Les fonctions numériques

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1 Les fonctions numériques Introduction : analogie : Dans les fonctions numériques, la première difficulté est de distinguer les concepts en jeu. Pour illustrer ces fonctions, nous allons procéder à une comparaison avec une situation informatique. Imaginons que nous devions stocker informatiquement les relations entre étudiants et salles de cours. Nous aurions besoin de plusieurs fichiers pour tracer les informations à étudier : un fichier contenant les étudiants un fichier contenant les salles un fichier contenant les relations entre étudiants et salles de cours. Nous obtiendrions le tableau ci-dessous : Fichier : étudiants étudiant 1 étudiant 2 étudiant 3 étudiant 4.. Fichier : salles salle 1 salle 2 salle 3 Maintenant à l aide de flèches, nous faisons apparaitre la relation entre étudiants et salles. Relation Fichier : étudiants Fichier : salles étudiant 1 étudiant 2 étudiant 3 étudiant 4.. salle 1 salle 2 salle 3 Par observation, nous obtenons la relation du type : à chaque étudiant est associé une et une seule salle. La relation est donc une fonction de l ensemble des étudiants sur l ensemble des salles. Cet exemple nous pousse à aller plus loin dans l analyse et nous amène à créer d autres fichiers.

2 Nous pourrions avoir pour affiner : un fichier étudiant 1, un fichier étudiant 2, un fichier étudiant 3, un fichier étudiants 4, ; un fichier les étudiants dans l ensemble ; le fichier salle 1, un fichier salle 2, un fichier salle 3, ; un fichier les salles dans leur ensemble ; le fichier relation étudiants/salles (les flèches). Chaque fichier étant élaboré, nous arrivons dans la phase où nous devons mettre en parallèle les informations relevées contenues dans des fichiers avec des notions mathématiques. Dans le tableau suivant, nos fichiers traduits en langage mathématiques s illustreraient ainsi : Informatique Mathématique Fichier Etudiant 1 devient Nombre x Fichier étudiants devient Ensemble de nombres E Fichier Salle 1 devient Nombre f(x) Fichier salles devient Ensemble de nombres F Fichier relation étudiants/salles devient Fonction définie sur E vers F En mathématique par exemple, l étudiant 1 devient le nombre 1. De même pour la salle 1 qui devient aussi un nombre par exemple 2. l étudiant 2 devient le nombre 2. De même pour la salle 2 qui devient aussi un nombre par exemple 4. l étudiant 3 devient le nombre 3. De même pour la salle 3 qui devient aussi un nombre par exemple 6. Ensemble des nombres fonction Ensemble des nombres Ensemble des nombres fonction Ensemble des nombres

3 Avec des notations mathématiques : Définition mathématique Une fonction est un relation entre deux ensembles (en général un intervalle) et l ensemble des nombres réels R qui, à un nombre de I associe un nombre réel et un seul noté. On peut définir une fonction en précisant dans quel intervalle se trouve de calculer. et la formule qui permet est un nombre appelé un antécédent de est le nombre appelé l image de exemple 1) Calculer l image de par la fonction définie sur par. si l ensemble but n est pas précisé c est. l image de 2 est obtenue en remplaçant par 2 dans la formule : 2) Calculer l image de 1 par la fonction définie sur par. n pas d image car il n est pas dans l ensemble source. 3) Déterminer tous les antécédents des nombres suivants : on cherche x tel que, or il n existe de nombre réel dont le carré est strictement négatif donc -1 n pas d antécédent par f. on cherche x tel que, c est x=0. 0 a un antécédent 0. on cherche x tel que, c est x=1 ou x=-1 or -1 n est pas dans l ensemble source donc. on cherche x tel que, c est ou x=- or =- n est pas dans l ensemble source donc.

