Apport des méthodes cinétiques à la simulation d écoulements dans les milieux poreux

Transcription

1 Apport des méthodes cinétiques à la simulation d écoulements dans les milieux poreux Thèse encadrée par J-L. Rouet 1 et B. Izrar 2 Financement : Bourse de la Région Centre Léonard de Izarra ISTO, Orléans Le 13 Janvier Pr., 2 Pr., ISTO Orléans ICARE Orléans

2 Sommaire 1/27 1 Contexte et objectifs 2 Présentation de la méthode 3 Résultats et validation de la méthode 4 Conclusion et Perspectives

3 Contexte et objectifs Position du problème 2/27 Proposer une méthode pour simuler des écoulements de gaz en milieux poreux Échelle de description : Échelles des pores Qualités : Valide du régime hydrodynamique jusqu au régime transitionnel (0 < K n 1) Applicable dans des géométries complexes Limites de validité : Écoulements de faible Mach (M a < 0.1) Gaz parfaits Applications : Injection/stockage du CO 2 ou de l hydrogène en milieu poreux Piles à combustibles Systèmes micro-électro-mécaniques (MEMS)

4 Contexte et objectif Régimes d écoulements 3/27 Régime d un écoulement micrométrique Nombre de Knudsen K n = Libre parcours moyen des particules du fluide Dimension caractéristique de l écoulement = λ L avec λ 1 n

5 Contexte et objectif Écoulements glissants et transitionnels 4/27 Paroi en x W de normale n U W et T W : vitesse tangentielle et température de la paroi Vitesse de glissement à la paroi u slip = u(x W ) U W = C 1 K n n u x + C 2 Kn 2 nn : x W 2 u x x x W Coefficients C 1 = 1 et C 2 = 0.13 Saut de température à la paroi T jump = T (x W ) T W = D + 2 K n n T D + 1 P r x x W D : Dimension de l espace P r : Nombre de Prandlt Dans la limite hydrodynamique (K n 0) : u slip 0 et T jump 0

6 Contexte et objectif Coexistence de plusieurs régimes d écoulements 5/27 Plusieurs régimes d écoulements peuvent coexister au sein d un même domaine Pour des raisons géométriques de confinement : plusieurs tailles caractéristiques L Pour des raisons thermodynamiques : variations de λ λ = C te et L 1 > L 2 K n 1 < K n 2

7 Contexte et objectif Coexistence de plusieurs régimes d écoulements Plusieurs régimes d écoulements peuvent coexister au sein d un même domaine Pour des raisons géométriques de confinement : plusieurs tailles caractéristiques L Pour des raisons thermodynamiques : variations de λ λ = 1 si n alors λ nσ n e > n s λ e < λ s 5/27

8 Contexte et objectif Coexistence de plusieurs régimes d écoulements 5/27 Plusieurs régimes d écoulements peuvent coexister au sein d un même domaine Pour des raisons géométriques de confinement : plusieurs tailles caractéristiques L Pour des raisons thermodynamiques : variations de λ Les deux effets peuvent se cumuler

9 Contexte et objectif Choix de la description et de la méthode Description cinétique valable pour tout K n Équation de Boltzmann ( ) f f t + v xf + g v f = t f (x, v, t) : Fonction de distribution à une particule Probabilité de trouver une particule avec la vitesse v à la position x à l instant t g ( = F ) /m : Accélération extérieure f : Effets des collisions entre particules sur f t coll L opérateur de collision BGK sera retenu pour sa simplicité ( ) f = 1 t τ (f f eq ) coll f eq (x, v, t) : Fonction de distribution d équilibre de Maxwell-Boltzmann τ : Temps de relaxation de f vers l équilibre f eq Représente un gaz de viscosité cinématique ν = θτ et de diffusivité thermique α = θτ en régime hydrodynamique (τ 1) coll 6/27

