Vincent Augusto
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- Léonie Morency
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1 formelles Vincent Augusto École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne
2 formelles
3 formelles Un est un modèle mathématique permettant la représentation de systèmes distribués discrets (informatique, industriel), introduit par (1962). est également un langage de modélisation, représenté sous forme graphe biparti orienté. Étude des systèmes discrets dont les champs d application sont les systèmes de production (caractérisés par une variation imprévisible des besoins).
4 formelles Un est un modèle mathématique permettant la représentation de systèmes distribués discrets (informatique, industriel), introduit par (1962). est également un langage de modélisation, représenté sous forme graphe biparti orienté. Étude des systèmes discrets dont les champs d application sont les systèmes de production (caractérisés par une variation imprévisible des besoins).
5 formelles Systèmes Manufacturiers Flexibles (FMS), caractérisés par : un ensemble de machines flexibles (multi-produits); un système de transfert automatique (multi-ressources); un système de prise de décision (ordonnanceur). Système à Événements Discrets (SED), caractérisés par : des contraintes de précédence (dans les gammes de fabrication ou dans les algorithmes); des effets de concurrence induits par le partage des ressources; une structuration en tâches parallèles, asynchrones, soumises à des contraintes temporelles strictes ou non.
6 formelles Systèmes Manufacturiers Flexibles (FMS), caractérisés par : un ensemble de machines flexibles (multi-produits); un système de transfert automatique (multi-ressources); un système de prise de décision (ordonnanceur). Système à Événements Discrets (SED), caractérisés par : des contraintes de précédence (dans les gammes de fabrication ou dans les algorithmes); des effets de concurrence induits par le partage des ressources; une structuration en tâches parallèles, asynchrones, soumises à des contraintes temporelles strictes ou non.
7 formelles Systèmes complexes et couteux à mettre en œuvre : valider les spécification; prévoir les performances; optimiser le fonctionnement (théorie des files d attentes, simulation, etc.). Deux principaux types de représentation permettent d aborder les x de : une représentation graphique sous forme de graphe, permettant de capturer la dynamique du système; une représentation algébrique linéaire.
8 formelles Systèmes complexes et couteux à mettre en œuvre : valider les spécification; prévoir les performances; optimiser le fonctionnement (théorie des files d attentes, simulation, etc.). Deux principaux types de représentation permettent d aborder les x de : une représentation graphique sous forme de graphe, permettant de capturer la dynamique du système; une représentation algébrique linéaire.
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10 formelles Un est un graphe biparti dont on particularise les deux familles de sommets : les places et les transitions. Comme dans tout graphe biparti, un arc ne relie jamais deux sommets de la même famille. Les places sont représentées par des cercles, tandis que les transitions sont représentrées par des traits ou des rectangles. Correct Incorrect
11 Dynamique du système formelles Chaque place va contenir un nombre entier de jetons (ou marques) pour modéliser la dynamique du système. 2 jetons jetons Le marquage du est constitué de toutes les marques présentées dans le à un instant donné. Un généralisé est un dans lequel les valuations des arcs ne sont pas forcément égales à 1. Un de ordinaire est un dont le graphe sous-jacent est un 1-graphe.
12 Dynamique du système formelles Chaque place va contenir un nombre entier de jetons (ou marques) pour modéliser la dynamique du système. 2 jetons jetons Le marquage du est constitué de toutes les marques présentées dans le à un instant donné. Un généralisé est un dans lequel les valuations des arcs ne sont pas forcément égales à 1. Un de ordinaire est un dont le graphe sous-jacent est un 1-graphe.
13 Dynamique du système formelles Chaque place va contenir un nombre entier de jetons (ou marques) pour modéliser la dynamique du système. 2 jetons jetons Le marquage du est constitué de toutes les marques présentées dans le à un instant donné. Un généralisé est un dans lequel les valuations des arcs ne sont pas forcément égales à 1. Un de ordinaire est un dont le graphe sous-jacent est un 1-graphe.
