ÉQUATIONS Définitions et principes généraux de résolutions

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1 ÉQUATIONS Définitions et principes généraux de résolutions DÉFINITIONS Considérons deux expressions non identiques A et B dépendant d une ou plusieurs variables x, y, z, Lorsqu on remplace les variables par les nombres, l expression A prend une valeur numérique α et l expression B une valeur β. Puisque les expressions A et B ne sont pas identiques, les nombres α et β ne sont pas, en général, égaux, mais ils peuvent l être pour certaines valeurs particulières attribuées aux variables. L écriture A = B qui exprime cette égalité constitue une égalité conditionnelle ou équation. Les expressions A et B sont appelées membres de l équation. EXEMPLE : Les deux expressions A = x + et B = x + 4 ne sont pas identiques. Si l on donne à x une valeur quelconque, au hasard, x = 0 par exemple, les valeurs numériques correspondantes de A et B : α = 0, β = 4 ne sont pas égales. Pour deux variables particulières x 0 = 3 et x =, que nous apprendrons à déterminer, et pour ces deux valeurs seulement, l égalité A = B, soit : x + = x + 4, est satisfaite. En effet, 3 + = et ( ) + =. ( ) + 4. L un des deux membres d une équation, le deuxième, B par exemple, peut être une constante, c est-à-dire un nombre algébrique dont la valeur ne dépend pas des variables. Par exemple, les égalités x 5x = 3 et x x = 0 sont des équations. Nous allons énoncer quelques définitions concernant les équations. Équation ou égalité conditionnelle. On appelle équation toute égalité dans laquelle interviennent une ou plusieurs variables et qui n est satisfaite que pour certaines valeurs algébriques attribuées à ces variables. Inconnues et solutions (ou racines). Les variables intervenant dans une équation s appellent aussi les inconnues de l équation et les valeurs qu il faut donner aux inconnues pour que l égalité soit vérifiée constituent les solutions ou racines de l équation. Résolution d une équation. Résoudre une équation, c est déterminer ses solutions. Équation littérale ou paramètrique et équation numérique. Les expressions A et B qui constituent les deux membres de l équation peuvent dépendre d un ou plusieurs paramètres (a, b, c,. ou m, n, p,.). L équation A = B est alors dite littérale (ou paramétrique). Si une équation ne contient, au contraire, pas d autres lettres que celles représentant les inconnues, elle est dite numérique.

2 Pour résoudre une équation littérale, il faut traiter les paramètres comme des quantités connues. Un paramètre représente un nombre dont la valeur n est pas précisée, mais qui est toujours supposée choisie préalablement à la résolution de l équation. Les solutions d une équation littérale dépendant par exemple de deux paramètres a et b sont des expressions algébriques en a et b. Exemples : L égalité x + = x + 4 est une équation numérique à une inconnue dont les solutions x 0 = et x = 3. L égalité x + 6y + = 0 est une équation numérique à deux inconnues x et y. Une solution de cette équation est constituée par l ensemble des deux nombres : x 0 =, y 0 =. L égalité x + 6a + = 0 est une équation littérale à une inconnue x et un paramètre a. Cette équation a une solution : x 0 = 3a. La solution de l équation littérale ax + b = 0 est x 0 = b a. Équations impossibles. Une équation est dite impossible lorsqu elle n a pas de solution.. x + = ( x ) Les valeurs numériques du premier membre de cette équation sont toujours positives par définition, tandis que les valeurs numériques du second membre sont toujours négatives (un carré est toujours positif). La valeur numérique du premier membre ne sera donc jamais égale à celle du second membre, à moins que les deux membres ne soient nuls ensemble. Or, l expression (x ) s annule pour une valeur x = qui n annule pas le premier membre. L équation est impossible.. x(x ) 4 + x( x) x = 5. Le premier membre de cette équation peut se simplifier : x(x ) 4 + x( x) x = x x 4 + x x x = 4. L équation se réduit à une égalité numérique absurde : 4 = 5. L équation est impossible. Équations indéterminées. Ne pas confondre équation impossible et équation indéterminée. Ainsi l équation : x(x ) 4 + x( x) x = 4, qui se réduit à : 4 = 4, est indéterminée parce qu elle est satisfaite quelle que soit la valeur attribuée à x. On notera qu une équation indéterminée à une inconnue est tout simplement une identité. Discussion d une équation.

