Dynamique gravitationnelle multi-échelle

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1 Dynamique gravitationnelle multi-échelle Formation et évolution des systèmes auto-gravitants non isolés Nicolas KIELBASIEWICZ Unité de Mathématiques Appliquées, École Nationale Supérieure de Techniques Avancées Thèse de Doctorat de l École Polytechnique 6 février 2009 Jury composé de : Grégoire Allaire (président du jury) Jean-Jacques Aly (rapporteur) Jérôme Perez (directeur de thèse) Christian Boily (rapporteur) Marc Lenoir (directeur de thèse) Daniel Pfenniger (rapporteur) UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

2 Plan UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

3 Les systèmes auto-gravitants en astrophysique Problématique UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

4 Systèmes auto-gravitants en astrophysique Definition (Système auto-gravitant) Les systèmes auto-gravitants en astrophysique Problématique C est un système dont les propriétés sont le fruit uniquement de la gravitation. Figure: M45, l amas ouvert des Pléiades HST et l amas globulaire M22 N.O.A.O. Les amas ouverts : 3 à 10 pc de diamètre, contenant 10 2 à 10 3 étoiles, pas de gaz ni de poussières interstellaires; Les amas globulaires : 10 à 50 pc de diamètre, contenant 10 3 à 10 6 étoiles, pas de gaz ni de poussières interstellaires. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

5 Systèmes auto-gravitants en astrophysique Definition (Système auto-gravitant) Les systèmes auto-gravitants en astrophysique Problématique C est un système dont les propriétés sont le fruit uniquement de la gravitation. Figure: La galaxie elliptique M32 HST et M31, la galaxie d Andromède R. Gendler Les galaxies elliptiques : 10 4 à pc de diamètre, contenant 10 9 à étoiles, pas de gaz ni de poussières interstellaires; Les galaxies spirales : 10 4 à pc de diamètre, contenant 10 8 à étoiles, du gaz et des poussières interstellaires. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

6 Problématique Des systèmes auto-gravitants non isolés systèmes à N corps = amas globulaires et galaxies elliptiques Les systèmes auto-gravitants en astrophysique Problématique Figure: M51 et ses amas globulaires HST UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

7 Problématique Des systèmes auto-gravitants non isolés systèmes à N corps = amas globulaires et galaxies elliptiques Les systèmes auto-gravitants en astrophysique Problématique Figure: M51 et ses amas globulaires HST UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

8 Problématique Cadre d étude général Les systèmes auto-gravitants en astrophysique Problématique σ e 0 ψ e σ Hyp: On suppose que σ e n est pas sensible à la présence de σ. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

9 Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

10 Temps caractéristiques Temps de croisement et temps de relaxation par collision Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée Définition (Temps de croisement) τ c = r = temps moyen mis par une étoile pour traverser le système. v v sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel b v + δ v Définition (Temps de relaxation par collision) Temps nécessaire pour que les collisions aient une influence notable sur la dynamique du système. τ rc N log N τc Amas globulaire : τ c = 10 6 années, τ rc = années Galaxie elliptique : τ c = 10 8 années, τ rc = années UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

11 Approche statistique Système Boltzmann sans collisions - Poisson Soit f la fonction de répartition caractérisant le système σ. Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel Système B.S.C.-Poisson 8 f >< t + dr dt f r m d f (ψe + ψ) dr Z p = 0 ψ = 4πGρ = 4πG fdv >: ψ < lim r + (B.S.C.) (Poisson) En utilisant les équations de Hamilton, (B.S.C.) s écrit : f t = H r f p H p f r = {H, f } H = 1 2 v 2 + ψ + ψ e f  f = f (H) t = 0 à f = f (H, L 2 f,...) t = 0 [Lynden-Bell, 1962] : intégrales isolantes = = UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

12 Les systèmes tels que f = f (H) Propriétés  isotropie dans l espace des vitesses : immédiat Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

13 Les systèmes tels que f = f (H) Propriétés  isotropie dans l espace des vitesses : immédiat à isotropie dans l espace des positions : Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel Hyp: On suppose que σ e a une fonction de répartition f e = f e(h e). ( ψ e = 4πGρ e(ψ e) ψ = 4πGρ(ψ, ψ e) UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

