Chapitre : Puissances et racines

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1 Chapitre : Puissances et racines I Les puissances Définition des puissances : Considérons un nombre et un nombre entier n. On a : n. se lit " puissance n" ou " eposant n" avec n " " 4 se lit " puissance 4 " ou " eposant 4" 3 se lit " au cube " ou " puissance 3 " ² se lit " au carré " ou " puissance 2 " 0 2 ² 3 3 n.. avec n " " Eemples : ,4 0 ( 3,4 ) 3, c est un suivi de 5 zéros 0 5 0,000 0 c est un précédé de 5 zéros ,04 n : n n n 7 4 7² Remarque : Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations. n Eemple : ( 7 0 ) 4 8² ( 3 ) 4 8² Règles des puissances : et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a : ) m n m + n 2 ) m n m n 3 ) n y n ( y ) n 4 ) n y n ( y ) n 5 ) ( m ) n m n Remarque : Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des eemples simples. Ecriture scientifique : Tout nombre décimal peut s écrire comme le produit d un nombre n ayant qu un seul chiffre (pas égal à zéro) avant la virgule et d une puissance de di. Cette écriture s appelle une écriture scientifique. Eemples : ,0 5, , , chiffres 6 zéros 0, , , Taille d un électron : m L étoile polaire est à m de la Terre. (base de la petite ours, indique le nord)

2 II Les racines carrées Définition des racines carrées : Considérons un nombre positif. On note et on lit "racine carrée de " le nombre positif dont le carré est. Pour la calculer, on utilise la touche " " de la calculatrice. Eemples : ,6 0 0 Remarques : Puisqu un carré est toujours positif, la racine carrée d un nombre négatif n eiste pas. On peut aussi dire "radical" pour "racine carrée". Les racines carrées ont le même niveau de priorité que les puissances dans les calculs. Eemple : ( 8² 00 ) : ( 64 0 ) : : D autre part on a :,44,2 car,2 ²,44 Remarque : Pour prouver que y il suffit de vérifier que y ² ² 8 ² 64 2 Penser à : la racine carrée est l inverse du carré donc faire une racine carrée puis un carré revient à ne rien faire!! On a donc ² et ( ) ² Propriété des racines carrées : et y étant des nombres positifs, on a : ) ² ( ) ² 2 ) y y 3 ) y y 4 ) ² y y Preuve : ) déjà vu. 2 ) car ( y ) ² ( ) ² ( y ) ² y et c est donc bien vérifié d après la remarque précédente. 3 ) car ( y ) ² ² y² et c est donc bien vérifié d après la remarque précédente. y 4 ) On a : ² y ² y d après 2 ) y d après ) Eemples : 3 ² 3 ( 7 ) ² 7 (2 6 ) ² 2² ( 6 ) ² ² 2 5² Remarque : On doit avoir ( 0,5 ) ² 0,5 2 donc 0,5 est un nombre dont le carré est : c est donc. On a ainsi 0,5. C est pour cette raison que des règles des racines carrées ressemblent à celles de puissance. Application à la simplification des racines : Comme les fractions, on peut simplifier les racines carrées et obtenir des racines carrées "irréductibles". Eemples : 8 3² (on a utiliser la propriété 3) ² ² ² Eemple de développement : ( ) ( 3 5 ) ² ²

3 Eercice : Calcule puis vérifie tes résultats en utilisant la touche «^» ou «y» de ta calculatrice. A 2 5 B ( 4 ) ² C 4 ² D 0 6 E F 5 G 2 2 H 0 3 I 8, J 50 K 0 0 L 7 M 3 ² + 4 ² N ( ) ² P 0 ( 3) 3 Q ² R 3 5 (4 7 ) ² S 8,0 0 4 T U 9, 0 5 V 8,3 0 6 W, 0 X 6, Eercice 2 : Ecris avec des puissances. A B ( 4 ) ( 4 ) C D E 0, Eercice 3 : Ecris avec que des multiplications et des divisions. A 7 4 B 0 C 6 3 D 3 ² 6 5 E F 5 4 G ( 5 ) 4 H I Eercice 4 : Complète et retrouve la règle correspondante : Eemple J Règle m n 3 2 m n... 2 y 2 ( ) 2 y 2 ( ) ( ) ( ) n y n ( ) n y n (. ) ( 3 ) 2 ( m ) n Eercice 5 : Utilise les règles des puissances pour mettre sous la forme a n. A B C D E F 3 ² 5 ² G ( 9 3 ) ² H I ² J Eercice 6 : Trouve l écriture scientifique des nombres suivants (vérifier les résultats à la calculatrice). A B 0,004 7 C 95,5 D E 0, F G , H 7, Eercice 7 : Vue au brevet. Ecrire comme : A et B : des nombres entiers ; C : un nombre décimal ; D, E et F : en écriture scientifique. A ( 2 ) ( 0 ² ) ² ( 0, ) 0 3 B C 3 ² ( 3) ² D E F 2, Eercice 8 : Complète les tableau suivants Valeurs eactes Valeurs arrondies à 0, près 6 2,4 ² ² ,4 08,7 Eercice 9 : Calcule sans calculatrice et donne le résultat en fraction irréductible. 36 A 8 ² B C D 4,2 ² 00 E 4 7 ² F G 8, 0 H I J 4 2 ² ² K L M 2 8 N 7 7 P ²

