1 Notion de matrice. 2 Opérations sur les matrices. 1.1 Définitions et notations

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1 ECS Semaine de colle n o 16 du 13 au 17 janvier Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément Les démonstrations/exemples vus en classe peuvent être proposées comme questions de cours 1 Notion de matrice Dans toute ce chapitre K = R ou C et n,p désigne deux entiers naturels non-nuls 11 s et notations On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau d éléments de K comportant n lignes et p colonnes : a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,p A = a i,1 a i,2 a i,j a i,p a n,1 a n,2 a n,j a n,p On note A = (a i,j ) 1 i n et on dit que A est de taille (n,p) On note M n,p (K) l ensemble des matrices de tailles (n,p) Si n = p on dit que la matrice est carrée et on note M n (K) au lieu de M n,n (K) Vocabulaire et notations Matrice ligne : matrice qui n a qu une ligne ie élément de M 1,p (K) Matrice colonne : matrice qui n a qu une colonne ie élément de M n,1 (K) Matrice nulle de M n,p (K) : matrice dont tous les coefficients sont nuls, notée 0 n,p (ou 0 lorsqu il n y a pas d ambiguïté) Deux matrices A et B sont égales si elles ont même taille et mêmes coefficients On note alors A = B 12 Matrices carrées particulières Une matrice carrée A M n (K) est dite : Diagonale si a i,j = 0 pour i j Triangulaire supérieure si a i,j = 0 pour i > j Triangulaire inférieure si a i,j = 0 pour i < j 2 Opérations sur les matrices 21 L espace vectoriel M n,p (K) Addition de matrices Soient A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i n deux matrices de M n,p (K) La matrice A + B = (c i,j ) 1 i n M n,p (K) est la matrice dont les coefficients c i,j sont donnés par : (i,j) 1,n 1,p, c i,j = a i,j + b i,j Autrement dit A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i n La matrice A M n,p (K) est définie par A = ( a i,j ) 1 i n Multiplication par un scalaire Soient A = (a i,j ) 1 i n M n,p (K) et λ K On définit la matrice λ A M n,p (K) par λ A = (λa i,j ) 1 i n Propriétés immédiates Soient A,B,C M n,p (K) et λ,µ K 1 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), 0 n,p + A = A + 0 n,p = A, A + ( A) = ( A) + A = 0 n,p 2 (λ + µ)a = λa + µa λ(a + B) = λa + λb λ(µa) = (λµ)a 1 A = A 3 λa = 0 λ = 0 ou A = 0 n,p Page 1/6

2 Conséquence Pour l addition des matrices et la multiplication par un scalaire, tout se passe comme dans K 22 Produits de matrices La définition Soient A M n,p (K) et B M p,q (K) Le produit AB M n,q (K) est la matrice AB = (c i,j ) 1 i n définie par : 1 j q (i,j) 1,n 1,q, c i,j = p a i,k b k,j Attention Le produit matriciel n est pas commutatif : Le produit AB peut être défini sans que BA le soit (cas où q p) Si A M n,p (K) et B M p,n (K) alors AB et BA sont définis mais AB M n (K) et BA M p (K) : si n p, AB et BA n ont pas même taille Lorsque A,B M n (K), on a AB,BA M n (K) mais, en général AB BA Propriétés du produit matriciel A,B,C étant des matrices de tailles adéquates et λ K, on a : 1 λ(ab) = (λa)b = A(λB) (Propriété du scalaire «mobile») 2 (A + B)C = AC + BC 3 (AB)C = A(BC) (associativité du produit) La matrice identité de taille n est la matrice diagonale I n M n (K) dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 : I n = Pour toute matrice A M n,p (K), on a I n A = AI p = A Plus généralement : A M n,p (K), λ K, (λi n )A = A(λI p ) = λa Les matrices de la forme λi n sont appelées matrices scalaires k=1 23 Transposée d une matrice Soit A M n,p (K) On définit la matrice transposée t A = (c i,j ) 1 i p M p,n (K) 1 j n par : (i,j) 1,p 1,n, c i,j = a j,i Autrement dit, les lignes de t A sont les colonnes de A et inversement Les matrices A,B étant de tailles adéquates et λ K : 1 t ( t A) = A 2 t (A + B) = t A + t B 3 t (λa) = λ t A 4 t (AB) = t B t A Cas des matrices carrées Si A M n (K), alors t A est aussi de taille (n,n) A est symétrique si t A = A ie : (i,j) 1,n 2, a i,j = a j,i A est antisymétrique si t A = A ie : (i,j) 1,n 2, a i,j = a j,i 3 Produits de matrices carrées 31 Produits de matrices carrées particulières 1 Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure 2 Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure 3 Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale 32 Puissances d une matrice carrée Soit A M n (K) On pose A 0 = I n puis, pour tout k N, A k = AA k 1 Autrement dit : A k = A A A } {{ } k facteurs Attention En général A 2 (a 2 i,j ) 2/6