14 Les systèmes tels que f = f (H) Propriétés Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel  isotropie dans l espace des vitesses : immédiat à isotropie dans l espace des positions : Hyp: On suppose que σ e a une fonction de répartition f e = f e(h e). ( ψ e = 4πGρ e(ψ e) ψ = 4πGρ(ψ, ψ e) [Gidas et al., 1981] : u = g(u) : ρ e décroissante ψ e radiale croissante. Le système σ e est sphérique. = UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

15 Les systèmes tels que f = f (H) Propriétés Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel  isotropie dans l espace des vitesses : immédiat à isotropie dans l espace des positions : Hyp: On suppose que σ e a une fonction de répartition f e = f e(h e). ( ψ e = 4πGρ e(ψ e) ψ = 4πGρ(ψ, ψ e) = 4πGρ(ψ, r) [Gidas et al., 1981] : u = g(u) : ρ e décroissante ψ e radiale croissante. Le système σ e est sphérique. u = g(u, r) : ρ décroissante en ψ, strictement décroissante en r ψ e radiale croissante. le système σ est sphérique et centré sur la source du potentiel ψ e. = = UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

16 Les systèmes tels que f = f (H) Propriétés  isotropie dans l espace des vitesses : immédiat à isotropie dans l espace des positions : Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel Hyp: On suppose que σ e a une fonction de répartition f e = f e(h e). ( ψ e = 4πGρ e(ψ e) ψ = 4πGρ(ψ, ψ e) = 4πGρ(ψ, r) σ e σ 0 ψ e UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

17 Solutions stationnaires particulières de B.S.C. - Poisson de la forme f = f (H) 3 modèles analytiques : Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Ê le modèle de Plummer Ä le modèle isochrone Å le modèle isotherme Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

18 Solutions stationnaires particulières de B.S.C. - Poisson de la forme f = f (H) Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 3 modèles analytiques : Ê le modèle de Plummer (Schuster (1883), Plummer (1911)) solution de l équation de Lane-Emden : 8 < φ φ 5 (φ = ψ) dφ : lim r 0 dr = 0 lim φ = 0 r + f ( H) 7 2 ψ(r) = GM r 2 + b 2 ρ(r) = 3M 1 + r «2 2.5 σ 2 4πb 3 b 2 v φ «1.5 M(r) = M 1 + b2 b R 50 = b 2/3 1 r 2 Ä le modèle isochrone Å le modèle isotherme UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

19 Solutions stationnaires particulières de B.S.C. - Poisson de la forme f = f (H) Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 3 modèles analytiques : Ê le modèle de Plummer Ä le modèle isochrone ([Hénon, 1959]) Å mouvement d une masse ponctuelle soumise à une force centrale : mouvement plan rayon orbital borné : r(t) [r p, r a] mouvement périodique de période T = 2 Z ra r p le modèle isotherme dr q 2(H ψ(r)) L2 r 2 = T (H, L 2 ) UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

20 Solutions stationnaires particulières de B.S.C. - Poisson de la forme f = f (H) Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 3 modèles analytiques : Ê le modèle de Plummer Ä le modèle isochrone ([Hénon, 1959]) mouvement d une masse ponctuelle soumise à une force centrale : mouvement plan rayon orbital borné : r(t) [r p, r a] mouvement périodique de période T = 2 Z ra r p dr q 2(H ψ(r)) L2 r 2 = T (H, L 2 ) L amas isochrone est défini comme le modèle le plus général où T = T (H) : Å 2ψ 0 b ψ(r) = b + R b r 2 + b 2 le modèle isotherme UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

21 Solutions stationnaires particulières de B.S.C. - Poisson de la forme f = f (H) 3 modèles analytiques : Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières Ê le modèle de Plummer Ä le modèle isochrone Å le modèle isotherme, issu de la thermodynamique des systèmes auto-gravitants sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