4 exemple2 1) Calculer l image de par la fonction définie sur par. donc l image de 2 est 4. 2) Déterminer tous les antécédents des nombres suivants : on cherche x tel que, or il n existe pas de nombre réel dont le carré est strictement négatif donc -1 n pas d antécédent par f. on cherche x tel que, c est x=0. 0 a un antécédent 0. on cherche x tel que, c est x=1 ou x=-1 or -1 et 1 sont dans l ensemble source donc on cherche x tel que, c est ou x=- or =- et sont dans l ensemble source donc.. 3) tableau de valeurs de la fonction : x -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 f(x) 1 0,25 0 0,25 1 remarque : il ne s agit pas d un tableau de proportionnalité. construction sur tableur : exemple 3 on cherche à construire à l aide d un tableur le tableau de valeurs de la fonction f définie par

5 où sont des nombres. Quelle formule doit entrer dans B6 que l on peut étirer vers la droite? dans la cellule B6 j écris : =$B$2*B5^2+$B$3*B5+$B$4

6 la courbe représentant est l ensemble des points de coordonnées lorsque décrit l intervalle de définition de. un point M d abscisse et d ordonnée appartient à la courbe représentative de si cette égalité est appelée équation de la courbe. exemple :

7 Maximum et minimum d une fonction sur un intervalle : Le minimum d une fonction sur un intervalle est la plus petite des valeurs prises par lorsque décrit l intervalle I. Si m désigne ce minimum alors quelque soit la valeur x de l intervalle I. si on dit que atteint son minimum en x=a. Exemple :Soit f la fonction définie sur [-5 ;5] par On note la courbe de la fonction dans un repère orthonormé. son équation est donc 1) Conjecturer le minimum de f sur l intervalle et préciser en quel nombre ce minimum est atteint.il semblerait que f admette le nombre 5 comme minimum et que ce minimum est atteint pour x=1

8 2) prouver la conjecture émise en 1). preuve : quelque soit x de l intervalle [-5 ;5], le nombre (x-1)² est un nombre positif car le carré d un réel est un nombre réel positif : donc en multipliant par 2 en ajoutant 5 à chaque membre : donc or pour x=1, donc pour tout x de l intervalle [-5 ;5] donc exemple 2 soit f la fonction définie sur [-1 ;3] par on note la courbe de la fonction dans un repère orthonormé. son équation est donc

9 1) Conjecturer le maximum de f sur l intervalle et préciser en quel nombre ce maximum est atteint. Il semblerait que cette fonction admette 5 comme maximum sur [-1 ;3] atteint pour x=1 2) Prouver la conjecture émise en 1). quelque soit x de l intervalle [-1 ;3], le nombre (x-1)² est un nombre positif car le carré d un réel est un nombre réel positif : donc en multipliant par -2 en ajoutant 5 à chaque membre : lorsqu on multiplie ou divise chaque membre d une inégalité par un nombre négatif, il faut penser à changer le sens de l inégalité

10 donc or pour x=1, donc pour tout x de l intervalle [-1 ;3] donc soit f la fonction définie sur [-5 ;5] par 1) Prouver que pour tout x de l' intervalle I, donc 2) Prouver que pour tout x de l intervalle I, 3) on note la courbe de la fonction dans un repère orthonormé. son équation est donc

11 a) Conjecturer le maximum de f sur l intervalle et préciser en quel nombre ce maximum est atteint. par lecture graphique, on conjecture que le maximum de f sur [-5 ;5] est 100 et qu il est atteint pour x=5 b) prouver la conjecture émise en a) soit x un réel de l intervalle, donc en multipliant par -9 en ajoutant 100 donc

12 or donc f admet pour maximum 100 qui est atteint pour x=5. c) Trouver les abscisses des points d intersection de avec l axe des abscisses. on doit résoudre les abscisses cherchées sont 25/3 et 5/3

13 Le cas des fonctions affines formule : a est appelé coefficient directeur. b est appelé ordonnée à l origine. exemple ou ou construire un tableau de valeurs de. on cherche à construire à l aide d un tableur le tableau de valeurs de la fonction f définie par où sont des nombres. Quelle formule doit entrer dans B6 que l on peut étirer vers la droite? on tape : =$B$2*B5+$B$3 Pour quelles valeurs de a et b le tableau est il un tableau de proportionnalité? ce tableau est un tableau de proportionnalité dans le cas b=0. la formule est alors on dit que est une fonction LINEAIRE.

14 courbe : droite d équation exemples : et et

15 retrouver les équations des droites suivantes

16 exercice 1 exercice 2

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18 exercice

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