Livret d exercices - Première S. Association Tremplin

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1 Livret d exercices - Première S Association Tremplin

2 Table des matières I Présentation du livret 2 Quelques conseils pour les tuteurs Dates importantes II Séances de Mathématiques 4 Cryptographie : Chiffrage de Hill Modélisation Mathématique Olympiades de Maths Factorielles & Symboles Coefficients binomiaux & Probabilités Raisonnement par l Absurde Principe des Tiroirs Relation de divisibilité Congruences & Modulo Le nombre d or Dérivation & Optimisation Structures fractales Calcul de Pi selon Archimède III Séances de Physique 18 Mécanique du skieur Quelques phénomènes optiques La fibre optique Culture générale et problèmes concrets en mécanique IV Anciennes séances (à retravailler) 23 Cryptographie : Chiffrage de Hill Culture générale et problèmes concrets en mécanique Les bulles Loi de Laplace

3 Première partie Présentation du livret 2

4 Quelques conseils pour les tuteurs Bienvenue aux nouveaux tuteurs! Ce livret a pour objectif de vous aider dans la préparation de vos séances en premières S en mathématiques et en physique. Il s agit de séances réalisées les années précédentes mais, bien entendu, vous pouvez développer vos propres séances. Durant ces séances, à la différence d un cours prodigué par un professeur, la transmission d un savoir particulier n est pas le point clé. Certes, il est toujours intéressant pour les élèves d avoir déjà vu certains chapitres ou d acquérir certaines méthodes mais il ne faut pas s étonner si la discussion de certaines séances s oriente spontanément sur les études post-bac. Ne voyez pas cette séance, durant laquelle les élèves n ont "rien" appris, comme un échec, au contraire les élèves vous seront reconnaissants d avoir présenté l enseignement supérieur qui reste pour eux très flou. Le tuteur est un interlocuteur accessible, proche des élèves et doté d une certaine expérience qu il se doit de partager! Dans tous les cas, privilégiez le dialogue avec les élèves car c est le dynamisme d un groupe qui conditionne la réussite d une séance. Les premières S ont un bagage scientifique très mince en début d année, évitez de les brusquer avec des notions nouvelles trop ambitieuses. On peut rechercher des exercices ludiques afin de leur redonner confiance et leur faire prendre conscience de tout ce qu ils savent déjà. Pour toutes les séances de physique et de chimie, il faut veiller à les introduire sous l angle de l application afin de captiver l attention des élèves. D une manière générale, ils sont friands d anecdotes et de défis ce qui permet de détendre l atmosphère et d échapper au cadre trop formel d un cours classique. N hésitez pas non plus à apporter un certain historique sur le thème enseigné. Dates importantes Quelques dates clefs sont rappelées ici afin de donner au tuteur une vue d ensemble des événements organisés par l association au cours de l année et actions requises auprès des élèves : Octobre/Novembre : Inscription des élèves dans une base de données Novembre : Assemblée Générale de l association Décembre : Demande des copies des bulletins du premier trimestre Décembre : Journée de l orientation pour les élèves (De même en février) Février : Attestation de participation des élèves au dispositif Vacances de Février : Stage de préparation au concours des écoles d ingénieur à prépa intégrées Mars : Réalisation du nouveau livret d exercices Vacances de Pâques : Stage de préparation au bac et ateliers scientifique pour les terminales 3

5 Deuxième partie Séances de Mathématiques 4

6 Cryptographie : Chiffrage de Hill Idée pour une première séance Prérequis Savoir faire une division euclidienne entre deux entiers relatifs. Résumé de la séance La structure de la séance est brièvement évoquée ci-dessous. D autres formes de codages peuvent être utilisées, cela séduit généralement les élèves. On peut par exemple séparer la classe en plusieurs groupes et les faire s envoyer l un à l autre un message à coder/décoder. Cryptage Après avoir expliqué ce qu est la cryptographie, on propose aux élèves de crypter un message à l aide de la méthode du chiffrage de Hill, utilisant un système (S) : 2x + 5y = a { 3x + 7y = b Pour cela, on commence par numéroter dans un tableau les lettres de l alphabet. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Pour coder un message, on commence par grouper les lettres de ce message deux par deux, puis on remplace chaque lettre par un nombre, comme indiqué par le tableau. On veut coder le message «TREMPLIN». On le décompose en T R EM P L IN puis on remplace par : (20; 18) (5; 13) (16; 12) (9; 14) Ensuite chaque couple de nombres (x; y) de la liste précédente est transformé par le système (S) pour donner un nouveau couple (a; b). Enfin ces deux nombres a et b sont transformés en lettre en utilisant le tableau de correspondance. Pour coder par exemple «TR», on remplace par (20; 18) et on obtient : a = = 130 et b = = 186. Il faut faire comprendre aux élèves qu en fait, pour trouver les lettres du message chiffré, on se ramène aux valeurs du tableau en enlevant 26 puis 26 puis On pourrait si le niveau des élèves le permet leur faire calculer le reste de la division euclidienne par 26. Ici (TR) est codé par (AE). Décryptage Pour décrypter, il s agit d inverser le système précédent, ce qui peut paraître difficile aux élèves. Le système obtenu est (S ) : 7a + 5b = x { 3a 2b = y On peut prouver que ça marche en décodant le mot codé obtenu avec TREMPLIN. 5

