eux, l intérêt total de cet ensemble de placements est égal à: r moyen = Virin Vini i Les intérêts simples Intérêts post-comptés / Intérêts précomptés 18 Quand les intérêts sont versés en DEBUT DE PERIODE on parle de taux précomptés ou terme à échoir. Quand ils sont versés en FIN DE PERIODE, on parle de taux post-comptés ou terme échu. Intérêts post-comptés : Intérêts précomptés : Emprunter une somme VI pendant n périodes au taux précompté r implique le versement immédiat d un intérêt qui vaut n VI r. La somme réellement à disposition de l emprunteur est donc égale au capital emprunté VI moins les intérêts exigibles immédiatement. 9

10 Taux effectif de placement Les intérêts simples 19 Par exemple: Si j emprunte 1000 au taux précompté de 10 %, je vais recevoir 1000 moins les intérêts soit 900 car le banquier «se sert» avant. Les intérêts lui sont payés en début de période. En fin de période, je devrai lui rembourser Dans ce cas, quel est le taux effectif de placement? La valeur actuelle (valeur d origine) Les intérêts simples 20 VI Vf Chercher VI sachant que l on aura Vf à la date n avec un taux r Vf = VI VI.r.n = VI (1 r x n) On en déduit : VI = Vf 1 r. n La somme actuelle à intérêt simple d un capital disponible à la date n est la somme qui placée à intérêt simple au taux r donne Vf comme valeur finale 10

11 Les intérêts simples 21 Applications Ex#1 Calculer la valeur actuelle au 17 mars d une créance de échéant le 31 mai au taux de 6% (année civile). ü Vf = r = 6% n = du 17 mars au 31 mai ü on cherche VI ü la durée sera à exprimer en année Durée = = 75 jours soit 75/365 année VI = Vf / (1 r x n) VI = / (1 0,06 x (75/365)) VI = ,7 Les intérêts simples 22 Négociation d un effet de commerce 10 mars 26 mars Date d échéance de l escompte 31 mai A vend à B de marchandises B paie à A A a besoin des Somme effectivement prêtée Valeur commerciale a = V - E A sollicite la banque Escompte commerciale E = V x ie x (n/360) Intérêt précompté Billet à ordre ou Lettre de change EFFET DE COMMERCE Valeur nominale de l escompte V=

12 Les intérêts simples 1.6. La valeur actuelle commerciale 23 Ex#1 Calculer la valeur actuelle commerciale au 17 mars d une créance de échéant le 31 mai. Le taux annuel est de 8,4 % (année commerciale). Les intérêts composés Le taux d intérêt est dit composé lorsqu à la fin de chaque période l intérêt s ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l intérêt pour la période suivante. Le montant d'intérêt et le capital changent à chaque période. 12

13 Les intérêts composés 25 La capitalisation Soit Vi la somme obtenu après placement de V0 pendant i périodes Au bout d une période : V1 =V0 V0 r = V0 (1r) Au bout de deux périodes : V2 = V1 (1r) = V0 (1r) (1r) Vf = V 0 (1 r) n La capitalisation est un système de placement financier dont les revenus ne sont pas versés périodiquement au bénéficiaire, mais transformés en capital pour produire à leur tour des revenus jusqu'à l'échéance du remboursement final. Les intérêts composés 26 L actualisation L'actualisation est le calcul qui sert à ramener des flux financiers non directement comparables, car se produisant à des dates différentes, à une même base, ce qui permet non seulement de les comparer mais d'effectuer sur eux des opérations arithmétiques. V 0 = (1 Vn r) n 13

14 Intérêts simples VS intérêts composés Les intérêts composés 27 Contrairement à l intérêt simple où l accroissement des montants est linéaire, l intérêt composé a un accroissement exponentiel. Les intérêts composés 28 Applications Ex#1 Quel est le capital au bout de 4 ans si on place aujourd hui au taux composé de 3.6%? Ex#2 Quel est le taux d intérêt composé d un placement ayant porté à en trois ans? 14

15 Les intérêts composés 29 Applications Ex#3 Calculer la valeur acquise par un capital de 1 placé pendant 5 ans au taux de : a. 12% par an b. 1% par mois Qu en déduit-on? Les intérêts composés 30 Applications Ex#4 Quelle somme faut-il prêter à intérêts composés au taux semestriel de 3% pour disposer de au bout de 4 ans ½? Ex#5 Au taux mensuel de 0,6%, pendant combien de mois faut-il placer à intérêts composés, un capital de pour disposer de 96878,05? Ex#6 Calculer la valeur acquise par un capital de placé à intérêts composés au taux de 3% durant 5 ans et 4 mois. 15

