1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en petite dimension

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1 1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en petite dimension révisions} : résolution des systèmes linéaires calcul de déterminant. Ce chapitre est censé n être qu une révision de méthodes déjà abordées précédemment. Rappelons d abord que résoudre un système linéaire revient à résoudre une équation matricielle du type Ax = b, où x est un vecteur, l inconnue, b le second-membre et la matrice A est constituée des coefficients apparaissant dans les diverses équations. Pour résoudre de tels systèmes on peut soit chercher directement la solution x étant donné un b précis, soit déterminer A 1 et on a alors en prime la solution pour tout b : c est x = A 1 b. Evidemment, cela nécessite que la matrice A soit inversible, ou dit autrement, que pour tout b il existe un unique x solution de l équation. Nous allons d abord travailler sur les systèmes puis aborder la traduction matricielle qui sera systématiquement utilisée dans le prochain chapitre. 1.1 Substitution et combinaison Ces deux méthodes très basiques sont les briques fondamentales de la méthode de Gauss (cf. ci-dessous). Partons des deux exemples de systèmes suivants : (A) x + y = 3 6y = 1 (B) 3x + 4y = 6 x + 4y = 4 Dans le cas du système (A), il est clair que la «bonne» 3 méthode consiste à déduire de la seconde équation la valeur de y, qui vaut, puis à insérer cette valeur dans la première équation qui devient x + = 3, d où x = 1/. Cette méthode qui consiste à replacer (ou substituer) une inconnue par sa valeur dans l équation de l autre inconnue s appelle la méthode par substitution. Pour le système (B), il est plus judicieux de remarquer qu en soustrayant les deux équations, le terme en y se simplifie et on obtient directement x =. En utilisant maintenant la méthode de substitution vue juste avant dans (par exemple) la première équation de (B), on obtient aisément y = 0. Nous venons de voir un exemple simple de la méthode de combinaison : on a fait une combinaison linéaire des deux équations, ici (L1). Ces deux méthodes se généralisent fortement. Pour illustrer cela, prenons le système suivant : (C) x + y = (L1) x 6y = 1 3. Ce terme restant à définir... ce que l on tentera de faire plus loin dans ce cours. On peut penser dans un premier temps que la bonne méthode, c est «celle qui fonctionne»(!) mais on pensera aussi à celle qui donne le résultat de la façon la moins couteuse possible. 6

2 substitution} à partir de on obtient x = 1+6y et si on substitue cette expression dans (L1), après réarragement des termes il vient 13y = 6, soit y =, puis x = 1 6 ( ) = 0. combinaison} on évalue la combinaison linéaire (L1) qui simplifie les termes en x et donne 13y = 6, puis on peut évaluer 6 (L1) + pour simplifier les termes en y et obtenir le résultat, x = 0. On vient de voir que l on peut substituer non seulement une valeur numérique, mais aussi une expression d une inconnue dans une équation. Les combinaisons linéaires quant à elles, sont plus générales qu une simple addition ou soustraction de ligne. Ces deux méthodes sont fondamentales pour la compréhension de la suite, même si nous les appliquerons sous une forme qui pourrait les faire passer inaperçues. 1. Méthode de Cramer Nous n allons pas trop insister sur la méthode de Cramer car elle n est pas très performante du point de vue du calcul effectif comme nous le verrons 4. Néanmoins, elle a l avantage de mettre clairement en évidence un point de «détail» sur lequel nous sommes allègrement passés jusqu ici : avant de chercher à résoudre un système, il peut être intéressant de savoir s il a une/des solution(s)! Rappelons le principe sur le système 3 3 suivant : x + y + z = 1 (D) x 6y + 3z = y + 4z = 3 On commence par calculer le déterminant du système (ou de la matrice associée au système). Puis, pour trouver la valeur de x, on remplace la première colone dans le calcul de par le second membre, ici en gras. Idem pour y avec la second colonne et la troisième pour z : x = y = z = On voit ici clairement que cette méthode de résolution ne peut fonctionner que si n est pas nul. Dans ce cas, on sait qu il n y a qu une unique solution et qu elle est donnée par les formules de Cramer que nous venons de voir 5. Dans le cas où est nul, il peut soit n y avoir aucune solution, soit une infinité selon la compatibilité avec le second membre. Nous renvoyons aux cours précédents pour plus de détails. 4. autrement dit, ce n est pas une «bonne» méthode 5. Evidemment, ces formules se généralisent à des dimensions quelconques 7