10 Contexte et objectif Choix de la description et de la méthode Description cinétique valable pour tout K n Équation de Boltzmann ( ) f f t + v xf + g v f = t f (x, v, t) : Fonction de distribution à une particule Probabilité de trouver une particule avec la vitesse v à la position x à l instant t g ( = F ) /m : Accélération extérieure f : Effets des collisions entre particules sur f t coll L opérateur de collision BGK sera retenu pour sa simplicité ( ) f = 1 t τ (f f eq ) coll f eq (x, v, t) : Fonction de distribution d équilibre de Maxwell-Boltzmann τ : Temps de relaxation de f vers l équilibre f eq Représente un gaz de viscosité cinématique ν = θτ et de diffusivité thermique α = θτ en régime hydrodynamique (τ 1) coll 6/27

11 Présentation de la méthode Généralités 7/27 Équation BGK Distribution d équilibre f t + v xf + g v f = 1 } {{ } τ (f f eq ) } {{ } Transport Collisions (BGK) f eq (x, v, t) = ) ρ(x, t) (v u(x, t))2 exp ( (2π θ(x, t)) D/2 2 θ(x, t) f et f eq partagent leurs trois premiers moments : Densité : ρ = f dv = f eq dv Impulsion : ρ u = v f dv = v f eq dv Énergie Totale : D ρ θ + ρ u 2 = v 2 f dv = v 2 f eq dv

12 Présentation de la méthode Généralités 7/27 Méthode de résolution de l équation de Boltzmann-BGK Splitting en temps des opérateurs de transport et de collision Transport Splitting d espace Schéma limiteur de flux Méthode spectrale en vitesses : projection sur la base des polynômes d Hermite Développement implicite de f selon l ordre de la quadrature Développement explicite de f eq à un ordre limité (ordre 2 en pratique) Quadrature de Gauss-Hermite pour le calcul des moments de f Induction de la discrétisation de l espace des vitesses Force extérieure appliquée lors des collisions par modification de f eq Conditions aux limites (2 types) Conditions aux bords de Maxwell avec accommodation totale Conditions aux limites pour les frontières ouvertes Densité (ρ) constante, température (θ) constante, pression (p = ρθ) constante etc. Extrapolation de Richardson pour les champs libres

13 Présentation de la méthode Algorithme de résolution 8/27 Algorithme : 1: Transport de f (x, v, t) sans collisions 2: Calcul des moments de f (x, v, t) 3: Détermination de f eq (x, v, t) 4: Relaxation de f ˆf eq (Collisions + Force extérieure) 5: go to 1 δf δt + v xf = 0 y f (t + δt) vδt v y δt f (t) v x δt x

14 Présentation de la méthode Algorithme de résolution 8/27 Algorithme : 1: Transport de f (x, v, t) sans collisions 2: Calcul des moments de f (x, v, t) 3: Détermination de f eq (x, v, t) 4: Relaxation de f ˆf eq (Collisions + Force extérieure) 5: go to 1 Densité : ρ = f d D v Impulsion : ρ u = v f d D v Énergie Totale : D ρ θ + ρ u 2 = v 2 f d D v ρ, u, θ

15 Présentation de la méthode Algorithme de résolution Algorithme : 1: Transport de f (x, v, t) sans collisions 2: Calcul des moments de f (x, v, t) 3: Détermination de f eq (x, v, t) 4: Relaxation de f ˆf eq (Collisions + Force extérieure) 5: go to 1 Densité : ρ = f d D v Impulsion : ρ u = v f d D v Énergie Totale : D ρ θ + ρ u 2 = v 2 f d D v ρ, u, θ f eq (x, v, t) = ) ρ(x, t) (v u(x, t))2 exp ( (2π θ(x, t)) D/2 2 θ(x, t) 8/27

16 Présentation de la méthode Algorithme de résolution 8/27 Algorithme : 1: Transport de f (x, v, t) sans collisions 2: Calcul des moments de f (x, v, t) 3: Détermination de f eq (x, v, t) 4: Relaxation de f ˆf eq (Collisions + Force extérieure) 5: go to 1 ˆf eq : f eq calculée avec û = u + gδt δf δt = 1 τ (f ˆf eq ) ˆf eq (v) f (v) v

