MAT Résolution de récurrences

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1 MAT-7 Résolution de récurrences Par François Laviolette Université Laval Version Été 007 Introduction Dans ce chapitre, nous étudierons des problèmes reliés à la notion de suite. Une suite est une séquence infinie de nombres réels. Un élément de cette suite est appelé un terme de la suite. Par exemple, 0,, 4, 6, 8,... est la représentation en extension de la suite des entiers naturels pairs ou encore 0,, 4, 9, 6,..., celle des carrés parfaits. Voici un exemple plus complexe, connu sous le nom de suite de Fibonacci : 0,,,, 3,, 8, 3,,... De façon générale, la suite a 0, a, a, a 3, a 4,... se notera a n n N. Il est à noter qu une telle suite est en fait une application de N vers R, on peut donc la représenter a n n N par f : N R n a n Une suite «a n» ne commence pas nécessairement par l indice 0, elle peut commencer par Remerciements à Jean-François Morin, pour avoir fait une relecture attentive de ces notes de cours.

2 l indice ou par tout autre élément n 0 Z. Dans ce cas, la suite serait a n0, a n0 +, a n0 +, a n0 +3, a n0 +4,... et se noterait a n n Z n n 0. Dans ce cas, on peut représenter la suite par l application f : {n : Z n n 0 } R n a n Une suite peut donc être définie en extension, exemple : 0,, 4, 6, 8,... ou de façon plus rigoureuse en compréhension, exemple : f : N R n n La définition en compréhension d une suite est appelée définition par terme général. Plutôt que d utiliser le formalisme des applications, on présente généralement une définition par terme général d une suite en donnant simplement la formule générique permettant de calculer directement n importe quel terme de la suite ainsi que l ensemble des indices pour lesquels la formule est valide. Exemple : Le terme général de la suite a n n N des entiers naturels pairs est a n n n N.. À part la définition en extension et celle par terme général, il y a une autre façon tout aussi rigoureuse que celle par terme général de définir une suite : la définition par récurrence qui consiste à se donner directement la valeur du premier terme ou les valeurs des quelques premiers termes de la suite ainsi qu une méthode pour calculer la valeur de n importe quel terme de la suite en fonction de son ou ses prédécesseurs. Ainsi, la suite a n n N des entiers naturels pairs peut se définir récursivement par { a0 0 a n a n + n : N Et la suite de Fibonacci f n n N se définit récursivement par f 0 0 f f n f n + f n n : N \ {0, } Dans la littérature, la suite de Fibonacci est la plupart du temps définie pour n, c est-à-dire : f, f et f n f n + f n n : N {, }.

3 Nous verrons au cours de ce chapitre que le terme général de la suite de Fibonacci est f n + n n n N Le concept de suite se retrouve au centre de l analyse de plusieurs problèmes en mathématiques et en informatique. On le retrouve entre autres lorsque l on s intéresse au nombre total d étapes qu un algorithme doit accomplir, ou plus exactement lorsque l on cherche à calculer le temps d exécution t n d un programme en fonction d un certain paramètre n qui est généralement relié à la taille de la donnée d entrée. Exemple R.0. Considérons l algorithme suivant : l 0 Pour i à n Faire Pour j à i Faire l l + Ici, se demander quel sera en fonction du paramètre n le nombre total d étapes d exécution de l algorithme revient en gros à se demander quelle sera la valeur finale de la variable l en fonction du paramètre n. Soit a n n N la suite qui, pour chaque n, donne cette valeur finale. Alors, en utilisant la convention appropriée 3, on remarque facilement que Et que a 0 0 a n a n + n n N. Il est clairement plus facile dans cet exemple de définir la suite par récurrence. En général, c est presque toujours le cas, car il est plus facile de comprendre ce que sera la valeur de a n si on connaît celle de a n que de trouver directement la valeur de a n. 3 Nous adoptons ici la convention que si n 0, il n y a pas d erreur d exécution, mais que le Faire de la première boucle n est tout simplement pas exécuté. 3

