L1/S1 : MATH Pratique des Fonctions Numériques. Livret d exercices II : Limites - continuité - Dérivabilité. Chapitre 2 - Limites

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1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année LICENCE d ÉCONOMIE FINANCE et GESTION Première année - Semestre 1 L1/S1 : MATH Pratique des Fonctions Numériques Livret d exercices II : Limites - continuité - Dérivabilité Chapitre 2 - Limites Déterminer les limites suivantes : a) lim x + 1 x 2 b) lim x Exercice I (*) x 2 5 c) lim x + 5x3 1 d) lim x x2 + 3x e) lim x 2 x2 x + 1 f) lim x 1 3x 2 5 x 3 + 4x + 1 g) lim 5x2 + x + 3 h) lim 5 1 x 1 x + x + 3 3x 2 5 i) lim x 2 x + x 3 + 4x + 1 j) lim x 3 x>3 x 3 k) lim x 2 x<2 1 3x 6 x + 1 l) lim x 1 x 1 x>1 Rép. : a) 0 ; b) ; c) : d) + ; e) 7 ; f) 1 ; g) 3 ; h) 5 ; i) 0 ; j) 0 ; k) ; 2 l) +. Déterminer les limites suivantes : 5x 2 2x + 6 a) lim x + 4x 2 x + 1 Exercice II (*) b) lim x (5 4x) 3x d) lim x 0 x 2 x 2 e) lim x 2 x 2 x x g) lim x 3 x 3 x> x h) lim x 5 x(x + 5) x< 5 3x 2 + 5x 7 c) lim x 3x + 1 f) lim x + (2x + 1) x 2x + 1 i) lim x 1 x 2 4x + 3 x>1 Réponses : a) 5 4 ; b) 0 ; c) + : d) ; e) 1 ; f) + ; g) ; h) ; i). 4

2 Exercice III Une entreprise fabrique une quantité q d objets dont le coût de fabrication total (en euros) est donné par la fonction C définie par C(q) = 25q Déterminer le coût moyen par objet, noté C M (q). 2. Déterminer la limite de C M (q) lorsque q tend vers Donner une interprétation «économique» de cette limite obtenue. Exercice IV Soit f la fonction rationnelle définie par f(x) = 2x 3 x 2 x 2 1. Factoriser D(x) = x 2 x 2. En déduire l ensemble de définition de f. 2. Déterminer la limite de f en + et en. 3. Déterminer la limite de f en 1 + et en 1. puis en 2 + et en 2. Exercice V Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = 2 x + 1. Déterminer la limite de f en x 0 et en +. Déterminez les limites suivantes : 2x 1 a) lim x + x + 3 Exercice VI 2x 1 b) lim x 3 x + 3 x< 3 c) lim x e 1 x d) lim x + e x2 e) lim x ln(1 x) f) lim ln(1 x) x 1 x<1 g) lim x 1 j) lim x 0 x 2 + 3x + 2 x 2 + x x 1 x h) lim x + ex (x 2 e x ) i) lim x + e x + x k) lim x + x2 + x (x + 1) l) lim x + ln(3x) x

3 Vrai ou Faux (Justifiez!) Exercice VII (*) 1. Soit f une fonction vérifiant : pour tout x > 0, 5 < f(x) x + 1. Alors lim f(x) = 5. x + 2. Soit g une fonction vérifiant : pour tout x > 1, g(x) 1. Alors lim g(x) = 0. x2 x + 3. Soit l une fonction vérifiant : pour tout x > 10000, 10 2 < l(x) < Alors lim x + l(x) = 0. Réponse : Deux propositions sont fausses et une seule est vraie! Exercice VIII La fonction f suivante, définie sur R + admet-elle une limite en 1? f(x) = x3 + x 2 si x [0, 1[ x 2 1 f(x) = ln x x si x > 1 Exercice IX Soit f la fonction définie par f(x) = x3 + 9, soit C sa courbe représentative dans le plan x 2 1 muni d un repère orthonormé. 1. Déterminer l ensemble de définition de f noté D f. 2. Déterminez les réels a et b tels que, pour tout x D f, on ait : f(x) = x + a x b x 1 3. Déterminer les limites de f aux bords de D f, en déduire que C admet deux asymptotes verticales dont on donnera les équations. 4. Montrer que la droite d équation y = x est asymptote oblique à C aux voisinages de et Etudier les positions relatives de C et de. 6. Montrer que pour tout x D f, f (x) = x(x3 3x 18) (x 2 1) Soit P (x) = x 3 3x 18. Effectuer la division euclidienne de P (x) par (x 3). 8. En déduire le signe de f (x) et les variations de f sur D f.