22 La sphère isotherme isolée Problématique thermodynamique Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel σ à énergie H et à masse M données en équilibre Z thermodynamique σ maximise l entropie statistique S = f ln fdrdv Problème complexe et beaucoup étudié ([Chandrasekhar, 1958], [Lynden-Bell and Wood, 1968], [Padmanabhan, 1989], [Chavanis, 2002],... ) Æ Ç si σ non borné, pas de solutions; si σ B(0, R), il peut exister un extremum local de l entropie, défini par : «f = (2πT ) 3 ψ(r0 ) 2 ρc exp exp H «χ r<r T T où T est proportionnel à la température du système. Si on se donne H, M, et R, cet extremum existe t-il? UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

23 Condition d existence de la sphère isotherme isolée Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel On cherche l existence de solutions de l équation adimensionnée : 1 d er 2 d e! ψ = eρ = exp ψ er 2 der der e En posant u 1 = er d ψ e der et u 2 = eρer 3, ([Milne, 1930], [Milne, 1932]), on em obtient : du 1 der = u 1 (u 2 1), er du 2 der = u 2 (u 1 + u 2 3) er Conditions initiales : u 1 = 1 3 er 2 + o(er 3 ), u 2 = er 2 + o(er 3 ) Soit λ = RH [Padmanabhan, 1989]. On a GM u 2 1 = 1 u 2 3 «λ 2 La sphère isotherme se trouve à l intersection. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

24 Condition d existence de la sphère isotherme isolée 3 Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée u Le théorème du Viriel u 2 UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

25 Condition d existence de la sphère isotherme isolée 3 Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson 2.5 λ > λ c Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 2 u λ = λ c λ < λ c u 2 La quantité λ admet un minimum λ c La condition λ λ c est la condition d existence de la sphère isotherme isolée. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

26 Stabilité de la sphère isotherme isolée L instabilité d Antonov Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel Soit le contraste maximal c m = 1 dλ avec erc 34.2 solution de eρ(er c) der = 0 R 1 Si (H) < λc, alors il n existe pas d extremum local de S GM2 R ρ c 2 Si (H) > λc et > cm, alors la sphère isotherme est un GM2 ρ(r) minimum local de l entropie. Ce cas correspond à l instabilité d Antonov ou catastrophe gravothermale ([Lynden-Bell and Wood, 1968], [Katz, 2001],... ) R ρ c 3 Si (H) > λc et < cm, alors la sphère isotherme est un GM2 ρ(r) maximum local de l entropie. Que se passe t-il dans le cas non isolé? UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

27 La sphère isotherme non isolée Fonction de distribution et condition d existence Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée La sphère isotherme dans le cas non isolé est définie par : «f = (2πT ) 2 3 ψ(r0 ) + ψ e(r 0 ) ρc exp exp H «χ r<r T T On cherche l existence de solutions de l équation adimensionnée : 1 d er 2 d e! ψ = eρ = exp ψ er 2 der der e ψ f e Le théorème du Viriel du 1 der = u 1 (u 2 1), er Conditions initiales : u 1 = 1 3 er 2 + o(er 3 ), u 2 = du 2 der Soit λ b = R (H Mψe(0)). GM2 Z er 1 d bλ = λ + eru 1 ( R) e u 1 u 2 er ψ 2 der f e der 0 = u 2 (u 1 + u 2 3) er 3 d 2 f ψe der 2 (0) + 1! er 2 + o(er 3 ) u 2 d f ψ e der UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

28 La sphère isotherme non isolée Fonction de distribution et condition d existence Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée La sphère isotherme dans le cas non isolé est définie par : «f = (2πT ) 2 3 ψ(r0 ) + ψ e(r 0 ) ρc exp exp H «χ r<r T T On cherche l existence de solutions de l équation adimensionnée : 1 d er 2 d e! ψ = eρ = exp ψ er 2 der der e ψ f e Le théorème du Viriel du 1 der = u 1 (u 2 1), er Conditions initiales : u 1 = 1 3 er 2 + o(er 3 ), u 2 = du 2 der Soit λ b = R (H Mψe(0)). GM2 Z er 1 d bλ = λ + eru 1 ( R) e u 1 u 2 er ψ 2 der f e der 0 = u 2 (u 1 + u 2 3) er 3 d 2 f ψe der 2 (0) + 1! er 2 + o(er 3 ) On a b λ λ u 2 d f ψ e der UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