4 Pour l exemple particulier, ci-haut, nous verrons à la section qu il est quand même relativement simple de trouver le terme général de cette suite, mais ce n est pas toujours le cas. Il est important de souligner que quoique la définition par récurrence soit une définition tout à fait rigoureuse, elle n est pas très pratique. En effet, pour calculer a 00 dans l exemple précédent, il nous faut d abord calculer a 99 et pour calculer a 99, on a besoin de connaître a 98, etc. Donc, si on souhaite utiliser la suite a n n N pour analyser notre petit algorithme de l exemple R.0. pour chacune des valeurs de n, on serait mieux de travailler avec la définition par terme général de la suite malheureusement plus difficile à obtenir au lieu de la définition par récurrence. L essentiel de ce chapitre consistera à se donner des outils nous permettant, étant donné une suite définie par récurrence, de trouver sa définition par terme général. Résoudre ce type de problème est faire de la résolution de récurrences. 4

5 Résoudre une récurrence Méthode : «deviner» la solution et la vérifier par induction mathématique Dans plusieurs cas plus complexes, c est encore la seule façon connue à ce jour. Le principe d induction mathématique s énonce de plusieurs façons, la forme la plus couramment utilisée étant : Théorème R.. Principe d induction mathématique faible. Étant donné un prédicat P. Alors, P 0 n : N : P n P n + ou, ce qui est équivalent, P 0 n : N P n : P n + ou, ce qui est équivalent, P 0 n : N : P n P n ou, ce qui est équivalent, P 0 n : N P n : P n n : N : P n n : N : P n n : N : P n n : N : P n Remarquons qu après avoir étudié une suite a n n N définie par récurrence et «deviné» sa définition par terme général, si on se donne comme prédicat P cette définition par terme général qu on vient de «deviner», la preuve par induction mathématique qui en découlera devrait alors se faire assez bien, la structure de la définition par récurrence se prêtant assez bien à ce genre de démonstration. Dans ces notes, nous utiliserons surtout la quatrième formulation de ce théorème, car des quatre, c est celle qui se prête le mieux aux démonstrations reliées aux résolutions de récurrences telles que nous les avons définies. L exemple suivant devrait rendre cette idée plus précise. Exemple R.. Soit a n n N une suite définie par récurrence par { a0 0 a n a n + n n : N Démontrez que a n n n N.

6 Démonstration Prenons le prédicat Pn : a n n. Alors nous devons démontrer que n : N : Pn. Et par le principe d induction mathématique, il suffit de démontrer que P0 n : N Pn : Pn. Montrons P0. C est-à-dire, montrons a 0 0. a Montrons n : N Pn : Pn. Soit n : N, choisi tel que Pn est vrai. C est-à-dire, tel que a n n. 4 Et montrons Pn. c est à dire a n n. a n Définition de a n n N. a n + n Hypothèse d induction. n + n Développement d un trinôme carré parfait. n n + + n Simplification algébrique. n On a démontré n : N Pn : Pn. Conclusion : on a bien n : N : Pn, c est-à-dire : a n n n N. C.Q.F.D. Il est important de préciser que la preuve par induction mathématique faible peut ne pas être utilisable dans certains cas, notamment par exemple lorsque la suite définie par récurrence ne commence pas à l indice 0, ou lorsque dans la relation de récurrence 4 Notons qu il faut lire l énoncé ainsi l énoncé entre parenthèses : «tel que a n tel que défini par la récurrence ci-haut est bien égale à n.» 6

7 on calcule le terme a n en fonction de plusieurs de ses prédécesseurs. Voici donc deux des nombreuses autres variantes du principe d induction mathématique. Théorème R..3 Principe d induction mathématique faible sur {n 0, n 0 +, n 0 +,...}. Étant donné un prédicat P. Alors, P n 0 n : N n 0 < n P n : P n n : N n 0 n : P n Théorème R..4 Principe d induction mathématique à deux cas de base. Étant donné un prédicat P. Alors, P 0 P n : N {0, } P n P n : P n n : N : P n Exemple R.. La suite de Fibonacci Soit f n n N une suite définie par récurrence par f 0 0 f f n f n + f n n : N {0, } Démontrez que f n + n n n N. Démonstration Prenons le prédicat Pn : f n + n Alors nous devons démontrer que n : N Pn. Et par le principe d induction mathématique à deux cas de base, n n N. il suffit de démontrer que P0 P n : N {0, } Pn Pn : Pn. Avant de démontrer cet énoncé, nous avons besoin de la remarque suivante : Remarque : les deux nombres + et sont les deux zéros 6 du polynôme y x x. Donc, + et sont les deux seuls nombres réels satisfaisant Le nombre + est appelé le nombre d or. Il a plusieurs propriétés intéressantes, il est présent dans plusieurs théories mathématiques et il est même utilisé en architecture. 6 Rappelons que les zéros du polynôme y ax + bx + c, sont donnés par la formule x b± b 4ac a. 7

