1b-2. Théorème de Thalès. Sommaire. Cours

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1 ours 1b-2 Théorème de Thalès Sommaire 1 Une introduction historique onfiguration de Thalès, sens direct onfiguration de Thalès, sens réciproque La tradition attribue à Thalès de ilet l introduction en Grèce de la géométrie égyptienne. Par rapport à leurs prédécesseurs, les Grecs étudient de nouvelles figures, dont des courbes, surfaces et solides. ais surtout, ils innovent au niveau de la méthode, en généralisant des lois à partir des nombreuses règles empiriques connues depuis longtemps. Thalès de ilet n a laissé aucun écrit, ce qui rend donc difficile la réalisation d une biographie incontestée de ce sage. est un commerçant suffisamment riche, pour se permettre de consacrer sa vie aux voyages et aux études. En Egypte, il aurait mesuré les grandes pyramides grâce à leur ombre et à «son fameux théorème». De retour à ilet, il devient homme politique, homme d affaires et philosophe. Ses travaux portent sur les mathématiques, l astrologie et la philosophie. On dit qu il est mort de déshydratation en regardant un concours gymnique. Thalès de ilet (environ )

2 1b-2 Théorème de Thalès 1-EEF-PE 1 Une introduction historique Voici une histoire qui se raconte : Thalès partit un jour pour l Égypte. l pénétra dans le lac aréotis et s embarqua sur une felouque afin de remonter le il. près quelques jours de voyage il aperçut, dressée au milieu d un large plateau, la pyramide de Kheops. Les dimensions du monument âgé alors de ans, dépassaient de loin tout ce qu il avait imaginé. «omment mesurer cette pyramide?» Thalès regardant son ombre eut alors cette idée : «Le rapport que j entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne.» l en déduisit ceci : «à l instant où mon ombre sera égale à ma taille, l ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur.» ependant, certains documents historiques montrent que cette propriété était déjà connue bien avant par les abyloniens et les Égyptiens : ils ont remarqué que deux triangles ayant leurs côtés communs ou parallèles ont des longueurs de côtés proportionnelles. ls ont considéré cette propriété évidente et donc sans nécessité d être démontrée. Finalement, ce résultat porte le nom de Thalès car il a été le premier à l avoir utilisé de façon concrète. La première démonstration écrite connue de ce théorème est donnée dans les Éléments d Euclide. Le théorème de Thalès affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l un des côtés d un triangle sectionne ce dernier en un triangle semblable. En anglais, il est connu sous le nom de ntercept theorem (théorème d intersection) ; en allemand il est appelé Strahlensatz, c est-à-dire théorème des rayons. 2 onfiguration de Thalès, sens direct Propriété 1. Soient (d) et (d ) sont deux droites sécantes en, et deux points de la droite (d), distincts de, et et deux points de la droite (d ), distincts de. Si les droites () et () sont parallèles, alors : DVL 2/5 ESPE de la Réunion

3 1b-2 Théorème de Thalès 1-EEF-PE Remarque 2 e rapport est également égal à sont semblables. (d) puisque dans ce cas, les triangles et (d) (d ) (d ) configuration «classique» configuration «papillon» utrement dit, les longueurs des côtés des triangles et sont proportionnelles. Exemple 3 est un triangle, [], [], = 5 cm, = 6 cm, = 8 cm et = 4 cm. De plus, les droites () et () sont parallèles. 6 cm 4 cm 5 cm 8 cm D après le théorème de Thalès, avec des mesures en cm, on a : = = 5 soit 8 = 6 = 4 donc, = = 2, 5 et = = 9, 6. onséquence : théorème de la droite des milieux. Propriété 4. Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et la longueur du segment qui joint milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Si dans le triangle, milieu de [] et milieu de []. alors () // () et = DVL 3/5 ESPE de la Réunion

4 1b-2 Théorème de Thalès 1-EEF-PE Démonstration d Euclide : (DE) = (DE) ; = (DE) (DE) = (DE) (DE) ; les triangles DE et DE ont la même hauteur issue de E : h 1 ; les triangles DE et DE ont la même hauteur issue de D : h 2 ; = D h 1 D h 1 = = D D = E E E h 2 E h 2 3 onfiguration de Thalès, sens réciproque Propriété 5. Si les points, et d une part, et les points, et d autre part, sont alignés dans le même ordre, et si les rapports et sont égaux, alors les droites () et () sont parallèles. Exemple 6 Les points, et d une part, et les points, et d autre part, sont alignés dans le même ordre. De plus, = 5, = 6, = 7, 5 et = ,5 6 On calcule : = 5 7, 5 = 2 3 d une part, et = 6 9 = 2 3 d autre part. On constate que = ; d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et () sont DVL 4/5 ESPE de la Réunion

5 1b-2 Théorème de Thalès 1-EEF-PE En utilisant un raisonnement par l absurde et le théorème de Thalès, on peut montrer que des droites ne sont pas parallèles. Exemple 7 est un triangle, [], [] et = 5 cm, = 6 cm, = 8 cm, = 9 cm. 6 cm 9 cm 5 cm 8 cm On calcule : = 5 8 On constate que ; d une part, et = 6 9 = 2 3 d autre part. or, si les droites () et () étaient parallèles, le théorème de Thalès nous dirait que cette égalité est vraie. omme ce n est pas le cas, on peut en conclure que les droites ( ) et () ne sont pas parallèles. onséquence : réciproque du théorème de la droite des milieux. Propriété 8. Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté parallèlement à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Si dans le triangle, alors milieu de [] milieu de [], () // () avec DVL 5/5 ESPE de la Réunion