Résistance des Matériaux

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1 Résistance des Matériaux IRM 1 ère accalauréat Construction Pierre Randour Plan du cours 1.Introduction à la RdM 2.Traction et compression () 3.lexion (M) 4.ffort tranchant (V) 5.Torsion (T) 6.Caractéristiques des Sections 2

2 Plan du cours 1.Introduction à la RdM 2.Traction et compression () 3.lexion (M) 4.ffort tranchant (V) 5.Torsion (T) 6.Caractéristiques des Sections 3 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

3 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux 1. Définition D de la traction Une section est soumise à de la traction si elle est sollicitée par un effort normal appliqué en G et orienté vers l extérieur du tronçon de poutre délimité par la dite section : forces extérieures (charges) Plan de coupe : orces intérieures (sollicitations) quilibre des tronçons ons :

4 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux 2. tude de la déformationd Soit une pièce de longueur initiale (avant mise en charge). Soit, une force axiale induisant de la traction. Déformation observée : llongement λ (mm ou cm) llongement unitaire : + λ λ dλ dx (sans unité) λ Réaction ction

5 2. tude de la déformationd Soit une pièce de longueur initiale (avant mise en charge). Soit, une force axiale induisant de la traction. Déformation observée : llongement λ (mm ou cm) llongement unitaire : xemple 10 cm λ 2 mm (0.2 cm) λ / 0.2/ (-)( ( 2 %) λ dλ dx (sans unité) λ Réaction 9 ction utres exemples 2. tude de la déformationd λ λ P λ (contra int e) (Déformation) 2.P 2. λ P P 2λ 2. λ 2. λ

6 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux 3. Description de l essai l de traction Machine d essais et éprouvette Mise en charge llongement Rupture

7 3. Description de l essai l de traction Diagramme d essais 150mm 2 (D 6.91mm) Ordonnée : 2 ( / mm ) Contraintes bscisse 100mm : λ i i ( ) 3. Description de l essai l de traction Matériaux ductiles (acier doux) f u imite ultime f y imite élastique C D II Droite de hoocke III Rupture O Domaine élastique I tirage crouissage Domaine plastique (Déformations permanentes) Striction

8 Matériaux ductiles (acier doux) f u imite ultime f y imite élastique O Domaine élastique C I 3. Description de l essai l de traction D Droite de hoocke f ét f f y th f p tirage th II Point de vue contraintes f u Mène crouissage Domaine plastique 0,2% f p (Pt. ) imite Rupture III th (Pt. ) imite f th ne à la Rupture via striction imite élastique proportionnelle (fin de la droite de Hoocke) imite élastique théorique (fin mesurable du domaine élastique) f ét (Pt. C) imite imite élastique apparente (début de l él étirage) f y Striction imite imite élastique pratique (mesure d une d déformation d de 0,2 %) (Déformations permanentes) 3. Description de l essai l de traction Matériaux ductiles (acier doux) cier normal cier doux S235 fy 235 /mm 2 fu 360 /mm 2 S355 fy 355 /mm 2 fu 470 /mm 2

9 3. Description de l essai l de traction Matériaux ductiles (acier doux) Principe de la striction a section diminue lors que augmente Striction effort appliqué ne peu plus être maintenu et chute fortement es contraintes diminuent donc 3. Description de l essai l de traction Matériaux ductiles autres que l acier ROZ ITO UMIIUM CIR Observations : Pas de zone d éd étirage Même cassure que l acier l (à( 45 )

10 3. Description de l essai l de traction Matériaux raides (bois, fonte, pierre, béton ) f u f y f p C Rupture Observations: Pas d éd étirage Pas de striction Cassure nette (à( 90 ) O 0,2% f u f y ne écrouissage 3. Description de l essai l de traction ut : aumenter la limite élastique f y d un acier Principe : tirer l acier l le plus loin possible dans le domaine plastique sans dépasser d la limite f u et relacher ensuite. On obtient un acier écroui avec une nouvelle courbe. a droite de Hoocke est plus longue et donc f y plus grand. a striction est conservée e mais il n y n y a plus d éd étirage. cier de départ d (non écroui) cier écroui f y e > f y ne f u f y e

11 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux oi de Hoocke et module d élasticité a contrainte et la déformation varient proportionnellement. Droite de Hoocke α quation du 1er degré (y a.x+b) vec : y, la contrainte x, la déformationd a, le module d éd élasticité longitudinal b 0 (passage par l origine) l est calculé par le relation correspond au coefficient angulaire de la droite correspond à la tangente de l angle l α s exprime s en /mm 2

