Chapitre n 10 L A M É C A N I Q U E D E N E W T O N

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1 T ale S Chapitre n 10 L A É C A N I Q U E D E N E W T N I- Rappels 1 )Le vocabulaire a) Système Le système est l objet, ou l ensemble des objets, auquel on s intéresse pour l étude de son mouvement. Ex.: une pierre, une planète, une galaxie, une bille, un électron, etc. b) Trajectoire La trajectoire d un système dans un repère est l ensemble des points qu il a successivement occupé, au cours de son mouvement. (Rq. : Pour des raisons de commodité, un seul point du système est étudié : son centre de gravité G) c) Référentiels Le référentiel est indispensable pour décrire un mouvement dans un univers à 4 dimensions ; il faut donc : Un référentiel d espace, c est-à-dire un solide servant de référence, auquel on lie toujours un repère d espace (un système d axes), généralement orthonormé (; i; j; k ). Rq. : Le référentiel le plus utilisé sera le référentiel terrestre. Un référentiel temporel, pour dater les positions du système étudié. d) Vitesse moyenne 1 - Définition La vitesse moyenne v m entre et est définie par : Rq. : - les vecteurs v m et sont - la distance prise en compte est la distance ' et non pas. 2 - Cas d un tracé de mobile autoporteur ou d une chronophotographie Notons τ la durée s écoulant entre deux marquages. n-1 n e) Force 1 - Définition Une force est la modélisation mathématique d une action exercée (par contact ou à distance) par un système sur un autre. 2 - Les effets d une force sur le mouvement Une force s exerçant sur un système peut : 2 )La première loi de Newton : le principe d inertie a) Énoncé Dans un référentiel galiléen, le centre d inertie G d un solide isolé ou pseudo-isolé peut : n1-1 -

2 b) Les référentiels galiléens Un référentiel galiléen est Ex. : Le, auquel est associé le repère dont l origine est le Soleil et les trois vecteurs unitaires i, j et k dirigés vers trois étoiles lointaines semblant immobiles. Tous les référentiels en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen. 3 )Force et variation de vitesse Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système a même direction et même sens que la variation du vecteur vitesse du centre d inertie du système entre deux dates proches : Entre t et t t, et sont donc colinéaires. A est une constante positive qui dépend du système étudié. Rq. : Si le vecteur est perpendiculaire à, sa valeur n est pas modifiée. 4 )La troisième loi de Newton : le principe des actions réciproques Lorsque deux solides S 1 et S 2 interagissent, la force exercée par S 1 sur S 2 est opposée à celle exercée par S 2 sur S 1 : Rq. : Ce principe est valable pour des actions à distance comme des actions de contact quel que l état de mouvement ou de repos d un système par rapport à l autre. Ex. : Un livre posé sur le sol terrestre : La Terre en interaction avec le Soleil : II- Les trois grandeurs physiques de base en cinématique 1 )Le vecteur position Connaissant la position d un point de la trajectoire à une date t donnée par rapport à un repère orthonormé (; i; j; k ), le vecteur position est défini par : où x(t), y(t) et z(t) sont 2 )Le vecteur vitesse a) Définition Le vecteur vitesse instantanée en peut être défini par : r a b Donc : b) Ses caractéristiques Direction : Sens : Valeur : - 2 -

3 c) Ses coordonnées cartésiennes Le vecteur position s écrit : Le vecteur vitesse instantanée s écrivant : Comme i, jet k ne dépendent pas du temps, alors : ou La valeur du vecteur vitesse instantanée s exprime alors par : 3 )Le vecteur accélération a) Définition 1 - générale L accélération caractérise 2 - du vecteur accélération moyenne a b L accélération moyenne a m entre a et b est définie par : 3 - du vecteur accélération instantanée Le vecteur accélération instantanée en peut être défini par : ou b) Ses caractéristiques Lorsque le mouvement est rectiligne : - si les vecteurs et ont même direction et même sens, le mouvement est dit - si les vecteurs et ont même direction mais sens contraire, le mouvement est dit - si le vecteur est constant au cours du temps, le mouvement est dit (ou ) ; Lorsque le mouvement est curviligne, le vecteur n est pas colinéaire au vecteur : le vecteur accélération est alors décomposé en deux parties : la composante, colinéaire à, et la composante, perpendiculaire à et dirigé vers l intérieur de la concavité : c) Ses coordonnées cartésiennes Le vecteur vitesse instantanée s écrit : - 3 -

