Chapitre 1. Divisibilité dans Z

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1 Chapitre 1 Divisibilité dans Z I Divisibilité dans Z Définition 1: Multiple diviseur d un nombre Soit a et b deux entiers relatifs On dit que a est un multiple de b ( ou que b est un diviseur de a ) s il existe un entier relatif k tel que a = kb On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a Notation : on note b a pour dire que b divise a Théorème 1 : 1 Tout nombre entier non nul a un nombre fini de diviseurs 2 Tout nombre non nul n admet pour diviseurs 1, 1, n et n 0 est multiple de tout nombre entier, mais 0 n a qu un seul multiple : lui-même Théorème 2 : Transitivité Soit a, b et c trois entiers relatifs Si a divise b et b divise c alors a divise c Démonstration : si a divise b alors il existe un entier q tel que b = aq De plus, on sait que b divise c donc il existe un entier k tel que c = kb Par transitivité de la multiplication, c = kaq = (kq)a Donc a divise c Théorème 3 : Combinaison linéaire Soit a, b et c trois entiers relatifs tels que c 0 Si c est un diviseur commun de a et b alors, pour tous entiers m et n, c divise ma + nb En particulier, c divise a + b et a b Démonstration : Si c est un diviseur commun de a et b alors il existe un entier q et un entier k tels que a = qc et b = kc Ainsi, pour tout entier m et n, ma + nb = mqc + nkc = (mq + nk)c comme m, q, n, k sont des entiers, le nombre mq + nk est un entier, donc c divise ma + nb En particulier, pour m = n = 1, on a c divise a + b et m = 1 et n = 1, c divise a b Exercices p 33 1 Divisibilité dans Z Page 1 sur 1 Terminale S

2 II Division euclidienne Définition 2 : Division euclidienne Soit a un entier relatif et b un entier non nul Il existe un unique couple (q, r) d entiers relatifs vérifiant à la fois : a = bq + r et 0 r < b On nomme division euclidienne de a par b l opération qui au couple (a, b) associe le couple (q, r) : a est le dividende, best le diviseur, q est le quotient et r le reste On a alors q = E a b et r = a bq Conséquences : Dans la division euclidienne de a par b, il n y a que b restes possibles : 0, 1,, b 1 b divise a si et seulement si le reste est nul dans la division de a par b III Les congruences Exercices p 33/39 Définition 3 : Congruence Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a et b deux entiers relatifs On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n On note alors a b( modulo n) ou a b( n) a b( n) b a( n) a a( n) Théorème 4 : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a et b deux entiers relatifs a b( n) si et seulement si a b est un multiple de n, c est à dire a b 0( n) Démonstration : Par définition, a b( n) équivaut à «il existe trois entiers q, k et r, 0 r < n, tels que a = nq + r et b = nk + r» équivaut à «il existe trois entiers q, k, r tels que a b = nq nk = (q k)n» équivaut à a b 0( n) Théorème 5 : Transitivité Soit a, b et c trois entiers relatifs et n un entier naturel Si a b( n) et b c( n) alors a c( n) 1 Divisibilité dans Z Page 2 sur 2 Terminale S

3 Théorème 6 : Opérations Soit n un entier naturel et a, a, b et b des entiers relatifs tels que a b( n) et a' b'( n) alors 1 a+ a' b+ b' ( n) 2 a a' b b' ( n) k k 3 pour tout k N, a b ( n) Démonstration : a b( n) il existe k appartenant à Z tel que a= kn+ b a' b'( n) il existe q appartenant à Z tel que a' = qn+ b' 1 a + a = kn + b + qn + b = kn + qn + b + b = (k + q)n + b + b Ainsi, a + a b + b (n) 2 a a = (kn + b) (qn + b ) = kqn² + kb n + bqn + bb = (kqn + kb + bq)n + b b Ainsi, a a b b (n) k k 3 Pour tout k entier naturel, posons P k : «a b ( n)» Pour k = 0, a 0 = 1 et b 0 = 1 Ainsi, a 0 b 0 ( n ) p p Supposons La proposition P k vraie jusqu à un certain p, c est à dire a b ( n) p 1 Comme a b( n), d après la proposition précédente, + p a b + 1 ( n) P k+1 est vraie k k Ainsi, pour tout k N, a b ( n) IV PGCD et PPCM de deux entiers Exercices p 35 à 39 TD 4 p 31 Théorème et Définition 4: PGCD et PPCM Soit a et b deux entiers relatifs non nuls L ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément D, appelé le PGCD de a et b L ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément M, appelé le PPCM de a et b Notation : D = PGCD(a, b) M = PPCM( a, b) Remarque : le PGCD de a et b est un nombre positif Définition 5: Nombres premiers entre eux On dit que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, lorsque leur PGCD est égal à 1 1 Divisibilité dans Z Page 3 sur 3 Terminale S

