La fonction racine carrée. Document B. Table des matières

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1 1 La fonction racine carrée Document B Table des matières - Résolution algébriques d équations avec racine carrée, p.2 à 8; - Règles sous la forme canonique avec b 1 et b = 1, p.9-10; - Équation axe de symétrie, p.9; - Extremum, p.9; - Nom du graphique, p.9; - Exemples graphiques de fonctions racine carrée, p.9-10; - Fonction racine carrée de base, p.11; - Règle non canonique, p.11 à 14; - Ordonnée à l origine(ou valeur initiale), p.14-15; - Tracer le graphique, p.16 à 20; - Variation : croissance et décroissance, p.16; - Trouver le domaine, codomaine, p.16 à 20; - Déterminer algébriquement le zéro p.21 à 22; - Étude du signe, p.24 à 27; - Exercices sur étude complète d une fonction RC, p.27 à 30; - Résolution d inéquations avec une racine carrée, p.30 à 32; - Recherche de la règle p.33 à 38;

2 2 Résolution d équations avec racine carrée Avant de voir la règle de la fonction racine carrée, il serait important de savoir utiliser l opération racine carrée dans le contexte algébrique. En passant, on se rappellera le mot «résoudre» qui signifie rechercher des valeurs associées à la variable x de manière à ce que l équation soit vraie. Exemple Résolvez l équation = 3. Simple à résoudre : = 3 Exemple Résolvez l équation -3 2x = 4. 1 o Isoler la racine carrée : -3 2x = 4 7 = 7-3 2x 4 = -3 = = 1 2 o Éliminer la racine carrée en élevant au carré la partie gauche et la partie droite de l égalité : ( 2x 4 ) 2 = (1) 2-2x+4 = 1 3 o Trouver la valeur de la variable en l isolant : -2x + 4 = 1-2x + 4 = x = -3

3 3 = x = 4 o Ne pas oublier de vérifier le résultat dans l équation initiale : -3 2x = 4-3 2( 3 ) = = 4 La variable x est = 4 4 = 4 C est ok! Exemple Résolvez l équation 2 2x 1 = 3 x. 1 o Lorsqu on a une variable à gauche et la même variable à droite de l égalité, isoler l une des deux racines carrées : 2 2x 1 = 3 x = = 1,5 2 Élever au carré la partie gauche et la partie de l égalité : = [lorsqu il y un nombre qui multiplie une racine carrée, ce nombre s élève au carré et la 2x + 1 = 2,25(x) racine carrée s annule] 2 o Trouver la valeur de la variable en l isolant : 2 = 2,25x

4 4 2x + 1 = 2,25x x = 2,25x 1 2x = 2,25x 1-2,25x -2,25x -0,25x = - 1 = x = 4 3 o Vérifier le résultat dans l équation d initiale : 2 2x 1 = 3 x : = 3 4 2(3) = 3(2) 6 = 6 C est ok! La valeur de x est 4. Exemple Résolvez l équation 2 x 4 1 = x. 1 o Lorsqu on a une variable à gauche et la même variable à droite de l égalité, isoler la racine carrée : 2 x 4 1 = x x 4 = x + 1 x 4 = = 2 o Élever au carré chaque côté de l égalité : = (0,5x + 0,5) 2 x + 4 = (0,5x + 0,5)(0,5x + 0,5)

5 5 x + 4 = 0,25x 2 + 0,25x + 0,25x + 0,25 x + 4 = 0,25x 2 + 0,5x + 0,25 3 o Trouver la valeur de la variable : Bon, c est ici que ça devient intéressant! Comme on le voit, l expression se trouvant à droite de l égalité ressemblent à la règle générale d une fonction quadratique (la parabole). Ainsi, pour trouver la ou les valeurs de x d une fonction quadratique, on doit faire appel à la formule quadratique x = ( b) 2 b 4ac. 2a Cependant, pour appliquer cette formule, l équation x + 4 = 0,25x 2 + 0,5x + 0,25 doit être égale à 0. Donc, éliminer x et 4 qui se trouvent à gauche de l égalité : x + 4 = 0,25x 2 + 0,5x + 0,25 -x -x 4 = 0,25x 2 0,5x + 0, = 0,25x 2 0,5x 3,75 Maintenant, appliquons la formule quadratique : 5 x = ( 0,5) ( 0,5 ) 2 2(0,25) 4(0,25)( 3,75) -3 On obtient deux réponses. Il est possible que les deux résultats marchent, l une des deux marchent, ou ni l une ni l autre marche. Dans ce cas, on doit les essayer dans l équation initiale, c est-à-dire dans 2 x 4 1 = x. 4 o Vérifier les deux résultats dans l équation initiale : vérification pour la solution 5 : = = 5