7 Modélisation Mathématique Peu de prérequis, variables selon les énigmes Proportions Dans ce collège, le quart des élèves ne fait pas d allemand, le tiers ne fait pas d anglais, 300 pratiquent les deux, et un douzième aucune des deux langues. Combien d élèves étudient seulement l allemand? Anglais : 2/3 Pas Anglais : 1/3 Avec un tableau selon les langues : Allemand : 3/4 300? Pas Allemand : 1/4? 1/12 Sept cars, pleins de touristes aux deux-tiers se dirigent vers Sète. À Troyes, un quart des touristes en descend. Peut-on alors mettre les trois quarts restant dans trois cars? Et les trois quarts? Ici, il suffit de traduire l énoncé sans s affoler. La proportion de touristes est de = 14 3, puis elle diminue d un quart pour devenir = 7 2. Ce nombre est supérieur à 3 mais pas à 4 donc on ne peut pas mettre tous les touristes restant dans trois cars mais les trois quarts c est possible. Montres déréglées Les montres de Rachid et Mohammed ne sont pas à l heure. Celle de Rachid indique 19h mais elle avance de 10 minutes par heure, celle de Mohammed indique 17h mais retarde de 10 minutes par heure. Quelle heure est-il sachant que ces montres ont été mises à l heure au même instant. La méthode simple, consiste à remarquer qu il s agit d un problème barycentre. La véritable heure est égale au barycentre de l heure affichée sur la montre de Rachid et celle de Mohammed où le coefficient est le retard pris respectivement par la montre de l autre personne. Ici, on fait l isobarycentre : 18h. Aires et périmètres Karim et Mehdi cultivent chacun leur jardin rectangulaire. Celui de Karim a la plus grande longueur et la plus grande surface. Qu en est-il du périmètre? Si Karim avait celui ayant la plus grande longueur et le plus grand périmètre, serait-il sûr d avoir la plus grande surface? Dans les deux cas la réponse est non. Il suffit de trouver un contre-exemple. Pile ou face Un chat et une souris décident de jouer à pile ou face. Mais ils se disent que ce n est pas très intéressant comme jeu donc ils compliquent un peu la règle. Chacun choisit une combinaison de trois résultats (ex. Pile, pile, face). Ils lancent la pièce plusieurs fois, le premier qui voit sa combinaison apparaître dans les trois derniers lancers gagne. Ils ne peuvent pas choisir la même combinaison. Le chat, étant plus fort décide de choisir sa combinaison en premier, et la souris étant intelligente le laisse faire. Existe-t-il une stratégie pour maximiser l espérance du gain d un des deux joueurs? Dans cet exercice, la disjonction des cas est l idée à introduire. Si le chat joue P/P/P ou P/P/F, la souris aura plus de chances d avoir F/P/P. De même en regardant les autres cas, la souris gagne. 6

8 Olympiades de Maths Aucun prérequis, assez difficile Présentation Chaque année, il est organisé un concours dans de nombreuses matières pour les premières : il s agit des Olympiades académiques. Les meilleurs élèves passent ensuite les Olympiades nationales voir même les Olympiades internationales. Les annales des Olympiades de mathématiques offrent une quantité d exercices difficiles mobilisant très peu de prérequis. Pour des élèves motivés, ces problèmes concis nécessitent systématiquement la mise en place d un raisonnement. En voici quelques exemples. Exercice 1 10 personnes sont assises autour d une table ronde. 10 jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque personne gagne une somme égale en euros au total du numéro de son propre jeton, de celui du voisin de gauche et de celui du voisin de droite. 1. Donner un exemple de répartition des jetons. Indiquer le gain de chaque personne et la moyenne. 2. Prouver qu on a toujours au moins une des dix personnes avec un gain supérieur ou égal à 17 euros. 3. Donner un exemple où tous les gains sont inférieurs ou égaux à 18 euros. 4. Prouver qu on a toujours au moins une des dix personnes avec un gain supérieur ou égal à 18 euros. 1. On peut proposer la répartition Dans l ordre les individus gagnent La moyenne est de = 16, Un jeton est compté trois fois dans les gains (pour celui qui l a, celui à sa droite et celui à sa gauche). Au total, tous les jetons sont comptés trois fois donc la somme des gains vaut 3 ( ) = 165 donc la moyenne est toujours de 16, 5. Il y a alors toujours un gain supérieur à Exemple dont les gains sont Si ce n est pas le cas, tous les gains sont inférieurs ou égaux à 17 mais la moyenne est de 16, 5 donc au moins 5 personnes gagnent 17. En fait, il y en a exactement 5 car sinon deux voisins auront le même gain ce qui est absurde. Ainsi les gains sont de 16 et de 17. En s intéressant ensuite aux voisins de la personne possédant le jeton valant 10, on tombe à chaque fois sur une absurdité. Exercice 2 On dit qu un nombre entier supérieur ou égal à 2 est bon s il peut s écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1. Ainsi 2 n est pas bon car la seule décomposition de 2 en somme d entiers est mais n est pas égal à Déterminer les bons nombres entre 3 et 11 inclus. 2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est bon. 3. Montrer que si n est bon, alors 2n + 2 et 2n + 9 sont bons. 4. Généraliser ce résultat. 1. Les seuls nombres bons entre 3 et 11 sont 4 = 2 + 2, 9 = , 10 = et 11 = On a n 2 = n + n n et } {{ } 1 n + 1 n n = 1 } {{ } n fois n fois 3. n est bon donc s écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses vaut 1, ainsi 2n s écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses vaut 1 2. Donc 2n + 2 est bon car = 1. (Tout comme 2n + 9 car 9 s écrit et on = 1 2 ) 4. On peut généraliser ainsi : si n est bon et m s écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses est de la forme 1 1 k alors kn + m est bon. En effet, il suffit de s inspirer de la question 3. pour remarquer que kn s écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses est 1 k. 7