8 l équation 0 x x, et donc l équation x+ x. Autrement dit, additionner à l un de ces deux nombres est équivalent à l élever au carré. Montrons P0. C est-à-dire, montrons f f Montrons P. C est-à-dire, montrons f f. Montrons n : N {0, } Pn Pn : Pn. Soit n : N {0, }, choisi tel que Pn et Pn sont vrais. C est-à-dire, tel que f n + n n et tel que f n + n n. Et montrons Pn, c est-à-dire f n + n n. 0.. f n Définition de f n n N\{0,}. f n + f n Hypothèses d induction. + n n + + n n + n + + n n n Mise en évidence double. + n + + n + Remarque, deux fois. + n + n Propriété des exposants. + n n 8

9 On a démontré n : N {0, } P n P n : P n. Conclusion : on a bien n : N Pn, c est-à-dire : f n + n n n N. C.Q.F.D. Nous sommes maintenant certains que le terme général de la suite de Fibonacci est f n + n n n N Mais si ce terme général ne nous avait pas été donné gratuitement, nous aurions été tous incapables de le deviner. Il nous faut donc de nouveaux outils pour résoudre des récurrences, c est le propos des prochaines sections. 9

10 Résoudre une récurrence Méthode : quatre cas particuliers Nous nous intéressons dans cette section à quatre familles particulières de suites. Pour chacune des suites appartenant à une de ces familles, le terme général est facile à trouver. Définition R.. Les suites arithmétiques. On dit qu une suite a n n N est arithmétique de premier terme a et de différence d si a 0 a la différence entre la valeur du terme a n et celle du terme a n est égale à d n : N Théorème R.. Soit a n n N une suite. Alors les énoncés suivants sont équivalents :. a n n N est une suite arithmétique de premier terme a et de différence d.. a n n N est définie par récurrence par { a0 a a n a n + d n : N 3. a n n N est définie par terme général par : a n a + nd n : N Exemple R..3 La suite des nombre pairs que nous avons vue en introduction est une suite arithmétique de premier terme a 0 et de différence d, et on a bien que { a0 0 a n a n + n : N et que a n n n : N 0

11 Définition R..4 Les suites géométriques. On dit qu une suite a n n N est géométrique de premier terme a et de raison r si a 0 a le rapport 7 entre la valeur du terme a n et celle du terme a n est égale à r n : N Théorème R.. Soit a n n N une suite. Alors les énoncés suivants sont équivalents :. a n n N est une suite géométrique de premier terme a et de raison r.. a n n N est définie par récurrence par { a0 a a n a n r n : N 3. a n n N est définie par terme général par : a n a r n n : N Exemple R..6 La suite des puissances de, c est-à-dire,, 4, 8, 6, 3, 64,..., est une suite géométrique de premier terme a et de raison r, et on a bien que { a0 a n a n n : N et que a n n n : N 7 Le rapport de a n sur a n est le résultat de la division de a n par a n, c est à dire r an a n

12 Définition R..7 La suite des sommes de premiers termes d une suite. Soit a n n N une suite. On appelle suite des sommes de premiers termes de la suite a n n N la suite a 0, a 0 + a, a 0 + a + a,..., a 0 + a + + a n,... Ou, autrement dit, la suite S n n N définie par récurrence par { S0 a 0 S n S n + a n n : N Théorème R..8 Soit a n n N, une suite arithmétique de premier terme a et de différence d et soit S n n N la suite des sommes de premiers termes de la suite a n n N. Alors, S n n N est définie par terme général par : S n a 0 + a n n + n : N Remarquons que «n +» représente le nombre de termes de la somme qui donne S n, «a 0» le premier terme de cette somme et «a n» le dernier terme. Exemple R..9 Calculez Solution : Remarquons que est une somme de premiers termes de la suite arithmétique de premier terme et de différence. Notons cette suite arithmétique a n n N. Alors par le théorème R.., on a a n + n n : N. Ainsi, Car a n 00 si n + 00, et donc si n 99. a 0 + a + a + a a 99 Théorème R..8.

