Conclusion. a. ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de[ac].

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1 EXERE 1 Dessin à main levée onclusion a. est un triangle. est le milieu de [] et est le milieu de[]. Dans le triangle Puisque est le milieu de [] Et puisque est le milieu de [] lors () est parallèle à () b. est un triangle. M est le milieu de []. La droite (d), parallèle à [] passant par M coupe [] en N. M N Dans le triangle Puisque M est le milieu du segment []. Et puisque la droite (MN) est parallèle à la droite () ( ou au segment [] ) lors N est le milieu du segment [] c. DEF est un triangle. P est le milieu de [EF] et Q est le milieu de[df]. D Q F P E Dans le triangle DEF Puisque Q est le milieu de segment [DF] Et puisque P est le milieu de segment [EF] lors (QP) est parallèle à (DE) Mais aussi la longueur QP est la moitié de la longueur DE d. K est un triangle. M est le milieu de []. La droite (d), parallèle à [K] passant par M coupe [K] en N. M N K Dans le triangle K Puisque M est le milieu de segment [] Et puisque la droite (MN) est parallèle à la droite (K) lors N est le milieu du segment [K] Page 1 sur 1

2 EXERE 2 D est un parallélogramme de centre O et M est le milieu de []. Démontrer que (OM) est parallèle à (). Page 2 sur 2

3 PONT METHODE : La rédaction d une démonstration comporte toujours : Hypothèses On sait que. On a. ( données de l énoncé). Propriété ou théorème Or. Si. lors (récitation d une partie du cours par coeur) onclusion Donc.. ( que cherche t on a démontrer? toujours écrit dans l énoncé, c est la question demandée) Ex 2 : D est un parallélogramme de centre O et M est le milieu de []. Démontrer que (OM) est parallèle à (). Rédaction Ex 2 On sait que M est le milieu du segment [] O est le milieu de la diagonale [], car O est le centre du parallélogramme. Or si une droite passe par les milieux des deux côtés d un triangle lors elle est parallèle au troisième côté. Donc (OM) est parallèle à (). EXERE 3 DEF est un triangle équilatéral de côté 6 cm. M est le milieu de [EF].On trace la parallèle à [DE] passant par M, qui coupe [DF] en N. Démontrer que N est le milieu de [DF]. On sait que M est le milieu du segment [EF] La droite (MN) est parallèle au côté [DE]. Or si Dans un triangle, une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d un côté lors elle coupe le troisième côté en son milieu. Donc N est le milieu de [FD]. Remarque : le fait que DEF soit un triangle équilatéral ne joue aucun rôle. EXERE 4 EFGH est un parallélogramme de centre O. La droite (d) est la parallèle à (EF) passant par O. Elle coupe [EH] en. Démontrer que est le milieu de [EH]. On sait que O est le milieu du segment [EG], car O est le centre du parallélogramme La droite (d) est parallèle au côté [HG]. Page 3 sur 3

4 Or si Dans un triangle, une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d un deuxième côté. lors elle coupe le troisième côté en son milieu. Donc est le milieu de [EH]. EXERE 5 KL est un rectangle de centre O tel que = KL = 10 cm et K = L = 6 cm. est le milieu de [L]. Démontrer que O = 5 cm. On sait que le point est le milieu du segment [L] et O est le milieu du segment [L], car O est le centre du rectangle Or si dans un triangle un segment a pour extrémités les milieux des deux côtés d un triangle lors sa longueur est la moitié de celle du au troisième côté. Donc =2 O ou EXERE 6 [] est un segment de longueur 3 cm. O est un point n appartenant pas à []. a. onstruire les points M et N, symétriques de O par rapport à et. b. Démontrer que () et (MN) sont parallèles. c. Démontrer que MN = 6 cm Fig question a. b. On sait que les points et sont les milieux respectif des segments [OM] et [ON] car les points M et N sont les symétriques des points et par rapport a O. Or si dans un triangle, une droite passe par les milieux des deux côtés d un triangle lors elle est parallèle au troisième côté. Donc les droites () et (MN) sont parallèles. Page 4 sur 4