6 6 2(3) 1 = = 5 5 = 5 C est ok! vérification pour la solution -3 : = = -3 2(1) 1 = = -3 1 = -3 La solution -3 ne marche pas! La valeur de x est 5. Exemple Résolvez l équation 1 Isoler la racine carrée : Élever au carré chaque côté de l égalité : 3 Égaliser l équation à 0 : -x -8 -x -8

7 7 4 Trouver x avec : a = 2,25 b = 3,5 c = -5,75 et et 4 o Vérifier les deux résultats dans l équation initiale : vérification pour la solution 1 : ça marche. Le résultat 1 est bon.

8 8 vérification pour la solution -2, : ça ne marche pas. Le résultat -2, n est pas bon. La valeur de x est 1. Exercices Résolvez les équations suivantes : a) b) c) d) e) f) g) h) i) Réponses : a) L ensemble solution est {11} b) L ensemble solution est {-2} c) et d) L ensemble solution est e) L ensemble solution est {3} f) L ensemble solution est { 3, } «c est un nombre à virgule» g) L ensemble solution est { 18 } h) L ensemble solution est {1/2} i) L ensemble solution est

9 9 La règle d une fonction racine carrée [ forme canonique à 4 paramètres ] - h et k représentent les coordonnées du sommet ; [ forme canonique à 3 paramètres avec b=1 ] [ forme canonique à 3 paramètres avec b= -1] - La fonction racine carrée possède un extremum, il vaut k ; il est un minimum si a 0 ou un maximum si a 0; - la fonction n a pas d axe de symétrie; Voici quelques exemples graphiques de demi-paraboles (nom du graphique): sommet(h,k) À partir du sommet, la courbe augmente en y très rapidement mais croît toujours de moins en moins vite vers l infini sans jamais atteindre l horizontale. Depuis -, sans être horizontale, la courbe diminue en y très lentement, mais lorsque la courbe se rapproche de plus en plus du sommet, elle diminue en y de plus en plus rapidement vers celui-ci. sommet(h,k)

10 10 Depuis -, la hauteur en y de la courbe a toujours augmenté très lentement, mais lorsque la courbe se rapproche de plus en plus du sommet, la hauteur augmente de plus en plus rapidement vers celui-ci. sommet(h,k) sommet(h,k) Depuis le sommet, la hauteur en y de la courbe diminue très rapidement, mais lorsqu on s approche de l infini, la hauteur diminue de moins en moins vite sans jamais atteindre l horizontale. À partir du sommet, la courbe augmente en y très rapidement mais croît toujours de moins en moins vite vers l infini sans jamais atteindre l horizontale.

11 11 La fonction racine carrée de base La règle de la fonction racine carrée de base est f(x) = x. Le sommet S de la fonction base est situé à l origine (0,0); Voici des exemples de couples appartenant à la fonction de base : (0,0), (1,1), (2, 2 ), (3, 3 ), (4,2), (5, 5 ), (6, 6 ), (7, 7 ), (8, 8 ). Attention à la règle qui n est pas sous la forme canonique Exemple Réécris la règle f(x) = -2 9x ci-après sous la forme canonique. f(x) = f(x) = [ ajouter une parenthèse entre 9 et x ] f(x) = Les paramètres sont : a = -2 b = 9, h = 3, k = -11.