3 1 1 1 Exemple On considère la matrice J = M 3(R) On a J 2 = 3J et plus généralement : p N,J p = 3 p 1 J Pour tout A M n (R) et tous p,q N : A p A q = A p+q (A p ) q = A pq Attention En général (AB) k A k B k par exemple pour k = 2 : (AB) 2 = ABAB alors que A 2 B 2 = AABB et on sait qu en général AB BA L égalité ci dessus est vraie dans le cas particulier où A et B commutent : On dit que A,B M n (K) commutent si AB = BA Exemples de matrices qui commutent Pour toute matrice A M n (R) : A commute avec la matrice identité I n ; Plus généralement, A commute avec les matrices scalaires : Formule du binôme de Newton Soient A,B M n (K) telles que AB = BA Alors pour tout p N : (A + B) p = p k=0 ( ) p A k B p k = k p k=0 ( ) p B k A p k k Applications au calcul des puissances d une matrice Nous avons vu comment utiliser la formule du binôme pour calculer les puissances d une matrice A donnée L idée est d écrire A sous la forme A = B + C où : Les matrices B et C commutent Les puissances de B et C sont «simples» à calculer 33 Matrices inversibles Petits exemples : La matrice identité I n est inversible et (I n ) 1 = I n La matrice nulle 0 n de M n (K) n est pas inversible : (admis) Soit A M n (K) i) S il existe B M n (K) telle que AB = I n, alors A est inversible et B = A 1 ii) S il existe B M n (K) telle que BA = I n, alors A est inversible et B = A 1 En pratique : Pour montrer qu un matrice A est inversible et trouver son inverse il suffit de trouver une matrice B vérifiant l une des deux égalités : AB = I n ou BA = I n Si A,B GL n (K), alors : 1 A 1 est inversible et (A 1 ) 1 = A 2 t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ) 3 AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 4 Si p N, A p est inversible et (A p ) 1 = (A 1 ) p que l on note plus simplement A p : Règles de calculs Soient A,B M n (K) et soit C GL n (K) : 1 AC = B A = C 1 B et CA = B A = C 1 B 2 AC = BC A = B et CA = CB A = B Attention Si ( C n est pas ) inversible, ( ) tout peut ( arriver )! Exemple : Si A =, B = et C = on a AC = BC mais A B Une matrice A M n (K) est dite inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n Dans ce cas, la matrice B est unique, appelée inverse de A et notée B = A 1 L ensemble des matrices inversibles de M n (K) est noté GL n (K) 3/6

4 Quelques critères d inversibilité Inversibilité en présence d un polynôme annulateur Exemple Soit A M n (K) On suppose que A vérifie A 2 3A 2I n = 0 Alors A est inversible Le cas des matrices de taille (2,2) : ( ) a c Une matrice A = M b d 2 (K) est inversible si et seulement si ad bc 0 Dans ce cas, ( ) A 1 1 d b = ad bc c a Cas des matrices diagonales Soit D une matrice diagonale La matrice D est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls Cas des matrices triangulaires Soit T une matrice triangulaire de taille (n,n) La matrice T est inversible ssi tous ses coefficients diagonaux sont non nuls a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = y 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = y 2 Soit (S) un système de n équations à p inconnues : (S) a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = y n Trois matrices sont naturellement associées à (S) : a 1,1 a 1,2 a 1,p y 1 x 1 a 2,1 a 2,2 a 2,p y 2 x 2 A = M n,p (K), Y = M n,1 (K), et X = M p,1 (K) a n,1 a n,2 a n,p y n x p A est la matrice des coefficients Y est la matrice colonne second membre X est la matrice colonne des inconnues La p-liste (x 1,x 2,,x p ) K p est solution de (S) ssi la matrice colonne X vérifie AX = Y 42 Matrices inversibles et systèmes de Cramer Soit A M n (R) La matrice A est inversible si et seulement si pour tout second membre Y M 1,n (R), le système d écriture matricielle AX = Y admet une unique solution X dans M n,1 (R) Dans ce cas, la solution X est donnée par X = A 1 Y Attention Pour les matrices triangulaires, on n a pas d expression «simple» pour la matrice T 1 4 Systèmes linéaires et matrices 41 Ecriture matricielle d un système linéaire Utilisation pratique Le théorème permet : 1 De prouver qu une matrice A est ou non inversible 2 De calculer A 1 dans le cas où A est inversible 4/6