3 1.3 Méthode du pivot de Gauss : première approche Nous allons décrire maintenant sur un exemple le principe de la méthode de Gauss, dans une version un peu simplifiée. On part du système x + y + z = 5 (L1) (E) x y + z = 5 y + 4z = 3 (L3) Nous allons procéder en agissant sur les lignes du système en utilisant des combinaisons linéaires de celle-ci en vue d obtenir dans un premier temps un système triangulaire, avec des coefficients égaux à 1 sur la diagonale, i.e. on veut arriver à un système de la forme x + y + z = (E ) y + z = z = A supposer que l on soit capable d arriver à ce stade, il suffira alors de «remonter» les calculs par substitution en partant de la valeur de z qu on injecte pour obtenir y, puis x en injectant y et z dans la première ligne. On commence donc par garder la première équation de (E) en la divisant par, puis on élimine la variable x dans la seconde en la remplaçant par (L1) ce qui donne : x + 1 y + 1 z = 5 (L1) 5 y + 1 z = 15 y + 4z = 3 (L3) Il faut alors diviser la nouvelle ligne par 5/, ce qui donne x + 1 y + 1 z = 5 (L1) y z = 3 y + 4z = 3 On élimine alors y dans la dernière équation en faisant la combinaison linéaire (L3) : x + 1 y + 1 z = 5 (L1) y z = 3 (L3) 19 5 z = 0 (L3) Evidemment, on obtient z = 0 en dernière équation, ce qui donne directement y = 3 (grace à ), puis x = 1 dans (L1). Il y a plusieurs remarques à faire : 8

4 (i) Nous n avons utilisé que les deux briques élémentaires : combinaison et subsitution, agissant par combinaison linéaire pour la première phase, dite descendante, puis par substitution pour la phase de remontée, dite ascendante. (ii) La «véritable» méthode de Gauss utilise une opération supplémentaire sur les lignes : la permutation. Cela permet de gérer d une part le cas où le coefficient en x de la première ligne aurait été nul, par exemple. D autre part, cela permet de choisir le «meilleur» pivot, qui est celui qui sera censé minimiser les erreurs d arrondis, on y reviendra. (iii) Cette méthode permet en réalité d inverser la matrice associée au système, nous verrons plus loin comment. L avantage de calculer cette inverse est que nous pourrons alors aisément résoudre Ax = b pour n importe quel second membre b, il suffira de calculer x = A 1 b. 1.4 Notation matricielle Nous allons transcrire la procédure précédente sous une forme plus abstraite. On bâtit une matrice dans laquelle, on place le second membre à droite de la matrice naturellement associée au système : Les opérations que nous avons effectuées s écrivent successivement : 1 1/ 1/ 5/ 1 1/ 1/ 5/ 0 5/ 1/ 15/ 0 1 1/ / /5 3 où on a agit exactement de la même façon que pour le système, en faisant apparaître des 0 et des 1 par combinaisons des lignes entre elles de sorte à se ramener à une matrice triangulaire supérieure. En réalité la phase de remontée peut aussi se traiter de la même manière : on commence par faire apparaître un zéro pour la composante z de la seconde ligne en remplaçant par (1/5)(L3), puis on fait apparaître progressivement des zéros au dessus de la diagonale par le même type de combinaisons : 0 1 1/ / 0 5/ Une fois que l on a obtenu l identité dans la matrice de gauche, le second est la solution recherchée : (x, y, z) = (1, 3, 0). Evidemment, il semble plus facile de remonter par substitution et c est sans doute la méthode que nous employerons lorsque nous chercherons seulement à résoudre l équation Ax = b avec un second membre fixé. Néanmoins, pour de nombreuses applications, le second membre b peut varier et il devient donc intéressant de calculer une bonne fois pour toutes A 1. Dans ce cas, c est la méthode que nous 9

5 venons de voir qui va nous fournir la bonne façon de procéder. Pour calculer A 1, on commence par écrire la matrice A et à coté l identité : et on procède exactement comme ci-dessus, en répercutant les opérations faites sur A sur la matrice identité. A la fin des deux étapes (descendante puis ascendante), on obtient un résultat du genre : où l on voit apparaître l inverse de A à droite de l identité. exercice} : calculer par la méthode de Gauss A 1. 10