Projet Modélisation : Navigation Lagrangienne. Louise Rousselet

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1 Projet Modélisation : Navigation Lagrangienne Louise Rousselet 23 mai 23

2 Table des matières Introduction 2 2 Objectifs 2 3 Méthodes de calcul des déformations 2 3. Compression/Dilatation Rotation Déformations dûes aux cisaillement Mouvement relatif près d un point Applications au logiciel 6 4. Le calcul des déformations Phase de test La Dilatation La rotation Le cisaillement Application à la spirale de lagrangian_navigation_demo Conclusion 9 A Annexe : Démonstration formules A. Le tenseur de contraintes A.2 La vitesse relative

3 Introduction Le but du projet LATEX était de marquer "une caractéristique dynamique de mésoéchelle" à l aide d un traceur passif (Sulfure Hexafluoride-SF6) associé à des bouées lagrangiennes afin d étudier les dynamiques physiques et biogéochimiques couplées sur les transfères de matière et de chaleur entre les zones côtières et le large. Comme le traceur se disperse dans la masse d eau en mouvement, il faut donc utiliser un système de référence lagrangien. Pour suivre le mélange turbulent et la dispersion du traceur il était nécessaire de constamment réajuster la trajectoire du bateau pour rester le plus proche possible du cadre de référence Lagrangien en mouvement avec la structure étudiée. Les chercheurs du MIO ont donc créé un logiciel plus performant que celui développé lors des précédentes études sur la dispersion d un traceur, qui permet de calculer la trajectoire que doit suivre le bateau dans un référentiel lagrangien représenté par une spirale à 8 coins. Pour cela les chercheurs ont mené quatre campagnes en mer dans la partie Ouest du Golf du Lion entre 27 et 28. Elles ont abouti au développement du logiciel LATEXtools_. dont la dernière version datait de 2. 2 Objectifs Lors de ces campagnes en mer la trajectoire du bateau a été représentée à la fois dans le repère géographique et dans un repère Lagrangien défini avec comme point de référence une bouée qui défini le centre initial du patch. Dans le package LATEXtools, la démo de Navigation Lagrangienne ne tient pas compte des déformations subies par la masse d eau au cours du temps. L objectif de ce projet est donc de créer un algorithme permettant de calculer les déformations de la masse d eau, translation, rotation et compression/dilatation, afin de les appliquer à notre spirale dans le référentiel Lagrangien. 3 Méthodes de calcul des déformations La difficulté pour pouvoir calculer des déformations de masse d eau dans ce cas est que le package n a été développé que pour suivre une seule bouée centrale. En effet le calcul de déformations met en jeu des dérivées partielles qu il est impossible de calculer avec une seule bouée. Il est donc indispensable de créer des axes autour de cette bouée de référence afin de pouvoir effectuer un travail en deux dimensions (axe des x et axe des y), pour approximer ces dérivées par des variations. C est pour cela qu on se propose d ajouter deux bouées, assez éloignées d au moins deux mailles, au système de référence pour simuler ces deux axes dont nous avons besoin. En effet chaque bouée possèdera son propre vecteur vitesse, en fonction du 2

4 champ de courant auquel elle est associée, et donc ses propres composantes u et v. Nous pourrons donc faire l approximation que la dérivée partielle u, par exemple, deviendra la variation des composantes u des vitesses de deux bouées (ex : u = u A u B ). De plus le fait d ajouter deux bouées supplémentaires permettra l apparition des termes et y correspondant aux distances entre la bouée B et la bouée de référence A, et entre la bouée C et la bouée de référence A. Figure Schéma : Les points B,C représentent les deux bouées à ajouter autour de la bouée de référence (point A). Tout au long de ce projet nous restreindrons donc toutes les formules en deux dimensions (2D). 3. Compression/Dilatation La compression et la dilatation sont analogue à une transformation linéaire et correspondent donc à une variation de longueur par unité de longueur au cours du temps. En D la formule de compression/dilatation est : D u (δs) = δs Dt () Pour notre cas, le taux de compression, ou dilatation en 2D, que nous appelons C devient la matrice suivante : [ [ Cxx C u [ ub u C ij = xy = A v = AB (2) C yx C yy y v c v A AC Pour n importe quels points de la spirale dont les coordonnées sont (xx,yy), les nouvelles coordonnées de la spirale, ayant subit une compression ou dilatation, sera : xx new = C xx xx dt + xx 3