5 c. vec les mêmes hypothèses qu en b. si dans un triangle un segment a pour extrémités les milieux des deux côtés d un triangle lors sa longueur est la moitié de celle du au troisième côté. Donc MN=2 soit MN=6 cm EXERE 7 (d) et (d ) sont deux droites sécantes en. On place les points et respectivement sur (d) et (d ), puis M est le milieu de []. a. Faire une figure. b. Tracer la parallèle à () passant par M. Elle coupe (d ) en N. c. Que peut-on dire du point N? Expliquer. er que MN = 6 cm EXERE 7 (d) et (d ) sont deux droites sécantes en. On place les points et respectivement sur (d) et (d ), puis M est le milieu de []. a. Faire une figure. b. Tracer la parallèle à () passant par M. Elle coupe (d ) en N. c. Que peut-on dire du point N? Expliquer. EXERE 8 Les droites en pointillé sont parallèles. Retrouver pour chaque figure les deux triangles et les deux droites parallèles, puis écrire l égalité de rapports correspondante : ❶ ❷ M N ❸ E M N F Petit triangle : Grand triangle : MN Droites : (MN) // () M = N = MN Petit triangle : MN Grand triangle : Droites : (MN) // () M = N = MN D Petit triangle : DEF Grand triangle : D Droites : (EF) // () DE = DF = EF D D Page 5 sur 5

6 ❶ METHODE : OMMENT ERRE LES RPPORT DE PROPORTONNLTE RELTFS L PROPRETE DE THLES UN SEUL PONT EST LE SOMMET OMMUN EST :... =... = ON HOST UN UTRE PONT ( 4 POSSLTES) : =... =... N ON OMPLETE LE RPPORT ( 1 POSSLTE) : N =... = POUR LE RPPORT SUVNT, LES LETTRES SONT OTENUES EN «GLSSNT LE LONG DES PRLLELES» ( 1 POSSLTE) : N = M... = ❶ Puis N = M = M N ON OMPLETE LE DERNER RPPORT VE LES LETTRES UTRES QUE LE SOMMET OMMUN ( 1 POSSLTE) : N = M = MN EXERE 9 En se référant à l EXERE 8, écrire puis résoudre l équation permettant de retrouver le côté manquant. ❶ M=5 ; =6 ; =7,2 Retrouver N. M = N = données de l énoncé : MN N = 5= 7.2 MN 6 Donc N = 6 Produit en croix N 6 = Résolution N = = = donc N = 6 6 ❷ =2 ; =2,5 ; M=8 Retrouver N. M = N = MN données de l énoncé : Produit en croix N 2 = = N = MN Donc = N Résolution N = = = donc N = 10 2 ❸ DE=7 ; DF=8 ; D=8,4 Retrouver D. DE = DF = EF données de l énoncé : D D = D 8 =EF Donc 8 7 =.4 D 8 Produit en croix 7 D = Page 6 sur 6

7 Résolution D = = 7 2 = donc D = 9,6 EXERE 10 ompléter les pointillés pour que les rapports soient égaux :. 4 = 5 7 6, 5 b. 9 = D = 10,5 15 E 6 = f. 2,4 = x = 3 4 METHODE : OMMENT TROUVER UNE QUTREME PROPORTONNELLE L DE D UN PRODUT EN ROX = ON HERHE X TEL QUE 7,5 5 4 = 7,5 x 1 S DEUX FRTONS SONT EGLES LORS ON PEUT ERRE LE PRODUT EN ROX : 4 7.5= 5 x 1 ON PEUT LORS RESOUDRE ETTE EQUTON x = = = 5 Page 7 sur 7

