Ondes monochromatiques

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1 Ondes monochromatiques Les ondes progressives ne sont, en générale, pas périodiques, ni en temps ni en espace Idée importante en analyse d onde: Toute fonction périodique T peut se décomposer en une somme de fonction de période T/n ( Série de Fourier) En imaginant la période infinie, un signal non périodique peut donc se décomposer en une somme infini de signaux de toutes les périodes

2 Notation complexe v = A(x) cos("t) Solution particulière Et la solution en sin? Idée: l équation d onde est linéaire Prendre la partie réelle d un nombre complexe est une opération linéaire Deux opérations linéaires permutent v = A(x) exp( j"t) Si A complexe -> sin Attention: ceci ne peut se faire que pour l équation d onde linéaire et pour les grandeurs linéaires pas possible pour l énergie. Résolution de l équation d onde

3 " 2 v "t = c 2 " 2 v 2 "x 2 implique #$ 2 A = c 2 " 2 A "x 2 d' où A(x) = A 0 exp(± jkx) et $ 2 k 2 = c 2 On retrouve les ondes se propageant à droite et gauche V= A e j(!t-kx) +B e j(!t+kx) Equation de dispersion: Relie la fréquence spatiale à la fréquence temporelle La première impose la seconde!

4 Rappel T Période ( sec)!=2"/t Pulsation ( s -1 ) f=1/t=!/( 2") Fréquence ( Hz) k=!/c Vecteur d onde ( m -1 ) #=ct= 2"/k Longueur d onde ( m) 1/# Nombre d onde (m -1 )

5 Vitesse de phase La vitesse c est donc la vitesse de phase de l onde Vitesse de phase= vitesse de propagation d un point ayant une phase constante cte = "t # kx $ dx dt = " k = c La vitesse de phase n est pas toujours une constante mais peut varier et dépendre de la fréquence La vitesse de phase peut être plus grande que la vitesse de propagation du milieu

6 Variation avec la fréquence Variation avec la profondeur

7 Vitesse de groupe Un signal monochromatique n a pas de début ou de fin Ne permet pas d envoyer de l information Pour envoyer de l information ( ou de l énergie), une superposition d ondes monochromatiques est nécessaire comme par exemple Paquet d onde (signal de durée finie) Signal A(t)<<1 en modulation d amplitude s(t) = (1 + A(t)) exp( j"t) Signal en modulation de fréquence A(t) = a exp( j"#(t)t) s(t) = A(t) exp( j#t) = a[1 + (1 $ exp( j"#(t)t))] exp( j#t)

8 Propagation d un paquet On considère un paquet d onde autour d une fréquence centrale! 0 " + A(t) = $ d" a(") exp( j"t) " # Sa propagation donne s(x, t) = " + $ a(")d" exp( j(" t # k(")x)) " # k(" ) = k(" o ) + (" # " o ) %k %" 0 s(x, t) = soit " + %k $ a(")d" exp( j(" t # k(")x)) = exp( j(k(" 0 ) # " o )x) $ a(")d" exp( j"(t # %k x)) %" 0 %" 0 " # s(x, t) = A(t # x v g ) exp( j(k(" 0 ) # " o %k %x 0 )x) " + " # v g = d" dk Vitesse de groupe

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10 Variation de la vitesse de phase en pourcent à 80 secondes des ondes de surface

11 Réflexion et transmission On considère un tsunami arrivant près d un plateau continental d 1 d 2 Équation u déplacement horizontal ( primitive de v) h hauteur 1 g " 2 u = # "h "t 2 "x h = #d "u "x d' où " 2 u = c 2 " $ "t 2 "x c 2 "u' % & "x( ) h, u continus Pour d autres cas, nous aurons aussi une continuité: "u F = T -de F ( corde) 0 "x -De p (tube) p = "# $u $x

12 On considère une onde incidente, réfléchie et transmise u 1 = A exp( j("t # k 1 x) + B exp( j("t + k 1 x) u 2 = C exp( j("t # k 1 x) h 1 = jk 1 d 1 (A exp( j("t # k 1 x) # B exp( j("t + k 1 x)) u 2 = jk 2 d 2 C exp( j("t # k 1 x) On applique la continuité du déplacement et de la seconde grandeur (h, F, p, suivant le cas) A + B = C jk 1 d 1 (A " B) = jk 2 d 2 C D où C A = 2k 1 d 1 k 1 d + k 2 d 2 B A = k d " k d k 1 d + k 2 d 2

