Chapitre 2 : Calcul matriciel.

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1 I. Exemples introductifs. Des commandes et des prix. Chapitre 2 : Calcul matriciel. Exemple : Une usine fabrique des pantalons, des vestes et des chemises. Un client passe une commande : il commande 0 pantalons, 5 vestes et 50 chemises ; on peut représenter cette commande dans un tableau : Pantalons Vestes Chemises ( ) Notons C le tableau : C = ( ). Ce tableau est une matrice, que nous appellerons «matrice de commande».c est une matrice ligne. Supposons que les prix unitaires d'achat, en euros, soient respectivement égaux à : 20 pour un pantalon, à 55 pour une veste et à 30 pour une chemise. Présenter ces prix unitaires dans un tableau, ne contenant qu'une colonne, que vous appellerez P. (de telles matrices sont appelées matrices-coonnes). Calculer le prix à payer par ce premier client. Solution : Pantalon ) On a Veste 55 P = 55 Chemise On a : 0 x x x 30 = Le prix total d'achat correspondant à la commande est donc de Ce que l on note : ( ) 55 = = On vient d effectuer le produit de la matrice ligne C par la matrice colonne P. 55 On présente le calcul ainsi : = 2525 ( ) ( ) Exemple 2: (Suite de l Exemple :) On considère cette fois que ce n est plus un client mais deux qui passent une commande. Le second commande 5 pantalons, 7 vestes et 20 chemises. Etablir la nouvelle matrice de commande C à 2 lignes et 3 colonnes (la première ligne pour le premier client, la deuxième pour le deuxième client). Déterminer la matrice F à 2 lignes et une colonne correspondant aux prix à payer par chacun des clients. On présentera le calcul comme précédemment. Solution : Pantalons Vestes Chemises er On a : client ème 2 client donc C = D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc sur 8

2 On a toujours : P = Le prix total d'achat correspondant à la commande est égal à 2525 pour le er client. 55 Pour le deuxième client : = 085 ( ) ( ) On a donc : = Exemple 3: (suite de l Exemple 2: Supposons que les clients doivent payer, en plus, des frais d'envois. Les prix unitaires d'envoi sont respectivement égaux à 3 pour un pantalon, à 4 pour une veste et à 2 pour une chemise. On obtient alors une nouvelle matrice P en ajoutant à la matrice P une deuxième colonne correspondant aux frais d envoi. Préciser cette matrice P. Calculer les frais d envoi pour ces deux clients et présenter les résultats dans une matrice F donnant sur la première ligne les frais d achats puis d envoi pour le premier client et sur la deuxième ligne les frais d achat puis d envoi pour le deuxième client. Cette fois encore on présentera le calcul sous la forme d n produit de deux matrices. Solution : prix frais d ' achat d ' envoi Pantalon 20 3 d où P ' = 20 3 Veste Chemise Calcul des frais d envoi pour le premier client : 2 ( ) = ( 90) Calcul des frais d envoi pour le deuxième client : ( ) = ( 83) On a alors F ' = D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 2 sur 8

3 Présentation globale du calcul : P ' C C P ' Chaque élément de F' se calcule à partir des éléments de C situés sur la même «horizontale» et des éléments de P' situés sur la même «verticale». Par exemple, l'élément situé dans la case rouge est égal à : 0 x x x 2. II. Opérations sur les matrices de bases.. Définitions Définition : Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. On parle de matrice (n, p) lorsqu elle a n lignes et p colonnes. a a2... a p a2 a22... a2 p A = = an an2... a np ( aij ) i n j p est une matrice (n, p) Définition 2: Une matrice ne contenant qu une ligne est appelée «matrice ligne» ou «vecteur ligne». Définition 3: Une matrice ne contenant qu une colonne est appelée «matrice colonne» ou «vecteur colonne». Définition 4: Une matrice (n, n) ayant même nombre de lignes que de colonnes est appelée une matrice carrée d ordre n. Définition 5: Une matrice carrée n ayant que des zéros est appelée «matrice nulle d ordre n». On la note 0 n. Définition 6: Une matrice carrée n ayant que des sur la diagonale et des zéros en dehors est appelée matrice unité. On la note I n (matrice unité d ordre n) où n est son nombre de lignes Exemple 4: I4 = D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 3 sur 8

4 2. Opérations sur les matrices a) Égalité. Définition 7: Deux matrices A et B sont égales si elles ont même nombre de lignes et même nombre de colonnes et si chaque élément de B est égal à l élément de A qui lui correspond. Exemple 5: a a a 2 a A = et B = alors : A=B a a 3 4 a a22 = = = 2 = 3 4 b) Addition. On peut additionner 2 matrices si elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. L un des termes de la matrice somme s obtient en faisant la somme des termes correspondants. Exemple 6: Si A = 2 7 et B= 3 alors A+B= c) Soustraction. On peut soustraire 2 matrices si elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. L un des termes de la matrice différence s obtient en faisant la différence des termes correspondants. Exemple 7: Si A = 2 7 et B= 3 alors A B= d) Multiplication par un réel. Pour multiplier la matrice A par le réel k, on multiplie chacun des coefficients de A par k. Exemple 8: Si k = 3 et A = alors ka=3a= III. Produit de 2 matrices.. Définition : D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 4 sur 8