4 Eercices pour préparer le contrôle Eercice : Eercice de préparation au brevet (7 points) Eercice 2 : On considère les epressions suivantes A 65 ( 25 5 ) 5 + 3,2 0 6 ( 7 5 ) ² B ( ) 702 ( 7 8 ) C D 2 ² 2 8 E F ( 8 3 ) 5 G H 3 6 ( 3 4 ) I 0, J a ) Calcule A et B b ) Mets de C à H sous la forme a n c ) Ecris I et J en écriture scientifique Eercice 3 : Simplifie les epressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls) 50 A 4 9² 2 ( 8 ) ² 9 B C D E F G ( ) ( 9 3 ) H ( ) ² I ( 0 9 ) ( ) Eercice 2 : On considère les epressions suivantes A 65 ( 25 5 ) 5 + 3,2 0 6 ( 7 5 ) ² A ( 8 ) ² A A Résultats des eercices de préparation au contrôle B ( ) 702 ( 7 8 ) B ( ) B ( ) + 0 B + C D 2 ² E F ( 8 3 ) G H 3 6 ( 3 4 ) I 0, ,08 0 J , 0 4 Eercice 3 : Simplifie les epressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls) On doit trouver A B C D E F G H I qui est bien de la forme a + b c car A 4 9² 2 ( 8 ) ² 9 B A B A B A B C D C D 3 2 E E 4 3² ² E E G ( ) ( 9 3 ) G ² G G I ( 0 9 ) ( ) 0² 9² 0 9 F F 3 6 3² 6 + 5² F F H ( ) ² H 9 5² H H

5 Devoir facultatif : racine n ième et puissance rationnelle Les nombres fractionnaires sont aussi appelés les nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s écrire m où m et n sont des nombres entiers relatifs. n Définition : Soient un nombre et n un nombre entier positif. On appelle "racine n ième de " et on note " n " le nombre positif qui à la puissance n donne. Eemple : car Remarques : - la "racine carrée" n est autre que la "racine 2 e " - la "racine 3 e " se dit plutôt la "racine cubique" - comme pour les racines carrées, on peut utiliser sa calculatrice pour les trouver Eercice : calcule A 4 8 B 3 8 C D 3 2,67 E 8 On voudrait définir le nombre 3 : on doit avoir ( 3 ) Donc, 3 est un nombre qui au cube donne : c est donc 3. Ainsi, 3 3 Plus généralement, on a : Définition : Soient un nombre et n un nombre entier positif. On définit n par n n Eemple : Eercice 2 : calcule en réécrivant d abord l epression avec des puissances n ième A 64 3 B C D 625 0,25 E ,2 On voudrait maintenant définir le nombre m n : on doit avoir ( n ) m n m m n Définition : Soient un nombre et m, n des nombres entiers positifs. On définit m n par m n ( n ) m Eemple : ( 3 000) Remarque : puisque tout nombre décimal peut s écrire en écriture fractionnaire (eemple : ,78 ), on vient donc de définir en particulier les puissances de nombres décimau. 000 Eercice 3 : calcule A B C D 44,5 E 8 2,25 Remarques : cette généralisation de la notion de puissance n est pas vraiment terminée car il faudrait vérifier qu ainsi définie, tout est bien cohérent. Il faudrait par eemple vérifier que vous savez donc combien vaut 5 4,64 mais pas encore 5 π ce qui est chose beaucoup plus délicate. Bien qu en pratique nous n utilisons quasiment que des nombres rationnels (sauf π et quelques rares autres), il se trouve que ces nombres ne représentent qu une infime partie des nombres en général (nombres réels). A vrai dire, les nombres rationnels représentent eactement 0 % des nombres réels si si, mais ça c est une autre histoire.