9 Factorielles Factorielles & Symboles Aucun prérequis, on ne fait que des sommes et des multiplications, assez simple On appelle n factorielle et on note n! = n. Par définition, 0! = 1.On remarque que pour tout n N, on a (n + 1)! = (n + 1) n!. On pourra dresser ce tableau de comparaison : n n n n! Calculer 3! 4!, 6! 5!, 99! 100!, 1000! 999! puis taper 1000! 999! à la calculatrice. Signe Le signe est une facilité d écriture pour écrire des sommes très longues. On l utilise sous la forme suivante : fin k=début f(k) où f(k) est une expression qui dépend de k. On a par exemple : n k=0 k = n. Qu en est-il des autres sommes? Simplifier les sommes télescopiques suivantes : 25 k=0 Signe (k + 1) k 10 k=3 (k + 1)! k! 100 k=2 On peut définir de même le symbole pour la multiplication... (k + 1) 2 k 2 k 2 (k + 1) 2 Coefficients binomiaux On pose ( n) k = n!, cela se lit "k parmi n". On pourra dresser ce tableau : k!(n k)! n/k X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X On a la formule (a + b) n = n k=0 ( n k) a k b n k. On parle du binôme de Newton. 12 k=5 1 k(k + 1) Exercices difficiles ( ) ( ) n n Montrer que =. k n k ( ) ( ) ( ) n n n + 1 Montrer que + =. k k + 1 k + 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n Calculer, ( 1) k et 2 k. k k k k=0 k=0 k=0 E( n 2 ) ( ) n Soit S 1 = 2k k=0 E( n 1 2 ) ( ) n Soit S 2 =. 2k + 1 k=0 Calculer S 1 + S 2 et S 1 S 2. En déduire S 1 et S 2. 8

10 Introduction au dénombrement Coefficients binomiaux & Probabilités Nécessite les factorielles, difficulté moyenne On considère un jeu de 52 cartes et on pioche 5 cartes. Si l ordre des cartes compte, le nombre de tirages différents est de , soit 52! (52 5)!. Si par contre l ordre des cartes ne compte plus, il faut diviser le résultat précédent par 5! (car il y a 5! moyens pour ordonner le tirage). Ainsi, il y a au 52! total (52 5)!5! = ( 52) 5 tirages différents. De manière générale, si l ordre ne compte pas, le nombre de tirages différents de k éléments dans un ensemble de n éléments vaut ( n k). Combien y a-t-il de mains contenant le valet de cœur? Et qui contiennent au moins un valet quelconque? Choisir une main de 5 cartes contenant le valet de cœur revient à choisir une main de 4 cartes (car la dernière est déjà fixée) et la position du valet de cœur. Il y en a donc au total 5 ( 52) 4. Pour calculer ce nombre de mains, il faut calculer le nombre de mains ne contenant aucun valet. Il y en a au total ( 48) ( 5. Le résultat attendu est donc 52 ) ( 5 48 ) 5. Un entraîneur de foot dispose de 6 défenseurs, 5 milieux, 4 attaquants et 3 gardiens. Il veut composer une équipe de 11 joueurs comportant 4 défenseurs, 4 milieux, 2 attaquants et 1 gardien. Combien y a-t-il d équipes possibles? Qu en est-il si l on tient compte des positions des joueurs? Il y a ( 6 ( 4) choix de défenseurs possibles, 5 ( 4) choix de milieux possibles, 4 2) choix d attaquants possibles et ( 3 ( 1) choix de gardiens possibles. Au total, il y a 6 ( 4) 5 ( 4) 4 ( 2) 3 1) équipes possibles. Si on tient compte des positions des joueurs, on se ramène dans un cas de tirage où l ordre compte. On a donc au total 6! 4! 5! 4! 4! 2! 3! 1! = dispositions différentes. Poker & Probabilités Au poker à 5 cartes, il est important de savoir calculer des probabilités. Au premier tour, on pioche 5 cartes parmi 52 cartes. Au deuxième tour, on a le droit de changer 1 à 5 cartes de son jeu. Le but est d avoir la meilleure combinaison parmi les suivantes : rien, une paire, deux paires, un brelan, une quinte, une couleur, un full, un carré, une quinte flush. 1. Quel est la probabilité d avoir une paire dès le premier tour? Pour déterminer une main, il faut choisir notre paire (13 choix possibles), la couleur de notre paire ( ( 4 ( 2) choix possibles), les trois autres cartes ( 12 ) 3 choix possibles) et leurs couleurs (4 3 choix possibles). On obtient une probabilité de : 13 (4 2) ( 12 3 ) 4 3 = , 42. ( 52 5 ) 2. Quel est la probabilité d avoir deux paires dès le premier tour? Pour déterminer une main, il faut choisir les deux paires ( ( 13) 2 choix possibles), la couleur de chacune ( ( 4 2 2) choix possibles) et la dernière carte (11 choix possibles) avec sa couleur (4 choix possibles). On obtient une probabilité de : (13 2 ) ( 4 2) 2 44 = ( 52 5 ) , Quel est la probabilité d avoir une couleur dès le premier tour? Pour déterminer une main, il faut choisir la couleur (4 choix possibles) et les cartes ( ( 13) 5 choix possibles) mais il ne faut pas oublier de soustraire les 40 quintes flush possibles. On obtient une probabilité de 4 (13 5 ) 40 = , 002. ( 52 5 ) 4. Quel est la probabilité d améliorer une paire en changeant 3 cartes au second tour? Pour améliorer une paire, on peut soit obtenir une paire supplémentaire, soit obtenir une carte transformant notre paire en brelan, soit obtenir deux cartes transformant notre paire en carré, soit obtenir un brelan transformant notre paire en full, soit obtenir une paire supplémentaire et une carte transformant notre paire en brelan. Il faudra dénombrer pour chaque cas les tirages possibles. On pourra ensuite poursuivre en s intéressant à une autre variante de poker avec la plus célèbre (le Texas Hold em) ou au contraire leur en faire découvrir de nouvelles (l Omaha, le Stud,...). 9