29 Condition d existence de la sphère isotherme non isolée 3 Temps caractéristiques 2.5 fψ e0 e b fψ e(er) = + ψ qer f e0 2 + e b 2 Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 2 u fψ e = u UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

30 Condition d existence de la sphère isotherme non isolée 3 Temps caractéristiques 2.5 fψ e0 e b fψ e(er) = + ψ qer f e0 2 + e b 2 Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) 2 Solutions stationnaires particulières u 1 sphère isotherme isolée 1.5 sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel fψ e = 0 fψ e0 = 1, e b = 10 fψ e0 = 1, e b = 50 fψ e0 = 1, e b = 100 fψ e0 = 0.5, e b = 10 fψ e0 = 2, e b = u La quantité λ admet un minimum λ c. Par transitivité, la quantité b λ admet un minimum b λ c. La condition b λ b λ c est la condition d existence de la sphère isotherme non isolée. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

31 Condition d existence de la sphère isotherme non isolée 3 Temps caractéristiques 2.5 fψ e0 e b fψ e(er) = + ψ qer f e0 2 + e b 2 Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) 2 Solutions stationnaires particulières u 1 sphère isotherme isolée 1.5 sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 1 fψ e = 0 fψ e0 = 1, e b = fψ e0 = 0.5, e b = 10 fψ e0 = 2, e b = u La quantité λ admet un minimum λ c. Par transitivité, la quantité b λ admet un minimum b λ c. La condition b λ b λ c est la condition d existence de la sphère isotherme non isolée. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

32 Condition d existence de la sphère isotherme non isolée 3 Temps caractéristiques 2.5 fψ e0 e b fψ e(er) = + ψ qer f e0 2 + e b 2 Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel 2 u fψ e = 0 fψ e0 = 1, e b = 10 fψ e0 = 1, e b = 50 fψ e0 = 1, e b = u La quantité λ admet un minimum λ c. Par transitivité, la quantité b λ admet un minimum b λ c. La condition b λ b λ c est la condition d existence de la sphère isotherme non isolée. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

33 Stabilité de la sphère isotherme non isolée Étude numérique Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel eλ er fψe = 0 fψe0 = 1, e b = 10 fψe0 = 1, e b = 50 fψe0 = 1, e b = 100 fψe0 = 0.5, e b = 10 fψe0 = 2, e b = 10 Le minimum de e λ correspond au premier zéro de sa dérivée première. dλ b der = 0 u 1(er) = 4u 2(er) u 2 (er) 3 + 2u 2 (er) ψ f e(er) 2 u 2 (er) + `2u 2 (er) 1 b λ(er) λ(er) Numériquement, le rayon critique er c se trouve à l intersection de cette courbe avec la courbe u 1 = u 1 (u 2 ). UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

34 Stabilité de la sphère isotherme non isolée Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel modèle er c λc b c m = 1 eρ(er c) fψ e = fψ e 0 = 1, b e = fψ e 0 = 1, b e = fψ e 0 = 1, b e = fψ e 0 = 0.5, b e = fψ e 0 = 2, b e = È É e b cm f ψe 0 cm Le mécanisme de l instabilité d Antonov reste valable dans le cas non isolé. Seule la valeur du contraste maximal en est modulée. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

35 Le théorème du Viriel Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel r i vecteur position de la particule i dans R g; v i vecteur vitesse de la particule i dans R g; m i masse de la particule i; Le P.F.D. appliqué au système σ donne la relation dite «du Viriel»: 1 d 2 I 2 dt = 2K + U X N m 2 i r i dψe dr i où K et U désignent respectivement l énergie cinétique et l énergie NX potentielle interne du système σ et I = m i r 2 i le moment d inertie. équilibre du Viriel 1 2 d 2 I = 0, soit : dt 2 i=1 i=1 2K η = NX U m i r i dψe dr i i=1 ri = 1 ri UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