3 Discuter une équation littérale, c est examiner pour quelles valeurs attribuées aux paramètres l équation est susceptible de devenir impossible ou indéterminée, d avoir une ou plusieurs solutions. Équations équivalentes. Il y a des équations plus ou moins simples. Les plus simples sont celles dont la ou les solutions sont en évidence. EXEMPLE : x + = 0 ou x =. On résoud une équation en la transformant successivement en des équations de plus en plus simples admettant les mêmes solutions que l équation à résoudre. Lorsque deux équations admettent les mêmes solutions, c est-à-dire lorsque toute solution de l une est solution de l autre, on dit que les équations sont équivalentes. EXEMPLE : Les équations x + 3x = 5 x, 0. x 4 = 8 + x, et 9x = 0 sont équivalentes, car elles sont vérifiées pour le même nombre x 0 = 3 4 et n admettent pas d autres solutions. Les deux équations (x ) (x + ) = 0 et (x ) (x 3) = 0 ont une solution commune x 0 =, mais elles ne sont pas équivalentes, car la première admet aussi la solution x = qui n est pas la solution de la deuxième. Équation résolvante. Une équation est dite résolvante d une équation donnée lorsque, sans lui être généralement équivalente, elle permet de la résoudre. Équation entière et rationnelle. Une équation est dite entière et rationnelle lorsque la ou les inconnues dont elle dépend n y figurent ni en dénominateur ni sous des radicaux. Les membres d une telle équation sont des polynômes (entiers et rationnels). Toute équation entière et rationnelle A = B peut se mettre sous la forme d une équation équivalente : P = 0 par transposition du terme B (voir premier principe), l expression P désignant un polynôme (entier et rationnel). Si le polynôme P est de degré n, l équation P = 0 est dite de degré n. Les racines du polynôme P sont les racines de l équation P = 0. Un théorème établi pour les polynômes et leurs racines permet d énoncer : Deux équations entières en x : P(x) = 0 et Q(x) = 0 sont équivalentes si les coefficients des termes de même degré des polynômes P(x) et Q(x) sont proportionnels. EXEMPLE : Les équations x + 6y et 9x = 0 sont entières et du premier degré. L équation x 3 5x 3 = 0 est entière et du troisième degré. Équation irrationnelle. Une équation est dite irrationnelle lorsque l inconnue (ou des inconnues) y figurent sous des radicaux. Ainsi l équation : x + = x est irrationnelle.