5 5 Espaces vectoriels Dans tout ce qui suit K = R ou C 51 La structure d espaces vectoriel Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel (en abrégé K-ev), est un ensemble non vide E muni : i) d une addition interne notée «+» ie une application E E E ( x, y) x + y ii) d une multiplication externe notée ie une application K E E (λ, y) λ y qui vérifient les propriétés suivantes : i) 1 Commutativité : ( x, y) E 2, x + y = y + x 2 Associativité : ( x, y, z) E 3, ( x + y) + z = x + ( y + z) 3 Vecteur nul : il existe un unique élément de E, noté 0 E, tel que : x E, x + 0 E = 0 E + x = x 4 Vecteur opposé : pour tout x E, il existe un unique élément de E, noté x, tel que : x + ( x) = ( x) + x = 0 E ii) 1 x E, 1 x = x 2 x E, (λ,µ) K 2, (λ + µ) x = λ x + µ x 3 ( x, y) E 2, λ K, λ ( x + y) = λ x + λ y 4 x E, (λ,µ) K 2, λ (µ x) = (λµ) x = µ (λ x) Vocabulaire Les éléments de E sont appelés vecteurs, les éléments de K sont appelés scalaires : Règles de calculs Soient x, y E et λ,µ K On a 1 λ x = 0 E λ = 0 ou x = 0 E 2 ( λ) x = λ ( x) = (λ x) 3 λ ( x y) = λ x λ y (λ µ) x = λ x µ x 52 Exemples de références Exemple 1 K n pour tout n N l ensemble des n-listes est un K-ev Exemple 2 (n,p) est un K-ev M n,p (K) Pour tous n,p N, l ensemble des matrices de taille Exemple 3 Exemple 4 Exemple 5 K[X] L ensemble des polynômes à coefficients dans K est un K-ev R N L ensemble des suites réelles, noté R N, est un R-ev F (I,R) L ensemble F (I,R) des fonctions de I dans R est un R-ev 6 Sous-espaces vectoriels Dans tout ce qui suit E désigne un espace vectoriel 61 Soit F une partie de E On dit que F est un sous-espace vectoriel (sev) de E si la restriction de + et de de E à F confèrent à F une structure d espace vectoriel Cela équivaut à F, F est «stable par +» : ( x, y) F 2, x + y F, F est «stable par» : λ K, x E, λ x F : Critère pratique Une partie F de E est un sev de E si et seulement si : i) F ii) ( x, y) F 2, λ K, λ x + y F Remarque Tout sev de E possède le vecteur nul Par contraposée, si 0 E F, alors F n est pas un sev de E 62 Sous-espaces vectoriels engendrés Une famille (finie) de vecteurs de E est une n-liste ( u 1, u 2,, u n ) de vecteurs de E Le nombre n de vecteurs de cette famille est appelé le cardinal de la famille Soit ( u 1, u 2,, u n ) une famille de vecteurs E Un vecteur x est une combinaison linéaire de ( u 1, u 2,, u n ) s il existe n scalaires α 1,α 2,α n tels que x = α 1 u 1 + α 2 u α n u n = n α i u i i=1 5/6

6 définition Soit ( u 1, u 2,, u n ) une famille de E On note Vect( u 1, u 2,, u n ) l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ( u 1, u 2,, u n ) ie x Vect( u 1, u 2,, u n ) ssi il existe α 1,α 2,,α n K tels que x = n α i u i Vect( u 1, u 2,, u n ) est un sev de E, appelé sous-espace vectoriel engendré par ( u 1, u 2,, u n ) i=1 : Propriétés du «Vect» Soit ( u 1, u 2,, u n ) une famille de vecteurs de E i) Le sev Vect( u 1, u 2,, u n ) contient les vecteurs u 1, u 2, et u n ii) Vect( u 1, u 2,, u n ) est le «plus petit» sev contenant les vecteurs u 1, u 2,, u n : Si F est un sev contenant u 1, u 2, et u n, alors Vect( u 1, u 2,, u n ) F Méthode : Pour montrer qu une partie F est un sev de E, il peut être utile de montrer que F = Vect( u 1, u 2,, u n ) L adresse de la page des maths est : 6/6