ÉPREUVE DE MÉCANIQUE

Transcription

1 BNQUE D ÉPREUVES DUT-BTS SESSIN 9 ÉPREUVE DE MÉCNIQUE CDE ÉPREUVE : BE-MÉC CLCULTRICE INTERDITE DURÉE : H3

2 Eercice n se propose dans cet eercice d étudier le montage de roulements présenté sur la Figure. L arbre guidé en rotation supporte la roue dentée d un engrenage à denture hélicoïdale présentant un angle d hélice de degrés. Figure Montage de roulements () L angle d hélice de l engrenage à denture hélicoïdale est toujours strictement égal à degrés pour des raisons cinématiques. (B) Compte tenu de l angle d hélice de degrés, les efforts aiau induits par l engrènement sont négligeables face au efforts radiau et tangentiels pour effectuer le calcul de durée de vie des roulements. (C) De manière générale, pour un montage avec un effort en porte-à-fau comme celui présenté sur la Figure, un montage «en» est plus rigide qu un montage «en X». (D) Si les efforts aiau eercés par la roue dentée sur l arbre sont toujours dirigés vers la gauche, alors le circlips réalisant l arrêt aial sur la bague etérieure du roulement de droite est inutile. (E) La schématisation présentée à la Figure est une modélisation correcte du montage de roulements de la Figure. F D R X B l l C Figure Schématisation du montage de roulements

3 Eercice Indépendamment de l eercice précédent, on s intéresse à la fleion de l arbre présenté sur la Figure. n suppose que l arbre possède une section creuse représentée sur la Figure 3, paramétrée par les raons intérieur R i et etérieur R e. n note F l effort eercé par le milieu etérieur sur la roue dentée, avec : F = F a X+F r (sur la Figure, F a et F r sont négatifs). R e R i Figure 3 Section de l arbre creu () L inertie de la section de l arbre par rapport à l ae (C, X) est donnée par : I = π (R4 e R4 i ) (B) Les actions transmissibles par la liaison en peuvent être représentées par le torseur suivant : } l R F a X + (F r F a ) {T = l l (C) En, on a choisi d utiliser un roulement rigide à billes permettant un certain rotulage. Il n eiste pas de roulement présentant un rotulage supérieur à celui d un roulement rigide à billes. (D) Si l effort F augmente, l unique objectif d une augmentation du diamètre de l arbre est de pouvoir utiliser des roulements de taille plus importante, pouvant ainsi supporter des charges statiques et dnamiques supérieures. (E) Les efforts intérieurs à l arbre (ou efforts de cohésion) au point X, situé à la distance de (avec < < l ), sont représentables par le torseur suivant : R l } F a X + (F a F r ) l l {T int = l R (F r F a ) Z l l X

4 Eercice 3 Le sstème considéré est un dispositif de freinage schématisé sur la Figure 4. Un sstème hdraulique eerce un effort F sur la garniture, ce qui se traduit par une pression p, supposée uniforme, entre la garniture et le tambour. Le ressort smbolise un élément élastique dont la fonction est d eercer un rappel de la garniture. n note r le raon du tambour, e sa largeur dans la direction perpendiculaire à la figure et α le demi-angle qui permet de paramétrer la dimension de la garniture. Enfin, on note f le coefficient de frottement entre la garniture et le tambour. pression p garniture α F θ -α r tambour Figure 4 Sstème de freinage () Le ressort smbolisé est réalisé par un empilement de rondelles de tpe «belleville» (voir Figure 5). L empilement utilisé est un empilement en série, dit aussi «en colonne». Ce tpe d empilement est plus rigide que l empilement en parallèle, dit aussi «en paquet». (B) Si l on néglige l effort du ressort sur la garniture, la pression p eercée par la garniture sur le tambour est relié à l effort hdraulique F par la relation : p = F er sinα (C) Si l on néglige l effort du ressort sur la garniture et qu on considère α petit, la relation entre le couple de freinage C f et l effort hdraulique F peut se mettre sous la forme approchée suivante : C f r f F (D) Le couple de matériau utilisés pour les garnitures de freins classiques en automobile permet un coefficient de frottement de l ordre de,8. (E) Il est impossible, pour des raisons phsiques, de trouver des couples de matériau possédant un coefficient de frottement supérieur à. Figure 5 Empilement de rondelles «belleville» : en série (à gauche) et en parallèle (à droite)