14 Notation formelles On note souvent : T l ensemble des transitions; P l ensemble des places; v la fonction de valuation des arcs; M(p) le marquage de la place p (i.e. le nombre de jetons contenus dans p à un instant donné).
15 Exemple t 1 formelles 2 p 2 t 2 p 1 3 p 4 p t 4 t 3
16 Tir de t 2 t 1 formelles 2 p 2 t 2 p 1 3 p 4 p t 4 t 3
17 Tir de t 4 t 1 formelles 2 4 p 2 t 2 p 1 3 p 4 p t 4 t 3
18 Exemple t 1 formelles P = {p 1,p 2,p 3,p 4 } T = {t 1,t 2,t 3,t 4 } v(t 1,p 2 ) = 2, v(p 2,t 2 ) = 1, v(t 4,p 2 ) = 3 M(p 1 ) = 1, M(p 2 ) = 2, M(p 3 ) = 0, M(p 4 ) = 1; M 0 = Γ 1 (t 2 ) = {p 2 }, Γ(t 2 ) = {p 3,p 4 } 3 2 p 2 t 2 p 4 p 3 p t 4 t 3
19 Transition validée formelles Chaque place de Γ 1 (t 2 ) contient plus de jetons que la valuation de l arc la reliant à t 2. M(p 2 ) v(p 2,t 2 ) On dit que t 2 est franchissable (tirable, validée). Si l on tire t 2, le marquage des places de Γ 1 (t 2 ) et de Γ(t 2 ) va être modifié : M(p 2 ) M(p 2 ) v(p 2,t 2 ) M(p 3 ) M(p 3 )+v(t 2,p 3 ) M(p 4 ) M(p 4 )+v(t 2,p 4 ) On note M 0 [t 2 > M 1 : M 0 valide la transition t 2, et le tir de t 2 depuis M 0 donne le marquage M 1.
20 Transition validée formelles Chaque place de Γ 1 (t 2 ) contient plus de jetons que la valuation de l arc la reliant à t 2. M(p 2 ) v(p 2,t 2 ) On dit que t 2 est franchissable (tirable, validée). Si l on tire t 2, le marquage des places de Γ 1 (t 2 ) et de Γ(t 2 ) va être modifié : M(p 2 ) M(p 2 ) v(p 2,t 2 ) M(p 3 ) M(p 3 )+v(t 2,p 3 ) M(p 4 ) M(p 4 )+v(t 2,p 4 ) On note M 0 [t 2 > M 1 : M 0 valide la transition t 2, et le tir de t 2 depuis M 0 donne le marquage M 1.
21 Transition validée formelles Chaque place de Γ 1 (t 2 ) contient plus de jetons que la valuation de l arc la reliant à t 2. M(p 2 ) v(p 2,t 2 ) On dit que t 2 est franchissable (tirable, validée). Si l on tire t 2, le marquage des places de Γ 1 (t 2 ) et de Γ(t 2 ) va être modifié : M(p 2 ) M(p 2 ) v(p 2,t 2 ) M(p 3 ) M(p 3 )+v(t 2,p 3 ) M(p 4 ) M(p 4 )+v(t 2,p 4 ) On note M 0 [t 2 > M 1 : M 0 valide la transition t 2, et le tir de t 2 depuis M 0 donne le marquage M 1.
22 Réseau de généralisé formelles Def : Réseau de généralisé Un généralisé est un quadruplet R tel que R = (P,T,Pre,Post) avec : P : ensemble des places du ; T : ensemble des transitions du ; Pre : application d incidence avant, de P T dans N. p P, t T, Pre(p,t) = v(p,t) si (p,t) G, 0 sinon. Post : application d incidence arrière, de P T dans N. p P, t T, Post(p,t) = v(t,p) si (t,p) G, 0 sinon. À chaque application d incidence est associée une matrice P T.
