1 LES DIFFÉRENTES FORMES DU THÉORÈME DES MILIEUX

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1 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 1 sur 1 h.g : riangle et parallèles 1 É U HÉÈ UX 1.1 ontrer que des droites sont parallèles ex 1 HÉÈ 1 i, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. xemple 11 : n donne la figure codée ci-contre. émontre que la droite () est parallèle à la droite (). olution : es codages nous permettent d'affirmer que dans le triangle, est le milieu de [] et est le milieu de []. ropriété : i, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. onc la droite () est parallèle au troisième côté du triangle ; donc () est parallèle à (). xercice n 1 page 163 ans quelle(s) figure(s) peux-tu démontrer que les droites () et () sont parallèles? ustifie tes réponses. a) b) c) 1,1 1,1 d) b) [] () () a c d () () xercice n 6 page 163 bserve le dessin de aul. ans le triangle K, il veut montrer que les droites (K) et () sont parallèles. À l'aide du codage du dessin, rédige une démonstration. K [K] [] K () (K) xercice n 1 page 16 émontre que deux droites sont parallèles. est un parallélogramme de centre. n appelle le milieu de [] et le milieu de []. émontre que () est parallèle à (). x x [] x x H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

2 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age sur 1 [] [] () () // () xercice n 9 page 16 est un triangle rectangle en tel que = cm et = 3, cm. oit le milieu de [] et le milieu de []. a) ais un dessin en vraie grandeur et code-le. b) ontre que () est parallèle à (). c) éduis-en que () est perpendiculaire à (). [] [] () () () () () () () () xercice n 3 page 168 ans un triangle rectangle a) GZ est un triangle rectangle en. es points, et sont les milieux respectifs de [Z], [GZ] et [G]. ais une figure. b) Quelle est la nature du quadrilatère? rouve-le. GZ [G] [GZ] () (Z) () (G) 1. alculer une longueur connaissant des milieux ex et 3 HÉÈ i, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté. xemple : n donne la figure codée ci-contre. alcule la longueur K. olution : H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

3 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 3 sur 1 es codages nous permettent d'affirmer que dans le triangle, et K sont les milieux respectifs de [] et []. ropriété : i, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté. e segment [K] a donc pour longueur la moitié de celle du troisième côté []. onc K = = 7,8 = 3,9 cm. xercice n page 16 émontre une égalité de longueur oit un triangle. est le symétrique de par rapport à et est le symétrique de par rapport à. émontre que = 7,8 cm K. [] [] [] = = = xercice n 3 page 16 alcule une longueur eux cercles de rayons respectifs 3 cm et cm et de centres respectifs et ' distants de cm, se coupent en deux points et. n trace le diamètre [] de l'un et le diamètre [] de l'autre. alcule la longueur. [] [] [' ] ' x 3 cm cm cm x ' ' = xercice n 3 page 163 = ' = 10 cm onstruis le triangle tel que =,8 cm ; =,3 cm et =. lace les points et milieux respectifs des côtés [] et []. alcule la longueur en justifiant clairement la démarche utilisée. [] [] =,3 cm = =,3 =,1 cm xercice n 7 page 163 est un triangle tel que = 8 cm, = 6 cm et = 7 cm. est le milieu de [] et est le milieu de []. a) ais un dessin à main levée et code-le. b) ontre que () et () sont parallèles. c) alcule en justifiant la démarche utilisée. H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

4 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age sur 1 6 cm 7 cm 8 cm [] [] () () [] [] = = 8 = cm 1.3 ontrer qu'un point est le milieu d'un segment ex HÉÈ 3 i, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. xemple 3 : oit un triangle tel que soit le milieu de []. a parallèle à [] passant par coupe [] en. émontre que est le milieu de []. olution : ans le triangle, on sait que est le milieu du côté [] et que la droite () est parallèle à la droite (). ropriété : i, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. onc la droite () coupe le troisième côté [] du triangle en son milieu, donc est le milieu de []. xercice n page 163 ans quelle(s) figure(s) peux-tu démontrer que le point est le milieu de []? ustifie tes réponses. es droites vertes sont parallèles. a) b) [] c) [] () [] [] d) es droites en vert sont parallèles entre elles [] () [] () () [] H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