12 oi de Hoocke et module d élasticité Sous une même charge axiale (traction), chaque matériau s allonge d une valeur différente. Chaque matériau possède donc un module d élasticité différent. cier lu xemples (valeurs moyennes) tungstène /mm 2 acier /mm 2 fonte /mm 2 alu /mm 2 éton bois verre /mm 2 béton /mm 2 bois /mm 2 élastomère 30 /mm Pour une force (contrainte) donnée, l alu se déforme d 3x plus que l acierl le béton, b 7 x plus que l acierl le bois, 21 x plus que l acier l oi de Hoocke et module d élasticité Module d éd élasticité longitudinal Module de Young Thomas Young ( ) Physicien, médecin et égyptologue anglais. Découverte en optique : expliqua la nature ondulatoire de la lumière. Découverte en médecine : trouva une explication physiologique à la vision colorée. Contribua au déchiffrage des hiéroglyphes au moyen de la pierre de Rosette. Traité d élasticité relatif à la déformation des corps solides.

13 a contrainte fonction de et de Soit un solide soumis à une charge axiale près coupure, chaque tronçon est équilibré par les i I i II-I i I-II II II a somme des i équivaut l effort de traction I II a contrainte fonction de et de Dans le chapitre 1, on a définit la contrainte en un point X. or X a i lim a 0 a d da n traction, t se limite à la contrainte normale. r t orce agissant sur da orce agissant sur. r car τ 0 d. da d. da i.

14 a contrainte fonction de et de vec : effort normal de traction () aire de la section (mm 2 ) contrainte de traction (/mm 2 ) et étant constants, est également constant en tout point de la section e diagramme des est un rectangle ien entre les contraintes et l allongement λ 3 relations sont déjàd connues :. près s remplacement, on obtient :. λ t donc : λ λ.. vec : effort normal de traction () aire de la section (mm 2 ) longueur de la pièce (mm) module de young (/mm 2 ) λ llongement de la pièce (mm)

15 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux 5. Condition de résistancer Calcul à la rupture f u Contrainte de traction < imite ultime Remarques : On accepte de faire travailler le matériau dans le domaine plastique (domaine des déformations d permanentes) DGRUX car on est proche de la rupture. Utilisations : Jamais pour dimensionner un élément de structure. Calcul d un d effort de rupture (découpage de tôle)

16 5. Condition de résistancer Calcul à la limite élastique f y Contrainte de traction < imite élastique Remarques : On reste dans le domaine élastique (Déformations non permanentes). n cas de surcharge inattendue, on rentre dans le domaine plastique. Utilisation : Rarement pour dimensionner un élément de structure. Calcul d un d effort permettant de conserver une déformation d (pliage de tôle) MIS : f y étant détermind terminé expérimentalement, il n est n jamais connu très s précis cisément. Donc Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

17 6. Coefficient de sécurits curité sur le matériau ut : tenir compte d une certaine incertitude f y avec : f d Contrainte admissible en f traction d γ f y limite élastique γ > 1 (sans unité) γ coefficient de sécurits curité γ dépend de la nature du matériau (γ acier 1,10 -γ béton 1,50 - γ bois 2,00) Remarque : D autres coefficient de sécurité sont liés : ux types de charges : statiques, mobiles, exceptionnelles (séisme, tsunami, explosion, collision, ); ux types de sections : simples ou assemblées; ux contrôles lors de la fabrication et de la mise en œuvre. 6. Coefficient de sécurits curité sur le matériau xemple : cier doux S235 f y 235 f d γ 1,10 f u / mm 2 f y f d limite ultime f u 360 /mm2 limite élastique f y 235 /mm 2 coefficient de sécurits curitéγ 1.10

18 Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux 7. Définition D de la compression Une section est soumise à de la compression si elle est sollicitée par un effort normal appliqué en G et orienté vers l intérieur du tronçon de poutre délimité par la dite section : forces extérieures (charges) Plan de coupe : orces intérieures (sollicitations) quilibre des tronçons ons :

19 Soit une pièce de longueur initiale (avant mise en charge). Soit, une force axiale induisant de la Compression. Déformation observée : Raccourcissement λ (mm ou cm) λ' Racourcissement unitaire : Réaction 7. Définition D de la compression ' λ (sans unité) ction Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

20 prouvette cylindrique h d 8. Description de l essai l de compression De façon à éviter le flambage (instabilité), l aire de la section doit être égale au carré de la hauteur. π d h d 1,13h Résultats d essais cier isorésistant : f y f y 235 /mm 2 (cier S235) éton Compression : f y 30 /mm 2 Traction : f y 3 /mm 2 (10 % de la compression) ois Traction : f y 20 /mm 2 Compression : f y 10 /mm 2 (50 % de la traction) Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

21 9. ormules relatives à la compression ormules identiques à celles de la traction mais avec l indice pour certains paramètres. Point de vue contrainte : ' λ' ' '.. f' d Point de vue déformation : ' '. ' λ' es paramètres, et sont non indicés car indépendants du type d effort f' d Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