23 Exemple t 1 2 p 2 formelles 3 t 2 p 4 p p 1 Pre = Post = t 4 t 3
24 Exemple formelles 2 p 1 t 1 p 2 p 3 2 t 2 p 4 P = {p 1,p 2,p 3,p 4 } T = {t 1,t 2 } Pre = Post = C =
25 Matrice d incidence formelles Def : Matrice d incidence La matrice d incidence du est C = Post Pre. Def : Réseau pur Un R = (P,T,Pre,Post) est pur lorsque p P, t T, Pre(p,t) Post(p,t) = 0 (membre à membre). Def : Réseau marqué Un marqué N est un couple (R,M) constitué R et e application de marquage définie sur P et à valeurs dans N (i.e. le marquage du à un instant donné).
26 Matrice d incidence formelles Def : Matrice d incidence La matrice d incidence du est C = Post Pre. Def : Réseau pur Un R = (P,T,Pre,Post) est pur lorsque p P, t T, Pre(p,t) Post(p,t) = 0 (membre à membre). Def : Réseau marqué Un marqué N est un couple (R,M) constitué R et e application de marquage définie sur P et à valeurs dans N (i.e. le marquage du à un instant donné).
27 Matrice d incidence formelles Def : Matrice d incidence La matrice d incidence du est C = Post Pre. Def : Réseau pur Un R = (P,T,Pre,Post) est pur lorsque p P, t T, Pre(p,t) Post(p,t) = 0 (membre à membre). Def : Réseau marqué Un marqué N est un couple (R,M) constitué R et e application de marquage définie sur P et à valeurs dans N (i.e. le marquage du à un instant donné).
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29 Franchissement formelles Def : Tir e transition Une transition t est tirable (ou franchissable, ou validée) lorsque : p Γ 1 (t) M(p) Pre(p,t) Lorsqu une transition est validée dans le marquage M 0, on note M 0 [t >.
30 Évolution du marquage formelles Def : Évolution du marquage Soit N = (R,M) un marqué de transitions T et de places P. Le e transition t de T validée dans le marquage M conduit au marquage M 1 : p P, t T, M 1 (p) = M(p)+C(p,t) p P, t T, M 1 (p) = M(p)+Post(p,t) Pre(p,t) On note alors M[t > M 1.
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32 Séquence formelles On s intéresse à l évolution du lors du tir successif de plusieurs transitions. Lorsque M[t 1 > M 1 [t 2 > M 2, on dit que la séquence de transitions t 1 t 2 est franchissable depuis le marquage M. On note M[t 1 t 2 > M 2. Def : Une séquence de est un mot construit sur l alphabet T des transitions de T. On note σ une séquence de s. Exemple σ = t 1 t 2 et M[σ > M 2.
33 Séquence formelles On s intéresse à l évolution du lors du tir successif de plusieurs transitions. Lorsque M[t 1 > M 1 [t 2 > M 2, on dit que la séquence de transitions t 1 t 2 est franchissable depuis le marquage M. On note M[t 1 t 2 > M 2. Def : Une séquence de est un mot construit sur l alphabet T des transitions de T. On note σ une séquence de s. Exemple σ = t 1 t 2 et M[σ > M 2.
34 Séquence formelles On s intéresse à l évolution du lors du tir successif de plusieurs transitions. Lorsque M[t 1 > M 1 [t 2 > M 2, on dit que la séquence de transitions t 1 t 2 est franchissable depuis le marquage M. On note M[t 1 t 2 > M 2. Def : Une séquence de est un mot construit sur l alphabet T des transitions de T. On note σ une séquence de s. Exemple σ = t 1 t 2 et M[σ > M 2.