4 Exercice X Extrait du partiel de janvier 2013 Soit f la fonction définie par f(x) = x2 x 5 2x 6 1. Déterminer l ensemble de définition de f, noté D f. 2. Effectuer la division euclidienne de N(x) = x 2 x 5 par D(x) = 2x 6. En déduire qu il existe trois réels a, b et c tels que pour tout x D f, f(x) = ax + b + c 2x Déterminer les limites de f en, en + et en 3. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire? 4. Démontrer que la droite D d équation y = 0, 5x + 1 est asymptote oblique à C f en et en + 5. Déterminer les positions relatives de C f et D. 6. Montrer que pour tout x D f, f (x) = 2(x2 6x + 8) (2x 6) 2. En déduire les variations de f sur D f. 7. Tracer avec soin C f et ses asymptotes. Exercice XI (*) On considère la fonction f définie sur D f = R { 1} par f(x) = x2 + 3x + 6. On x + 1 appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j). 1. Effectuer la division euclidienne de N(x) = x 2 +3x+6 par D(x) = x+1. En déduire qu il existe trois réels a, b et c tels que, x D f, f(x) = ax + b + c x + 1. En déduire que C possède une asymptote oblique que l on précisera. 2. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine. En déduire que C admet une asymptote. 3. Calculer la dérivée de f sur D, puis donner le tableau des variations de f. Éléments de réponses : x D f, f(x) = x x + 1, et f (x) = x2 + 2x 3 (x + 1) 2 = (x 1)(x + 3) (x + 1) 2. x f (x) f(x)

5 L1/S1 : MATH Pratique des Fonctions Numériques Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité Exercice I Étudier la continuité des fonctions suivantes : 2x 4 si x 0 1 ln(x 2 + 1) si x 0 f 1 (x) = 2 x 2 si 0 < x < 4 f 2 (x) = e x 1 si x > 0 x 2 5x + 4 si x 4 x Exercice II Pour quelle valeur de m R la fonction f suivante est-elle continue sur R? x si x 0 f(x) = x 2 si 0 < x < 1 mx 1 si x 1 x 2 + mx si x 2 Même question avec la fonction g définie sur R par : g(x) = x 2 si x > 2 Exercice III Pour chacun des tableaux suivants, déterminer le nombre de solutions des équations : (E) : f(x) = 0 et (E ) : f(x) = 2 Pour chacune des solutions vous donnerez le meilleur encadrement possible. x f 1(x) f x f 2(x) f

6 Exercice IV Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, puis son ensemble de dérivabilité. Déterminer alors la dérivée de chacune d elles : Il est fortement conseillé de revoir les exercices de calculs de dérivées du chapitre I f 1 (x) = x 2 3 x f 2 (x) = 5x 5 3 f 3 (x) = 3x x + 1 f 4 (x) = x ln x f 7 (x) = xe x f 10 (x) = ex + 1 e x 1 f 5 (x) = ln x x f 8 (x) = ex x f 11 (x) = e 1 6 x f 6 (x) = 1 ln x f 9 (x) = (x 2 + 2x)e x f 12 (x) = e 1 x f 13 (x) = 3 x f 14 (x) = ln(2x + 3) f 15 (x) = ln(3 + e x ) f 16 (x) = ln(x 2 ) f 17 (x) = ln(ln x) f 18 (x) = (ln x) 3 f 19 (x) = x 2 + 2x 3 f 20 (x) = x 1 x + 1 f 21 (x) = ( ) 2x x + 1 Exercice V Déterminer l équation de la tangente à C f au point M 0 dans les cas suivants : 1. f définie par f(x) = 2x 1 x + 1 en M 0(0; 1). 2. f définie par f(x) = e 2x+6 en M 0 (3; 1). 3. f définie par f(x) = x ln x en M 0 (1; 0). Exercice VI On considère les fonctions f et g définies sur R+ par f(x) = 2ex Première partie et g(x) = 8 2e x Déterminer les limites de f et g en Calculer f (x) et étudier son signe. En déduire le tableau des variations de f sur R Calculer g (x) et étudier son signe. En déduire le tableau des variations de g sur R +. Seconde partie Les fonctions f et g sont les fonctions d offre et de demande (en euros) de la vente d un produit sur le marché. Plus précisément, f(x) est le prix de vente unitaire proposé pour une quantité x de ce produit, et g(x) est le prix unitaire accepté par les consommateurs pour une quantité x de ce produit. Sur le marché en concurrence parfaite, le prix d équilibre correspond à l égalité entre l offre et la demande. Déterminer le volume correspondant à ce prix d équilibre, puis le prix d équilibre.