16 Les intérêts composés 31 Applications Ex#7 Vous placez 3600 au taux périodique de 2,3% par trimestre durant 6 ans, combien allez vous accumuler? Séance 2 LES ANNUITES 32 16

17 Les annuités 33 Définitions Les annuités sont une suite de versements effectués à intervalles de temps constants. On définit une suite s annuités par: La période :durée constante qui sépare deux versements consécutifs, Le nombre n des versements, Le montant de chacun de ces versements Remarque : Annuité est un terme général applicable pour toutes les périodicités. Mensualité, trimestrialité.. Les annuités 34 Définitions L origine d une suite d annuités se situera une période (pas nécessairement égale à une année) avant le versement de la première annuité. a1 a2 a3 an-1 an n-1 n Origine Période Période 17

18 Les annuités 35 Définitions Les annuités versées peuvent être égales entre elles (annuités constantes) ou non (annuités variables) Une suite d annuités a généralement pour objectif : Soit la constitution d un capital Soit le service d un emprunt (intérêts et remboursement) Les annuités 36 Valeur acquise Supposons une suite d annuités constituées de n versements égaux chacun à a euros. Ces versements portent intérêts composés au taux i, le taux i étant attaché à la durée (période) qui sépare deux versements. On appellera valeur acquise d une suite d annuités, et on désignera par Vn le total, exprimé à la date n, immédiatement après le versement de la nième et dernière annuité, des valeurs acquises respectives de ces n annuités, à cette même date n (taux de capitalisation attaché à la même période que la suite d annuité). a a a a a n-1 n Origine Valeur acquise Vn 18

19 37 Les annuités Valeur acquise Propriété 1 La valeur acquise par une suite d annuités à la date du dernier versement est la somme des valeurs acquises à l instant n par chaque annuité. Les annuités 38 Valeur acquise Valeur acquise à la date du dernier versement 19

20 39 Les annuités Applications #1 Calcul de la valeur acquise Calculer la valeur acquise par une suite de 15 annuités constantes égale chacune à Taux de capitalisation: 8,5% Les annuités 40 Applications #2 Calcul de l annuité constante Dans le but de se constituer un capital de pour le 15 mars 2010, un épargnant envisage d effectuer des versements annuels constants. Premier versement: 15 mars 2000, dernier versement:15 mars 2010; le taux de capitalisation étant de 10%, calculer le montant du versement constant. 20

21 Les annuités 41 Applications #3 Calcul du taux 18 annuités constantes, 5000 chacune, ont une valeur acquise de Déterminer le taux de capitalisation. Les annuités 42 Applications #4 Calcul du nombre d annuités (ce nombre doit être un entier) A l aide d annuités de chacune, capitalisées à 7,5%, on veut constituer un capital de à la date de paiement de la dernière annuité. Déterminer le nombre de ces annuités. 21

22 Les annuités Valeur acquise par une suite de n annuités constantes, exprimée d périodes après versement de la nième annuité 43 a a a a a n-1 n V Dernier versement Vn (1 i) i d -1 Valeur acquise n d d d n = V n (1i) = a (1 i) Les annuités 44 Applications Calculer la valeur acquise, 6 ans après le dernier versement, par 15 annuités constantes de 1000 chacune, capitalisées au taux annuel de 9%. 22

23 Les annuités 45 Valeur actuelle Propriété 2 La valeur actuelle d une suite d annuités une période avant le premier versement est la somme des valeurs actuelles à cette date de chaque annuité. Les annuités 46 Valeur actuelle 23

24 Les annuités 47 Applications #1 Calcul de la valeur actuelle Calculer la valeur à l origine d une suite de 15 annuités constantes de montant 1000 chacune. Taux :8% 48 Les annuités Applications #2 Calcul de l annuité constante 10 annuités constantes, escomptées à 10,5% ont pour valeur à l origine Calculer le montant de l annuité. 24

25 Les annuités 49 Applications #3 Calcul du taux 12 annuités constantes, de chacune , ont une valeur à l origine de Calculer le taux auquel ces annuités ont été escomptées. Les annuités 50 Applications #4 Calcul du nombre d annuités (qui doit être un entier) N annuités constantes, de chacune, escomptées à 10%, ont une valeur actuelle de Calculer n. 25