35 Séquence formelles Pour caractériser une séquence de s σ, on utilise son image commutative σ. Exemple σ = t 1 t 2 ; T = {t 1,t 2,t 3 }; σ = 1 1 0
36 Séquence formelles Pour caractériser une séquence de s σ, on utilise son image commutative σ. Exemple σ = t 1 t 2 ; T = {t 1,t 2,t 3 }; σ = 1 1 0
37 Séquence formelles Chaque composante de l image commutative est le nombre d occurrences de la transition correspondante dans σ. Exemple σ 1 = σ 2 = : σ 1 = t 1 t 2 t 3 ou σ 1 = t 3 t 1 t 2... : σ 2 = t 1 t 2 t 2 t 1 t 2 ou σ 2 = t 2 t 2 t 2 t 1 t 1...
38 Séquence formelles Chaque composante de l image commutative est le nombre d occurrences de la transition correspondante dans σ. Exemple σ 1 = σ 2 = : σ 1 = t 1 t 2 t 3 ou σ 1 = t 3 t 1 t 2... : σ 2 = t 1 t 2 t 2 t 1 t 2 ou σ 2 = t 2 t 2 t 2 t 1 t 1...
39 Équation d état formelles Théorème : Équation d état Soit σ une séquence finie de transitions tirable depuis un marquage M R de matrice d incidence C. On a : Remarque 1 M[σ > M 1 M 1 = M +C σ Il s agit e condition nécessaire mais pas suffisante : il se pourrait que σ ne soit pas franchissable depuis M! Remarque 2 Deux étapes pour calculer un marquage : démontrer que le marquage valide la séquence; calculer le marquage résultat.
40 Équation d état formelles Théorème : Équation d état Soit σ une séquence finie de transitions tirable depuis un marquage M R de matrice d incidence C. On a : Remarque 1 M[σ > M 1 M 1 = M +C σ Il s agit e condition nécessaire mais pas suffisante : il se pourrait que σ ne soit pas franchissable depuis M! Remarque 2 Deux étapes pour calculer un marquage : démontrer que le marquage valide la séquence; calculer le marquage résultat.
41 Équation d état formelles Théorème : Équation d état Soit σ une séquence finie de transitions tirable depuis un marquage M R de matrice d incidence C. On a : Remarque 1 M[σ > M 1 M 1 = M +C σ Il s agit e condition nécessaire mais pas suffisante : il se pourrait que σ ne soit pas franchissable depuis M! Remarque 2 Deux étapes pour calculer un marquage : démontrer que le marquage valide la séquence; calculer le marquage résultat.
42 Exercice formelles 2 p 1 t 1 p 2 p 3 2 t 2 p 4 La séquence t 1 t 2 t 1 est franchissable dans le marqué N = (R,M 0 ) avec M 0 = Exprimer σ. 2 On a M 0 [σ > M. Calculer M.
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44 Interprétation formelles Place d entrée Transition Place de sortie Précondition Événement Postcondition Donnée d entrée Traitement Donnée de sortie Ressources nécessaires Job ou activité Ressources libérées Buffer d entrée Processus Buffer de sortie
45 Transition source et transition puits formelles Def : Transition source Une transition source t s (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ 1 (t s ) =. Def : Transition puits Une transition puits t p (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ(t p ) =. Proposition : Validation e transition source Une transition source est toujours validée. Remarque Les transitions source et puits permettent de modéliser des flux continus.
46 Transition source et transition puits formelles Def : Transition source Une transition source t s (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ 1 (t s ) =. Def : Transition puits Une transition puits t p (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ(t p ) =. Proposition : Validation e transition source Une transition source est toujours validée. Remarque Les transitions source et puits permettent de modéliser des flux continus.
47 Transition source et transition puits formelles Def : Transition source Une transition source t s (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ 1 (t s ) =. Def : Transition puits Une transition puits t p (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ(t p ) =. Proposition : Validation e transition source Une transition source est toujours validée. Remarque Les transitions source et puits permettent de modéliser des flux continus.
