BTS Services informatiques aux organisations 1 re année. Éric Duquenne. Mathématiques. devoirs DG WB 00 13

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1 BTS Services informatiques aux organisations 1 re année Éric Duquenne Mathématiques devoirs DG WB

2 Devoir 1 Pour réussir ce devoir, il faudra avoir étudié : l unité 1 Logique-Ensemble-Algèbre de Boole, séquences 1 et 2 ; l unité 2 Fonction d une variable réelle, en particulier les séquences 3 et 5 ; l unité 3 Suites numériques, uniquement la séquence 1. Thèmes abordés Calcul propositionnel. Algèbre de Boole et tableaux de Karnaugh. Généralités sur les suites numériques. XXExercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points) Un stagiaire en informatique note P et Q les propositions suivantes : P : «l adresse IP et son masque sont connus» Q : «l adresse de l hôte est connue» 1. Traduire par une phrase la proposition P, contraire de P. 2. Traduire par une phrase l implication P Q. 3. Établir la table de vérité de P Q, puis celle de P Q (Rappel : (P Q) (P Q)) 4. Que déduire de ces deux tables de vérité? 5. Une tautologie est une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel. a. A étant une proposition quelconque, montrer à l aide d une table de vérité que A A 1 c est-à-dire que A A est une tautologie. b. En déduire que la proposition (P Q) (P Q) est une tautologie. c. En utilisant les règles du calcul propositionnel donner la négation de (P Q) (P Q). d. La proposition (P Q) (P Q) est-elle une tautologie? Justifier. XXExercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points) Pour ses voyages d affaire M. Paul, gérant d une société de maintenance informatique voyage soit en avion soit en train, il se rend soit en Belgique soit en Espagne et il voyage soit avec son associé soit seul. On notera a, b et c les variables booléennes définies par : a = 1 pour «voyager en avion», a = 0 pour «voyager en train». b = 1 pour «se rendre en Belgique», b = 0 pour «se rendre en espagne». et c = 1 pour «voyager en compagnie de son associé», c = 0 pour «voyager seul». Sur son agenda, M. Paul relit ses notes et découvre que pour son prochain voyage d affaire, il ira en Espagne seul ou en avion en Espagne ou encore en Belgique en avion ou en Belgique seul ou seul en train en l Espagne DG WB 00 Page 2

3 Voulant clarifier ses notes il décide d exprimer les contraintes grâce à une fonction booléenne de variables a, b et c. 1. Comment traduire à l aide de ces variables booléennes «voyager seul en train en Espagne»? 2. Que signifie en termes de voyage l expression booléenne a + c? 3. Déterminer une expression booléenne permettant à M. Paul de décrire ses possibilités de voyage. 4. Montrer que cette expression booléenne peut s écrire b c + a + bc + a b c. 5. Etablir le tableau de Karnaugh de l expression booléenne b c + a + bc + a b c. 6. Simplifier à l aide du tableau de Karnaugh cette expression. 7. Vérifier algébriquement ce résultat. 8. L assistante de M. Paul lui avait laissé une note l informant que la seule contrainte pour son prochain voyage était : «vous ne pourrez pas voyager en train avec votre associé». a. Simplifier algébriquement b c + a + bc + a b c b. L assistante de M. Paul avait-elle raison? Justifier. XXExercice 3 (généralités sur les suites numériques) (10,5 points) Partie A (3,75 points) Soit la suite de terme général U n définie pour tout entier naturel n par U n = 25n On notera f la fonction définie sur [0;+ [ par f(x)= 25x n + 2 et on remarquera que U n =f(n). 2x Calculer les valeurs des termes U 9 et U 10 arrondies à 10-3 près. 2. La fonction f est dérivable sur [0;+ [, montrer que f (x)= 50 (2x + 2) 2 3. En déduire le sens de variation de f puis celui de la suite de terme général U n. 4. En déduire que la suite de terme général U n est majorée par Pour tout entier naturel n, étudier le signe de U n 12,5. 6. La suite de terme général U n est-elle bornée? Justifier 7. Déterminer l indice n à partir duquel que U n < 14 en résolvant algébriquement l inéquation. Partie B (3,75 points) Soit la suite de terme général V n définie pour tout entier naturel n par V n = 14 0,9 n. 1. Calculer les valeurs des termes V 9 et V 10 arrondies à 10-3 près. 2. Pour tout entier naturel n, étudier le signe de V n+1 Vn, en déduire que la suite de terme général V n est croissante. 3. Montrer que la suite de terme général V n est majorée par Montrer que la suite de terme général V n est minorée par Déterminer l indice n à partir duquel que V n > 13,9 en résolvant algébriquement l inéquation. 6. Montrer que pour tout entier naturel n, on a V n+1 = 0,9Vn +1, DG WB 00 Page 3