8 EXERE 11 est un triangle tel que : = 6 cm ; = 7,5 cm ; = 4,5 cm M est un point de [] tel que M = 2 cm. On trace la parallèle à () passant par M. Elle coupe [] en N. a. Faire une figure à main levée : b. ompléter Dans le triangle, M est un point du segment [] N est un point du segment [] Puisque les droites (MN) et () sont parallèles lors d après la propriété de Thalès : M = N = MN (ou aussi M = N = ) MN. c. Déterminer la longueur N : On reporte les données de l énoncé 2 = N = MN je sélectionne l égalité 2= N ( ou 6 7,5 = ) 2 N (produit en croix 2 7.5= 6 N ) N = = = donc N = 2. 5cm 6 Page 8 sur 8

9 EXERE 12 a. Les droites ( 1 ), ( 2 ), et ( 3 ) sont parallèles. O ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) O=4 ; O=2 ; O=5 ; OK=4,5 ; =1 Déterminer les longueurs O et K (on arrondira le résultat au dixième). Faire une figure en reportant les données de l énoncé : ci on peut extraire le triangle qui nous intéresse K 4 1 O 2 4,5 K 5 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Dans le triangle OK, est un point du segment [OK] est un point du segment [O] Puisque les droites () et (K) sont parallèles lors d après la propriété de Thalès : O O = = OK O K 1 O 2 4,5 K 5 ( 2 ) ( 3 ) O 2 1 Donc = = 4,5 5 K alcul de O O 2 2 = Produit en croix : O 5 = 4,5 2 résolution O = 4,5 = 1, 8 4,5 5 5 Donc O = 1,8 alcul de K = Produit en croix : K 2 = 5 1 résolution : K = = 2, 5 5 K 2 Donc K=2,5 Page 9 sur 9

10 b. Les droites ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) et ( 4 ) sont parallèles. 12,1 R 1,6 1,2 2,5 O S 4,8 M N 4,5 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) O=2,5 ; O=4,8 ; =1,6 MN=4,5 ; RS=1,2 ; M=12,1 Déterminer les longueurs et OR (on arrondira le résultat au dixième). En regardant le dessin on remarque que l on ne peut calculer dans un premier temps : alcul de Dans le triangle O, est un point du segment [O] est un point du segment [O] Puisque les droites () et () sont parallèles lors d après la propriété de Thalès : O O O 2,5 1, 6 = = avec les données : = = O O O 4,8 2,5 1,6 On a : =, produit en croix : 2,5 = 4,8 1, 6 donc 4,8 = 4,8 1,6 = donc ,1 2,5 R alcul de OR 1, 1,2 On remarque que 6 2, O S OM = M O = 12,1-4,8 = 7,3, 5 on peut calculer OR. Dans le triangle OMN, R est un point du segment [OM] S est un point du segment [ON] 4,8 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Puisque les droites (RS) et (MN) sont parallèles lors d après la propriété de Thalès : OR OS RS OR OS 1,2 = = avec les données : = = OM ON MN 7,3 ON 4,5 OR 1,2 On a : =, produit en croix : OR 4,5 = 7,3 1, 2 donc 7,3 4,5 7,3 1,2 OR = 1,9 Donc OR 1,9 4,5 M 7,3 4,5 N ( 4 ) Page 10 sur 10

11 EXERE 13 - LERMONT-FERRND Sur la figure ci-après, tracée à main levée : S R M T P N R = 8 cm RP = 10 cm P = 4 cm M = 4 cm S = 10 cm N = 6 cm T = 5 cm On ne demande pas de refaire la figure. Sachant que les droites (ST) et (RP) sont parallèles, calculer ST. EXERE 14 - GRENOLE L unité est le centimètre. E D On considère le triangle. Soit E un point du segment [] ; la parallèle à la droite () passant par E coupe le segment [] au point D. On donne E = = 3 et E = D = 2. Montrer que ED = 1,8. EXERE 15 - PRS E D D est un parallélogramme : - = 8 cm D = 4,5 cm ; - E est le point de la droite (D) tel que E=1,5cm et E n est pas sur le segment [D] ; Page 11 sur 11

12 - La droite (E) coupe le segment [] en M. alculer M. Page 12 sur 12

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