Fonctions retouches Algorithme

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 octobre 15 à 3:8 Fonctions retouches Algorithme Document inspiré de l exercice 3 du bac des centre étrangers de juin 14 1 Déition Convention On attribue la valeur au blanc et la valeur 1 au noir et les valeurs entre et 1 à toutes les valeurs de gris. Fonction retouche d image On appelle fonction retouche d image la fonction déie sur [ ; 1] qui vérifie les conditions suivantes : 1) f) = et f1) = 1 ) f est continue et croissante sur [ ; 1] Éclaircissement et assombrissement Pour savoir si une fonction retouche éclaircit ou assombrit une image, il faut la comparer à la fonction identité x x qui est aussi une fonction retouche. En x : fx) < x la fonction retouche f éclaircit l image fx) > x la fonction retouche f assombrit l image Sur l ensemble de l image : [ fx) x] dx < la fonction retouche f éclaircit l image [ fx) x] dx > la fonction retouche f assombrit l image PAUL MILAN 1 TERMINALE S

2 Contraste Une augmentation de contraste d une image en noir et blanc consiste à élargir la palette des gris, c est-à-dire que le gris clair est plus clair et le gris foncé est plus foncé. Une diminution de contraste d une image noir et blanc consiste à réduire la palette des gris, c est-à-dire que le gris clair est plus foncé et le gris foncé est plus clair. Si l on se réfère au gris médium, soit x=, 5, on dit qu une fonction retouche : si si,5,5 [x fx)] dx+ [x fx)] dx+,5,5 [ fx) x] dx > [ fx) x] dx < Algorithme.1 Élaboration du programme Le but est de créer un algorithme qui détermine si la fonction considérée est une fonction retouche et dans l affirmative son effet sur l éclaircissement et le contraste globaux d une image donnée. Pour vérifier qu une fonction donnée f est une fonction retouche, on supposera que f est continue. On démontrera la croissance de f avec un pas 1/. Pour déterminer l effet sur l éclaircissement et le contraste globaux sur une image, on considérera la fonction g déie sur [ ; 1] par gx) = fx) x et l on calculera les intégrales par la méthode des trapèzes avec un pas de 1/. Pour une calculatrice Ti, on rentrera les fonctions f et g avant d exécuter le programme. Pour f : Y 1 = fx) et pour g : Y = Y 1 X Pour déterminer l influence de f sur l éclaircissement, on calculera par la méthode des trapèze : [ fx) x] dx = gx) dx Pour déterminer l influence de f sur le contraste, on calculera par la méthode des trapèze :,5,5 [x fx)] dx+ [ fx) x] dx = gx) dx+ gx) dx,5 Remarque : Nous avons considéré que deux paramètres dans le traitement de l image, mais d autres plus complexes existent comme la correction ponctuelle, la netteté et le filtrage d une image. Pour information, on peut citer les modélisations mathématiques suivantes : régulation de Tychonov, le modèle continue de Radin-Osher-Fatemi, le modèle discret...,5 PAUL MILAN TERMINALE S

3 . Le programme Variables : I entier A, P, E, C réels f, g fonctions Entrées et initialisation Rentrer la fonction f f Id* g 1/ P E, C, A Traitement si f) = ou f1) = 1 alors Afficher "non retouche cond.1" Stop pour I de 1 à faire si fa) > fa+p) alors Afficher "non retouche cond." Stop E+ [ga)+ga+p)] P E si A, 5 alors C [ga)+ga+p)] P C C+ [ga)+ga+p)] P C A+P P Afficher "retouche ok" si E < alors Afficher E, "éclaircit" si E > alors Afficher E, "assombrit" Afficher "éclaircissement neutre" si C < alors Afficher C, "diminue de contraste" si C > alors Afficher E, "augmente de contraste" Afficher "contraste neutre" *Id : fonction identité x x Remarque : Pour avoir un calcul plus précis dans le calcul du contraste, on pourrait remplacer le pas de 1/ par un pas de 1/1 mais qui serait assez long pour une calculatrice. PAUL MILAN 3 TERMINALE S

4 .3 Différentes fonctions On peut prendre les fonctions des l énonce du bac 14 pour tester le programme ainsi que quelques autres pour tester si une fonction est une fonction retouche ou qu une fonction d éclaircissement nulle augmente ou : Résultats obtenus avec une calculatrice Nom Fonction Retouche Éclaircissement Contraste h 1 4 x 1 ) non condition 1 h ) 5π x sin non condition f 1 4x 3 6x + 3x oui E = neutre f ln[1+)x] oui E =, 8 assombrit f 3 x e x 1 oui E =, 183 éclaircit f 4 4x x+4 oui E =, 111 éclaircit C =, 11 C =, C =, 11 C = +, 1 f x) oui E = neutre C = +, 11 f 6 x 3 + 3x oui E = neutre f 7 sin π x ) oui E =, 136 assombrit C = +, 61 C =, 7 Représentation des fonctions retouches Id Id f h f 1.6 f 7.4. f 3 f 4.4. f 6 f 5 h 1 O O Les quatre fonctions du bac 14 Les autres fonctions PAUL MILAN 4 TERMINALE S

5 3 Applications sur une image Le logiciel "Blender 3D" est un logiciel libre permettant de créer des films en 3D. L outil permettant d appliquer une fonction aux niveaux de gris d une image est appelé "éditeur de nœuds" en anglais, "node editor"). On peut trouver un document permettant de construire les différentes fonctions ici Image originale fonction f 1 E =, C =, 11 fonction f E =, 8, C =, assombrit fonction f 3 E =, 183, C =, 11 éclaircit fonction f 4 E =, 111, C =, 1 éclaircit fonction f 5 E =, C =, 11 fonction f 6 E =, C =, 61 PAUL MILAN 5 TERMINALE S

6 4 Calculs exactes de l éclaircissement E = [ fx) x] dx = fx) dx x dx = [ x fx) dx ] 1 = fx) dx 1 Fonction f 1 E 1 = Fonction f 4x 3 6x + 3x) dx 1 = [ x 4 x + 3 x ] 1 1 = = Pour calculer E, il faut déterminer une primitive de ln[1+)x] par une intégration par partie voir supplément sur l intégration) On pose : ux) = ln[1+)x] et v x) = 1 On a alors : u x) = et vx) = x 1+)x On obtient : ln[1+)x] dx = x ln[1+)x] On décompose : On intègre : Finalement : E = = )x 1+)x dx = )x ) 1 1+ dx = x+ 1 1+)x ln[1+)x] dx = ln[1+)x] dx 1 = [ x )x 1+)x dx 1+)x dx = x+ 1 ln[1+)x] x+ 1 ) ln[1+)x] x ) ] 1 ln[1+)x] x ) ln 1 = = 1 1, 8 Fonction f 3 E 3 = xe x 1 dx 1 = [ 1 ex 1 ] 1 1 = 1 1 e 1 = 1 e, 184 Fonction f 4 E 4 = 4x ) x+4 dx 1 ] 1 [x = 15x+6 lnx+4) 1 = 15+6 ln 5 6 ln 4 1 = 6 ln 5 4 7, 111 On peut remarquer que la fonction f 3 éclaircit davantage que la fonction f 4 comme il était demandé dans l épreuve du bac PAUL MILAN 6 TERMINALE S