17 Présentation de la méthode Projection sur la base des polynômes d Hermite Les fonctions de distribution f et f eq sont développées sur la base des polynômes d Hermite H n [θ0] à des ordres respectifs N et N eq f (x, v, t) = w [θ0] (v) f eq (x, v, t) = w [θ0] (v) N n=0 N eq n=0 Avec w [θ0] (v) = 1/ 2πθ 0 exp ( ) v 2 /2θ 0 a n (x, t) n! a eq n (x, t) n! H n [θ0] (v) H n [θ0] (v) Les coefficients a n et an eq sont les coefficients d Hermite des développements Ils sont donnés par la relation d orthogonalité des polynômes d Hermite généralisés : a n(x, t) = θ n 0 a eq n (x, t) = θ n 0 f (x, v, t) H [θ 0] n (v) dv f eq (x, v, t) H [θ 0] n (v) dv Ils sont essentiellement les moments de f et f eq 9/27

18 Présentation de la méthode Quadrature des moments Une quadrature de Gauss-Hermite à q points permet de calculer exactement les q premiers coefficients a n de f : a n = θ n 0 w [θ0] (v) f H[θ0] n (v) w [θ0] (v) dv = θn 0 avec f i = ω i f (x, v i, t) w [θ0] (v i ) q i=1 Les v i (i = 1... q) sont les q racines du polynôme H [θ 0] q Les ω i (i = 1... q) sont les q poids de la quadrature f i H [θ0] n (v i ) f i est une fonction de distribution discrète transportée à la vitesse v i poids H vitesse poids H vitesse poids H vitesse 10/27

19 Présentation de la méthode Quadrature des moments Une quadrature de Gauss-Hermite à q points permet de calculer exactement les q premiers coefficients a n de f : a n = θ n 0 w [θ0] (v) f H[θ0] n (v) w [θ0] (v) dv = θn 0 avec f i = ω i f (x, v i, t) w [θ0] (v i ) q i=1 Les v i (i = 1... q) sont les q racines du polynôme H [θ 0] q Les ω i (i = 1... q) sont les q poids de la quadrature f i H [θ0] n (v i ) f i est une fonction de distribution discrète transportée à la vitesse v i Les moments conservés de f i sont : ρ = q f i ρ u = i=1 q v i f i ρ θ + ρ u 2 = i=1 Exacts si le nombre de vitesses discrètes q 3 q v 2 i f i i=1 10/27

20 Présentation de la méthode Fonction d équilibre discrète 11/27 Pour une troncature de f eq à l ordre N eq = 2 s exprime explicitement : avec : f eq i = ω i ρ ρ = f eq f eq (x, v i, t) 2 i = ω i = ω i w(v i ) n=0 ( 1 + u v i + (u v i) 2 θ 0 2 θ0 2 + (θ θ 0) 2 θ 0 q f i ρ u = i=1 a n (x, t) H n [θ0] (v i ) n! q v i f i ρ θ + ρ u 2 = i=1 Exacts si le nombre de vitesses discrètes q 3 ( ) ) v 2 i 1 u2 θ 0 2 θ 0 q v 2 i f i i=1

21 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure 12/27 U 0 : vitesse maximale du champ de vitesse en régime hydrodynamique Ligne continue : champ de vitesse en régime hydrodynamique Flèches : champ de vitesse avec glissement Champ de vitesse : u x (y) = 4 U 0 ( y H y 2 H 2 ) } {{ } Composante hydrodynamique Débit : Q = 4 U 0 ( C 1K n + 2 C 2 K 2 n ( + 4 U 0 C1 K n + 2 C 2 Kn 2 ) } {{ } Glissement )

22 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille avec glissement 13/27 Débits expérimentaux pour le Poiseuille plan Les abscisses sont δ = (K n) 1 et les ordonnés le débit normalisé Q/(4 U 0 K n) On remarque que les résultats ne dépendent que très peu du gaz

23 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure Débits Convergence alternée Schémas d ordres impairs Surestimation du débit Schémas d ordres pairs Sous-estimation du débit Q 0 = 1 6 K n + C C 2 K n avec C 1 = 1, C 2 = /27