12 12 Exemple Réécris la règle h(x) = + 1 sous la forme canonique. h(x) = 5 16x h(x) = + 1 [ ajouter une parenthèse entre -16 et x ] h(x) = + 1 Les paramètres sont : a = 5, b = -16, h = - 8 1, k = 1. 4 Exemple Réécris la règle i(x) = -4 x 7 sous la forme canonique. i(x) = -4 x [ si ça peut aider, ajouter 0 au paramètre k ] i(x) = [ ajouter une parenthèse entre - et x ] i(x) = Les paramètres sont : a = -4, b = -1, h = 7 et k = 0. Exemple Réécris la règle g(x) = sous la forme canonique. g(x) =1 + 0 [ si ça peut aider, ajouter 1 au param. a et 0 aux param. h et k ] g(x) =1 + 0 [ ajouter une parenthèse entre 5 et x ] g(x) =1 + 0 Les paramètres sont : a = 1, b = 5, h = 0, k = 0

13 13 Exercices : No.1. Déterminez la valeur des paramètres a, b, h et k dans les règles suivantes et donnez les coordonnées du sommet. a) f(x) = 4 b) f(x) = 2 c) d) e) f) g) h) i) j) k) f(x) = l) f(x) = No.2. Réécrivez chacune des règles ci-dessous sous la forme canonique. a) f(x) = 3 b) g(x) = - c) h(x) = 2 d) i(x) = -0,5 No.3. Réécrivez chacune des règles suivantes sous la forme canonique. a) f(x) = 3 b) g(x) = -2 c) i(x) = -3 d) j(x) = - e) k(x) = 4 f) n(x) = -0,76 + 9

14 14 Réponses : No.1: a) a=4, b=2, h= -3, k= 7, S(-3, 7) b) a=2, b= -4, h= 0,5, k= -3, S(0,5; -3) c) a=2, b=5, h=0, k= -4, S(0,-4) d) a=-3, b=1, h= -12, k=1, S(-12; 1) e) a= -1, b=-3, h= -1, k= -5, S(-1,-5) f) a=10, b= -2, h= -7, k=9, S(-7; 9) g) a=5, b=1, h= -1, k=3, S(-1,3) h) a=7, b= -1, h= -25, k= -2, S(-25; -2) i) a=1, b= -4, h= 0,25, k=8, S(0,25;8) j) a=, b=3, h= -, k=0, S( ; 0) k) a=1, b=6, h=7, k=2, S(7,2) l) a=, b=0,25, h= -4, k = -2, S(-4,-2) No.2: a) f(x) = 3 b) g(x) = - c) h(x) = 2 d) i(x) = -0,5 No.3: a) f(x) = 3 4( x 1) 5 b) g(x) = -2 2( x 2) + 13 c) h(x) -3 25( x 0,4) 7 d) i(x) = - 8( x 0,75) e) j(x) = 4 0,01( x 24000) 10 f) k(x) = -0,76 0,25( x 32) + 9 L ordonnée à l origine d une fonction racine carrée(ou valeur initiale) C est la valeur de y lorsque x = 0. Exemple Déterminez l ordonnée à l origine de f(x) = -7 32x f(0) = -7 32(0) f(0) = f(0) = -7(5) 10 f(0) = f(0) = -45

15 15 Exemple Déterminez la valeur initiale de g(x) = 4 2x g(x) = 4 2x g(0) = g(0) = g(0) = g(0) = impossible. Dans ce cas, il n y a pas de valeur initiale. La racine carrée d un nombre négatif est impossible. Ça peut arriver dans l étude des fonctions avec une racine carrée ou dans l étude des équations ou des inéquations impliquant une racine carrée. Exercices : Déterminez la valeur initiale pour chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = 6 b) g(x) = -8 c) h(x) =

16 16 Réponses : a) 12,416 b) pas d ordonnée à l origine c) 5 Tracer le graphique d une fonction racine carré La fonction racine carrée est un peu particulière. Son graphique est une demi-parabole. Or, on l a confond souvent avec la parabole (graphique associé à la fonction quadratique). En effet, le graphique de la fonction quadratique est une parabole verticale alors que le graphique de la fonction racine carrée est la moitié d une parabole horizontale. Ceci dit, pour ne pas se faire avoir, on tracera le graphique d une fonction racine carrée en s inspirant du schéma suivant : variation : décroissante sur ], h] variation : croissante sur [h, [ (a+ et b+) variation : croissante sur ], h] variation : décroissante sur [h, [ Le domaine de la fonction: si b < 0 (b négatif), alors domaine = ]-, valeur de h] si b > 0 (b positif), alors domaine = [valeur de h, +[ Le codomaine de la fonction : si a < 0 (a négatif), alors codomaine = ]-, valeur de k] si a > 0 ( a positif), alors codomaine = [valeur de k, +[