13 a 0 +a C.Q.F.D. Théorème R..0 Soit a n n N une suite géométrique de premier terme a et de raison r et soit S n n N la suite des sommes de premiers termes de la suite a n n N. Alors, S n n N est définie par terme général par : S n a rn+ r n : N Remarquons que «n+» représente ici aussi le nombre de terme de la somme qui donne S n. 3

14 Exemple R.. Calculez Solution : Remarquons que est une somme de premiers termes de la suite géométrique de premier terme 8 et de raison. Notons cette suite arithmétique a n n N. Alors par le théorème R.., on a a n 8 n n : N. Ainsi, a 0 + a + a + a a Car, si an , alors 8 n , et donc n 3 07 et donc n log Théorème R C.Q.F.D. 8 Rappelons que log A log 0 A log 0 4

15 3 Résoudre une récurrence Méthode 3 : par les séries génératrices Dans cette section nous allons développer une méthode plus générale de résolution de récurrences, la méthode par séries génératrices. 3. L idée de la méthode Voici un exemple qui illustre son fonctionnement, nous développerons les outils nécessaires à son utilisation par la suite. Exemple R.3. Soit a n n N la suite définie par récurrence par { a0 a n a n n : N Résolvez cette récurrence. Solution : Cette récurrence est très simple à résoudre, puisqu il s agit ici d une suite géométrique de premier terme et de raison. Donc par le théorème R.. on a immédiatement que le terme général de la suite est a n n n : N. C.Q.F.D. Solution : par les séries génératrices Étant donné un x quelconque élément de R { }, la somme + x + x + 3 x n x n est la somme des n + premiers de la suite géométrique a n x n n : N, qui a premier terme et raison x. Par le théorème R..0, on a donc + x + x + 3 x n x n xn+ x Supposons maintenant que x ], [, c est-à-dire que x ], [. Alors on remarque facilement que dans ce cas, plus n devient grand, plus x n+

16 se rapproche de 0. Donc, si on fait tendre n vers l infini, la partie droite de l équation ci-dessus va tendre vers 0, c est-à-dire vers. Et la partie de gauche de l équation cidessus deviendra une somme contenant un nombre de plus en plus grand de x x termes, à la limite une somme contenant une infinité de termes. Autrement dit, à la limite, lorsque n, et si x ], [, l équation ci-dessus devient + x + x + 3 x n x n +... x Il est intéressant de constater que la somme infinie + x + x + 3 x n x n +... est en fait une fonction de x, car pour tout x ], [, cette somme infinie coïncide avec la fonction rationnelle 9 d équation y x. Nous verrons bientôt en quoi ce résultat est intéressant pour notre problème. Généralisons le procédé de fabrication de ces sommes infinies, et fabriquons une nouvelle fonction G, définie à partir de notre suite a n n N définie au début de cet exemple, de la manière suivante : Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + Remarquons que, pour certaines valeurs de x, cette somme infinie sera elle aussi une fonction. Et que la fonction G encode en quelque sorte la suite a n n N puisque c est la suite des coefficients de G. Rappelons-nous que a n a n n : N, ce qui implique que a n a n 0 n : N, ce qui en extension donne : a a 0 0 a a 0 a 3 a 0 a 4 a 3 0 etc... 9 Rappel : une fonction rationnelle est une fonction qui peut s exprimer comme le quotient de deux polynômes, les constantes étant ici vues comme des polynômes de degré 0. 6

17 Maintenant, nous allons essayer d utiliser cette relation de récurrence et nos connaissances en algèbre pour arriver à écrire la fonction G sous une forme plus simple. Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + x Gx + a 0 x + a x + a x a n x n + Gx xgx a x + 0 x + 0 x x n + Ce qui donne Gx x Gx Car a 0. Donc, on a Gx x Donc, on a Gx, ce qui est une forme beaucoup plus simple pour exprimer la fonction x G. Pour terminer le problème, remarquons que nous connaissons déjà la série de puissances associée à x, c est + x+ x + 3 x n x n +. On a donc d une part que Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + d autre part que Gx + x + x + 3 x n x n + Ce qui indirectement implique le résultat cherché : a n n n : N. C.Q.F.D. La deuxième solution est bien sûr nettement plus compliquée que la première, mais elle a l avantage d être généralisable à des résolutions de récurrence que la méthode utilisée dans la solution ne saurait résoudre. Car si on analyse les différentes étapes de la solution :. On a, à partir de la suite a n n N, créé la série de puissances Gx a 0 + a x + 7