4 Partie C (3 points) Soit f la fonction définie sur [0;+ [ par f(x)= 25x + 50 dont la représentation graphique est Ca 2x + 2 dans le repère du plan ci-dessous. On rappelle que U n =f(n). Soit g la fonction définie sur [0;+ [ par g(x)= 14 0,9 x, dont la représentation graphique est Cb, dans le repère du plan ci-dessous. On remarquera que V n =f(n). Ces deux fonctions ont été représentées graphiquement dans ce repère du plan. y Cb Ca x 1. Par lecture graphique, déterminer l indice n à partir duquel U n <14. Vérifier la réponse apportée au 7. de la partie A. 2. Déterminer par lecture graphique, des valeurs approchées de U 5 et de V Graphiquement, préciser pour quelles valeurs de n, on a V n <U n, on utilisera également les questions 1. des parties A et B DG WB 00 Page 4

5 Devoir 2 Pour réussir ce devoir, il faudra avoir étudié : l unité 3 Suites numériques, intégralement ; l unité 4 Calcul matriciel, intégralement. Thèmes abordés Limites de suites Suites arithmétiques et géométriques Calcul matriciel XXExercice 1 (Suites, convergence, arithmétiques et géométriques) (13 points) Une entreprise spécialisée dans la production de disques durs a réalisé une étude prévisionnelle portant sur la production de son nouveau disque dur. Dans cette étude on estime que la suite de terme général U n permettra de suivre l évolution mensuelle de la production de disques durs exprimée en milliers d unités. Pour tout entier naturel n tel que n 1 on a U n = ,75 n. Ainsi le premier mois de fabrication, la production de disques durs sera de U 1 milliers. U 1 = 5 ce qui signifie que 5000 disques durs seront fabriqués le premier mois. Les trois parties sont indépendantes. Partie A (6,5 points) 1. Compléter ce tableau. mois n Un arrondi à 10-3 près. 5 nombre de disques durs produits le mois n arrondi à l unité DG WB 00 Page 5

6 2. Soit f la fonction définie sur [1;+ [par f(x) = ,75 x dont voici la représentation graphique : y C f x a. Indiquer par lecture graphique une valeur approchée de U 8. b. En déduire une valeur approchée du nombre de disques durs fabriqués le huitième mois. 3. Prouver que la suite de terme général U n est croissante. 4. Montrer que cette suite est majorée. 5. En déduire que cette suite converge. 6. Est-il possible que cette entreprise produise plus de disques durs en un mois? a. Justifier graphiquement. b. Justifier à l aide d une résolution algébrique d inéquation. 7. Calculer la limite de cette suite. 8. En utilisant les réponses aux questions précédentes, expliquer ce que signifie cette limite pour cette production de disques durs. Partie B (3 points) Afin de réaliser des sommes de termes consécutifs, on décompose la suite de terme général U n en U n = 20 + V n où V n = ,75 n et ce pour tout entier naturel n tel que n La suite de terme général V n est-elle arithmétique ou géométrique? Justifier. 2. En déduire la valeur exacte de la somme V k c est-à-dire de V 1 +V 2 +V 3 + +V 12, puis une valeur approchée à 10-3 k = 1 près. k = 12 k = Montrer que U k = , Que signifie cette somme pour cette entreprise? k = DG WB 00 Page 6