4 Théorème 7 : Algorithme d Euclide Soit a et b deux entiers naturels non nuls La suite des divisions euclidiennes : > de a par b : a = bq 0 + r 0 > de b par r 0 ( si r 0 0) : b = r 0 q 1 + r 1 > de r 0 par r 1 ( si r 1 0) : r 0 = r 1 q 2 + r 2 > de r n 1 par r n ( si r n 0) : r n-1 = r n q n+1 + r n+1 finit par s arrêter, un de ses restes étant nuls Le dernier reste non nul est alors le PGCD de a et b ( si r 0 = 0, c est b) Application : Déterminer le PGCD de 1365 et 858 Propriété 1 : Exercices p 34 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et D leur PGCD Il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D Démonstration : Considérons l ensemble G des entiers naturels non nuls de la forme am + bn ( avec m et n dans Z) G est donc une partie de N Lemme : Toute partie non vide de N admet un plus petit élément a G donc G n est pas vide et donc G admet un plus petit élément noté d Aussi, am + bn = d Donc le PGCD(a, b) divise d Donc D d On démontre alors que d divise PGCD(a, b) D après la division euclidienne, a = dq + r avec 0 r < d a dq r r a dq = + = et am + bn = d donc ( ) r a ( 1 qn) b( nq) r = a an+ bn q soit = r est de la forme am + bn or r < d et d est le plus petit élément de G donc r n appartient pas à G Donc r = 0 et d divise a On démontre de même que d divise b et donc d divise le PGCD(a,b) Donc d D Ainsi, D = d et au + bv = D Théorème 8 : Propriétés du PGCD Soit a, b et c trois nombres entiers non nuls PGCD(ac, bc) = c PGCD(a, b) Démonstration : Soit ac et bc deux entiers relatifs non nuls et D leur PGCD Il existe deux entiers relatifs u et v tels que acu + bcv = D Donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que c(au + bv) = D donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv= D c 1 Divisibilité dans Z Page 4 sur 4 Terminale S

5 Soit D le PGCD de a et b, D divise toute combinaison linéaire de a et b, ainsi, D divise au + bv donc D divise D c donc il existe un entier k tels que D = kcd Soit D le PGCD de a et b, Il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = D donc acx + bcy = D c Or D est le PGCD de ac et bc donc D divise D c donc il existe un entier q tel que qd = D c Ainsi, D = kcd et qd = D c kq = 1 k = q = 1 ou k = q = 1 ( puisque k et q sont des entiers) Ainsi, PGCD(ac, bc) = c PGCD(a, b) Théorème 9 : Propriétés du PGCD Soit a et b deux nombres entiers non nuls et n un nombre naturel Si n divise a et b alors n divise PGCD(a, b) Démonstration : n divise a et b donc, d après le théorème 3, il existe deux nombres u et v tels que n divise au + bv, et d après la propriété 1, au + bv = D donc n divise D II Théorèmes fondamentaux Théorème 10 : Théorème de Gauss Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls Si a divise bc et a est premier avec b, alors a divise c Démonstration : a divise bc et, par définition, a divise ac donc, d après le théorème 9, a divise le PGCD (ac,bc) D après le théorème 8, PGCD (ac,bc) = c PGCD (a,b) Comme a et b sont premiers entre eux, PGCD (a,b) = 1 Donc PGCD (ac,bc) = c Donc a divise c Exercice 19 p 33 Théorème 11 : Théorème de Bézout Soit a et b deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs tels que au + bv = 1 Démonstration : Comme a et b sont premiers entre eux, PGCD (a,b) = 1 donc d après la propriété 1, au + bv = 1 Réciproquement, s il existe (u,v) tels que au + bv = 1 alors l ensemble des diviseurs de a et de b divise 1 Donc PGCD (a,b) = 1ou PGCD (a,b) = 1 Donc PGCD (a,b) = 1 a et b sont premiers entre eux 1 Divisibilité dans Z Page 5 sur 5 Terminale S

6 Corollaire : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls L équation ax + by = d ( d entier fixé non nul ) admet des solutions entières si et seulement si, d est un multiple de D = PGCD(a, b) Théorème 12 : Propriétés du PGCD et du PPCM Soit a et b deux entiers naturels non nuls 1 Il existe deux entiers a et b premiers entre eux, tels que : a = Da et b = Db 2 On a les relations : M = Da b = ab = a b et MD = ab 3 L ensemble des diviseurs communs à a et b est l ensemble des diviseurs de D 4 L ensemble des multiples communs à a et b est l ensemble des multiples de M Application : Déterminer le PGCD et le PPCM de 1365 et 858 Exercice p p 39 TD p 26 1 Divisibilité dans Z Page 6 sur 6 Terminale S