5 Eercice 4 Le sstème schématisé sur la Figure 6 est inspiré d un sous-ensemble de bras de robot manipulateur. Le mouvement est commandé par un vérin smbolisé par la liaison glissière d ae C. D ' C C' B F E Figure 6 Sous-sstème de robot manipulateur () Le sstème étudié dans le plan est un sstème isostatique. (B) Le sstème étudié dans l espace est un sstème hperstatique d ordre 5. (C) En supprimant la barre CD, on obtient un sstème isostatique à la fois dans le plan et dans l espace. L C F l/ l D e α L θ B E l/ X d Figure 7 Version simplifiée du sstème Dans la suite, on utilisera le schéma de la Figure 7, qui est une version simplifiée du sstème, dans laquelle les points et d une part, et C et C d autre part, sont confondus. (D) La loi entrée/sortie du sstème reliant la longueur e de la barre C à la hauteur du point B (voir la Figure 7), s écrit : = e L l l

6 (E) La vitesse du centre de liaison B par rapport au bâti, noté R, est égale à : V(B/R ) = e ė l Eercice 5 n cherche à caractériser les mouvements du sstème présenté avec son paramétrage sur la Figure 8. La liaison entre la pièce et le bâti est une liaison hélicoïdale d ae (, Z ) = (, Z ), dont le pas est noté p et les paramètres de translation et de rotation sont notés = Z et α = ( X, X ). La liaison entre et est une pivot d ae (, X ) = (, X ) paramétrée par l angle β = ( Z, Z ). La liaison entre et 3 est une pivot d ae ( 3, ) = ( 3, 3 ) paramétrée par l angle θ = ( X, X 3 ). n pose 3 = l et 3 4 = l 3 X 3. β θ pas p α Figure 8 Paramétrage d un sstème robotisé () Le mouvement du solide 3 par rapport au bâti peut être représenté par le torseur cinématique suivant : { } α Z + β X + θ 3 V(3/) = p π α Z Dans la suite, on néglige la masse et l inertie des ensembles et 3. La forme de l ensemble est schématisée sur la Figure 9. La matrice d inertie au point de cet ensemble est notée : F E I(,) = F B D E D C ( X,, Z )

7 Le point est situé à la distance a de la face gauche, à la distance d / de la face avant et à la distance d 3 / de la face inférieure. (B) La matrice d inertie, eprimée en, en tenant compte du perçage, est diagonale dans la base ( X,, Z ). Dans la suite, on néglige le perçage et la distance a. n suppose de plus que la distance d est très grande devant d et d 3. m désigne la masse de la pièce. (C) n peut alors en conclure que le terme de la matrice d inertie est très grand devant les termes B et C. (D) Le torseur cinétique de la pièce dans son mouvement par rapport à peut s écrire au point : { } m Z C(/) = β X +C α Z (E) L énergie cinétique du solide dans son mouvement par rapport à s écrit, quel que soit le point où on la calcule : T (/) = m ẏ + β + B α sin β+ C α cos β a d 3 d d Figure 9 Forme schématique de l ensemble Eercice 6 () Un emmanchement conique est souvent utilisé pour assembler deu pièces ensemble. Dans ce cas, la valeur de l angle du cône qui assure l adhérence est indépendante des matériau utilisés. (B) La réalisation d un assemblage par vis permet parfois d assurer une pression suffisante entre les deu pièces pour pouvoir réaliser une étanchéité directe. Dans ce cas, il est souhaitable que les vis assurent à la fois la fonction «Mettre en position» et la fonction «Maintenir en position» d une pièce par rapport à l autre. (C) La réalisation d une étanchéité entre deu pièces en rotation nécessite obligatoirement l utilisation d un joint à lèvre. (D) Le dimensionnement de vis pour réaliser un assemblage boulonné peut se faire en première approimation en assimilant les vis à des poutres droites sollicitées en traction. (E) Les sstèmes à came sont utilisés car ce sont les seuls sstèmes à permettre une transmission parfaitement homocinétique.