24 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure Débits 15/27 Convergence alternée Schémas d ordres impairs Surestimation du débit Schémas d ordres pairs Sous-estimation du débit Idée : Compenser la surestimation des schémas d ordres impairs par la sous-estimation des schémas d ordres pairs en combinant des schémas d ordres successifs Introduction de schémas composites Vitesses et poids des quadratures composites H 3 4, H 4 5 et H 7 (pour comparaison) : H 34 H 45 H H H H H poids poids poids vitesse vitesse vitesse

25 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure Débits Schémas "composites" H 3 4 surestime encore le débit Convergence vers les valeurs expérimentales pour H 4 5, H 5 6,... pour K n 2 Q 0 = 1 6 K n + C C 2 K n avec C 1 = 1, C 2 = /27

26 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure Profils de vitesse u x (y)/(4 U 0 ) = ( y H y 2 ) H } {{ 2 + ( C 1 K n + 2 C 2 K 2 ) n } {{ } } Glissement Composante hydrodynamique Profils obtenus par H /27

27 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure Vitesse de glissement à la paroi Schémas "purs" Convergence alternée Schémas d ordres impairs Surestimation du glissement Schémas d ordres pairs Sous-estimation du glissement U slip U 0 = 4 ( C 1 K n + 2 C 2 Kn 2 ) avec C1 = 1, C 2 = /27

28 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Force extérieure Vitesse de glissement à la paroi Schémas "composites" Convergence vers les valeurs théoriques de tous les schémas U slip U 0 = 4 ( C 1 K n + 2 C 2 Kn 2 ) avec C1 = 1, C 2 = /27

29 20/27 Résultats et validation de la méthode Validation de la thermique Saut de température à la paroi Champs de température entre deux parois maintenues aux températures ˆθ W ± = 1 ± 0.05 Validation : [ˆθ(y W ) ˆθ W ] = 4 3 K n ˆθ ŷ ŷw?

30 Résultats et validation de la méthode Validation de la thermique Saut de température à la paroi 21/27 Mesures de [ˆθ(ŷ W ) ˆθ W ] pour différentes valeurs de K n

31 Résultats et validation de la méthode Validation de la thermique Saut de température à la paroi Mesures de 4 3 K n ˆθ ŷ ŷw pour différentes valeurs de K n Ligne noire : Mesures de [ˆθ(y W ) ˆθ W ] obtenues grâce au schéma H 5 6 ˆθ(y W ) ˆθ W = 4 3 K n ˆθ ŷ ŷw est bien respectée par les différents schémas 22/27

32 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Gradient de densité 23/27 Entrée ρ e = 10 constante u e extrapolée depuis le fluide θ e extrapolée depuis le fluide K n e = K n s/ρ e = 0.1 Régime de glissement Sortie ρ s = 1 constante u s extrapolée depuis le fluide θ s extrapolée depuis le fluide K n s = 1 Régime transitionnel

33 Résultats et validation de la méthode Écoulement de Poiseuille Gradient de densité u y (x, y)/u y max 24/27 ρ(x, y) K n (x, y)

34 Résultats et validation de la méthode Effort numérique Figure: Temps de calcul en fonction du nombre de faisceaux (échelles Log-Log) pour les schémas basés sur les quadratures pures H n et composites H n n+1. Ces temps de calculs ont été normalisés par le temps de calcul du schéma basé sur H 3. 25/27

35 Conclusion et Perspectives 26/27 Deux familles de modèles ont été construites Les schémas simples (H n) convergent quand n de façon alternée Les schémas composites (H n n+1 ) accélèrent nettement la convergence Le schéma le plus simple prenant en compte le hors équilibre est H 4 5 De nouvelles conditions aux bords on été introduites durant cette thèse Prise en compte du hors équilibre sur les frontières ouvertes La méthode à été mise en œuvre en 1D, 2D et 3D Code écrit en langage C++ Possibilité de traiter des écoulements dans des géométries complexes + Étude de milieux poreux (effet Klinkenberg en géométries complexes) + Introduction de parois adsorbantes + Ajustement du Prandtl + Étendre les modèles aux écoulements multi-espèces + Écoulements réactifs

36 Merci de votre attention