18 a x + a 3 x a n x n +, cette série s appelle en fait la série génératrice de la suite a n n N.. En utilisant astucieusement la relation de récurrence qui définissait a n n N, on a réussi à exprimer G sous la forme d une fonction rationnelle. 3. On a trouvé quelle était la série de puissance qui était associée à cette fonction rationnelle, et ainsi indirectement déterminé le terme général de la suite a n n N. De cette analyse, on peut résumer ainsi la méthode de résolution de récurrence par séries génératrices : Étape : À partir de la suite a n n N, construire la série génératrice Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + Puis en se servant astucieusement de la relation de récurrence définissant a n n N, on exprime G sous la forme d une fonction rationnelle Étape : On décompose la fonction rationnelle trouvé à l étape en éléments plus simples de façon à ce que pour chacun de ces éléments, on connaisse la série de puissances qui lui est associée. Cette étape s appelle la décomposition en fractions partielles. Étape 3 : On recompose les différentes séries de puissances associées aux fonctions rationnelles trouvées à l étape, de façon à obtenir la série de puissances associée à G, obtenant ainsi indirectement le terme général de la suite a n n N, résolvant ainsi la récurrence. 8

19 Mais avant de pouvoir efficacement résoudre des récurrences par cette méthode, il nous faut connaître plusieurs modèles de séries de puissances et savoir comment on décompose en fractions partielles. 3. Modèles de séries de puissances Théorème R.3. Soient a, b R {0}, alors x ], [, on a que b b a bx a + a b x + a b x + a b 3 x 3 + a b 4 x a b n x n + a bx a + a b x + 3a b x + 4a b 3 x n + a b n x n + ax bx 0 + a x + a b x + 3a b x 3 + 4a b 3 x n a b n x n + a bx 3 a + 3 a b x a b x + 4 a b3 x n+n+ a bn x n + En particulier, nous avons donc les séries de puissances suivantes. Théorème R.3.3 x + x + x + x 3 + x x n + +x x + x + x + 3 x x n x n + x + x + 3x + 4x n + x n + x x 0 + x + x + 3x 3 + 4x n x n + x x x + 4 x3 + + n+n+ x n + 9

20 3.3 Décomposer une fonction rationnelle en fractions partielles Théorème R.3.4 Voici la forme de décomposition en fractions partielles de chacune des familles de fonctions rationnelles suivantes : ax+b cx+dex+f A cx+d + B ex+f Pourvu que y cx + d et y ex + f aient des zéros différents. ax+b cx+d A cx+d + B cx+d ax +bx+c dx+efx+ghx+i A dx+e + B + fx+g C hx+i Pourvu que y dx + e, y fx + g et hx + i aient des zéros tous différents. ax +bx+c dx+e fx+g A dx+e + B + dx+e C fx+g Pourvu que y dx + e et y fx + g aient des zéros différents. ax +bx+c dx+e 3 A dx+e + B + dx+e C dx+e 3 Nous ne démontrerons pas ici pourquoi chacune des fonctions rationnelles appartenant à une de ces familles se décompose effectivement comme le théorème R.3.4 le prescrit. Remarquons que le numérateur de chacune des fractions partielles est toujours une constante. Le résultat énoncé au théorème R.3.4 se généralise à toutes les fonctions rationnelles ; cependant, dans le cas où il y a au dénominateur des zéros qui soient des nombres complexes, le problème devient plus difficile. 0

21 3.4 Exemples de résolution de récurrence par la méthode des séries génératrices Exemple R.3. Résolvez la récurrence suivante : { a0 a n 3 a n + 4 n n : N Solution : Étape : on exprime la série génératrice sous la forme d une fonction rationnelle Alors, On remarque que : a n 3 a n 4 n 0 n : N ; ce qui en extension donne : a 3 a a 3 a 4 0 a 3 3 a a 4 3 a etc... Posons Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n +. Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + 3x Gx + 3 a 0 x + 3 a x + 3 a x a n x n + 4x + 4x + 4 x x n x n + Gx 3xGx 4x a 0 + 0x + 0x + 0x x n + Ce qui donne Gx 3x Gx 4x 0 Car a 0 0. Donc, on a Gx 3x 4x Donc, on a Gx, ce qui est une forme beaucoup plus simple pour exprimer 3x 4x la fonction G.