11 Raisonnement par l Absurde Aucun prérequis, difficulté moyenne Définition & Exemples Le raisonnement par l absurde (ou apagogie) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d une proposition en prouvant l absurdité de la proposition complémentaire (ou contraire), soit à montrer la fausseté d une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes. Pour fait simple, pour montrer qu une proposition est vraie, on suppose que c est son contraire qui est vrai jusqu à aboutir à une contradiction lors du raisonnement. Exercice : Existe-t-il une fonction affine f telle que f(2) = 0, f(3) = 1 et f(5) = 2? Solution : Supposons que f existe, alors on a (a, b) R 2, pour tout x R, f(x) = ax + b. f(2) = 0 2a + b = 0 b = 2a b = 2a b = 2a Alors on a : f(3) = 1 3a + b = 1 3a 2a = 1 a = 1 a = 1 f(5) = 2 5a + b = 2 5a 2a = 2 3a = 2 a = 2 3 Absurde. Énigme : Un prisonnier doit choisir entre deux cellules, contenant soit une princesse, soit un tigre. La cellule 1 dit la vérité s il y a une princesse et ment s il y a un tigre (le contraire pour la 2). On lit sur ces cellules : "Les deux cellules contiennent des princesses". Quelle porte choisir? (On supposera tout d abord qu elles disent la vérité pour aboutir à une contradiction, on en déduit qu elles mentent et on conclut) Descente infinie Le principe de descente infinie (également appelé principe de Fermat) est basé sur une propriété simple : toute partie non vide de N admet un plus petit élément. À partir de là, on en déduit qu il n existe pas de suite strictement décroissante d entiers positifs. Si à partir d une solution entière, on peut en fabriquer une autre strictement plus petite mais toujours en nombres entiers et que l on peut recommencer sans condition, alors il n y a pas de solution. Exercice : Résoudre dans N l équation diophantienne (à coefficients entiers) x 3 + 2y 3 = 4z 3. Solution : Soit (x, y, z) une solution. On a x 3 = 4z 3 2y 3 donc x 3 est pair donc x aussi, ainsi x = 2x. Alors on a y 3 = 2z 3 4x 3 donc y 3 est pair ainsi y est pair. En réitérant de la sorte, z est également pair. On trouve alors que ( x 2, y 2, z 2) est solution, ce qui est absurde par le principe de descente infinie. Existe-t-il un principe de montée infinie? Racine carré de deux A-t-on 2 Q? Supposons que 2 = p q avec p et q premiers entre eux alors p2 = 2q 2. On en déduit que p 2 est pair et donc que p est pair. Mais alors p = 2p et q 2 = 2p 2 d où q 2 est pair et donc q également. En simplifiant p et q par 2, on obtient un couple plus petit donc la fraction n est pas irréductible. Absurde. On dit que le nombre 2 est irrationnel. Néanmoins, on peut tracer un segment de longueur 2 à l aide de Pythagore (cela permet d introduire l escargot de Pythagore). Savez-vous où l on trouve ce nombre dans la vie? Partout! En effet, il est sur tous vos cours, ou plus précisément sur toutes vos feuilles de cours. Toutes les feuilles présentent un rapport de longueur/largeur égale à 2. Mais on le retrouve également dans le rapport de fréquences de la quarte augmentée en musique, ou dans le rapport de la tension efficace/maximale du courant alternatif en électricité, ou encore dans le rapport entre les valeurs d ouverture du diaphragme d un appareil photo. Nous sommes envahis par ce nombre, et ce n est pas fini! La recherche d une valeur approchée de ce nombre a été un problème pendant des siècles et les résultats permirent d énormes progrès informatiques. Mais bien avant, au V e siècle av J.C., l étude de ce nombre permit aux Grecs de mettre au point les raisonnements précédents. 10