22 10. Contraction et dilatation transversales Mise en traction d un cylindre : llongement longitudinal et contraction transversale et d d Soient On a que De plus Donc X llongement longitudinal unitaire Y Contraction transversale unitaire Y -η. X avec x. x. X Y η avec η coefficient de poisson x x 10. Contraction et dilatation transversales Siméon Denis Poisson ( ) Mathématicien, géomètre et physicien français. ombreuses contributions dans les domaines de l électricité et du magnétisme. Traité de mécanique ( ). lasticité : découverte du coefficient qui porte son nom. Mathématiques : Intégrales, séries de ourrier, statistiques (loi de Poisson). Variation unitaire de volume soit V le volume initial (avant mise en charge) V' V Soit V le volume final V (après déformation) X.(1 2. η)

23 10. Contraction et dilatation transversales Valeurs limites de η On constate que V > V (vrai pour tous les matériaux) > 0 donc X.( η) > 0 De plus X > 0 étant donné l allongement en traction donc ( η) > 0 η < ½ e coefficient de poisson de la plupart des matériaux est compris entre 0 et 0,5 Valeurs du coefficient de poisson η Caoutchouc 0,50 luminium 0,35 cier 0,30 onte 0,25 Pierre 0,20 éton 0,15 ois (pin) 0,20 Verre 0, Contraction et dilatation transversales Valeurs du coefficient de poisson η à 20 C Caoutchouc V -V V 0 η luminium ois cier onte Pierre éton Verre V > V

24 10. Contraction et dilatation transversales n compression Raccourcissement longitudinal Dilatation transversale Phénomène semblable à celui de la tractionη η xercice : soit le cylindre ci-dessous en acier S235 soumis à un effort axial. Calculer : λ x et λ y x et y V, V et V -V d 2cm 1m 5T Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

25 spect déformation 11. ffet de la température Une variation de température induit un changement de longueur et donc des déformations d thermiques. Si le solide est libre de se déformer, alors aucune contrainte n est induite par cette déformation. quation du Principe physique λ Tα. T 1er degré (y a.x Or λ vec b 0 donc λ T T avec T α.. T T T. λ T Variation de longueur (mm) T Variation de longueur unitaire (-)( T Variation de température ( C)( α coefficient de dilatation ( C( -1 ) a.x+b) spect déformation 11. ffet de la température λ T α.. T Valeur du coefficient de dilatation α : cier 0, C C -1 Cuivre C -1 luminium C -1 Verre 0, C -1 ois 0, C -1 éton C -1 Idem (béton armé) xercice 1 : De combien s allonge s un rail d acier d de 12 m de long suite à une variation de température de 30 C C? xercice 2 : Idem avec un rail en aluminium

26 spect contrainte 11. ffet de la température Des contraintes apparaissent dans un solide soumis à une variation de température et empêché de se déformer d (bloqué à ses deux extrémit mités). On sait que Or donc T. α. T α.. T avec contrainte induite (/mm 2 ) Module d éd élasticité du matériau (/mm 2 ) T Variation de température ( C)( α coefficient de dilatation ( C( -1 ) λ T λ P Chapitre 2 : Traction et Compression 1. Définition de la traction 2. tude de la déformation 3. Description de l essai de traction 5. Condition de résistance 6. Coefficient de sécurité 7. Définition de la compression 8. Description de l essai de compression 9. ormules relatives à la compression 10. Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson 11. ffet de la température 12. Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

27 12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux Modélisation d une colonne en béton armé Matériau (acier) ' ' ' ' + ' + Matériau (béton) ' ' spect Déformation or es 2 matériaux sont solidaires ils se déforment d de la même façon. donc ' ' avec λ'. ' 12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux ' λ' et ' '. et ' ' ' ' contrainte dans le matériau (/mm 2 ) contrainte dans le matériau (/mm 2 ) Module d éd élasticité du matériau (/mm 2 ) Module d éd élasticité du matériau (/mm 2 ) ' '.

28 spect efforts et contraintes effort de compression se sépare s en 2 efforts : comprimant l acier et comprimant le bétonb ' Or ' ' ' ' 12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux ' ' ' + '. ' ' +.. '.. + ' ' ' ' spect efforts et contraintes On obtient ainsi : avec et 12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux ' ' '. '. contrainte dans le matériau (/mm 2 ) contrainte dans le matériau (/mm 2 ) Module d éd élasticité du matériau (/mm 2 ) Module d éd élasticité du matériau (/mm 2 ) ire de la section du matériau (mm 2 ) ire de la section du matériau (mm 2 ) l effort de compression appliqué à toute la section ()

29 The nd