5 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age sur 1 xercice n page 16 émontre qu'un point est le milieu d'un segment ur la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles. émontre que est le milieu de []. () [] [] [] () [] xercice n page 163 ans chaque cas, en t'aidant d'un dessin à main levée, recopie et complète les démonstrations suivantes : a) ans le triangle H, on sait que est le milieu de [H] et est le milieu de [H]. r si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. onc. H [H] [H] H () () b) ans le triangle, on sait que est le milieu de [] et. r si dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. onc U est le milieu de []. [] (U) () U U [] c) ans le triangle, on sait que est le milieu de [] et est le milieu de []. r si. onc =. [] [] = xercice n page 163 nita doit montrer que le point est le milieu du segment []. Voici ce qu'elle a écrit : «ans le triangle, on sait que est le milieu de [], que est un point de [] et que () et () sont H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

6 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 6 sur 1 parallèles. r si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. onc est le milieu de [].». Que penses-tu du raisonnement d'nita? orrige-le si tu estimes que cela est nécessaire. xercice n 10 page 16 es droites vertes sont parallèles. émontre que H est le milieu de []. K H K [] (HK) () H [] xercice n 11 page 16 est un triangle tel que = 6 cm ; = cm et = 3, cm. est le triangle tel que = cm ; = cm, et, et ne sont pas du même côté de la droite (). est le milieu de [] et est le milieu de []. a parallèle à () passant par coupe () en G. a) ais un dessin en vraie grandeur et code-le. G b) ontre que () est parallèle à (). [] [] () () c) ontre que G est le milieu de []. [] (G) () G [] d) ontre que (G) et () sont parallèles. H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

7 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 7 sur 1 [] G [] (G) () e) alcule les longueurs et G. ustifie. [] [] [] G [] = = 3, = 1,7 cm G = = = cm f) alcule le périmètre de G. [] = = = cm G [] G = = =, cm G + + G + G = + 1,7 + +, = 8, cm É GUU G.1 noncé héorème : roportionnalité des longueurs dans un triangle i, dans un triangle, est un point de la demidroite [), un point de la demi-droite [) et les droites () et () sont parallèles alors = =. emarque 1 : n appelle parfois cette propriété la (petite) propriété de halès. orsque ce théorème s'applique, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité. ongueurs des côtés du triangle ongueurs des côtés du triangle. alcul d une longueur avec des rapports égaux ex xemple : ur la figure suivante, les droites () et () sont parallèles. et appartiennent respectivement aux demi-droites [H) et [H). n donne H = cm, H = cm, = 7 cm et H = 3 cm. alcule les longueurs H et. olution : ans le triangle H : [H], [H] et () // (). après la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle : H H 3 cm cm cm H H = H H = 7 cm soit 3 H = = 7. 'une part, H = 3 soit H = 3 = 7, cm. 'autre part, = 7 soit = 7 =,8 cm. H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

8 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 8 sur 1 xemple : ur la figure suivante, les droites () et () sont parallèles. et appartiennent respectivement aux demi-droites [) et [). n donne = cm, = 3 cm, = cm et = cm. alcule les longueurs et. olution : ans le triangle : [], [] et () // (). 'après la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité. n le remplit avec les valeurs connues (données dans l'énoncé) et on détermine les longueurs demandées en remarquant que =,. onc on passe des longueurs des côtés du triangle aux longueurs des côtés du triangle en multipliant par,. ongueurs des côtés = 3 cm = cm = cm du triangle, ongueurs des côtés =, 3 cm = cm =, cm du triangle insi, on obtient : = 7, cm et = 10 cm. xercice n page 16 alcule des longueurs ans le triangle, est un point de [] et un point de [] tel que = 6,3 cm ; =,9 cm ; = 8,7 cm et = 1,8 cm. e plus, () et () sont parallèles. alcule et. [] [] () () =, cm 1,8 =,9 8,7 = = = 6,3 = 1,8 =,9 8,7 1,8 8,7,9 6,3 =,9 = 6,3,9 =,1 cm 8,7 8,7 xercice n 13 page 16 Écris toutes les égalités des rapports de longueurs dans chacun des cas suivants. es droites vertes sont parallèles. a) b) c) d) G G 6,3 cm,9 cm 8,7 cm 1,8 cm G [G] [] [] [] [] G [] [] [] [] G [] () // (G) () // () (G) // () () // () (G) // () G = = G = = = G = G = = = G = G H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