4 Le vecteur accélération instantanée s écrit alors : Comme i, jet k ne dépendent pas du temps, alors : ou La valeur du vecteur accélération instantanée s exprime alors par : III- La deuxième loi de Newton : le théorème du centre d inertie 1 )Le théorème a) Enoncé Sous l action de forces extérieures qui lui sont appliquées, le centre d inertie G d un solide acquiert une accélération a G telle que : Rq. 1 : Si et a G sont colinéaires, la relation peut s écrire en norme : Rq. 2 : Si le système est isolé ou pseudo-isolé, alors =, donc a G =, = : nous retrouvons le principe d inertie. Rq. 3 : le terme m de l équation traduit l inertie du système, c est-à-dire sa résistance à subir des variations de vitesse : pour obtenir une accélération a donnée, plus le système est massif, plus la valeur de la force à exercer sur lui doit être importante. b) Limite de validité Le théorème du centre d inertie n est valable que dans le cadre de la écanique classique, ou écanique Newtonienne. En effet, pour des systèmes en mouvement avec des valeurs de vitesse supérieures ou égales à 0,1.c (où c représente la célérité de la lumière, et vaut : c = m.s -1 ), il est nécessaire de faire intervenir d autres relations mathématiques développées par A. Einstein : il s agit alors de la écanique relativiste. 2 )Exercice d application (cf. page suivante) - 4 -

5 T ale S EXERCICE DE CURS (Chapitre n 10) Une voiture de masse m = 1200 kg se déplace sur une route horizontale rectiligne. Elle est soumise à des actions mécaniques extérieures de deux types : - les actions motrices, modélisées par un vecteur force, parallèle à la route, d intensité constante F m = 3000 N, appliqué au centre d inertie ; - les actions résistantes, modélisées, tant que la vitesse est inférieure à 20 m.s -1, par un vecteur force F f d intensité inconnue mais constante, de sens opposé à celui du déplacement et appliqué au centre d inertie de la voiture. Afin de déterminer l intensité de la force, on procède à la mesure de la vitesse de la voiture à différentes dates, durant la phase de démarrage et la phase suivante. 1 ) Etude du mouvement pendant la phase de démarrage (vitesse inférieure à 20 m.s -1 ) n photographie les positions successives de la voiture toutes les secondes (figure ci-dessous). Le départ des photographies est synchronisé avec celui de la voiture. A t = 0 s, l avant de la voiture coïncide avec la position origine x = 0 (pour plus de clarté, la position de la voiture à cet instant n a pas été représenté sur le schéma). a) Indiquer la méthode utilisée pour déterminer, avec une bonne approximation, la vitesse v n de la voiture à un instant de date t n donnée. b) Donner dans un tableau les valeurs de la vitesse aux dates 1 s, 2 s,, 6 s. c) Représenter graphiquement l évolution de la vitesse en fonction du temps. d) ontrer que la courbe construite permet de déterminer la nature du mouvement. Déduire de cette étude la valeur de l accélération du mouvement. e) En déduire la valeur de la force. 2 ) Etude du mouvement au-delà de la phase de démarrage En utilisant des capteurs électroniques placés sur la transmission, on enregistre directement la vitesse de la voiture durant son mouvement. Ces mesures permettent de tracer la figure ci-contre : a) ontrer que le départ du graphe est bien en accord avec les mesures précédentes. b) A quoi correspond le coefficient directeur de la tangente à la courbe? Comment évolue cette grandeur au cours du temps? Que peut-on en déduire sur l évolution de la force F? (La force F reste constante) f m c) A partir du graphe, tracer la tangente pour un vitesse voisine de 40 m.s -1. En déduire un ordre de grandeur de l accélération pour une vitesse voisine de 40 m.s -1. d) En déduire un ordre de grandeur de la valeur de F à cette vitesse. f v (en m.s - 1 ) t (en s) - 5 -