17 17 Exemples Pour chacune des fonctions ci-dessous dont on connaît la règle, tracez le graphique et ensuite déterminez le domaine, le codomaine ainsi que la variation. a) pour la fonction f(x) = 5 : 1 o D abord, déterminer les valeurs des paramètres : f(x) = 5 f(x) = 5 [ ajouter une parenthèse entre 4 et x ] f(x) = 5 Les paramètres sont : a = 2, b = 4, h = -2, k = Le sommet du graphique est (-2,-5). Le signe du paramètre a étant positif et le signe du paramètre b étant lui-aussi positif, et en se référant au schéma précédent, on obtient le graphique suivant : Le domaine et le codomaine de cette fonction : On remarquera que l ordonnée à l origine a été calculée, et ce dans le but de donner une meilleure précision à l esquisse graphique. Le domaine est [-2, et le codomaine est [-5, Variation : fonction croissante de [-2, [

18 18 b) pour la fonction h(x) = - 2 3x : 1 o Déterminer les valeurs des paramètres : h(x) = h(x) = [ ajouter une parenthèse entre -3 et x ] h(x) = Les paramètres sont: a = -2, b = -3, h = -2 et k = Le sommet du graphique est (-2,15). Le signe du paramètre a étant négatif, le signe du paramètre b étant lui-aussi négatif, et en se référant au schéma précédent, on obtient le graphique suivant : Le domaine et le codomaine de cette fonction : Le domaine est -,-2] et le codomaine est -,15] Variation : fonction croissante de ]-, -2]

19 19 Exercices No.1. Tracez le graphique pour chacune des fonctions suivantes. Ensuite, déterminez les coordonnées du sommet, le domaine, le codomaine ainsi que la variation. a) f(x) = +7 b) g(x) = c) h(x) = d) i(x) = e) j(x) = f) k(x) = No.2. Soit la fonction g(x) = : a) Réécrivez la règle sous la forme canonique. b) Déterminez la valeur des paramètres. c) Déterminez le domaine et le codomaine de cette fonction. No.3. Déterminez le domaine et le codomaine pour chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = -0,35 b) g(x) = Réponses : No.1 :

20 20 Sommet, domaine, codomaine, variation: a) S(0,7), dom : [0, +[, codom : ]-,7], décroissante sur son domaine; b) S(1,0), dom : ]-,1], codom: [0, +[, décroissante sur son domaine; c) S(-5,2), dom: [-5, +[, codom: ]-,2], décroissante sur son domaine; d) S(-2,-1), dom: [-2, +[, codom: ]-,-1], décroissante sur son domaine; e) S(-2,-3), dom: ]-, -2], codom: ]-,-3], croissante sur son domaine; f) S(4,-5), dom: ]-, 4], codom: [-5, +[, décroissante sur son domaine; No.2: a) f(x) = 2 2( x 2,5) 6 b) a = 2, b = -2, h = 2,5, k = -6 c) dom = ]-, 2,5] et codom = [-6, +[ No.3: a) dom = [-3,5, +[ et codom = ]-,-9] b) domaine = ]-, 5 ] et codomaine = [8, +[ 3

21 21 Déterminer le zéro d une fonction racine carrée Aussi appelée abscisse à l origine, le zéro est la valeur de x lorsque y = 0 (ou f(x) = 0). Exemples Déterminez le zéro des fonctions suivantes : a) pour la fonction f(x) = -2 x : Démarche : Si a et k sont de signes contraires, alors le zéro existe; 0 = 0 4 = -4 = = 2 = 4 = -x = -x -1 = x Donc, le zéro = -1.