12 Principe des Tiroirs Aucun prérequis, le principe est simple mais les applications sont parfois peu évidentes Énoncé du principe Le principe est simple, si l on place plus de n objets dans n tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra plus d un objet. On peut améliorer ce principe, si l on place plus de kn objets dans n tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra plus de k objets. On peut même le généraliser, si l on place plus de k objets dans n tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra plus de k n. Point culture : Le nom de ce principe diffère selon les pays. Tandis qu en France ou en Allemagne, il s appelle "Principe des tiroirs" (ou "Schubfachprinzip"), en Angleterre, il s appelle "Principe des casiers" (du vrai nom "Pigeonhole Principle"). En Russie par contre, ce principe est associé au mathématicien Dirichlet. Applications directes Soient 1 n 1 <... < n des entiers distincts. Montrer qu il est toujours possible d en sélectionner deux qui différent de 9 (puis de 10, de 12 et de 13). On a 1 n 1 <... < n ( ) et 10 n <... < n ( ). Les relations ( ) et ( ) donnent 110 entiers naturels non nuls tous inférieurs à 109. D après le principe des tiroirs, un entier n i de ( ) coïncide avec un entier n j + 9 de ( ) soit n i n j = 9. Le même raisonnement ne fonctionne pas pour 10, il faut en trouver un autre. Soient A 1 = {1, 11},..., A 10 = {10, 20}, A 11 = {21, 31},..., A 41 = {81, 91},..., A 50 = {90, 100}. Le principe des tiroirs nous dit qu il existe au moins un ensemble A i contenant 2 entiers parmi les 55 choisis, CQFD. On peut réitérer le même raisonnement pour 12 et pour 13 en changeant les ensembles. Il reste à voir pourquoi le nombre 11 échappe à la règle. La raison en est fort simple : 55 = Il suffira par exemple de prendre n 1 = 1,..., n 11 = 11, n 12 = 23,..., n 22 = 33,..., n 45 = 89,..., n 55 = 99. Soient 1 n 1... n des entiers distincts. Montrer qu il existe un couple (n i, n j ) tel que n i divise n j. Quel est le nombre minimal d entiers à prendre pour que cette propriété soit vérifiée? On écrit tous les nombres n k de la forme 2 a k(2b k + 1). Comme il n y a que 50 nombres impairs, on a par le principe des tiroirs un couple (i, j) tel que a i a j et b i = b j et donc n i divise n j. Cette propriété, n est bien sûr pas toujours vérifiée si l on prend moins de 51 entiers. En effet, l ensemble {51, 52, 53, 54, 55,..., 95, 96, 97, 98, 99, 100} le montre. Pour aller plus loin On s intéresse à un tapis (cf l image de droite) cousu avec uniquement du fil blanc et du fil noir. Montrer qu il existe au moins 2 fils situés à exactement 1 mètre qui possèdent la même couleur. (Il suffit de prendre un triangle équilatéral) Le 93 comporte (eh oui, je viens d arriver) habitants, chacun possédant au plus cheveux. Trouver le plus grand n pour lequel il y a au moins n personnes avec le même nombre de cheveux. (n = = 10 et non pas 11, car il y a des chauves!) En admettant que tout le monde est inscrit sur Facebook, démontrer qu au moins deux personnes sur Terre ont le même nombre d amis. (Il y a N personnes sur Terre et chacun peut avoir entre 0 et N 1 amis, comme on ne peut avoir à la fois quelqu un avec N 1 amis et quelqu un d autre avec aucun ami, le nombre de tiroirs est réduit : on peut donc conclure par le principe des tiroirs) On prend un Rubik s Cube fini sur lequel on effectue la même manipulation encore et toujours. Démontrer que l on finit par se retrouver avec ce Rubik s Cube de nouveau terminé. (Il suffit de démontrer que le nombre de positions est fini, inférieur à un certain N pour ensuite conclure par le principe des tiroirs qu au bout de N + 1 manipulations, deux étapes seront identiques) 11

13 Notions sur la divisibilité Relation de divisibilité Aucun prérequis, la notion de diviseur est bien acquise, niveau moyen Soit (a, b) Z 2, on dit que a divise b s il existe k dans Z tel que ak = b. Avec les quantificateurs, on a a b k Z, ak = b. On dit alors que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a. Propriétés : Tout entier relatif a au moins 4 diviseurs. (1, 1, lui-même et son opposé) a b et b a a = b. a b et b c a c. a b et a c (u, v) Z 2, a bu + cv. Remarque : On peut restreindre la divisibilité sur N, quelles propriétés sont modifiées? Soit (a, b) Z 2, le plus grand commun diviseur de a et b, abrégé en général PGCD(a, b), est le plus grand entier naturel qui divise simultanément ces deux entiers. De même, on définit le plus petit commun multiple de a et b, abrégé en général PPCM(a, b), comme le plus petit entier naturel qui est divisé simultanément par ces deux entiers. Propriétés : c a et c b c PGCD(a, b). PGCD(ac, bc) = c PGCD(a, b). Si a = bq + r alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r). PGCD(a, b) PPCM(a, b) = ab. Exercices Vrai ou faux? Si d divise a et d divise b alors d divise a b et d divise a + b. Si d divise 3a alors d divise a. Contre-exemple? Si d divise a ou d divise b alors d divise ab. Réciproque? 1. Trouver tous les couples (x, y) de N 2 tels que xy = Avec l algorithme d Euclide calculer PGCD(2002, 1155). 3. Trouver 100 entiers consécutifs qui ne soient pas premiers. Les nombres premiers Un nombre premier est un nombre indivisible, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Il existe une infinité de nombres premiers (on peut le démontrer par l absurde) et il s avère que tous les nombres peuvent s écrire comme produit de nombres premiers. Leur étude est donc très importante! (On pense au code RSA) Pour les trouver, on peut utiliser le crible d Ératosthène Pour aller plus loin Si l on restreint la notion de divisibilité sur N, elle vérifie la réflexivité (Propriété 1), l antisymétrie (Propriété 2) et la transitivité (Propriété 3). Il s agit donc d une relation d ordre. On parle de relation d ordre partielle car si on prend deux entiers au hasard, on n en a pas toujours un qui divise l autre. 12