48 Transition source et transition puits formelles Def : Transition source Une transition source t s (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ 1 (t s ) =. Def : Transition puits Une transition puits t p (R,M 0 ) est une transition de T telle que Γ(t p ) =. Proposition : Validation e transition source Une transition source est toujours validée. Remarque Les transitions source et puits permettent de modéliser des flux continus.
49 Lancement de tâches en parallèle p 1 formelles t 1 p 2 p 3 p 4 t 2 t 3 t 4 p 5 p 6 p 7 t 5 p 8
50 Communication asynchrone formelles Soient deux tâches τ 1 et τ 2 qui communiquent par messages. τ 1 émet un message en le plaçant dans un tampon de communication tandis que τ 2 est réceptrice, et est bloquée tant qu elle n a pas reçu le message. τ 1 p 1 p 3 τ 2 p 4 t 1 t 2 p 2 p 5 Le nombre de jetons dans p 3 correspond au nombre de messages en attente.
51 Communication asynchrone formelles Soient deux tâches τ 1 et τ 2 qui communiquent par messages. τ 1 émet un message en le plaçant dans un tampon de communication tandis que τ 2 est réceptrice, et est bloquée tant qu elle n a pas reçu le message. τ 1 p 1 τ 2 p 4 t 1 p 3 t 2 p 2 p 5 Émission message par τ 1. Le nombre de jetons dans p 3 correspond au nombre de messages en attente.
52 Communication asynchrone formelles Soient deux tâches τ 1 et τ 2 qui communiquent par messages. τ 1 émet un message en le plaçant dans un tampon de communication tandis que τ 2 est réceptrice, et est bloquée tant qu elle n a pas reçu le message. τ 1 p 1 p 3 τ 2 t 1 t 2 p 4 p 2 p 5 Réception message par τ 2. Le nombre de jetons dans p 3 correspond au nombre de messages en attente.
53 Section critique formelles Deux processus concurrents demandent l accès à une section critique en exclusion mutuelle. La procédure d accès se décompose de la manière suivante : demander l accès à la section critique; utiliser la ressource en section critique; libérer l accès à la section critique.
54 Section critique τ 1 p 1 τ 2 p 5 Prêt à entrer en SC formelles t 1 t 3 Gagner l accès p 2 p 4 p 6 Dans la SC t 2 t 4 Libérer l accès p 3 p 7 Hors SC
55 Section critique τ 1 p 1 τ 2 p 5 Prêt à entrer en SC t 1 t 3 Gagner l accès formelles p 2 p 4 p 6 Dans la SC t 2 t 4 Libérer l accès p 3 p 7 Hors SC
56 Section critique τ 1 p 1 τ 2 p 5 Prêt à entrer en SC formelles t 1 t 3 Gagner l accès p 2 p 4 p 6 Dans la SC t 2 t 4 Libérer l accès p 3 p 7 Hors SC
57 Section critique τ 1 p 1 τ 2 p 5 Prêt à entrer en SC t 1 t 3 Gagner l accès formelles p 2 p 4 p 6 Dans la SC t 2 t 4 Libérer l accès p 3 p 7 Hors SC
58 Section critique τ 1 p 1 τ 2 p 5 Prêt à entrer en SC t 1 t 3 Gagner l accès formelles p 2 p 4 p 6 Dans la SC t 2 t 4 Libérer l accès p 3 p 7 Hors SC
59 Modèle producteur-consommateur formelles Le producteur et le consommateur sont deux processus cycliques : le producteur produit des entités qu il dépose dans une zone tampon, tandis que le consommateur retire ces entités afin de les consommer. t 1 Entrée e entité dans le système p 1 t 2 Production k p 2 Place occupée p 3 n-k t 3 Cons. Place libre
60 Modèle producteur-consommateur Entrée t 1 p 3 p 1 n-k formelles Début prod. p 6 t 2 p 2 k p 4 t 4 p 5 Début cons. p 7 Fin prod. t 3 t 5 Fin cons.
