Collège Blanche de Castille

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1 3 ème A - B - C Brevet blanc 2 de MATHÉMATIQUES Date : 6/05/2013 Durée : 2h Collège Blanche de Castille Coefficient : 3 Note sur : 40 Présentation : /4 Consignes : La présentation, l orthographe et la rédaction seront notés sur 4 points. Le sujet est composé de 8 exercices. Les exercices peuvent être traités dans l ordre de son choix. L usage de la calculatrice est autorisé (il est interdit de se les échanger) ainsi que les instruments usuels de dessin. L énoncé est à rendre avec la copie. Compétences évaluées du socle commun: RA Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer C Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage adapté Toute trace de recherche, tout début d explication, de démarche seront pris en compte dans l évaluation. Exercice 1 : (/ 3,5) Tom et Léa ont tracé la représentation graphique de la fonction f : x 2 3 x. a) Dans chaque cas, expliquer pourquoi, sans calcul, la représentation graphique est fausse. b) Représenter graphiquement dans un repère du plan la fonction f. Exercice 2 : (/3 ) 1) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = 9y² 24y + 16 B = x ²+ 2 x 1 C = ( x + 1)² 36 D = x + 25 x ² 2) Lucas prétend : «je peux calculer 73² 67² à l aide d une seule multiplication». Comment procède-t-il? p.1/4

2 Exercice 3 : (/ 4,5) Maths et physique La loi d'ohm est une loi physique permettant de relier l'intensité du courant électrique traversant un dipôle électrique à la tension à ses bornes (elle permet de déterminer la valeur d'une résistance). La loi d'ohm a été nommée ainsi en l'honneur du physicien allemand Georg Simon Ohm. La loi d ohm pour une résistance électrique est donnée par la formule : U = RI où U est la tension en volts (V), aux bornes de la résistance, R est la valeur de la résistance, en ohms (Ω), et I est l intensité, en ampères (A), qui la traverse. 1/ Pour une résistance de Ω, on définit une fonction g telle que U = g(i). a) Justifier que la fonction g est une fonction linéaire. b) Calculer l antécédent de 12 et interpréter le résultat obtenu. 2/ A la sortie de son TP de physique sur la loi d Ohm, Myriam a effectué une série de mesures qu elle a obtenu en faisant varier la tension d un générateur. Elle a obtenu la courbe ci-contre en plaçant en abscisses les valeurs de l intensité I en milliampères (1 A = ma), et en ordonnées les valeurs correspondantes de la tension U en Volts. Myriam doit, pour le prochain cours de physique, trouver la valeur R de la résistance de ce générateur. Peux-tu aider Myriam à trouver cette valeur? Exercice 4 : (/5) Écrire la bonne réponse sur sa copie (A, B ou C) pour chaque item. Barème : 1 point par réponse juste, 0 point si pas de réponse ou si réponse fausse. A B C a) Un sac contient 10 boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule noire est égale à : b) La représentation graphique des solutions S de l'inéquation 7 x 5 < 4 x + 1, représentée en gras, est: c) L expression factorisée et réduite de : (2- x )(4 x +10) (4 x +10)(-8-3 x ) est : S S S (4 x +10)(4 x +10) (4 x +10)(2 x +10) (4 x +10)(2 x -10) d) L équation x ²+ 3 x = 0 a les mêmes solutions que : x +3 = 0 x +3 x = 0 x ( x +3) = 0 e) (BN) et (AC) ne sont pas parallèles (AB) et (NC) sont parallèles (BN) et (AC) sont parallèles p.2/4

3 Exercice 5 : (/ 3,5) Umi est certaine : «les trois nombres ci-dessous sont des puissances de 10». A-t-elle raison? Justifier sa réponse. E = F = G = 2 1 (5 3 ) 1 (2²) 1 Exercice 6 : (/ 6) On considère la figure ci-dessous qui n est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure. ABD est un triangle isocèle en A tel que ABD = 75 ; C est le cercle circonscrit au triangle ABD; O est le centre du cercle C [BM] est un diamètre de C. 1.Quelle est la nature du triangle BMD? Justifier la réponse. 2. a. Calculer la mesure de l angle BAD. b. Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l angle BMD. c. Justifier que l angle BMD mesure On donne : BD = 5,6 cm. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près. Exercice 7 : (/4,5) ABCDEFGH est un cube d'arête AB = 12 cm. I est le milieu du segment [AB] ; J est le milieu du segment [AE] ; K est le milieu du segment [AD] C 1. Calculer l'aire du triangle AIK. 2. Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI. 3. Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ? Écrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur Tracer le patron de la pyramide AIKJ en indiquant pour chaque face le nom des sommets. p.3/4