9 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 9 sur 1 [] [] [] [] () // () () // () = = = = xercice n 1 page 16 ur la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles. n donne = cm ; = 1 cm ; =, cm et = 7, cm. a) eporte les données sur un croquis. 7, cm, cm cm 1 cm b) our calculer et, recopie et complète : ans le triangle, on sait que [], [ ] et () // ( ) donc d'après la proportionnalité des longueurs dans un triangle : = = soit = 7, =. [] [] () // () = = 1 = 7, =, ermine la démonstration pour calculer et. 1 = = 7, = cm 7, 1 1 =, 1, = = 9 cm. xercice n 1 page 16 onstruis le triangle tel que = 6 cm ; = 9 cm et =, cm. lace sur [] le point tel que = cm. a parallèle à la droite () passant par coupe () en. a) race en couleur les droites parallèles. Écris les égalités des rapports de longueurs. [] [] b) alcule et. 6 = 9 =, 6 = 9 6 =, = = = 9 = 7, cm 6 =, = 3,7 cm 6 H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes) () // ()

10 @options; repereortho(310,70,30,1,1){ 0, moyen, noir, = point( -.3, 6. ) { noir, (- 0.97,-0.7) }; = point( -0.9,.3 ) { noir, (0.17,-0.83) }; = point( -.6, 1.86 ) { noir }; s = segment(, ) { rouge }; s = segment(, ) { noir }; s = segment(, ) { noir }; = pointsur( s, 0.3 ) { noir, (0.3,0.03) }; paras = parallele(, s ) { i }; = intersection( s, paras ) { noir, (-0.3,0.37) }; s = segment(, ) { rouge }; e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 10 sur 1 xercice n 16 page 16 ans chacun des cas suivants, les droites vertes sont parallèles. a) alcule et. b) alcule et. c) alcule ions; r eper eor t ho(310, 7 0, 30, 1, 1) { 0, 13 m oyen, noir, 6, 6 3 6, = 6, = 6 13 = 6, [] [] = = = 3 6 = 9 =, 6, = 3 = 6 = 1, [] [] 13 = 3 = = = 6, 13 = 13 3 () // () () // () 13 = 6, = 3 =, = 7,8 = 6 = [] = = 6 = 6 = 6 = 3 = + = 8 + = 10 [] [] = = = 6 = 6 3 = 7, =, K [K] [] K = = K K = 8 10 K = 10 8 K = K = 6, = 1, K = 8 10 = 7 = 6, 6 = = 3 () // () () // (K) 8 10 = = =,6 xercice n 19 page 16 ur la figure ci-contre : = 3 cm ; G = cm et G = cm. es droites () et () sont parallèles et les droites (G) et () sont parallèles. a) alcule. b) éduis-en. d) alcule K, K et. K 7 8 G H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

11 = 6 = G e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 11 sur 1 = 6 = 3 = 3 [] G [] = G + G = + = 6 cm [] [] (G) // () () // () = G = G = = 3 = = 3 3 = 3 = 3 3 =, cm xercice n 1 page 16 onstruis un parallélogramme tel que = 6 cm ; = cm et = cm. lace un point sur [] tel que = cm. onstruis la parallèle à () passant par, elle coupe la droite () en. a) alcule. b) alcule. [] [] () // () = = = = 6 = = 6 = = 1,6 cm = 6 =, cm 3 G, ÉU 3.1 éfinitions ex 6 É 1 Quand deux figures et ' ont la même forme et que les longueurs des côtés de ' sont proportionnelles aux longueurs des côtés de, on dit que : ' est un agrandissement de si le coefficient de proportionnalité est supérieur à 1 ; ' est une réduction de si le coefficient de proportionnalité est inférieur à 1. e coefficient est appelé rapport d'agrandissement ou de réduction. emarque : i est un agrandissement de ' de rapport k (non nul), alors ' est une réduction de de rapport 1 k. xemple 6 : e casse-tête est un cube constitué de plusieurs petits cubes de différentes couleurs. haque petit cube est-il une réduction du casse-tête? i oui, précise le rapport de cette réduction. olution : haque petit cube et le casse-tête ont la même forme : un cube. omme chaque petit cube est plus petit que le casse-tête, alors chaque petit cube est bien une réduction du casse-tête. H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