5 yy new = C yy yy dt + yy où dt est le temps pendant lequel les bouées se déplacent et la déformation est calculée Figure 2 Déformation subit par l objet après compression et dilatation 3.2 Rotation Pour calculer une rotation on utilise deux axes dont on calcul la rotation. Ensuite il nous suffit de déterminer la moyenne de rotation des deux axes pour définir notre taux de rotation. Pour cela on utilise la formule de la vorticité : ω = 2 u = 2 [ u y v v u y Dans notre cas d étude la matrice de rotation devient donc : R ij = [ [ Rxx R xy = 2 ( u y v ) 2 R yx R yy 2 2 ( v u y ) Appliquée à notre problème la matrice devient : (3) (4) R ij = 2 [ 2 ( u C u A AC 2 ( v B v A AB u C u A AC ) v B v A AB ) En prenant les mêmes vecteurs des coordonnées de la spirale les nouvelles coordonnées après rotation seront calculées comme suit : xx new = R xy yy dt + xx yy new = R yx xx dt + yy Ici, on néglige ω =, qui correspondrai à un fluide irrotationnel. 4

6 Figure 3 Rotation d un objet 3.3 Déformations dûes aux cisaillement Un fluide peut aussi changer de "forme" à cause des tensions visqueuses. Les déformations, dû au cisaillement, d un éléments sont définies comme la variation de l angle formé par deux lignes perpendiculaires sur l élément. Cependant elles peuvent aussi être décrites comme un tenseur de contraintes définit par la matrice suivante (voir Annexe pour la démonstration) : [ [ Sxx S S ij = xy = S yx S yy 2 ( u 2 ( u ) Les termes anti-diagonaux correspondent à 2 de la déformation dû au cisaillement. Si on introduit les termes de notre problème, on obtient la matrice de déformations suivantes : S ij = [ ( u C u A 2 AC ( u C u A 2 + v B v A AC AB ) ) + v B v A AB ) Les nouvelles coordonnées de la spirale après cisaillement seront : (5) xx new = S xy yy dt + xx yy new = S yx xx dt + yy Figure 4 Déformation de l objet dûe au cisaillement créé par un gradient de vitesse 5

7 3.4 Mouvement relatif près d un point Le mouvement relatif au voisinage d un point peut être définit dans notre cas, en ajoutant toutes les déformations, par la matrice Jacobienne suivante : = [ u v y [ + 2 J(u) = C ij + S ij + R ij u y + [ v u + 2 u y v v u y Notre matrice obtenue correspond bien à la formule théorique de la vitesse relative au voisinage d un point donné par le "Fluids Mechanics" ( Pijush K. Kundu, Ira M. Cohen ) (démonstration en annexe) où e ij correspond à la somme de la matrice de compression (C ij ) et celle de cisaillement (S ij ), et ω à la matrice de rotation (R ij ) : v r = e ij dy + ωdx (6) 2 La vitesse relative au voisinage d un point peut donc être décomposée en deux composantes : - dûe aux déformations, compression et cisaillement ( er terme ) - dûe à la vitesse angulaire de l élément ( 2nd terme ) Figure 5 Déformation subit par l objet dans une masse d eau 4 Applications au logiciel 4. Le calcul des déformations Comme il a été dit précédemment, pour calculer les déformations de la masse d eau il a fallu ajouter deux autres bouées au système. Les coordonnées de ces deux bouées sont calculées par le programme afin qu elles se trouvent à une distance de 3km de la bouée de référence pour qu elles ne soient ni trop loin ni trop proche. Leur déplacement est calculé de la même façon que celui de la bouée de référence afin d obtenir une figure où est dessinée le trajet des trois bouées. Ensuite trois fonctions ont été créées pour coder les calculs respectif de rotation, compression et déformation. 6

8 4.2 Phase de test Avant de calculer les déformations directement et de les appliquer à la spirale il a fallu vérifier que les codes fonctionnaient correctement. Il a donc fallu réaliser plusieurs tests dans des champs de courant idéalisés afin de mettre en évidence la fonctionnalité des différents codes de calcul La Dilatation Pour la dilatation nous avons choisi un champ de vitesse horizontal qui accélère avec la longitude afin de voir un étirement progressif de plus en plus important. Le champ crée est peu réaliste car la composante u de la vitesse varie de à 6 m/s. Cependant cela était nécessaire pour une meilleur visibilité des déformations (Fig. 6). De plus le code crée une simulation de mouvement pendant 25s et une image de la spirale a été affiché toutes les 5s. Figure 6 Figures test pour la dilatation de la spirale. Le déplacement de la "spirale" carrée est représenté dans un champ de vitesse accéléré avec la longitude. Voir texte pour plus d informations La rotation Pour la rotation un tourbillon idéalisé a été utilisé pour faire le test. Le code simule le déplacement pendant 8s et une image de la spirale est prise toutes les 5s (Fig. 7). 7