22 Étape : on décompose la fonction G en fractions partielles On sait que 3x 4x A 3x + B 4x Théorème R.3.4. Alors, on a A 4x+B 3x 3x 4x 3x 4x Ce qui implique A 4x + B 3x Donc A 4Ax + B 3Bx Donc 0x + 4A 3Bx + A + B Ce qui donne { 0 A + B 4A + 3B Donc B A Donc 0 4 B 3B Substitution de dans Donc B 3B Donc B Donc B 4 A 4 3 Conclusion : 3x 4x 3 3x + 4 4x Étape 3 : on trouve la série de puissances associée à G et on répond à la question Gx 3x 4x 3 3x + 4 4x x x x n x n x x x n x n x x x n+ x n x x x n+ x n x x x n+ + 4 n+ x n + Réponse : La définition par terme général est a n 3 n+ + 4 n+ n : N.

23 Avant de faire l exemple et le théorème qui suivent, nous avons besoin de faire un rappel de certaines propriétés des polynômes de degré. Le rappel est valide même si les zéros du polynôme ne sont pas des nombres réels, c est-à-dire même si b 4ac < 0. Dans ce cas cependant, les calculs se font dans les «nombres complexes». RAPPEL : Proposition R.3.6 Soit px ax + bx + c, un polynôme de degré deux. Soient ρ : b+ b 4ac a Alors, et ρ : b b 4ac a. ρ et ρ sont appelés les zéros du polynôme p parce que { pρ 0 et pρ 0, Le polynôme p se factorise toujours ainsi : px ax ρ x ρ. mais px 0 x ρ, ρ. De plus, si le polynôme est unitaire c est-à-dire si a, on a toujours que { ρ + ρ b ρ ρ c. Pour les calculs que nous aurons à faire dans ce chapitre, la proposition suivante, qui découle presque directement de la précédente, nous sera très utile. Proposition R.3.7 Soit px x rx s, un polynôme de degré deux. Et soient ρ et ρ les deux zéros non nécessairement distincts du polynôme p. Alors le polynôme qx rx sx se factorise ainsi : rx sx ρ x ρ x. 3

24 Exemple R.3.8 Résolvez la récurrence de Fibonacci : f 0 0 f f n f n + f n n : N {0, } Solution : Étape : on exprime la série génératrice sous la forme d une fonction rationnelle Alors, On remarque que : f n f n f n 0 n : N {0, } ; ce qui en extension donne : f f f 0 0 f 3 f f 0 f 4 f 3 f 0 f f 4 f 3 0 etc... Posons Gx f 0 + f x + f x + f 3 x f n x n +. Gx f 0 + f x + f x + f 3 x f n x n + x Gx + f 0 x + f x + f x f n x n + x Gx + f 0 x + f x f n x n + Gx xgx x Gx f 0 + f f 0 x + 0x + 0x x n + Ce qui donne Gx x Gx x Gx x Car f 0 0 et f f 0. Donc, on a Gx x x x Donc, on a Gx x x x. x Donc on a Gx + x x Voir Proposition R.3.7, avec qx : x x.. Les deux zéros de px x + x étant et. + Pour simplifier l écriture, posons ρ : Donc on a Gx x ρ x ρ x. + et ρ :. 4

25 Étape : on décompose la fonction G en fractions partielles On sait que x A ρ x ρ + x ρ x B ρ x Théorème R.3.4. Alors, on a x ρ x ρ A ρ x+b ρ x x ρ x ρ x Ce qui implique x A ρ x + B ρ x Donc x A A ρ x + B B ρ x Autrement dit 0 + x A + B + A ρ B ρ x Ce qui donne { 0 A + B ρ A + ρ B Donc B A Donc ρ A + ρ A Substitution de dans Donc ρ + ρ A Donc A ρ ρ On a donc aussi B ρ ρ Donc B ρ ρ Conclusion : x ρ x ρ x ρ ρ + ρ ρ ρ x ρ x Et comme ρ ρ + +, On a donc Gx x ρ x ρ x ρ ρ + ρ ρ ρ x ρ x + ρ x ρ x

26 Étape 3 : on trouve la série de puissances associée à G et on répond à la question Gx ρ x + ρ x + ρ x + ρ x + ρ 3 x ρ n x n ρ x + ρ x + ρ 3 x ρ n x n ρ + ρ x + ρ + ρ x + + ρ 3 + ρ 3 x ρ n + ρ n x n + Réponse : La définition par terme général est f n ρ n + ρ n n : N. Autrement dit : f n + n + n n : N. C.Q.F.D. En analysant la solution de l exemple précédent, on remarque que toute résolution de récurrence ayant une forme semblable à celle de la récurrence de Fibonacci devrait avoir une solution similaire à celle de Fibonacci. Si tel est le cas, alors il y a probablement moyen de trouver une solution générique qui nous permettrait de résoudre plusieurs autres récurrences sans avoir à refaire tous les calculs reliés à la méthode de résolution par séries génératrices. C est le sujet de la prochaines section. 6