5 Soit A une matrice ( n; p ) et B une matrice ( ; ) p m. Il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Soit C = AB. Chaque élément de C se calcule à partir des éléments de A situés sur la même «k= p horizontale» et des éléments de B situés sur la même «verticale» : cij = aik bk j k= Exemple 9: Soit A = et B= alors on calcule C = AB comme suit On obtient donc C = Attention en général AB BA. Théorème. Soit n un entier naturel non nul, A, B et C trois matrices carrées d ordre n. alors : Distributivité : Associativité : ( A+ B) C= AC+ BC A ( B+ C) = AB+ AC A ( B C) = ( A B) C k ( A B) ( k A) B A ( k B) k R on a : = = A I = I A= A, où I est la matrice unité d'ordre n. n n n Exercice(s) : N 23 ; 24 ; 25 p 528 N 27 ; 28 ; 33 ; 34 p 529 Remarque : Si A est une matrice carrée on note : Exercice(s) : N 58 ; 59 p Inverse d une matrice. a) Élément neutre. Exemple 0: Soit 2 A = A A ; 3 A A A A n = et A = A... A 5 4 A = Calculer A I3 et I3 A où I3 est la matrice unité d ordre Solution : On constate que I3 A = A I3 = A. D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 5 sur 8

6 Remarque : Multiplier une matrice carrée par la matrice unité du même ordre ne change rien. La matrice unité est l élément neutre de la multiplication matricielle. b) Inverse d une matrice On se place dans l ensemble des matrices carrées d ordre n. Définition 8: Soit A une matrice carrée d ordre n. Se demander si A possède un inverse c est se demander s il existe une matrice B (carrée d ordre n ) telle que A B = B A = In. Si oui, on dira que B est la matrice inverse de A et on la notera B = A -. Exemple : Soit 3 5 A =. Déterminer si elle existe la matrice inverse de A. 2 a b Solution : Soit B = l éventuelle matrice inverse de A. c d 3a + 5c = 3a + 5c 3b + 5d Alors AB = a + 2c b + 2d donc a + 2c = 0 AB = I2 3b + 5d = 0 b + 2d = 3a + 5c = 3b + 5d = 0 Ce système se ramène à 2 systèmes 2 2 : S et S2 d où l on obtient a + 2c = 0 b + 2d = facilement : 2 5 a = 2 et c = puis b = 5 et d = 3, on a donc B =, on peut alors calculer BA qui est bien égale à I 2, donc A = 3 Exercice : calculer si cela est possible l inverse des matrices suivantes : A = ; B ; C ; D 2 3 = 0 2 = = IV. Application. Résolution de systèmes. a) Introduction sur un exemple. 3x + 5y = x 2 On considère le système S :, posons alors M = ; A = et B = x + 2y = 2 y Le système S équivaut à MA = B, la matrice A étant celle que l on cherche. Remarque : Tout système linéaire peut ainsi s écrire sous forme matricielle. b) Résolution. Si la matrice M est inversible, on a MA = B M MA = M B A = M B. Ici M 2 5 existe et vaut M = d après l exemple précédent. 3 D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 6 sur 8

7 On a donc: MA = B A = M B c'est-à-dire Exercice(s) : N 54 ; 55 p 53 x = = y 3 2. Et avec la calculatrice! Casio : Menu Mat pour saisir les matrices Entrer le nombre de lignes le nombre de colonnes Puis saisir un par un chacun des a ij Puis menu Run pour faire des calculs Syntaxe : Mat A +Mat B Pour cela Option puis menu Mat Mat A + Mat B TI : Matrx Names Math Edit Names sert à «appeler» les matrices. Edit sert à saisir les matrices. Pour les saisir : Edit puis donner le nombre de lignes le nombre de colonnes Puis saisir un par un chacun des a ij Pour faire des calculs A + B Syntaxe [ ] [ ] Pour cela : Matrix puis names [ A ] +Matrix puis names [ B ] Dans l une des calculatrices comme dans l autre, pour calculer l inverse d une matrice, on utilise la touche X. Exemple 2: Soit A = et 2 3 B = 3 2. Calculer 3A 2B ; A B ; 2 2 A ; B. 3. Interpolation polynomiale Exemple 3: Combien y a-t-il de polynômes du second degré dont la courbe passe par les points ;3 2;5 C 3; 2? Le(s) déterminer. A ( ), B ( ) et ( ) Solution : 2 Soit f ( x) = ax + bx + c un polynôme du second degré dont la courbe passe par les points A, B et C. A B C ( ;3 ) C f donc ( ) 3 ( 2;5) C f donc ( 4) 5 ( ) C donc ( ) 3; 2 f f = soit a + b + c = 3 f = soit 4a + 2b + c = 5 f 3 = 2 soit 9a 3b + c = 2 D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 7 sur 8

8 a + b + c = 3 ( a; b; c ) est donc solution du système S = 4a + 2b + c = 5. 9a 3b + c = 2 a 3 Soit M = 4 2 A = b et B = c 2 On a MA = B A = M B Or M 3 = donc M B = Le seul polynôme du second degré répondant au problème est donc ( ) 2 f x = 3 x + 3 x Remarque : pour espérer avoir un seul polynôme du second degré passant par des points donnés, il faut 3 points puisqu il faut déterminer les 3 inconnues a, b et c. Plus généralement, par rapport à un polynôme de degré n n n f ( x) = anx + an x ax + a0, où l on a n + inconnues a0, a,..., an il faudrait n + équations, soit n + points. Exercice(s) : N ; 2 annexe N 39 ; 4 ; p 530 Annexe Exercice : Déterminer la fonction f polynômiale du second degré dont la représentation graphique est la parabole p passant par les points : A( 2;5 ) ; B( 3;7 ) et C( 5; ) Exercice 2 : Déterminer la fonction dont la dérivée s annule en 7 et dont la courbe est une parabole passant par les points A ( 52;732 ) et B( ;7) D:\Dropbox\cours\terminal\TSspe_202\02_cours_matrice.doc 8 sur 8