36 Le théorème du Viriel Temps caractéristiques Système Boltzmann sans collisions - Poisson Propriétés des systèmes f=f(h) Solutions stationnaires particulières sphère isotherme isolée sphère isotherme non isolée Le théorème du Viriel r i vecteur position de la particule i dans R g; v i vecteur vitesse de la particule i dans R g; m i masse de la particule i; Le P.F.D. appliqué au système σ donne la relation dite «du Viriel»: 1 d 2 I 2 dt = 2K + U X N m 2 i r i dψe dr i où K et U désignent respectivement l énergie cinétique et l énergie NX potentielle interne du système σ et I = m i r 2 i le moment d inertie. équilibre du Viriel 1 2 d 2 I = 0, soit : dt 2 i=1 i=1 2K η = NX U m i r i dψe dr i i=1 ri = 1 pour un système auto-gravitant isolé, on a 2K + U = 0 ri UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

37 Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

38 Le Treecode Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales  code développé par [Barnes and Hut, 1986] à coût de calcul en o (N log N) Ê étude de n importe quel système, quelle que soit sa géométrie et le profil de densité Ä version parallélisée avec M.P.I. (Daniel Pfenniger) Principe : Fabriquer un arbre qui permet de sélectionner les particules pour le calcul du potentiel. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

39 Le Treecode Un exemple 2D Le Treecode Le critère d acceptation Principe de construction : Subdiviser l espace jusqu à isoler chacune des particules dans une feuille de l arbre. Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

40 Le Treecode Un exemple 2D Le Treecode Le critère d acceptation Principe de construction : Subdiviser l espace jusqu à isoler chacune des particules dans une feuille de l arbre. Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

41 Le Treecode Un exemple 2D Le Treecode Le critère d acceptation Principe de construction : Subdiviser l espace jusqu à isoler chacune des particules dans une feuille de l arbre. Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

42 Le Treecode Un exemple 2D Le Treecode Le critère d acceptation Principe de construction : Subdiviser l espace jusqu à isoler chacune des particules dans une feuille de l arbre. Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

43 Le Treecode Un exemple 2D Le Treecode Le critère d acceptation Principe de construction : Subdiviser l espace jusqu à isoler chacune des particules dans une feuille de l arbre. Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

44 Le Treecode Un exemple 2D Le Treecode Le critère d acceptation Principe de construction : Subdiviser l espace jusqu à isoler chacune des particules dans une feuille de l arbre. Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

45 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

46 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

47 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

48 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

49 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

50 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

51 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

52 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

53 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

54 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

55 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

56 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

57 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

58 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

59 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

60 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal Approximation quadrupolaire du potentiel ψ = G X j i ψ( x i ) = G X m j G x i x x 3 i X m j x j G X» 3 m j i x 5 j j i 2 j m j x j x i 2 1 ` xi x j 2 x i 2 2 x j UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

61 Le Treecode Le critère d acceptation θ Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Principe : Un groupe d étoiles lointaines se comporte comme une étoile de masse équivalente. θ représente un angle d ouverture maximal Approximation quadrupolaire du potentiel ψ = G X j i ψ( x i ) = G X m j G x i x x 3 i X m j x j G X» 3 m j i x 5 j j i 2 j m j x j x i 2 1 ` xi x j 2 x i 2 2 x j UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

62 Le Treecode Le paramètre d adoucissement ɛ Potentiel exact Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement ψ i (r j ) = GM i M j r ij diverge en 0 problèmes = Schéma temporel Conditions Initiales potentiel rayon UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

63 Le Treecode Le paramètre d adoucissement ɛ Potentiel tronqué Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement ψ i (r j ) = GM i M j max `r ij, ɛ adoucit le potentiel uniquement pour les interactions proches Schéma temporel Conditions Initiales potentiel rayon UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

64 Discrétisation en temps Le schéma de Störmer = schéma saute-mouton v new v old t = f ( r old ) r new r old t = v new Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales v t t 2 v t+ t 2 r t r t+ t t t 2 t t + t 2 t + t Å schéma symplectique simple à mettre en oeuvre Æ schéma consistant d ordre 2 Condition "CFL" UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

65 Conditions initiales Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales Ç amas de Plummer [Aarseth et al., 1974] Génération aléatoire des positions et des vitesses en accord avec une fonction de répartition méthode de rejet [von Neumann, 1951] 1 M(r) M 0.1 dp(r, v) v 2 1 v r 0 v 1 UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