7 Exercice VII 1. Soit g la fonction définie sur R + par g(x) = x ln x x. Étudier le signe de g(x) sur R Soit f la fonction définie sur R + par f(x) = 3 4 x x2 ln x. Calculer f (x), puis en déduire le tableau des variations de f (limites en 0 + et + demandées). Exercice VIII 1. Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = x 2 2x ln x. (a) Calculer la dérivée de f. En déduire les variations de f sur ]0; + [. (b) Déterminer les limites de f en 0 + et en +. (c) Déterminer le signe de f(x) sur ]0; + [ 2. Soit g la fonction définie sur D g =]0; 2[ ]2; + [ par g(x) = ln x (x 2) 2. (a) Calculer la dérivée de g, et montrer que pour tout x D g, g (x) = (b) En déduire les variations de g sur D g. f(x) x(x 2) 3. (c) Déterminer les limites de g aux bornes de D g. Que peut-on en déduire pour la courbe de g? (d) Déterminer une équation de la tangente à C g au point d abscisse 1. Exercice IX ( ) 1 x Soit f la fonction définie par f(x) = ln. x Déterminer l ensemble de définition D f de f. 2. Justifier que f est dérivable sur D f et calculer sa dérivée. 3. Déterminer les limites de f aux bords de son ensemble de définition. 4. Donner le tableau des variations de f sur son ensemble de définition.

8 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - DÉCEMBRE heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Le barème est indicatif Il sera tenu compte de l orthographe et du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES AUCUN DOCUMENT N EST AUTORISÉ LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Exercice 1-7 points Les deux parties de cet exercice sont indépendantes : 1. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : ( ) x 1 3 f 1 : f 1 (x) = sur D = R { 1} f 2 : f 2 (x) = ln(x 2 ) (ln x) 2 sur D = R + x + 1 f 3 : f 3 (x) = x 2 + 2x + 3 sur D = R f 4 : f 4 (x) = 3 x sur D = R 2. La fonction f suivante peut-elle être prolongée par continuité en x = 1? Justifier! x 1 si 0 x < 1 x 1 f : f(x) = x 2 1 si x > 1 3x 2 2x 1 Exercice 2-9 points Soit f la fonction définie par f(x) = x2 x 5 2x 6 1. Déterminer l ensemble de définition de f, noté D f. 2. Effectuer la division euclidienne de N(x) = x 2 x 5 par D(x) = 2x 6. En déduire qu il existe trois réels a, b et c tels que pour tout x D f, f(x) = ax + b + c 2x Déterminer les limites de f en, en + et en 3. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire? 4. Démontrer que la droite D d équation y = 0, 5x + 1 est asymptote oblique à C f en et en +

9 5. Déterminer les positions relatives de C f et D. 6. Montrer que pour tout x D f, f (x) = 2(x2 6x + 8) (2x 6) 2. En déduire les variations de f sur D f. 7. Tracer avec soin C f et ses asymptotes. Exercice 3-5 points On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (x 2 + 4x + 1)e x dont la courbe C f pour x [ 7; 7] est représentée ci-dessous : 1. En vous basant sur la courbe, donner le tableau des variations de f sur R. 2. Déterminer par un calcul les limites de f en puis en + : quelle conséquence graphique pouvez-vous en déduire? 3. Résoudre l équation (E) : x 2 + 6x + 5 = 0 4. Calculer la dérivée f de f. En déduire les variations de f sur R. 5. Déterminer l équation de la tangente à C f au point d abscisse Comparer le tableau de variations de f que vous venez d obtenir avec celui que vous avez donné à la question 1. : que pouvez-vous en conclure?

10 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN SECONDE SESSION - JUIN heures CALCULATRICES INTERDITES AUCUN DOCUMENT N EST AUTORISÉ LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Exercice 1-9 points Résoudre les équations et inéquations suivantes : Consignes : On pourra utiliser : 3 1, 7 Pour (E 4 ) vous donnerez une valeur approchée de la solution en prenant pour valeurs ln 2 0, 7 et ln 3 1, 1 (E 1 ) : x 2 + x 1 = x (E 2 ) : x + 1 = 1 2 x + 2 (E 3 ) : ln(x 2) = ln(3 x) (I 1 ) : ln 2 + ln(x + 1) 2 ln x (E 4 ) : 2 t = 8 3 t (I 2 ) : (ln x) 2 ln x 12 0 Exercice 2-5 points 1. Effectuer la division euclidienne de P (X) = 2X 4 + X 3 9X 2 4X + 4 par Q(X) = X En déduire la résolution de l inéquation (I) : P (X) 0 Exercice 3-6 points On considère la fonction f définie sur R par f(x) = e 2x + e x x Déterminer la limite de f en puis en + 2. Calculer la dérivée f de f, et montrer que pour tout réel x, f (x) = (2e x 1)(e x +1). En déduire les variations de f sur R (vous donnerez la valeur exacte du minimum de f). 3. Montrer que pour tout réel x, f(x) + x 1 = e x (e x + 1) : en déduire que la droite d équation y = x + 1 est asymptote oblique à C f au voisinage de.