14 Congruences & Modulo Nécessite la divisibilité, assez difficile Approche intuitive Il est 10h du matin, quelle heure sera-t-il dans 54 heures? Nous sommes le mardi 9 février Quelle jour sera-t-on le 9 février 2011? 2015? Je fais une rotation d angle 780 degrés et de centre O. Comment tracer l image d un point? Soient treize bâtons. Chacun des 2 joueurs a le droit de prendre 1, 2, 3 bâtons à tour de rôle. Celui qui prend le dernier bâton a perdu. Jouer avec les élèves (la technique consiste à jouer en second et à compléter le nombre de bâtons pris par l adversaire pour l amener à un total de 4 car 13 1 [4]). Laisser les élèves élaborer une stratégie pour 31 bâtons et une prise de 1 à 4 bâtons à tour de rôle. Notions sur les congruences Soient (a, b) Z 2 et n N. On dit que a b [n] si n (a b). En particulier a r [n] si r est le reste de a par la division euclidienne par n. En français, on lit "a congru à b modulo n". Propriétés : Si a b [n] et b c [n] alors a c [n]. On en déduit que a b [n] si et seulement si a et b ont le même reste dans la DE par n. Si a b [n] et a b [n] alors a + a b + b [n]. Si a b [n] et a b [n] alors aa bb [n]. Petit théorème de Fermat : Soient p premier et a premier avec p, alors a p 1 1 [p]. On pourra en profiter pour raconter la grande histoire du grand théorème de Fermat. (Pour rappel, énoncé par Pierre de Fermat au milieu du XVII e siècle, démontré en 1995 par Wiles) Applications Quel est le dernier chiffre et la somme de la somme de... de la somme des chiffres de ? Pour déterminer le dernier chiffre, on travaille modulo 10. On a [10] donc il suffit d étudier la puissance de 2 modulo 4. Comme [4] et [4] il suffit d étudier la puissance de 2002 modulo 2. On a [2] donc [4] et [10]. Le dernier chiffre est donc 4. Pour déterminer une somme de chiffres, on travaille modulo 9. On a [9] donc on continue modulo 6. Comme [6] et [6] on a [6] ainsi le résultat voulu vaut [9]. Exercices Exercices réalisables à l aide d un tableau de congruence (bien insister sur leur utilité) : Soit n N. Démontrer que "n n est pas multiple de 5" est équivalent à "n 4 1 est un multiple de 5. Soit n N et p N. Démontrer que n p+4 et n p ont le même chiffre des unités. Résoudre l équation 3x 4 [7]. Exercices plus difficiles, réalisables à l aide d astuces basées sur la factorisation : Soit n N. Montrer que 3 n+3 4 4n+2 est divisible par 11. Soit n N. Montrer que (n + 1) n 1 est divisible par n 2. Pour aller plus loin Soit n N. Alors quels que soient les entiers a et b, on a a a [n] et a b [n] b a [n] (on parle de réflexivité et de symétrie). De plus, la première propriété nous indique que la relation de congruence vérifie la transitivité, on en déduit qu il s agit d une relation d équivalence. 13

15 Le nombre d or Nécessite les polynômes et les suites, difficulté moyenne Présentation Le nombre d or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs a + b sur la plus grande a soit égal à celui de la plus grande a sur la plus petite b c est-à-dire lorsque a+b a = a b. Le découpage d un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d or est maintenant souvent désigné par la lettre ϕ en l honneur du sculpteur Phidias qui l aurait utilisé pour concevoir le Parthénon. Le Parthénon s inscrit dans un rectangle doré, c est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d or. Sur la figure on a DC DE = ϕ et = ϕ. Le rectangle GBF H est appelé rectangle Parthénon. GF GI Approximation du nombre d or En posant x = a b, on a ϕ l unique racine positive de x2 x 1. Calculer ϕ (Pour rappel, ϕ = ). Montrer également que ϕ = ϕ. Nous allons déterminer une approximation de ce nombre. On définit la suite (a n ) n N par a n+1 = a n pour n 0 et a 0 = Montrer que pour tout n N, 3 2 a n Déduire que a n+1 ϕ 4 9 a n ϕ puis que a n ϕ ( 4 9 )n. 3. Conclure que lim + a n = ϕ et donner une approximation à la 6 ème décimale près de ϕ. Suite de Fibonacci On recherche l expression de la suite (u n ) n N vérifiant u n+2 = u n+1 + u n ( ) et u 0 = u 1 = Expliquer pourquoi les conditions sur u 0 et u 1 donnent l unicité de la suite. 2. Montrer que (r n ) n N solution r = ϕ ou r = 1 ϕ. 3. Montrer que les suites de la forme v n = αϕ n + β(1 ϕ) n sont solutions de ( ). 4. Trouver α et β tels que v 0 = v 1 = 1. En déduire l expression de u n. 5. Montrer que lim + 5 un = ϕ puis en déduire lim + u n+1 u n = ϕ. La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien du XIII e siècle connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d une population de lapins : Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence? Pour aller plus loin On a ϕ = ϕ et ϕ2 = 1 + ϕ soit ϕ = 1 + ϕ. En réinjectant à chaque fois l expression de ϕ, on a : ϕ = ϕ = = et ϕ = 1 + ϕ = ϕ = ϕ Le premier développement est une preuve de l irrationalité de ϕ et on peut utiliser la même démonstration pour π ou e. En effet, un réel présente un développement en fraction continue si et seulement si il est irrationnel. De plus, il est algébrique si ce développement présente une période (transcendant sinon). 14