66 Conditions initiales Ç amas de Plummer [Aarseth et al., 1974] È amas homogène Génération aléatoire des positions dans une sphère à partir d un cube méthode de rejet [von Neumann, 1951] Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

67 Conditions initiales Ç amas de Plummer [Aarseth et al., 1974] È amas homogène É amas à "grumeaux" [Roy, 2005], [van Albada, 1982] Le Treecode Le critère d acceptation Le paramètre d adoucissement Schéma temporel Conditions Initiales R t M t R c M c Rayon du système complet Masse de la «pâte» Rayon d un grumeau Masse d un grumeau UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

68 Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

69 Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène 2 états d équilibre À l issue du processus d effondrement gravitationnel, 2 états d équilibre possibles [Roy and Perez, 2004] : Â système initialement homogène = cœur - halo Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats densité CH r 50 rayon UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

70 Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène 2 états d équilibre À l issue du processus d effondrement gravitationnel, 2 états d équilibre possibles [Roy and Perez, 2004] : Â Ã système initialement homogène système initialement inhomogène = cœur - halo = cœur effondré Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats densité CH densité CC r rayon 50 r rayon 50 UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

71 Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Études complémentaires Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats Ê Influence du nombre de grumeaux Ä Influence des rapports de taille et de masse amas/grumeaux Type I : Grumeaux dont l énergie interne est suffisamment élevée pour résister à la pression imposée par le système environnant. κ = β 1. α Type II : Grumeaux trop petits ou pas assez massifs pour subsister après le processus d effondrement gravitationnel dans le système environnant. κ 1. Å Dynamique interne : étude des orbites stellaires UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

72 2 familles de systèmes après effondrement gravitationnel Influence des rapports de taille et de masse amas/grumeaux Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats Désignation nb gru α = Rt R c β = Mt M c Type M I M I M II M I M I M I M II UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

73 2 familles de systèmes après effondrement gravitationnel Influence des rapports de taille et de masse amas/grumeaux Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats Désignation nb gru α = Rt R c β = Mt M c Type M I M I M II M I M I M I M II [Roy and Perez, 2004] UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

74 2 familles de systèmes après effondrement gravitationnel Influence des rapports de taille et de masse amas/grumeaux 10-1 M1 M M1 M M M2 M Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène M5 M M4 M2 M Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats M M4 M5 M M2 M M4: film UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

75 Dynamique interne des systèmes auto-gravitants Les orbites observées Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats UMA, ENSTA Nicolas K IELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

76 Étude des orbites : observables Amplitude et période radiales 2 approches : Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène F.F.T. : utiliser la F.F.T. pour trouver la période et découper le signal en périodes pour évaluer l amplitude; crête à crête : récupérer tous les extrema du signal et déterminer par moyenne période et amplitude. Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats Cas de tests : Æ 4 signaux tests S 1 S S 3 S UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

77 Étude des orbites : observables Amplitude et période radiales 2 approches : Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats F.F.T. : utiliser la F.F.T. pour trouver la période et découper le signal en périodes pour évaluer l amplitude; crête à crête : récupérer tous les extrema du signal et déterminer par moyenne période et amplitude. Cas de tests : Æ Ç 4 signaux tests 3 jeux de pas de temps C1 dt constant sur [0, 1]; C2 dt constant par morceaux sur [0, 1]; C3 dt varie aléatoirement sur [0, 1]]. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

78 Étude des orbites : observables Amplitude et période radiales : comparaison des méthodes S S Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène C 1 C 2 C 3 Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats S3 2 S On conserve la méthode dite «crête à crête». UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

79 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : F.F.T. Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

80 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : F.F.T. Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

81 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 F.F.T. Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

82 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : F.F.T. Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

83 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : F.F.T. Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

84 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : complexité = 1 F.F.T. suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

85 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : complexité = 1 È cas d un bruit blanc : Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

86 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : complexité = 1 È cas d un bruit blanc : Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats F.F.T. suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

87 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : complexité = 1 È cas d un bruit blanc : complexité = + Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats F.F.T. suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