13 Quelques propriétés t = C A = 2k 1 d 1 k 1 d 1 + k 2 d 2 = 2 c 1 g c 1 g + c 2 g r = B A = k 1d 1 " k 2 d 2 k 1 d 1 + k 2 d 2 = c 1 g " c 2 g c 1 g + c 2 g Surface libre ( c 2 << c 1, => t=2, r=1) Surface rigide ( c 2 >> c 1, => t=0, r=-1) Pas de dépendance en fréquence Pourquoi? Cas d une corde ou d un tuyau ( g " # ou µ ) Z = impédance = 1 c g " #c ou µ c t = 2Z 1 Z 1 + Z 2 r = Z 1 " Z 2 Z 1 + Z 2

14 Bilan énérgie Pour faire un bilan d énergie, necessité d utiliser les flux " = #ca 2 = ZA 2 Energie entrante = énergie sortante T = Z 2t 2 = Z " 2 2Z % $ 1 ' Z 1 Z 1 # Z 1 + Z 2 & R = Z " 1 Z 1 ( Z 2 % $ ' Z 1 # Z 1 + Z 2 & 1 = R + T 2 2

15 Ondes stationnaires Ondes dans une cavité Les réflexions multiplent forment des ondes qui en générale, vont avoir des amplitudes n ayant pas la même phase que les autres ondes Solution stationnaire n est non nulle que si les interférence sont constructives

16 Corde de piano Deux conditions aux limites rigide Longueur L Une solution sous la forme d une superposition d ondes se propageant dans les deux directions u(x, t) = A exp( j("t # kx)) + B exp( j("t + kx)) conditions aux lim ites u(0, t) = A + B u(l, t) = A exp(# jkl) + B exp( jkl) = 0 d' où sin(kl) = 0 Et k = " c

17 Solution Quantification des solutions Modes ou oscillations propres Solution identique pour tout objet fini Analogie avec mécanique quantique kl = n" d' où # n = n"c L et u n (x, t) = A exp( j"t) sin(n# x L ) Si! n est solution,-! n est aussi solution

18 Autres propriétés Considérons deux solutions "# 2 1 u 1 = $ 2 u 1 $x,"# 2 2 2u 2 = $ 2 u 2 $x 2 L énergie cinétique stockée est une norme ( toujours positive) L " 0 µdxu 2 et définit Soit le produit scalaire < u 1 u 2 >= " µdxu 1 u on montre que deux solutions sont orthogonales en raison des conditions aux limites - les modes forment une base des solutions L

19 Sommation de modes Toute solution peut s écrire sous la forme d une somme des modes u(x, t) = " u n (x)(a n exp( j# n t) + B n exp($ j# n t)) n Les coefficients s obtiennent en projetant les conditions initiales (ou la source) sur les fonctions de base < u 0 u n >=< u n u n > (A n + B n ) < v 0 u n >= j" n < u n u n > (A n # B n ) u 0 ~déplacement initial v 0 ~vitesse initialle A n = B n = < u 0 u n > + < v 0 u n > j"n 2 < u n u n > < u 0 u n > # < v 0 u n > j" n 2 < u n u n >

20 Solution finale On normalise les modes propres u n (x, t) = 2 L sin(n" x L ) D où u(x, t) = " u n (x)(< u 0 u n > cos(# n t) + < u 0 u n > n # n sin(# n t))

21 Autre Exemple à 1 dimension Les modes propres sont pour la plupart associés à des ondes de surface ou des ondes de volumes Pour être crées, une interférence constructive doit se faire après un tour de Terre 2"r = nct f = 1 T = n c 2"r Pour c= 4km/s, on trouve f = n*0.1 mhz

22 Sismologie de la Terre: modes propres Lors des grands séismes, la Terre résonne comme une cloche Typiquement, il faut des séismes de magnitude supérieure à 7

23 Dispersion et positionnement GPS

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26 Propagation dans le plasma Propagation dans un plasma Masse des électrons << Masse des ions Fréquence plasma entre 1 et 10 Mhz

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