16 Une autoroute pour 4 villes Dérivation & Optimisation Nécessite les fonctions, la dérivation et la trigonométrie, assez difficile Soient A, B, C et D, 4 villes que l on veut relier par une autoroute de la façon suivante : ABCD représente un carré de côté 1 et x représente l angle ÂDE = DAE = F BC = F CB. L autoroute est formée des branches AE, DE, BF, CF et EF. Déterminer la longueur minimale de l autoroute et l angle x correspondant. On a cos(x) = 0.5 AE = 0.5 DE = 0.5 BF = 0.5 CF soit AE = DE = BF = CF = 1 2 cos(x). De plus, si on note I le milieu de AD et J le milieu de BC, on a EF = 1 IE + F J et tan(x) = IE 0.5 = JF 0.5 soit EF = 1 tan(x). En notant f(x) la longueur de l autoroute associée à la valeur x, on trouve f(x) = 2 cos(x) + 1 tan(x). Cette fonction est dérivable et sa dérivée vérifie f (x) = 2 sin(x) 1 = 2 sin(x) 1. Elle a donc le signe cos(x) 2 cos(x) 2 cos(x) 2 de x 2 sin(x) 1 qui est positive quand sin(x) 1 2 soit x [ π 3, π 4 ]. (Car ici x varie entre 0 et π 4 ) π π x f (x) + 3 b f(x) a Pour finir de compléter ce tableau de variation, il ne reste plus qu à calculer a et b. On a = f( π 3 ) et comme cos( π 3 ) = 3 2 et tan( π 3 ) = 1 3, on obtient a = = Puis comme b = π 4, cos π 4 ) = 2 2 et tan( π 4 4 ) = 1, on obtient b = = 2 2. (On a bien b a) Sphères & Cylindres Soit une sphère de rayon R et de centre O. Soit un cylindre de base un disque de rayon r et de hauteur h. Quels sont les dimensions du cylindre inscrit dans la sphère qui permettent de maximiser son volume? (On trouvera une relation entre r et h pour exprimer le volume comme fonction de la hauteur) Par Pythagore, on a R 2 = r 2 + ( h 2 )2, soit r 2 = R 2 h2 4. Si on note V (h) le volume du cylindre de hauteur h inscrit dans la sphère, on a donc V (h) = πr 2 h = π(r 2 h2 4 )h de dérivée V (h) = π(r 2 3h2 4 ). Cette dérivée est positive lorsque 3 4 h2 R 2, soit h 2R 3. (On a également 0 h 2R) h 0 2R 3 2R V (h) + a V (h) 0 0 Pour finir de compléter ce tableau de variation, il ne reste plus qu à calculer a. Pour h = 2R 3, h 2 = 4R2 3 donc R 2 h2 4 = 2R2 3. Ainsi on obtient a = V (h) = π 2R2 2R 3 3 = π 4R Sphères & Cônes Faire de même en remplaçant le cylindre par un cône. Cette fois-ci, on a R 2 = r 2 +(h R) 2 par Pythagore, soit r 2 = 2Rh h 2. Si on note V (h) le volume du cône de hauteur h inscrit dans la sphère, on a alors V (h) = π 3 r2 h = π 3 (2R h)h2 de dérivée V (h) = π 3 (4R 3h)h. Cette dérivée est positive lorsque 3h 4R, soit h 4 3R. (On a également 0 h 2R) Avec un tableau de variation, on trouve que le volume est maximum pour h = 4 3R. Il ne reste plus qu à calculer la valeur de ce volume, il s agit de V ( 4 3 R) = π 3 (2R 4 3 R) 16 9 R2 = πr3. 15

17 Structures fractales Nécessite les suites, difficulté moyenne Introduction On nomme "fractale" une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles aléatoires impliquant une homothétie interne. Le terme est un néologisme créé à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Ces figures surprenantes ont beaucoup apporté aux mathématiques en développant des théories de dimension non-entière. Flocon de Von Koch On considère un triangle équilatéral de côté 1. On divise chaque côté en trois segments de longueur identique et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral dont on ne garde que les côtés nouvellement ajoutés. On réitère cette opération plusieurs fois : on passe de la figure n à la figure n + 1 en effectuant cette démarche pour chaque segment du dessin. On s intéresse à la longueur et l aire de la courbe : 1. Représenter la figure obtenue pour n = 0, n = 1 et n = On note a(n) le nombre de segments formant la courbe au rang n. Calculer a(n). 3. On note b(n) la longueur d un segment au rang n. Calculer b(n). 4. En déduire la longueur l(n) de la courbe au rang n. Que dire de sa limite? 5. On note A(n) l aire de la figure au rang n. Que représente A(n + 1) A(n)? Faites un dessin. 6. Calculer A(n + 1) A(n). En déduire l expression de A(n). Que dire de sa limite? Triangle de Sierpinski Refaire de même avec le triangle de Sierpinski. À chaque étape, la longueur de l ensemble augmente (elle est multipliée par 3 2 ) tandis que l aire de l ensemble diminue (elle est multipliée par 3 4 ). On obtient finalement une courbe de longueur infinie délimitant une surface nulle (ce qui est encore plus surprenant). Application Les domaines d application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier : en biologie : répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d arbres,... en géologie : étude du relief, côtes et cours d eau, structures de roches, avalanches,... en paléontologie : loi de puissance des apparitions et extinctions d espèces,... en morphologie animale : structures des invertébrés, plumes d oiseaux,... en médecine : structure des poumons, intestins, battements du cœur,... en météorologie : nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre,... en volcanologie : prévision d éruptions volcaniques, tremblements de terre,... en astronomie : structures de l univers, cratères sur la Lune, répartition des galaxies,... en sciences humaines : structure urbaine, évolution de la démographie,... en économie et finance : prévision des krachs boursiers (théorie des fractales),... en électronique : antennes larges bandes des téléphones portables,... 16