8 Eercice 7 () La trempe d un acier consiste en un chauffage au-delà de la température d austénitisation, un maintien à cette température pendant un temps déterminé et un refroidissement à une vitesse déterminée. (B) n peut améliorer la résilience d un acier en réalisant une trempe suivie d un revenu. (C) Une fonte est un alliage de fer et de carbone qui contient au moins 5 % de carbone. (D) Un acier faiblement allié est un acier dans lequel la teneur en chacun des éléments d addition ne dépasse pas %. (E) Le coefficient de Poisson d un matériau est sans unité. Eercice 8 La Figure représente un solide de hauteur h et de section non constante S() encastré sur le sol en =. Ce solide est soumis à un chargement surfacique p sur sa face supérieure = h et à l action de la pesanteur dont l accélération est g. Enfin, il est constitué d un matériau homogène isotrope de masse volumique ρ, de module d oung E et de coefficient de Poisson ν. Ce solide est modélisé par une poutre droite de hauteur h, de section S(), encastrée en et sollicitée par un glisseur F en B. p B g F B h S() h S() Figure Solide à section non uniforme et modèle poutre associé () Dans le modèle proposé, il faut prendre : F = (p+ρg)s(h). (B) La réaction du sol sur la poutre est un glisseur de valeur F. (C) La contrainte normale dans la poutre à la cote est : σ() = p S(h) Z h S() ρg S() S() d (D) Si l on souhaite que cette contrainte soit uniforme dans toute la poutre, il faut choisir une section telle que : S() = S ep ( ρgp ) où S est une constante (E) La valeur de cette contrainte est alors : σ() = ps.

9 Eercice 9 La Figure représente un solide, de masse m, en mouvement par rapport à un référentiel galiléen lié à un solide. Le centre de gravité G de est repéré par G =. Le solide est relié au solide par un ressort de raideur k et de longueur à vide l et on suppose que le contact au niveau de la surface inférieure du solide est sans frottement. En outre, il est soumis à l action d un glisseur en G de résultante F = F avec F(t) = F sin(ω t). À l instant initial t =, on suppose que = l et que ẋ =. n pose = l + q. k F G Figure Solide en vibration () L équation du mouvement du solide est : (B) L équation du mouvement du solide est : mẍ+k = F m q+kq = F (C) Si on note ω = k/m, la position du solide est régie par : q(t) = F m(ω ω )(sin(ω t) ω ω sin(ωt)) (D) La fréquence f de la solution q est f = ω π. (E) La fréquence f de la solution q est f = ω π. Eercice n reprend le sstème de la question précédente mais on suppose maintenant que le contact entre le solide et le solide s effectue avec frottement. Le coefficient correspondant est noté f et l accélération de la pesanteur est g. () Le solide ne commence à bouger qu à partir de l instant t tel que : sin(ω t ) = f mg F (B) À l instant t, l effort eercé par le ressort sur le solide est F sin(ω t ).

10 (C) Le travail élémentaire δw des forces de frottement lors d un déplacement d est : δw = f mgd (D) Le travail des forces de frottement lors d un aller-retour du solide est nul. (E) Le travail des forces de frottement entre la position initiale = l et la position etrême correspondant à la valeur maimale de est égale à l énergie emmagasinée dans le ressort lorsqu on arrive dans cette même position etrême. Eercice La Figure représente un barrage encastré au sol et soumis au actions mécaniques de l eau. La masse volumique de l eau est notée ρ, l accélération de la pesanteur g et la pression atmosphérique p. L h p Eau g G h/ h/ Sol Figure Force de pression sur un barrage () La résultante, notée F, des actions mécaniques eercées par l eau sur le barrage est : F = Lh(p + ρgh) (B) La résultante, notée R, des actions mécaniques eercées par le sol sur le barrage est telle que : R = ρglh (C) Le moment en, notée M, des actions mécaniques eercées par l eau sur le barrage est : M = 3 ρglh3 (D) Le torseur des actions mécaniques eercées par l eau sur le barrage est un glisseur. (E) Le centre G de la surface de contact de l eau et du barrage appartient à l ae central du torseur des actions mécaniques eercées par l eau sur le barrage.

11 Eercice La Figure 3 schématise le fonctionnement cinématique d une pompe à pistons aiau dont un seul piston est représenté. Elle est composée d un bâti, d un barillet, d un piston et d un patin 3. Ce dernier est en contact avec un plateau-came lié au bâti. La rotation du barillet par rapport au bâti (angle θ) se traduit par un mouvement alternatif de translation du piston par rapport au barillet (position M = +r er avec r constant), ce qui génère un débit de fluide en sortie de la pompe. M 3 e θ r M θ e r α Figure 3 Pompe à piston aiau () La pression dans le circuit hdraulique alimenté par cette pompe est imposée par le couple etérieur eercé sur l arbre du barillet pour le mettre en mouvement. (B) La liaison réalisée entre le piston et le plateau par l intermédiaire du patin 3 est équivalente à une liaison sphère-plan d ae (M, ). (C) La vitesse du piston par rapport au barillet, eprimée en M, est : V(M,/) = ż +r θ e θ (D) La vitesse du piston par rapport au bâti, eprimée en M, est : V(M,/) = ż +r θ e θ (E) Le déplacement et l angle de rotation θ sont liés par la relation : ż = r θtanα