22 22 b) pour la fonction f(x) = 2 x 3 : Démarche Si k = 0, alors le zéro existe et c est le paramètre h` f(x) = 2 x 3 h = 3 Donc, le zéro = 3 c) pour la fonction f(x) = 2 x : Démarche : Lorsque a et k sont de même signe, la fonction n a pas de zéro. Dans l exemple, a = 2 et k = 4 sont positifs donc de même signe. Donc, le zéro = Exercices No.1. Déterminez le zéro, s il existe, pour chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = b) g(x) = c) h(x) = d) i(x) = e) j(x) = f) k(x) = No.2. Soit la règle de toutes fonctions racine carrée exprimées sous la forme f(x) = a + k. Quelles conditions faut-il imposer aux paramètres pour que la fonction ait : a) un zéro(2 possibilités)? b) aucun zéro?

23 23 Réponses No.1. a) Le zéro est 2,5 b) Le zéro est 19 c) Le zéro est 2 d) Le zéro est 2 e) Aucun zéro f) Le zéro est 0 No.2. a) a > 0 et k < 0 ou a<0 et k>0 ( a et k de signes contraires) ou seul k = 0; b) a > 0 et k>0 ou a<0 et k< 0 ( a et k même signe) Le signe de la fonction Pour déterminer le signe, on doit faire appel au graphique de la fonction. Exemple Déterminez les intervalles en x pour lesquelles la fonction est positive ou négative. Démarche : 1 Déterminez le zéro, s il existe : Le zéro existe, car a et k sont de signes contraires =

24 24 Élever au carré à droite et à gauche de l égalité. (15)² = 225 = -x = -x = -x -215 = x 2 Déterminez le sommet (h, k ): Attention à la règle : Donc, h = 10 et k = 30, le sommet est (10,30). 3 Tracer le graphique : Réponse : La fonction est négative sur, -215] La fonction est positive sur [-215, 10]

25 25 Mais que fait-on lorsque le zéro n existe pas? Simple! On trace le graphique et on donne la réponse. Ainsi, lorsque la fonction ne possède pas de zéro, son graphique est situé complètement au-dessus ou complètement en dessous de l axe des abscisses. Ainsi, si a et k sont négatifs, on écrit comme réponse : La fonction est négative sur son domaine. Par contre, si a et k sont positifs, on écrit comme réponse : La fonction est positive sur son domaine. Exemple Déterminez le signe de la fonction. Démarche : 1 Cette fonction ne possède pas de zéro, car a et k sont de même signe. 2 Graphiquement, on obtient ceci : Réponse : La fonction est négative sur [-15, +[

26 26 Exercices Pour chacun des cas suivants, déterminez le signe de la fonction : b) c) d)

27 27 Réponses : a) nég. sur ] pos. sur [9,5, 12] b) nég. sur [-3, 3,25] pos. sur [3,25, +[ c) a et k même signe, donc pas de zéro. Puisque a et k sont positifs, le graphique est complètement au-dessus de l axe des x. Réponse : positive sur [4, +[ d) a et k même signe, donc pas de zéro. Puisque a et k sont négatifs, le graphique est complètement en dessous de l axe des x. Réponse : négative sur ]-, -10] Étude complète d une fonction racine carrée (propriétés) Exercice Soit la fonction dont la règle est f(x) = 3 9 x Déterminez le nom du graphique, le domaine, le codomaine, les coordonnées du sommet, l extremum, la croissance, la décroissance, la valeur initiale, le zéro, et le signe.

28 28 Réponses : Nom du graphique : demi-parabole Dom = ] Sommet (9,21), 9] Codom = ] L ordonnée à l origine : 12 Le zéro : -40, 21] Les extremums : il y a un maximum : 21 ; il n y a aucun minimum ; La fonction est croissante sur ], 9] La fonction est négative sur ], -40] et positive sur [-40, 9] Exercices Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez le nom du graphique, le domaine, le codomaine, les coordonnées du sommet, l extremum, la croissance, la décroissance, la valeur initiale, le zéro, et le signe. a) b) c) d)