61 Processus industriel formelles Une série de pièces entrent dans l atelier et sont fixées sur des palettes. Chacune subit une première opération d usinage sur la machine M 1. Cette opération terminée, un robot R décharge M 1 et place la pièce dans une zone tampon T a. Chaque pièce de T a est ensuite chargée sur M 2 où elle subit une deuxième opération d usinage. Une fois l opération sur M 2 terminée, R décharge la pièce de M 2. La pièce est terminée, elle quitte l atelier et la palette est libérée.
62 Processus industriel formelles Hypothèses : Stock d entrée de capacité infinie; T a a une capacité de M t pièces; M p palettes; Le robot n est utilisé que pour le déchargement des machines; Les machines ne peuvent traiter qu une pièce à la fois, le robot aussi. Activités : Mp 1 : la machine M 1 charge, fixe et usine une pièce palettisée. R 1 : le robot décharge M 1. Tp : une pièce est placée dans le tampon T a par le robot. Mp 2 : la machine M 2 charge une pièce depuis T a et l usine. R 2 : le robot décharge M 2, la palette est libérée et la pièce quitte l atelier; la palette libérée retournée à l entrée.
63 Bloc opératoire formelles On considère que le processus d intervention chirurgicale se décompose en 5 étapes distinctes : TR1 Transfert du patient de sa chambre vers le bloc. SUR Intervention dans une salle opératoire REC Réveil dans un lit de réveil. TR2 Transfert du patient du bloc vers sa chambre. CL Nettoyage de la salle opératoire. Le nettoyage de la salle opératoire commence dès que le patient a quitté la salle opératoire. On considère 3 ressources : n salles opératoires; m lits de réveils; p équipes de brancardiers. Questions : 1 Proposer une modélisation du problème en prenant pour hypothèse que le patient est susceptible d attendre entre les tâches. 2 Proposer une modélisation du problème dans le cas où le patient ne quitte la salle opératoire seulement si un lit de réveil est disponible.
64 du processus de don du sang formelles On se propose de modéliser le processus de don du sang sur site fixe, i.e. dans les locaux de l EFS (Établissement Français du Sang). Plusieurs types de donneurs peuvent se présenter à l EFS pour effectuer un don : Les donneurs de sang total arrivent sans rendez-vous. Le donneur doit tout d abord s enregistrer auprès e secrétaire au comptoir d accueil. Si le dossier du donneur n est pas en règle, il quitte le système. Dans le cas contraire, le donneur doit subir une consultation médicale auprès médecin de l EFS. Si le patient n est pas apte au don de sang, il quitte le système. Dans le cas contraire, il se rend ensuite dans la salle de prélèvement, où il doit patienter jusqu à ce qu un lit se libère. Dès qu une place est libre, le patient s installe. Un infirmier installe l équipement et le prélèvement peut commencer. À l issu du prélèvement, le patient quitte le système. Les donneurs de plaquette et de plasma doivent avoir un rendez-vous et se présentent donc à l heure qui leur a été fixée. Il existe une probabilité pour que les donneurs ne se présentent pas (no-show). Le processus est ensuite similaire à celui des donneurs de sang total. La seule différence réside dans le fait que les donneurs de plaquette et de plasma doivent utiliser une machine dédiée pour le prélèvement.
65 du processus de don du sang formelles Les ressources suivantes sont considérées : 1 secrétaire pour l accueil, 1 médecin pour la consultation médicale, six machines de prélèvement de sang total, deux machines de prélèvement de plasma et deux machines de prélèvement de plaquettes. Trois infirmiers travaillent dans la salle de prélèvement. Ceux-ci interviennent uniquement au début et à la fin du prélèvement (branchement et débranchement du matériel), ainsi qu en cas de problème durant le prélèvement. Modéliser le fonctionnement tel système au moyen de.
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