18 Calcul de Pi selon Archimède Niveau facile Prérequis Notions sur les suites et les limites Maîtrise du cercle trigonométrique Théorème d Al Kashi : dans un triangle ABC, AB 2 = AC 2 + BC 2 2AC.BC cos(b) Résumé de la séance Cette séance a pour but de montrer aux élèves une méthode originale d approximation de P i, méthode inventée par Archimède vers 250 avant J-C. Cette méthode consiste à inscrire dans un cercle de rayon 1 un polynôme régulier à n côtés. Le périmètre du cercle est ainsi minorée par le périmètre du polygône : l approximation s affine quand on augmente le nombre de côtés. En ponctuant la séance d anecdotes sur Archimède et sur le nombre Π, on peut imaginer le découpage suivant pour l exercice. 1. Soit un cercle C de centre O et de rayon 1. On inscrit dans ce cercle un triange équilatéral de centre O. La méthode de construction permettra de faire un rappel sur le cercle trigonométrique. On fait relier les points A(0), B(e i2π/3 ) et C(e i4π/3 ) aux élèves s il ne parviennent pas à inscrire le triangle. Calculer AB en utilisant le théorème d Al Kashi dans le triangle AOB. En déduire la valeur du périmètre d ABC. Discuter de la justesse de l approximation. 2. Soit un cercle C de centre O et de rayon 1. On inscrit dans ce cercle un carré de centre O. La méthode de construction permettra de faire un rappel sur le cercle trigonométrique. On relie les points A(0), B(e iπ/2 ), C(e iπ ) et B(e i3π/2 ). Calculer AB en utilisant le théorème d Al Kashi dans le carré ABCD. En déduire la valeur du périmètre d ABCD. Discuter de la justesse de l approximation. 3. Refaire la même chose avec un hexagone. 4. Archimède avait fait son calcul avec un polygône à 96 côtés. Nous allons essayer d être plus fin en généralisant avec un polynôme à n côtés. Ce polynôme régulier est obtenu en reliant les points A 1, A 2... A n. Trouver la mesure de A 1 A 2 en fonction de n et en déduire le périmètre du polygône en fonction de n. Pour quelle valeur de n atteint-on un précision au 10ème, au 100ème, au 1000ème... Le mode Seq de la calculatrice permet de faire rapidement des calculs et de conjecturer la valeur de la limite. La séance peut s ouvrir sur une introduction à l intégration avec le découpage en rectangles de l aire sous une courbe, les fonctions en escaliers... Traditionnellement, les élèves ont du mal avec la trigonométrie, c est donc une occasion de revoir cela. 17

19 Troisième partie Séances de Physique 18

20 Mécanique du skieur Nécessite la mécanique, difficulté moyenne Énoncé du 1 er problème On s intéresse aux forces agissant sur un skieur lorsqu il emprunte une remontée mécanique. On considérera alors que le skieur est en translation rectiligne uniforme et on négligera les forces de frottement de l air et de la piste sur le skieur. On assimilera la perche à un ressort de grande constante de raideur. Données du problèmes : La masse m du skieur est de 77, 5kg. La tension T de la perche sur le skieur est de 300N. L angle α entre la piste et l horizontale est de 20. L angle β entre la perche et la piste est de er Problème 1. Quelles sont les forces extérieures agissant sur le système étudié? 2. Quelle relation existe-t-il entre ces différentes forces? 3. Déterminer l intensité de la réaction de la piste sur le skieur. 4. La perche s allonge de 2, 00m en tractant le skieur. Déterminer la constante de raideur de la perche. Le temps de montée est d environ 10min pour une dénivelée (différence d altitude entre le départ et l arrivée de la remontée mécanique) de 250m. On suppose que la piste est une pente régulière de 20, 0 d inclinaison. 5. Déterminer la distance parcourue par le skieur lors de la montée. Calculer sa vitesse moyenne. 6. Calculer le travail des différentes forces exercées sur le skieur entre le départ et l arrivée. 7. Calculer la puissance instantanée de la force exercée par la perche sur le skieur. Enoncé du 2 ème problème On s intéresse désormais aux forces agissant sur un skieur lorsqu il descend cette piste. On considérera alors que le skieur est en translation rectiligne uniforme et on négligera les forces de frottement de l air et de la piste sur le skieur. 2 ème Problème 1. Quelles sont les forces extérieures agissant sur le système étudié? 2. Pour chaque portion de la piste, déterminer qualitativement quelles sont les forces qui "travaillent". Préciser pour chaque force, s il s agit d un travail moteur ou d un travail résistant. 3. Déterminer la variation d énergie cinétique entre A et B, B et C puis C et D. 4. Quelle est est l énergie potentielle de pesanteur du skieur en A si l origine est en B? 5. Comparer cette énergie potentielle de pesanteur (qui représente la différence d énergie potentielle entre A et B) à la variation d énergie cinétique du skieur entre les points A et B. Que peut-on conclure? 6. Sur quelle portion de la piste la vitesse du skieur est-elle maximale? La calculer. 7. Que peut-on dire du résultat précédent? Les forces de frottement peuvent-elles être négligées? 19

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