29 29 Réponses : a) Nom du graphique : demi-parabole Sommet : (2, 7) Ordonnée à l origine: aucune Dom f : [2, Codom f : [7, Zéro : aucun Minimum : 7 Fonction croissante sur [2, Fonction positive sur [2, b) Nom du graphique : demi-parabole Sommet : (4, -6) Ordonnée à l origine: -2 Dom g : -,4] Codom g : [-6, Zéro : -5 Minimum : -6 Fonction décroissante sur ]-,4] Fonction positive sur -, -5] et négative sur [-5, 4] c) Nom du graphique : demi-parabole Sommet(3,-1) Ordonnée à l origine: 0,7320 Dom h : -, 3] Codom h : [-1, Zéro: 2 Minimum : -1 Fonction décroissante sur -, 3] Fonction positive sur -,2] et négative sur [2,3] d) Nom du graphique : demi-parabole Sommet(3,2) Ordonnée à l origine: aucune Dom i : [3, Codom i : -,2] Zéro : Maximum: 2 Fonction décroissante sur [3, Fonction positive sur [3, ] et négative sur [,

30 30 Résolution algébrique d inéquations avec une racine carrée La résolution d inéquation avec racine carrée fait appel à la même démarche vue dans la fonction valeur absolue. C est-à-dire que la résolution est basée sur le graphique. Exemple A : Résolvez l inéquation -2. Démarche :

31 31 Exemple B : Résolvez l inéquation -20. Démarche : Exemple C : Résolvez l inéquation -20. Démarche :

32 32 Exercices Résoudre chaque inéquation ci-dessous : a) -2 x 1 4 > -8 b) x 3 3 c) 2 x d) ( x 2) + 4 < 8 e) x 4 Problèmes défi (facultatif): f) 2 ( x 2) 5 > x g) x x h) -3 x 1 + 2x > 5 Réponses : a) L ensemble solution est [ 1, 5 [ b) L ensemble solution est [ 6, c) L ensemble solution est [ 69,25 ; d) L ensemble solution est ] -14, 2 ] e) L ensemble solution est [ 0, 16 ] f) L ensemble solution est ]- ; -1, [ g) L ensemble solution est { 0 } [ 1, h) L ensemble solution est [ -1,

33 33 Déterminer la règle d une fonction racine carrée à partir des coordonnées du sommet et celles d un autre point Lorsqu on recherche la règle d une fonction racine carrée, on utilisera la règle ou. Ainsi, si la branche courbée du graphique est située à gauche du sommet, on utilisera la règle f(x) = a ( x h) + k. Par contre, si la branche courbée du graphique est située à droite du sommet, on utilisera la règle : f(x) =. Autrement dit, visuellement, on a ceci :

34 34 Exemple Déterminez la règle d une fonction racine carrée sachant que les coordonnées du sommet sont S(5,12) et celles d un autre point sont (30,2). 1 o Dans un plan cartésien, on fixe grossièrement le sommet et le point : On observe le point (30,2) qui est situé à droite du sommet (5,12). On utilisera donc la règle f(x) = a x h +k ; 2 o La règle : f(x) = a x h + k f(x) = a x Trouvons a avec (30,2) : 2 = a = a = 5a = 5a 10 = a 5 La règle de la fonction est f(x) = -2 x

35 35 Exemple Déterminez la règle d une fonction racine carrée sachant que les coordonnées du sommet sont S(6,8) et celles d un autre point sont (-10,-2). 1 o Dans un plan cartésien, on fixe grossièrement le sommet et le point : On observe le point (-10,-2) qui est situé à gauche du sommet (6,8). On utilisera donc la règle f(x) = a ( x h) + k. 2 o La règle: f(x) = a ( x h) + k f(x) = a ( x 6) + 8 Trouvons a avec (-10,-2) : -2 = a ( 10 6) = a = a = 4a 10 4a = a 2 La règle de la fonction est f(x) = -5/2 ( x 6) + 8.

36 36 Exercices Pour chacun des cas suivants, déterminez la règle d une fonction racine carrée : a) b) c) une fonction dont le sommet est (-4,-12) et un point P(0,0) d) une fonction dont le sommet est (2,3) et une point P(5,-1) e) une fonction f dont le sommet est (-9,-5) et f(16) = -20.

37 37 Problèmes défi : f) une fonction dont 2 points sont P1(-4,0) et P2(1,-2) et dont le domaine = ]-, 5] g) une fonction dont 2 points sont P1(-6,3) et P 2(-2,25 ; 6) et dont la fonction est croissante sur -, -2] h) une fonction dont 2 points sont P 1(-1,0) et P2(3,-2) et dont le maximum = 1.

38 38 Réponses : a) f(x) = b) f(x) = 4 c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) =

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