26 Les annuités Valeur d une suite d annuités constantes, d périodes avant l origine 51 a a a a -d Valeur actuelle recherchée V0 2 3 n V 1- (1 i) i -n -d -d -d 0 = V0 ( 1 i) = a (1 i) Les annuités 52 Applications Calculer la valeur d une suite d annuités de chacune 3000, nombre d annuités 12, exprimée cinq périodes avant l origine. Taux=11% 26

27 Les annuités 53 Versements non annuels Ex#1 Calculer la valeur acquise par 40 trimestrialités de chacune Taux trimestriel=2% Les annuités 54 Versements non annuels Ex#2 Calculer la valeur acquise par 84 mensualités de chacune Taux annuel=10% 27

28 Les annuités 55 Problème #1 Comparer, en usant d un taux annuel de 10%, une suite de 20 annuités de 1000 versées respectivement aux dates 1, 2,, 20 et un règlement de 19000, effectué à la date 8. Nous ferons la comparaison : En nous situant à la date 0 Puis à la date 20 Les annuités 56 Problème #2 Comparer: 10 annuités de chacune 2000, la première versée à la date du 20 mars annuités de chacune 1500, la première versée à la date du 15 mars 2002 Taux = 9% 28

29 Séance 3 LES EMPRUNTS INDIVIS Les emprunts Définition indivis Un emprunt est dit Indivis s il est consenti par un unique prêteur. Les emprunts indivis sont souvent contractés auprès d une banque ou d un organisme financier par : n Une entreprise pour financer : n un investissement n un crédit d équipement n Un particulier pour financer : n un bien de consommation n un bien immobilier. 29

30 59 Les emprunts Définition indivis Soit un prêt consenti aux conditions suivantes: Somme prêtée: K euros (D0 montant de la dette en 0) n annuités versées par l emprunteur en 1,2,,n Taux = i Remboursement en une fois à expiration des n années L emprunteur peut se limiter à verser au prêteur, à la fin de chaque année, de la date 1 à la date n-1 incluse, l intérêt annuel Ki. Dans ce cas, il ne rembourse rien de sa dette et à l expiration du délais de n années il remboursera en TOTALITE à la date n le capital K emprunté, en même temps il versera l intérêt Ki de la dernière année. 60 Les emprunts Amortissement progressif indivis A la date 1, l emprunteur verse une 1 ère annuité a1 qui comprend l intérêt Ki de la 1 ère année ainsi qu une partie du remboursement (l amortissement) de la dette: a1=ki m1 Montant résiduel de la dette: D1=K - m1 ou D1=Do - m1 30

31 61 Les emprunts Amortissement progressif indivis La 2 ème année on écrit: a2=d1i m2 Dette résiduelle: D2=D1 m2 A l expiration de la pième année, l annuité sera de: ap=dp-1i mp A l expiration de la nième année, l annuité sera de: an=dn-1i mn Le dernier amortissement mn éteignant la dette Dn-1 encore vivante, il est donc égal à Dn-1. On remarque que la somme des n amortissements m1m2 mn est égale à la dette initiale K ou D0. 62 Les emprunts Amortissement progressif indivis Débit Crédit Date 0 K Date 1 a1 Date 2 Date p. a2 ap. Date n-1 an-1 Date n an Nous pouvons écrire la somme empruntée K remboursée par n annuités comme une opération de compte courant. 31

32 63 Les emprunts Règles indivis K(1 i) n -! " a1(1 i) n-1 a2(1 i) n-2... ap(1 i) n-p... an-1(1 i) an# $ = 0 K(1 i) n =! " a1(1 i) n-1 a2(1 i) n-2... ap(1 i) n-p... an-1(1 i) an# $ Règle 1 : la valeur acquise (au taux i), à la date n (fin de l emprunt), par le capital prêté K, est égale à la valeur acquise, à cette même date, par les annuités assurant le service de cet emprunt Multiplions les deux membre de l égalité par ( 1 i) -n K =! " a1(1 i) -1 a2(1 i) ap(1 i) -p... an-1(1 i) -(n-1) an(1 i) -n # $ Règle 2 : le montant de la dette contractée K est égal à la valeur actuelle des annuités assurant le service de l emprunt. 64 Les emprunts Règles indivis Soit Sp le solde de la dette immédiatement après le paiement de l annuité p: p p-1 p-2 Sp = K( 1 i) -[ a1(1 i) a2(1 i)... ap - 1(1 i) ap] Ce solde Sp correspond à la dette résiduelle Dp après paiement de l annuité ap. Règle 3 : la dette encore vivante après paiement de l annuité de rang p est la différence entre la valeur acquise à la date p par la somme prêtée, et la somme des valeurs acquises, à cette même date, par les p annuités déjà versées. Règle 4 : La dette encore vivante (ou dette résiduelle ou dette non encore amortie) après paiement de l annuité p est égale à la somme des valeurs actuelles, exprimées à cette même date p, des (n-p) annuités à venir. 32