4 Exercice 8: (/ 6) On lance deux dés de couleurs différentes. Les dés sont équilibrés et les faces numérotées de 1 à 6. On s intéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés. On fait une simulation de expériences avec un tableur. Les résultats sont représentés dans le diagramme en bâtons suivant. 1. Quelles sont les deux sommes les moins fréquentes? 2. Quel est, pour cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7? En déduire la fréquence en pourcentage représentée par ces lancers. 3. a) Compléter le tableau suivant et trouver les différentes possibilités d'obtenir une somme égale à 7 avec deux dés. Somme des 2 dés Valeur du 1 er dé Valeur du 2 e dé b) Calculer la probabilité d'obtenir la somme Que peut-on dire de la valeur de la fréquence obtenue à la question 2 et de celle de la probabilité obtenue à la question 3? Proposer une explication. 5. (Bonus) Angelo, un élève de troisième joue avec Anthony. Chacun choisit une somme à obtenir avec 2 dés. Angelo prend la somme 9 et Anthony la somme 3. Expliquer pourquoi Angelo a plus de chances de gagner qu Anthony. p.4/4

5 Correction BB Exercice 1 : (/ 3,5) a) La fonction f est une fonction linéaire de coefficient négatif 2 3 donc elle est représentée par une droite passant par l origine du repère. La droite tracée par Tom ne passe pas par l origine du repère. La droite tracée par Léa ne représente pas une fonction de coefficient négatif. C f b) f : x 2 3 x. Si x = 3, f(3) = -2 3 coordonnées (3 ;-2). 3 = 2. On place le point de Exercice 2 : (/3 ) 1) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = 9y² 24y + 16 A = (3y 4)² C = ( x + 1)² 36 C = ( x + 1 6) ( x ) C = ( x 5) ( x + 7) On ne sait pas factoriser B ni D 2) Lucas factorise l expression numérique : 73² 67² = (73+67) ( 73-67) = = 840 Exercice 3 : (/ 4,5) 1/ U = g(i) donc g(i) = RI a) g(i) = I est une fonction linéaire de coefficient b) On cherche la valeur de I telle que : I = 12 donc I = = 0,0025 Pour une tension de 12 V, l intensité est de 0,0025 A ou 2,5 ma. 2/ On cherche la valeur de la résistance R : Par lecture graphique on lit : si I = 5 ma soit 0,005 A alors U = 2,5V donc R = U I = 2,5 = 500 Ω. 0,005 Exercice 4 : (/5) a) Réponse A (1/3) b) Réponse A ( x <2) c) Réponse B d) Réponse C e) Réponse C Exercice 3 : (/ 3,5) E = E = (5 2) -8 = 10-8 F = = (4 25) 6 = F = (10²) 6 = =10 12 G = 2 1 (5 3 ) 1 (2²) 1 G = (-1) 5 3 (-1) G = = (2 5) -3 = 10-3 Donc Umi a raison. Exercice 6 : (/ 6) 1. Le triangle BMD est inscrit dans le cercle de diamètre [MB] donc il est rectangle en D. 2. a. Dans le triangle BAD isocèle en A : BAD = 180 (2 ABD) = donc BAD = 30.

6 b. L angle inscrit BAD intercepte le même arc BD que l angle inscrit BMD. c. Or si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. Comme BAD = 30 alors BMD = dans le triangle BMD rectangle en A : Tan BMD = BD DM Tan 30 = 5,6 DM DM = 5,6 soit DM 9,7 cm. tan30 Exercice 7 : (/4,5) 1. Le triangle AIK est un triangle rectangle donc : A (AIK) = AI AK = 6 6 = 18 cm² V (AIKJ) = A(AIK) AJ 3 = V(ABCDEFGH) = AB 3 = 12 3 =1728 cm 3. = 36 cm 3. Donc V(AIJK)/V(ABCDEFGH) = = Tracer le patron de la pyramide AIKJ en indiquant pour chaque face le nom des sommets. Exercice 8: (/ 6) 1. Les deux sommes les moins fréquentes sont 2 et Le nombre de lancers qui donne la somme 7 est 170. La fréquence en pourcentage représentée par ces lancers est de 170/1000 = 0,17 soit 17%. 3. a) Somme des 2 dés Valeur du 1 er dé Valeur du 2 e dé Les différentes possibilités d obtenir une somme égale à 7 sont : 1+6 ou 6+1 ; 2+5 ou 5+2 ; 3+4 ou 4+3. b) Dans le tableau il y a 36 combinaisons possibles et 6 d obtenir la somme 7. Donc la probabilité d obtenir 7 est 6 36 = 1 0,167 soit 16,7% On constate que cette probabilité est très proche de la fréquence observée à la question 2. En effet, la fréquence d'un résultat, quand on augmente le nombre de répétition d'une expérience (ici, le lancer deux dés), tend vers la probabilité de ce résultat. A la question 2, on avait répété fois l'expérience, il est donc normal que la fréquence soit très proche de la probabilité. 5. La somme 3 est obtenue par 2 combinaisons (2+1 et 1+2) donc la probabilité d obtenir cette somme est de 2/36 = 1/18. La somme 9 est obtenue par 4 combinaisons donc la probabilité d obtenir cette somme est de 4/36= 2/18. Donc Angelo a plus de chances de gagner qu Anthony.