88 Étude des orbites : observables Complexité d une série temporelle [Kandrup et al., 1997] Æ cas d une sinusoïde pure : complexité = 0 Ç cas d une somme de 2 sinusoïdes pures : complexité = 1 È cas d un bruit blanc : complexité = + Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats F.F.T. suppression de la fréquence du pic max I.F.F.T. application à nos signaux réels UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

89 Dynamique interne des systèmes auto-gravitants complexité Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats période période CH CC r a r a É la présence du cœur a un effet régularisant sur la complexité des orbites; UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

90 Dynamique interne des systèmes auto-gravitants complexité Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats période période CH CC É Â r a la présence du cœur a un effet régularisant sur la complexité des orbites; la présence du cœur sature la relation en loi de puissance entre r a et la période : cœur : exposant 0.6, halo : exposant 1.2 r a UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

91 Dynamique interne des systèmes auto-gravitants complexité Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats période période CH CC É Â r a la présence du cœur a un effet régularisant sur la complexité des orbites; la présence du cœur sature la relation en loi de puissance entre r a et la période : cœur : exposant 0.6, halo : exposant 1.2 modèle isochrone r a UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

92 Dynamique interne des systèmes auto-gravitants complexité Effondrement gravitationnel d un amas inhomogène Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : observables Propriétés dynamiques des systèmes auto-gravitants : résultats période période CH CC É Â Ã r a la présence du cœur a un effet régularisant sur la complexité des orbites; la présence du cœur sature la relation en loi de puissance entre r a et la période : cœur : exposant 0.6, halo : exposant 1.2 modèle isochrone résultats non sensibles à la variation du nombre N d étoiles et du paramètre d adoucissement ɛ. r a UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

93 UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

94 Conclusions Ê un système initialement homogène avec suffisamment d inhomogénéités spatiales évolue vers un système «cœur effondré», par déclenchement d une instabilité d Antonov; Ä un système «cœur - halo» avec un contraste de densité suffisant subit un effondrement du cœur, par instabilité d Antonov (démonstration analytique inachevée et étude numérique sur des cas particuliers); Å Æ l étude des orbites stellaires suggère une différentiation entre systèmes «cœur - halo» et systèmes «cœur effondré» la complexité est une signature dynamique des systèmes auto-gravitants UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

95 Conclusions Ê un système initialement homogène avec suffisamment d inhomogénéités spatiales évolue vers un système «cœur effondré», par déclenchement d une instabilité d Antonov; Ä un système «cœur - halo» avec un contraste de densité suffisant subit un effondrement du cœur, par instabilité d Antonov (démonstration analytique inachevée et étude numérique sur des cas particuliers); Å Æ l étude des orbites stellaires suggère une différentiation entre systèmes «cœur - halo» et systèmes «cœur effondré» la complexité est une signature dynamique des systèmes auto-gravitants UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

96 Conclusions Ê un système initialement homogène avec suffisamment d inhomogénéités spatiales évolue vers un système «cœur effondré», par déclenchement d une instabilité d Antonov; Ä un système «cœur - halo» avec un contraste de densité suffisant subit un effondrement du cœur, par instabilité d Antonov (démonstration analytique inachevée et étude numérique sur des cas particuliers); Å Æ l étude des orbites stellaires suggère une différentiation entre systèmes «cœur - halo» et systèmes «cœur effondré» la complexité est une signature dynamique des systèmes auto-gravitants UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46

97 Conclusions Ê un système initialement homogène avec suffisamment d inhomogénéités spatiales évolue vers un système «cœur effondré», par déclenchement d une instabilité d Antonov; Ä un système «cœur - halo» avec un contraste de densité suffisant subit un effondrement du cœur, par instabilité d Antonov (démonstration analytique inachevée et étude numérique sur des cas particuliers); Å Æ l étude des orbites stellaires suggère une différentiation entre systèmes «cœur - halo» et systèmes «cœur effondré» la complexité est une signature dynamique des systèmes auto-gravitants UMA, ENSTA Nicolas KIELBASIEWICZ Dynamique gravitationnelle multi-échelle 6 février /46