33 65 Les emprunts Règles indivis La somme à débourser par l emprunteur est constante d une échéance à l autre. Soit a l annuité constante, n le nombre d annuités (n est aussi égal à la durée), K le capital emprunté et i le taux d emprunt. La règle 2 permet d écrire: K = a x 1-(1 i) i -n ou a = K x i 1-(1 i) -n 66 Les emprunts Application indivis Un emprunt de nominal est contracté pour une durée de 5 ans. Taux annuel d intérêt: 10%. Annuités constantes. Calculer le montant de l annuité. Dresser le tableau d amortissement des emprunts 33

34 67 Les emprunts Application Examen du tableau d amortissement indivis Règle 1 Règle 2 p = 2 Règle 3 p = 3 Règle 4 68 Les emprunts Loi des amortissements indivis Quand l amortissement d un emprunt est régi par le système des annuités constantes, les amortissements contenus dans les annuités sont en progression géométrique de raison (1i) Ainsi l amortissement de rang p est lié au premier amortissement par la relation : p-1 m p = m1( 1 i) Réciproquement, si les amortissements contenus dans les annuités sont en progression géométrique de raison (1i), les annuités sont alors constantes. 34

35 69 Les emprunts Loi des amortissements indivis Premier amortissement Dernier amortissement a = Ki m m1 = K 1 i 1- (1 i) ou m1 = a - Ki [ -i ] -n La dernière ligne du tableau d amortissement nous indique que : an = Dn-1imn Nous savons que Dn-1=mn Donc a = mn (1i) soit 70 Les emprunts Loi des amortissements indivis n Dette amortie (remboursée) après paiement de la pième annuité => C est la somme des p premiers amortissements ( 1 i) m1 i p -1 i = K ( 1 i) n ( 1 i) -1 i p -1 = ( 1 i) K (1 i) p n

36 71 Les emprunts Application #1 indivis Un emprunt de est remboursable au moyen de 180 mensualités constantes. Taux annuel : 14% Présenter les trois premières lignes du tableau d amortissement. Présenter la dernière ligne de ce tableau 72 Les emprunts Application #2 indivis Soit un emprunt de , amortissable en 5 échéances annuelles au taux annuel de 10% mais supposons cette fois-ci que les amortissements soient constants et donc égaux à /5 = Construire ce tableau. 36

37 Séance 4 La rentabilité des investissements La rentabilité des Principe investissements Tout investissement entraine des flux de dépenses et des cash flows. Un investissement est rentable si les cash flows sont supérieurs aux dépenses, mais ce n est pas tout 37

38 La valeur actuelle nette La rentabilité des investissements 75 Le critère qui va être retenu pour choisir de réaliser ou non un invesassement est le critère de la VAN (Valeur Actualisée NeGe). La VAN mesure la créa(on ne-e de valeur, après remboursement de l invesassement iniaal et rémunéraaon des apporteurs de fonds. Elle est égale à la valeur actualisée, au taux k, à la date de l invesassement (t0 ), de tous les flux nets de trésorerie qui vont être dégagés ou engagés (Ft), pendant n années, sous déducaon de l invesassement iniaal ( I0). La valeur actuelle nette La rentabilité des investissements 76 Un projet peut être réalisé dès lors que sa VAN est posiave, c est- à- dire qu il y a créaaon de valeur. Le taux d actualisaaon à retenir est le coût du capital du projet. Il représente la rentabilité minimale qui est exigée du projet, compte tenu du risque de ce dernier. Lorsque deux projets sont mutuellement exclusifs (on ne peut réaliser les deux en même temps) et ont une VAN posiave, il faut choisir celui qui a la VAN la plus élevée 38

39 77 La rentabilité des Exemple de VAN investissements Soit un projet d invesassement dont les flux de trésorerie sont résumés dans le tableau ci- dessous. Le taux d actualisaaon est de 12%. Le principe de la VAN consiste à ramener à la date 0 l ensemble des flux, en les actualisant : 78 La rentabilité des Exemple de VAN investissements La valeur actualisée nege est : La VAN du projet étant posiave, le projet est donc rentable et doit être réalisé. Cela signifie que le projet a permis de rembourser les fonds invesas, en tenant compte d un taux de rémunéraaon de 12% et qu il a généré un surplus. Ce surplus représente la valeur créée par le projet. 39