12 3 cm 1, cm e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 1 sur 1 e côté du casse-tête contient trois petits cubes, donc le rapport de réduction est 1 3. emarque 3 : e casse-tête est un agrandissement de chaque petit cube de rapport 3. xercice n 6 page 16 imensions d'un triangle e triangle est une réduction de rapport 0,7 du triangle de côtés 3,6 cm ;, cm et 7, cm. onne les longueurs du triangle puis construis-le. 3,6 0,7 =,7 cm, 0,7 = 3,9 cm 7, 0,7 =, cm 0,7 0,7 3. ropriétés ex 7 et 8 ÉÉ 1 ans un agrandissement ou une réduction les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. xemple 7 : alcul des longueurs dans une réduction e triangle G est rectangle en tel que G = 3 cm et = cm. e triangle est une réduction de rapport 0, du triangle G, tel que l angle soit la réduction de l angle G. Quelle est la nature du triangle? alcule et. olution : G omme est une réduction de G de rapport 0,, alors les mesures des angles sont conservées donc = G = 90. e triangle est donc rectangle en. e plus, ses dimensions sont 0, fois celles du triangle G. n en déduit alors que : = 0, G = 0, 3 = 1, cm et = 0, = 0, = cm. cm cm xemple 8 : éterminer si une figure est un agrandissement ou une réduction ans la figure ci-contre, on donne les mesures suivantes : = 6 cm, = cm, = cm, =,8 cm, =, cm et = 3, cm. e triangle est-il une réduction du triangle? olution : es figures et ont la même forme, on calcule donc les rapports : =, 6 = 0,7 ; =,8 = 0,7 ; = 3, = 0,7. es trois rapports sont égaux, donc le triangle est une réduction du triangle. emarque : es côtés du triangle étant proportionnels aux côtés du triangle, on peut les mettre dans un tableau de proportionnalité. n retrouve ainsi la proportionnalité des longueurs dans le triangle de la partie. xercice n 7 page 16 imensions d'un agrandissement onne les dimensions d'un agrandissement de rapport, du triangle tel que : = 100, = 0 et = 3 cm , = 7, cm,, H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

13 = point( -1.7, 6. ); = point( -1.7,.9 ); ce = cercle(, ) { i }; demi = demidroite(, ) { i }; = intersection( demi, ce, 1 ); ce = cercle(, ) { i }; = intersection( demi, ce, 1 ); ce = cercle(, ) { i }; = intersection( demi, ce, 1 ); ce = cercle(, ) { i }; K = intersection( demi, ce, 1 ); cek = cercle( K, ) { i }; = intersection( demi, cek, 1 ); s = segment(, ) { \\ }; s = segment(, ) { \\ }; s = segment(, ) { \\ }; s = segment(, ) { \\ }; sk = segment(, K ) { \\ }; sk = segment( K, ) { \\ }; e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 13 sur 1 xercice n 8 page 16 ature d'une réduction oit un rectangle U de longueur cm et de largeur cm. oit une réduction de U de rapport 3. Quelle est la nature du quadrilatère? ustifie ta réponse puis construis. U 3 = = 3 cm = =, cm 3 xercice n page 166 econnaître une situation de réduction ou d'agrandissement armi les images ci-contre, quelles sont celles qui sont des réductions, des agrandissements de l'arbre ci-contre et celles qui ne sont ni l'une ni l'autre? 1 ig. 1 ig. ig. 3 ig. ig. 3 xercice n 6 page 166 grandissement ou réduction de figures édige dans chaque cas, deux phrases : une avec les mots «est un agrandissement de rapport de.» et l'autre avec «est une réduction de rapport de.». a) G et sont des carrés. G b) c) es droites () et (Z) sont parallèles. Z 6 G G 1 [] [] [] 1 [] [] 3 [] [] 1 3 [] H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

14 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 1 sur 1 Z 1 Z xercice n 8 page 167 grandissement ou non a) onstruis un parallélogramme tel que = 3 cm ; = cm et =. b) onstruis un parallélogramme GH tel que = ; G = et qui soit un agrandissement du parallélogramme de rapport. Écris la propriété utilisée. H G G = c) onstruis un parallélogramme K tel que = ; K = et qui ne soit pas un agrandissement de. xplique pourquoi ce n'est pas un agrandissement. K K xercice n 30 page 167 grandissement et parallélisme a) onstruis un triangle tel que = 3, cm ; =, cm et = 7 cm. b) onstruis un triangle qui soit un agrandissement de rapport du triangle et tel que appartient à la demi-droite [) et appartienne à la demi-droite [). H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)

15 e - programme 011 mathématiques ch.g1 cahier élève age 1 sur 1 c) émontre que () et () sont parallèles. [] [] () () = () () H. orthais (ollège.. de l bbaye à antes)