27 4 Résoudre une récurrence Méthode 4 : le cas des relations de récurrence linéaires et homogènes Définition R.4. Une relation de récurrence est dite linéaire, homogène d ordre k si la formule permettant de calculer n ème terme de la suite est une combinaison linéaire des k termes précédents. Exemple R.4. La relation de récurrence suivante est une relation linéaire, homogène d ordre 4. a 0 9 a π a 3 a 3 4 a n 8 a n + 7 a n 4 n : N {0,,, 3} Notons que la formule permettant de calculer a n, le n ème terme de la suite, est bien une combinaison linéaire des 4 termes précédents puisque a n 0 a n + 8 a n + 0 a n a n 4. Exemple R.4.3 La relation de récurrence de la suite de Fibonacci est une relation linéaire, homogène d ordre. Exemple R.4.4 La relation de récurrence d une suite géométrique est une relation linéaire, homogène d ordre. On peut conclure du dernier exemple qu il existe une formule permettant de résoudre très rapidement les relations de récurrence linéaire, homogène d ordre Voir le théorème R... Le prochain résultat Théorème R.4. nous donne une formule permettant de résoudre très rapidement les relations de récurrences linéaires, homogènes d ordre. 7

28 Théorème R.4. Récurrences linéaires, homogènes d ordre Soit a n n N une suite définie récursivement par : où a, b, r et s sont des constantes réelles. a 0 a a b a n r a n + s a n n : N {0, } Soit p, le polynôme caractéristique de la suite a n n N, c.-à-d. : px x rx s. Et soient ρ et ρ les zéros de ce polynôme. Alors, le terme général de la suite est a n A ρ n + B ρ n n : N si ρ ρ. A ρ n + B n ρ n n : N si ρ ρ Où A et B sont deux constantes déterminées par les conditions initiales de la récurrence c.-à-d. : par a 0 a et a b. Démonstration Cas : ρ ρ. La démonstration pour ce cas est très semblable à la solution de l exemple R.3.8. Étape : on exprime la série génératrice sous la forme d une fonction rationnelle On remarque que : a n r a n s a n 0 n : N {0, } ; ce qui en extension donne : a ra sa 0 0 a 3 ra sa 0 a 4 ra 3 sa 0 a ra 4 sa 3 0 etc... Posons Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n +. 8

29 Alors, Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + rx Gx + ra 0 x + ra x + ra x ra n x n + sx Gx + sa 0 x + sa x sa n x n + Gx rxgx sx Gx a 0 + a ra 0 x + 0x + 0x x n + Ce qui donne Gx rx Gx sx Gx a 0 + a ra 0 x Donc, on a Gx rx sx a 0 + a ra 0 x Donc, on a Gx a 0+a ra 0 x rx sx. Voir Proposition R.3.7, avec qx : rx sx. Donc on a Gx a 0+a ra 0 x. Les deux zéros de px x ρ x ρ x rx s étant par hypothèse ρ et ρ. Étape : on décompose la fonction G en fractions partielles On sait que a 0+a ra 0 x ρ x ρ x A ρ x + B ρ x Théorème R.3.4. Notons que nous ne calculerons pas ici les valeurs de A et B puisque ce n est pas nécessaire pour la démonstration. Étape 3 : on trouve la série de puissances associée à G et on répond à la question Gx A ρ x + B ρ x A + A ρ x + A ρ x + A ρ 3 x A ρ n x n + + B + B ρ x + B ρ x + B ρ 3 x B ρ n x n + A + B + A ρ + B ρ x + A ρ + B ρ x + + A ρ 3 + B ρ 3 x A ρ n + B ρ n x n + Conclusion : La définition par terme général est bien a n A ρ n + B ρ n n : N. 9

30 Cas : ρ ρ. À faire en exercice. C.Q.F.D. 30

31 Exemple R.4.6 En utilisant le théorème R.4., résolvez la récurrence de Fibonacci : f 0 0 f f n f n + f n n : N {0, } Solution :.- Trouvons la «forme» du terme général de la suite. Le polynôme caractéristique de la suite f n n N est px x x. Et les deux zéros de ce polynôme sont ρ ρ 4 Donc, par le théorème R.4., la forme du terme général de la suite est f n A où A et B sont deux constantes. + n + B n n N,.- Trouvons les valeurs des constantes A et B. + A 0 + B 0 f 0 0 On sait que A + B f + Ce qui donne A + A + B 0 + B En résolvant, on trouve facilement que A et B. 3.- Réponse : Le terme général cherché est f n + n+ n n N. 3