7 Partie C (3,5 points) L étude estime que le bénéfice annuel réalisé par la commercialisation de ce disque dur générera un bénéfice de 2 millions d euros la première année, mais que chaque année suivante, il diminuera de , en raison de la concurrence et de l émergence de produits plus performants. On notera B 1 le bénéfice réalisé la première année et B k le bénéfice réalisé l année de rang k. 1. Exprimer B k+1 en fonction de B k et préciser la valeur initiale B Préciser la nature de cette suite, puis exprimer B k en fonction de k. 3. En déduire le nombre d années pendant les quelles la production de ce disque dur générera un profit pour cette entreprise. 4. Déterminer le bénéfice total réalisé durant toute la période de profit. XXExercice 2 (matrices) (7 points) Un assembleur soude 3 types de composants électroniques e, f et j sur 3 types de cartes mères, I, II et III. Sur la carte de type I, il soude 2 composants e, 3 composants f et 1 composant j. sur celle de type II, il soude 1 composant e, 2 composants f et 1 composant j. et sur celle de type III, il soude 1 composant e, 4 composants f et 2 composants j. Partie A (2,5 points) 1. Compléter ce tableau en utilisant les données. carte I carte II carte III nombre de composants e nombre de composants f nombre de composants j 2. En octobre, cet assembleur produit et vend 400 cartes de type I, 450 de type II et 510 de type III, de plus la vente d une carte de type I génère un bénéfice de 4, une carte de type II : 7 et une carte de type III : 10. a. Combien de composants e, a-t-il soudé en octobre? On pose A= et B= ( ) C= b. Est-il possible de calculer le produit A B? Justifier. c. Calculer B A, que représente cette matrice produit pour cet assembleur? d. Calculer B C, que représente cette matrice produit pour cet assembleur? DG WB 00 Page 7

8 Partie B (4,5 points) Les composants e, f et j soudés sur la première carte mère coûtent au total 6,70, ceux de la deuxième coûtent 5,1 et enfin ceux de la troisième carte mère coûtent 9,1. On notera x le prix en euro du composant e, y celui de f et z celui de j. Le but de cette partie est de trouver le prix de chacun de ces composants. 1. Établir le système (S) de trois équations permettant de déterminer les trois prix. (Ne pas résoudre le système dans cette question) x 6,7 Soit A= 1 2 1, I= 0 1 0, X= y et D= 5, z 9,1 2. Calculer le produit A X. 3. a. Calculer A², A 3 puis 4A+6A² A 3. b. En déduire qu il existe une matrice A -1 telle que A A -1 = A -1 A=I, et exprimer A -1 en fonction de A. c. Vérifier que A -1 = a. Écrire une égalité matricielle, utilisant A, D et X qui permettra de traduire les contraintes de coût des composants. b. Montrer que l égalité matricielle est équivalente à X=A -1.D. c. En déduire les prix des trois composants. CONNECTÉ À VOTRE AVENIR Les cours du CNED sont strictement réservés à l usage privé de leurs destinataires et ne sont pas destinés à une utilisation collective. Les personnes qui s en serviraient pour d autres usages, qui en feraient une reproduction intégrale ou partielle, une traduction sans le consentement du CNED, s exposeraient à des poursuites judiciaires et aux sanctions pénales prévues par le Code de la propriété intellectuelle. Les reproductions par reprographie de livres et de périodiques protégés contenues dans cet ouvrage sont effectuées par le CNED avec l autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie (20, rue des Grands Augustins, Paris). CNED DG WB 00 Page 8