4 Vérification d une équation. En général on résoud une équation au moyen d un certain nombre de transformations et d opérations formant un certain volume de calculs qu il est indispensable de vérifier. Ces calculs font souvent perdre de vue la définition même des solutions d une équation. Lorsqu on a résolu une équation, il est essentiel de s astreindre à remplacer dans l équation donnée l inconnue (ou les inconnues) par chacune des solutions trouvées. On doit alors, pour chaque solution, obtenir une égalité numérique, ou une identité s il y a des paramètres. Sinon, on doit conclure que les calculs qui ont fourni ces solutions sont incorrects. On objectera sans doute que l équation peut être impossible. De toute façon les calculs sont à reprendre car des erreurs ont pu être commises ou bien des conditions révélant le caractère d impossibilité ont été omises. PRINCIPES DE RÉSOLUTION Les propriétés que nous allons étudier constituent les principes fondamentaux de la résolution des équations. Elles permettent de déduire d une équation des équations équivalentes plus simples. Premier principe. Considérons l équation : x + 3x = 6x. (I) Ajoutons la même expression x 3 à chacun des membres de cette équation. On obtient : x + 3x + x 3 = 6x + x 3 (II) Cette nouvelle équation est équivalente à la précédente. En effet, l équation (I) est satisfaite pour x =, car on a : () + 3 = 6, soit 0 = 0. On passe de (I) à (II) pour x = en ajoutant à chacun des membres de (I) un même nombre :. 3 = 5, qui est la valeur de x 3 pour x =. L équation (II) x = devient donc une égalité numérique = et admet Pour solution. On peut appliquer le même raisonnement à toute solution de (I) et énoncer : toute solution de l équation (I) est solution de l équation (II). Si, pour d autres valeurs de x, x 0 par exemple, l équation (II) est satisfaite, c est-à-dire si les deux nombres x 0 + 3x 0 + x 0 3 et 6x 0 + x 0 3 sont égaux, il est évident que les deux nombres : x 0 + 3x 0 et 6x 0 sont aussi égaux. En effet, on obtient ces deux nombres en retranchant aux deux nombres égaux x 0 + 3x 0 + x 0 3 et 6x 0 + x 0 3 la même quantité : + x 0 3. Toute solution de l équation (II) est donc solution de l équation (I). Les deux équations sont équivalentes. On notera que l on passe de l équation (II) à l équation (I) en retranchant à chacun des membres de (II) la même expression x 3. Il est clair que l on peut appliquer le même raisonnement à une équation quelconque A = B à plusieurs variables, quelle que soit l expression M (dépendant ou non des variables) que l on ajoute ou que l on retranche aux deux membres A et B, à condition que l expression M soit définie pour les solutions des équations considérées. C est ainsi que l équation :

5 x + 3x + x = 6x + x obtenue en ajoutant à chacun des membres de (I) l expression équivalente à l équation, car pour x = (solution de ) l expression forme impossible 0. De même : x + 3x + x 4 = 6x + x 4 M = x x, n est pas prend la n est pas équivalente à (I), car pour x = l expression x 4 n a pas de valeur numérique (un nombre négatif n a pas de racine carrée). De tels cas se présentent assez rarement lorsqu on applique la propriété considérée ici, nous énoncerons simplement : On obtient une équation équivalente à une équation donnée en ajoutant ou en retranchant une même expression à chacun des membres de cette équation. Application I. simplification. En ajoutant aux deux membres de l équation : 5x x = x x 8 (III) La même expression x, on obtient une équation équivalente d après le théorème précédent : 5x x + x = x x 8 + x, soit : 5x = x 8. Cette transformation revient à supprimer, dans l équation donnée, le terme x commun aux deux membres de cette équation. Nous énoncerons : Si les deux membres d une équation contiennent un même terme, on peut supprimer ce terme. La nouvelle équation obtenue est équivalente à la première (à condition que le terme supprimé ait une valeur numérique pour les solutions de la nouvelle équation). Ainsi, dans l équation : x + 3x + = 6x + x x, on supprimera le terme commun x obtenue de la condition x 0 soit x. mais on accompagnera la nouvelle équation Application II. Transposition. Reprenons l équation : 5x = x 8 (IV) et retranchons x des deux membres. On obtient : 5x x = x 8 x = 8, soit : 3x = 8. Cette application du premier principe revient à changer de membre dans l équation IV le terme x en changeant son signe. On peut énoncer :

6 Dans une équation on peut faire passer un terme d un membre dans l autre à condition de changer son signe, car on obtient ainsi une équation équivalente. Cette opération appelée transposition permet notamment de ramener toute équation de la forme A = B à une équation équivalente de la forme C = 0. En effet, on peut faire passer le terme B dans le premier membre en changeant son signe. L équation A = B est donc équivalente à l équation A B = 0, soit C = 0, avec C = A B. Second principe. Reprenons l équation : (V) 3x = 8.