9 Figure 7 Figures test pour la rotation de la spirale Le cisaillement Pour le cisaillement le code simule un déplacement pendant 5s. Le champ de vitesse conçu est horizontal et accéléré, de à 6m/s, en fonction de la latitude. Un image de la spirale déformée est prise toutes les 8s (Fig. 8). Figure 8 Figures test pour le cisaillement de la spirale dans un champ de vitesse accéléré avec la latitude. 4.3 Application à la spirale de lagrangian_navigation_demo Dans le package LATEXtools le script lagrangian_navigation_demo calcule la trajectoire que doit suivre un bateau pour suivre une spirale théorique 8

10 à 8 coins afin d échantillonner la masse d eau. Dans l ancienne version la spirale se déplace avec le courant mais n est pas déformée. Pour calculer ces déformations on créé trois fonctions qui calculent les déformations analogues aux scripts tests ( Annexe B., B.2, B.3 ). Ces taux de déformations sont appliqués aux nouvelles coordonnées de la spirale, calculées grâce à la fonction spiral_calculation. Les déformations sont appliquées de la même manière qu elles le sont dans les scripts tests. La spirale est donc déformée au fur et à mesure de la navigation. Sur la figure suivante les bouées ont été positionné dans l eau, au début de la navigation la spirale n est pas déformée. Plus la navigation avance plus la spirale est déformée (Fig. 9). Figure 9 La spirale déformée est représentée en bleu. En rouge la spirale non déformée. 5 Conclusion La spirale théorique du script lagrangian_navigation_demo représente la masse d eau dans laquelle un traceur est relâché. Grâce à un système simple en deux dimensions représenté par trois bouées à la surface de l eau, il a été possible de calculer des taux de déformations en utilisant des formules théoriques de compression, de rotation et de cisaillement. Il était indispensable que ces déformations soient appliquées à la spirale car le cap suivi par le bateau est calculé par rapport à la position des 8 coins de la spirale. En effet pour échantillonner correctement la masse d eau le bateau doit suivre au maximum la trajectoire de la spirale. Dans le script lagrangian_navigation_demo le bateau doit atteindre successivement les 8 coins de la spirale. Le cap calculé sera donc maintenu jusqu à ce que le bateau atteigne le coin puis il changera pour que le bateau atteigne le coin 2 et ainsi de suite. Si la spirale n est pas déformée le cap suivi par le bateau n est pas assez précis comme le montre la (Fig. 9). Il y a une différence nette entre la position géographique des coins de la spirale qui n a pas été déformée et de celle qui l a été. Il était donc nécessaire que ce script représente au maximum la réalité car il pourra être utilisé dans des conditions réelles en mer. Ainsi la trajectoire du bateau peut être plus précise. 9

11 Figure La spirale déformée est représentée en rouge. En vert la spirale non déformée et en bleu la trajectoire du bateau. A Annexe : Démonstration formules A. Le tenseur de contraintes Partons de la notation d Einstein du tenseur : e ij = 2 ( u i j + u j i ) (7) On simplifie cette notation à notre problème en prenant u = u, u 2 = v, x = x et x 2 = y : [ exx e soit e ij = xy notre matrice de départ. e yx e yy En utilisant l éq. (2) on obtient : e xx = ( u 2 + u ) = u e yx = 2 ( u 2 + u 2 ) = 2 ( u ) Par analogie on construit la matrice correspondante : [ e ij = u 2 ( u ) 2 ( u ) v y Si on introduit les termes de notre problème, on obtient la matrice de déformations suivantes :

12 [ u B u A e ij = AB 2 ( u C u A AC ( u C u A + v B v A 2 AC + v B v A ) v C v A AB AC AB ) (8) La matrice e ij correspond donc bien à la somme de la matrice de compression (en diagonale) et de la matrice de cisaillement (anti-diagonale). A.2 La vitesse relative La vitesse relative est définie par l équation suivante : du i = u i j dx j On peut décomposer le gradient de vitesse du tenseur en deux parties comme suit : Par exemple : u y = 2 ( u ) + 2 ( u y v ) = e xy + 2 ω Appliqué à notre formule théorique elle devient : du i = (e ij + 2 ω)dx j = e ij dy + ωdx (9) 2