CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p1/6

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1 Second degré : Interprétation graphique Préliminaire A chaque epression du second degré de formule générale a b c on peut associer une équation du second degré a b c, mais aussi associer une courbe, c'est-à-dire l ensemble des points M de coordonnées et qui vérifient l équation a b c (approche géométrique) A cette courbe on peut aussi associer la fonction f ( ) a b c (approche fonctionnelle) NB : On retrouve la différence entre l approche géométrique de la droite associée à l équation associée à la fonction affine f ( ) a b a b et l approche fonctionnelle Le but de l eercice est de faire le lien entre la résolution algébrique de l équation du second degré et la représentation graphique de la fonction associée. CUEEP Département Mathématiques E9 : Second degré : interprétation graphique p/6

2 CUEEP Département Mathématiques E9 : Second degré : interprétation graphique p/6 Déterminer algébriquement les solutions des équations c b a quand elles eistent et vérifier graphiquement ces solutions en traçant les courbes associées c b a Résoudre les équations suivantes sachant que quand un produit de facteurs est nul, alors un des facteurs est nul : ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( Développer ces epressions et comparer au précédentes. Qu en concluez vous?

3 Corrigé ( ) pour La courbe coupe l ae des abscisses en pas de solution pour la courbe ne coupe pas l ae des abscisses ( )( ) pour et La courbe coupe l ae des abscisses en et ( ) pour / La courbe coupe l ae des abscisses en / pas de solution pour la courbe ne coupe pas l ae des abscisses ( )( ) pour et La courbe coupe l ae des abscisses en et CUEEP Département Mathématiques E9 : Second degré : interprétation graphique p/6

4 Formalisme On remarque que : Lorsque l équation a b c admet deu solutions ' et '' le polnôme a b c peut s écrire sous la forme factorisée : a b c a( ' )( '' ) La courbe coupe l ae des abscisses en deu points d abscisse ' et ' ' Lorsque l équation a b c admet une seule solution ', le polnôme a b c peut s écrire sous la forme factorisée : a b c a( ' ) La courbe coupe l ae des abscisses en un point d abscisse ' - Lorsque l équation a b c n admet pas de solution, le polnôme a b c ne peut pas s écrire sous une forme factorisée. La courbe ne coupe pas l ae des abscisses En conclusion : lorsqu il eiste au moins une valeur qui annule un polnôme du second degré il pourra s écrire sous la forme d un produit de facteurs de deu termes du premier degré. CUEEP Département Mathématiques E9 : Second degré : interprétation graphique p/6

5 Applications Factorisation d un polnôme du second degré Pour savoir si un polnôme du second degré de forme a b c est factorisable, il suffira de chercher soit algébriquement soit graphiquement les solutions de l équation a b c Si elles eistent le polnôme pourra s écrire sous la forme : a( ' )( ' ') Eemple : l epression 8 est elle factorisable? L équation 8 admet deu solutions ' et ' ' L epression 8 peut se mettre sous la forme ( )( ) CUEEP Département Mathématiques E9 : Second degré : interprétation graphique p/6

6 Déterminer l équation d une parabole Pour déterminer l équation d une fonction du second degré à partir de sa représentation graphique, si la courbe coupe l ae des abscisses il sera inutile de poser un sstème de équations à inconnues pour déterminer les coefficients a, b et c. Il suffit de repérer les abscisses ' et '' correspondant à, d écrire la formule a( ' )( ' ') et de déterminer le coefficient «a» à l aide d une autre point appartenant à la courbe (le plus simple est de prendre le point d abscisse ) Eemple : Déterminer l équation de cette fonction du second degré : La fonction s annule pour et. L équation a b c peut s écrire a ( )( ) La courbe passe par le point de coordonnées et On a donc : 6a a L équation de la courbe associée à la fonction est alors : - ( )( ) - - CUEEP Département Mathématiques E9 : Second degré : interprétation graphique p6/6