32 ANNEXE : Démonstration du principe d induction Dans la démonstration du Principe d induction, on utilise l axiome suivant : Axiome : N est un ensemble bien ordonné. C est-à-dire : tout sous-ensemble non-vide de l ensemble N a un plus petit élément. Théorème R.. Principe d induction. Étant donné un prédicat P, P 0 n : N : P n P n + n : N : P n Démonstration Preuve par contradiction. Supposons le contraire, c est-à-dire que P 0 n : N : P n P n +, mais n : N : P n. Et cherchons une contradiction. Soit A, l ensemble des éléments de N pour lesquels P n est faux. Selon notre hypothèse, A. Soit n 0, le plus petit élément de A. sous-ensemble non-vide de N. Un tel n 0 existe car N est bien ordonné et A est un Comme, par hypothèse on a que P 0 est vrai, on a donc que n 0 0. Donc n 0 N. Et comme n 0 est le plus petit élément de A, on a que P n 0 est vrai. Donc P n 0 est lui aussi vrai. Par l hypothèse n : N : P n P n +, avec [n : n 0 ]. Donc n 0 A. Le nombre naturel n 0 est donc à la fois le plus petit élément de A et pas un élément de A. Contradiction. Ainsi, on ne peut supposer le contraire. C est donc que l énoncé à démontrer est vrai. C.Q.F.D. 3

33 Théorème R.. Récurrences linéaires, homogènes d ordre Soit a n n N une suite définie récursivement par : a 0 a a b a n r a n + s a n n : N {0, } où a, b, r et s sont des constantes réelles. Soit p, le polynôme caractéristique de la suite a n n N c.-à-d. : px x rx s. Et soient ρ et ρ les zéros de ce polynôme. Alors, le terme général de la suite est a n A ρ n + B ρ n n : N si ρ ρ. A ρ n + B n ρ n n : N si ρ ρ où A et B sont deux constantes déterminées par les conditions initiales de la récurrence c.-à-d. : par a 0 a et a b. Démonstration Cas : ρ ρ. Étape : on exprime la série génératrice sous la forme d une fonction rationnelle On remarque que : a n r a n s a n 0 n : N {0, } ; ce qui en extension donne : a ra sa 0 0 a 3 ra sa 0 a 4 ra 3 sa 0 a ra 4 sa 3 0 etc... Posons Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n +. 33

34 Alors, Gx a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n + rx Gx + ra 0 x + ra x + ra x ra n x n + sx Gx + sa 0 x + sa x sa n x n + Gx rxgx sx Gx a 0 + a ra 0 x + 0x + 0x x n + Ce qui donne Gx rx Gx sx Gx a 0 + a ra 0 x Donc, on a Gx rx sx a 0 + a ra 0 x Donc, on a Gx a 0+a ra 0 x rx sx. Voir Proposition R.3.7, avec qx : rx sx. Donc on a Gx a 0+a ra 0 x. Les deux zéros de px x ρ x ρ x rx s étant par hypothèse ρ et ρ. Et comme ρ ρ, on a donc Gx a 0+a ra 0 x ρ x. Étape : on décompose la fonction G en fractions partielles On sait que a 0+a ra 0 x ρ x C ρ x + D ρ x Théorème R.3.4. Étape 3 : on trouve la série de puissances associée à G et on répond à la question Gx C ρ x + D ρ x C + C ρ x + C ρ x + C ρ 3 x C ρ n x n + + D + D ρ x + 3 D ρ x + 4 D ρ 3 x n + D ρ n x n + C + D + C ρ + D ρ x + C ρ + 3 D ρ x + + C ρ D ρ 3 x C ρ n + n + D ρ n x n + 34

35 Conclusion : La définition par terme général est a n C ρ n + n + D ρ n n : N. Ce qui est équivalent à a n C ρ n + n D ρ n + D ρ n n : N. Ce qui est équivalent à a n C + D ρ n + n D ρ n n : N. Ce qui si on pose [A : C + D] et [B : D], est équivalent à a n A ρ n + n B ρ n n : N. C.Q.F.D. 3