40 Le taux de rentabilité interne La rentabilité des investissements 79 Le TIR (Taux Interne de Rentabilité) représente le taux qui rend la VAN nulle. Il mesure le taux de rentabilité dégagé par le projet, sous l hypothèse de réinvesassement des flux au taux du TIR, soit : En maaère d invesassement, la société doit se fixer un taux de rentabilité d adopaon. Ce taux représente la rentabilité qui est espérée par les apporteurs de fonds au projet. Il dépend donc du risque du projet. Ce taux est d autant plus élevé que le risque du projet est important. Lorsque le TIR est supérieur à ce taux d adop(on, le projet d invesassement est acceptable. À l inverse, si le TIR lui est inférieur, le projet doit être abandonné. Ce taux d adopaon est le même que celui qui est ualisé pour le calcul de la VAN. Il s agit du taux de rendement exigé pour les invesassements de même classe de risque, c est- à- dire le coût du capital du projet. La rentabilité des investissements 80 40

41 81 La rentabilité des Conflit VAN vs. TIR investissements Si le TIR est supérieur au taux d actualisaaon, la VAN est nécessairement posiave (et inversement). Les 2 critères abouassent ainsi à la même conclusion d adopaon ou de rejet du projet. Par contre, ils peuvent différer dans les classements lorsqu il s agit de choisir entre 2 projets mutuellement exclusifs. Exemple de conflit entre VAN et TIR Dans ce type de situaaon, il faut toujours privilégier le critère de la VAN au détriment du TIR. 82 La rentabilité des Les limites du TIR investissements Il existe 2 limites à l ualisaaon du TIR : - Lorsque le signe des flux de trésorerie du projet change plus d une fois, la résoluaon du système d équaaon peut être impossible ou conduire à l obtenaon de plusieurs TIR, ce qui n a pas de sens économique. - Implicitement, ce critère suppose un réinvesassement des flux qui sont générés par le projet chaque année à un taux égal au TIR. Ainsi, si le TIR est de 25%, cela implique que la société soit en mesure de réinvesar les flux du projet à un taux de 25%, ce qui est peu probable. 41

42 83 La rentabilité des Limites du TIR : illustration investissements Soit un projet d un montant de 100 M. Il va générer les flux de trésorerie qui sont résumés dans le tableau ci- dessous. À l année 4, il faut prévoir un invesassement complémentaire de 300 M afin de remegre en l état les terrains sur lesquels le projet va être réalisé. Le coût du capital du projet est de 10%. 84 La rentabilité des Taux d indifférence investissements Lorsque deux projets sont mutuellement exclusifs, l intersecaon entre les deux courbes de la VAN des deux projets donne le taux d indifférence entre ces projets. Soient les projets A et B qui sont mutuellement exclusifs. Ils nécessitent tous les 2 un invesassement iniaal de 250. Les flux qu ils doivent générer sont présentés dans le tableau ci- dessous : 42

43 85 La rentabilité des Taux d indifférence investissements L intersecaon entre les 2 courbes donne le taux d indifférence, c est- à- dire le taux pour lequel la VAN des 2 projets est idenaque. 86 La rentabilité des Application 1 investissements Scénario 1 Soit un invesassement d un montant égal à (réglé immédiatement). On prévoit des receges annuelles égales à , , , et L invesassement est il rentable? Le taux courant d intérêt composé est de 12% Scénario 2 Supposons que l on paie comptant immédiatement et ensuite 3 annuités de aux dates 1, 2 et 3. Calculer la VAN. Scénario 3 Il a été supposé que le matériel était amorassable sur 5 ans (valeur comptable nulle au bout de 5 ans). Or on peut supposer que le matériel ait une valeur de récupéraaon de Calculer la VAN. Calculer le TRI du scénario 1. 43

44 87 La rentabilité des Application 2 investissements Soit l invesassement suivant : Dépense iniaale réglée immédiatement: ReceGes espérées : par an pendant 8 ans. n a) calculer le taux de rentabilité agaché à l invesassement envisagé n b) l invesassement est- il opportun si le taux du marché est de 10%? n c) même quesaon qu en b mais en employant le procédé de VAN 44

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